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求极限的几种方法摘要：极限一直是数学分析中的一个非常重要的内容,并且极限的思想方法也一直贯穿于整个数学分析的学习中.一些基本学分析的关键.而求极限的方法也是多种多样.在本文中,通过归纳与总结,罗列出几种在学习中常用的求极限的方法,并用具体实例加以说明.关键词：极限；不动点；洛必达法则；定积分；泰勒公式1 引言极限是数学分析中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.极限也是研究数学分析的限存在,则考虑如何计算此极限.本文主要针对第二个问题展开论述,即在极限存在的情况下,如何求得极限. 2 极限的若干求法2.1 利用不动点法求极限定理1[1]：设数列{}n x 满足()n n x f x =+1,()11x f x ≠,()()02≠+++=ad edx c bx ax x f ,且()x f 有两个互异的不动点1λ和2λ,则当且仅当0=b ,a d 2=,042>+ac e 时有2212111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--++λλλλnn n n x x x x .而当11121<--λλx x 时,有 2lim λ=∞→n n x .例1 设数列{}n x 满足01>x ，且21x x ≠,nn n x x x 2421+=+，其中0>a ，,,2,1 =n 求极限n n x ∞→lim . 解令函数()xx x f 242+=,由()x x f =解得不动点21=λ,22-=λ.又因为01>x ,所以122112111<+-=--x x x x λλ.故由定理1得2lim 1==∞→λn n x .2.2 利用重要极限及其推广求极限 2.2.1 利用 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭求极限当所给函数中含有恒等变形将函数化成11xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()11x x +的形式,然后利用重要极限公式1lim 1x x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或它的变形形式()10lim 1x x x e →+=求解. 例2 求极限xx x )111(lim -+∞→. 解 xx x )111(lim -+∞→.1111lim 111lim 111111lim 11e e x x x x x x x x x =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→-∞→2.2.2 利用1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的推广求极限定理2[2]：设 ()x α,()x β在点0x (0x 可以为无穷大)的某一邻域(0x 点除外)内连续,且满足如下条件：(1)()0lim 0=→x x x α,()∞=→x x x β0lim ；(2)()()k x x x x =→βα0lim (k 为常数或无穷大),则有()()()()()k x x x x x e ex x x ==+→→βαβα00lim 1lim .例3 求xx x x 3221211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.解因为02121lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x ,∞=∞→x x 3lim ,2321213lim 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x ,所以由定理2得233221211lim e x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.2.2.3 利用1sin lim0=→xxx 求极限当极限形式中含有三角函数时,一般等变换,然后利用重要极限1sin lim 0=→xxx 来求解.例4 求极限202cos 1lim x x x -→.解 202cos 1lim x xx -→.2sin 2lim sin 2lim 2220=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→x x x x x x 注利用这两个重要极限及其推广来求函数的极限时要仔细观察所给函数的形式,只有形式符合或经过恒等变形后符合我们经常使用的变形：()0sin ()lim1()x x x ϕϕϕ→= ()()1lim (1)()x x e x ϕϕϕ→∞+= 2.3 利用极限的四则运算法则求极限函数和数列都有相应的极限四则运算法则,下面以函数极限的四则运算法则为例来进行说明.定理3(函数极限的四则运算法则)[3]：若极限)(lim 0x f x x →和)(lim 0x g x x →都存在则函数g f ±，g f ⋅当0x x →时极限也存在,且(1)[])(lim )(lim )()(lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±； (2)[])(lim )(lim )()(lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=；又若0)(lim 0≠→x g x x ,则g f /当0x x →时极限存在,且有(3))(lim /)(lim )()(lim00x g x f x g x f x x x x x x →→→=.注上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞仍成立.例5 求极限2324lim 222---→x x x x .解 2324lim 222---→x x x x而4)2(lim 2=+→x x ,5)12(lim 2=+→x x ,故由极限的四则运算法则可得54122lim 2324lim 2222=++=---→→x x x x x x x . 例6 求极限321lim 3--+→x x x .解 321lim3--+→x x x.41)21)(3(3lim)21)(3()21)(21(lim 33=++--=++-++-+=→→x x x x x x x x x注通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算.首先要对函数施行各种恒等变形.例如分子、穷多项的和(或积)为有限项. 2.4 利用导数的定义求极限定义1(导数的定义)[3]：函数()x f y =在0x 的某领域内有定义,若极限()()000lim x x x f x f x x --→存在,则称函数在点0x 处可导.并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作()0x f '.例7 设()x f 在1=x 处的导数()31='f ,求极限()()xx f x f x --+→11lim 0. 解 ()()xx f x f x --+→11lim 0 ()()()()()()()()()().6111111lim 1111lim 00='+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=--+-+=→→f f x f x f x f x f xx f f f x f x x 注在运用此方法的过程中,首先要选好()x f .然后把所求极限表示成与()x f 在定点0x 的导数有关的形式.2.5 利用单侧极限与极限的关系求极限例8 设 ()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<-=0,140,00,12x x x x x x f ，讨论()x f 在点0=x 处的极限是否存在.解因为 ()()112lim lim 0-=-=--→→x x f x x ,, 显然()()1lim lim 00-==+-→→x f x f x x . 故()x f 在0=x 处的极限存在且()1lim 0-=→x f x .注这种方法适用于求分段函数在分断点处的极限,首先必须考虑分段点的左右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分段点处的极限存在.否则,极限不存在. 2.6 利用初等函数的连续性求极限(1)任何初等函数在其定义区间上都是连续函数； (2)若)(x f 在0x x =处连续,则)()(lim 00x f x f x x =→.例9 求极限x x x 2cos )2ln(sin lim6π→.解因为6π=x 在初等函数的定义域内,故由函数f 的连续性得23ln 2)6(2cos )2ln(sin lim 6==→ππf x x x .注这种方法适用于求函数在连续点处的极限.2.7 利用拆项法求极限例10 求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+⋅∞→12322212lim n n n . 解由于()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+111212n n n n ,因此可得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+⋅∞→12322212lim n n n .2111lim 21113121211lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=∞→∞→n n n n n 注此方法主要应用于求数列各项和的极限.其中数列必须满足其各项通过拆项后能够相互抵消,以此来简便求极限运算的条件.2.8 利用泰勒展开式求极限[4]若函数()x f 在点0x 的邻域内存在直至n 阶导数,那么()x f 可以运用具有佩亚诺余项的泰勒公式来表示()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+=00200''00'0!)(!2)()()()( (1) 其中()()()n n x x x R 0-=ο.()x R n 称为佩亚诺余项,(1)式称为具有佩亚诺余项的泰勒公式.例11 求xxx x +-+→121lim0.解在这里可用泰勒公式求解,考虑利用泰勒公式,当0→x 有.于是()()().212lim 21221lim 121lim000=+=---++=+-+→→→x x xxx xx x xxx x x x οοο注在计算过程中,要注意高阶无穷小的运算及处理. 2.9 利用定积分的定义求极限定积分也可以称为和式的极限.即()()k nk k ba n x f dx x f ∆⋅=∑⎰=∞→1lim ξ. 这里定积分的值与区间[]b a ,分法无关,与k ξ的取法也无关.关键是确定()x f b a ,,三个量.所以利用定积分定义求和式的极限分)的积分和式的极限.然后利用定积分的定义求得积分和的极限.例12 计算极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→33321lim n n n nn . 解由于33321nn n n +++因此令()x x f =,10≤≤x ,它是n 等分区间[]1,0,k ξ取区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n k n k ,1的右端点构成的积分和.易知函数()x f 在[]1,0可积.于是由定积分的定义可知:321lim 101==⋅⎰∑=∞→dx x n n k nk n . 即.321lim 11==⋅=⎰∑=∞→dxx nn k nk n2.10 利用无穷小量的性质求极限定理4(无穷小量的性质)：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量.即如果()0lim 0=→x f x x ,()x g 在0x 的某一邻域内有界,那么()()0lim 0=⋅→x g x f x x .例13 求x x x 1sin lim 20⋅→.解因为11sin ≤x有界,且0lim 20=→x x ，所以由无穷小量时的无穷小量.则有02sin lim=∞→xxx .注运用定理4来求函数极限,要求所给函数可以分解为两个函数的积,其中一个函数极限为0,另一个函数只要求有界,对其极限并无要求. 2.11 利用等价无穷小量代换求极限在求乘除表达式的极限时,巧妙运用等价无穷小代换,可以简化计算并求出相应的极限值.定义2(等价无穷小量的定义)[3]：若1)()(lim0=→x g x f x x ,则称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量,记作()()x g x f ~ ()0x x →.定理5[3]：设函数h g f ,,在()0x U ︒内有定义，且有()()x g x f ~ ()0x x →. (1)若()()A x g x f x x =→0lim ,则()()A x h x g x x =→0lim ；(2)若()()B x f x h x x =→0lim,则()()B x g x h x x =→0lim .例14 求23202sin lim⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x .解因为当0→x 时,有，故有42lim2sin lim23202320=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→x x x x x x x x .注 (1)由上例可以看出,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量,当0→x 时,常用的等价无穷小代换有:x x ~sin ，x x ~tan ，()x x ~1ln +，x e x ~1-，()ax x a~1+，x x 21~11-+，x x ~arctan 等.(2)等价无穷小代换只能在乘积和商中进行,不能在加减运算中代换,否则会导致错误.2.12 利用级数收敛的必要条件求极限定理6(级数收敛的必要条件)[3]：若级数∑∞=1n n u 收敛,则0→n u ()∞→n .例15 求()()[]21!11lim ---∞→n n n n . 解设()()[]21!11--=-n n u n n ，则 ()()[]()12211!1!lim lim -∞→+∞→--⋅=n n n n n n n n n n u u .101111lim 1<=⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅=-∞→n n n n由比式判别法可知∑∞=1n n u 收敛.则由定理6可知()()[]0!11lim 21=---∞→n n n n . 注此方法主要应用于对级数通项求极限,首先判定级数∑∞=1n n u 收敛，然后利用此必要条件求出它通项的极限.2.13 利用洛必达法则求不定式极限在不定式极限中,00型与∞∞型是基本的不定式形式,可以直接使用洛比达法则进行求解.2.13.1 00型不定式极限对于0型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限.定理7[3]：若函数f 和函数g 满足： (1)()()0lim lim 0==→→x g x f x x x x ；(2)在点,且()0≠'x g ；(3)()()A x g x f x x =''→0lim(A 可为实数,也可为∞±或∞),则()()()()A x g x f x g x f x x x x =''=→→00lim lim . 例16 求()()x x x +→1ln 4sin lim 0. 解 ()()()x x x x x x +=+→→114cos 4lim 1ln 4sin lim 02.13.2 ∞∞型不定式极限对于∞∞型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限.定理8[3]：若函数f 和函数g 满足： (1)()()∞==++→→x g x f x x x x 0lim lim ；(2)在0x 的某右邻域()0x U+内两者都可导,且()0≠'x g ； (3)()()A x g x f x x =''+→0lim (A 可为实数，也可为∞±,∞),则()()()()A x g x f x g x f x x x x =''=++→→00lim lim . 例17 求()xx x 1ln lim ++∞→. 解 ()()[]x x x x x x ''+=++∞→+∞→1ln lim1ln lim .011lim=+=+∞→x x 2.13.3 其它类型不定式极限不定式极限还有∞⋅0，∞1,00，0∞，∞-∞等类型.这些类型必须经过变换化为0型或∞∞型的不定式极限,然后才能利用洛必达法则来求极限. 例18 求()xx x 10cos lim →.解这是∞1类型的不定式极限,首先我们对它作恒等变形()()x xxex cos ln 11cos =.其指数部分,可先求得()()0tan lim cos ln 1lim 00=-=→→x x x x x . 从而有()1cos lim 01==→e x xx .注 (1)要注意条件,在所求极限没有化为00或∞∞的形式时不可使用洛必达法则. (2)应用洛必达法则,否则会引起错误.(4)当()()x g x f a x ''→lim 不存在时,洛必达法则失效,但并不能说极限不存在,此时要用其它的方法求函数的极限. 2.14 利用换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时,可采用换元法对其进行恒等变形,使函数形式简化容易求出极限.例19 求xx x x x ln 9lim 3-→解令9-=x x p ,则有()9ln ln +=p x x .故()().9911lim9ln lim ln 9lim 003=+=+=-→→→洛必达法则p p p x x x p p x x 2.15 利用极限定义求极限 2.15.1 利用函数极限的定义定义3(函数极限的εδ-定义)[3]：设函数f 在点0x 的某个空心领域()δ'︒;0x U 内有定义,A 为定数.若对任给的0>ε,存在正数为极限.例20 用极限定义证明1365lim23=-+-→x x x x . 证明因为()，3333961325222-=--=-+-=--+-x x x x x x x x x所以,对0>∀ε,取εδ=,当δ<-<30x 时,就有.由函数极限的εδ-定义可得：1365lim 22=-+-→x x x x . 2.15.2 利用数列极限的定义定义4(数列极限的N -ε 定义)[3]：设{}n a 为数列,a 为定数.若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当N n >时有ε<-a a n ,则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限.例21 证明13lim 22=-∞→n n n . 证明由于的,故当⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ε3,3max N 时,(2)式成立.由数列极限的N -ε定义有：13lim 22=-∞→n n n . 注 (1)在数列极限的N -ε定义中N 不一定限于正整数,而只要它是正数即可. (2)此方法通常应用于极限已知用于证明的情况. 2.16 利用中值定理求极限 2.16.1 微分中值定理定理9(拉格朗日中值定理)：若函数f 满足 (1)f 在闭区间[]b a ,上连续；(2)f 在()b a ,内可导；则在内()b a ,至少存在一点ξ,使得()()()ab a f b f f --='ξ. 此式也可变形为:()()()()a b a f ab a f b f -+'=--θ ()10<<θ.例22 求xx e e xx x sin lim sin 0--→.解令()x e x f =,则由中值定理可得:()()x f x f e e x x sin sin -=-()()()x x x f x x sin sin sin -+'-=θ ()10<<θ. 从而有()10<<θ.因为()x e x f ='连续, 所以()()()10sin sin ='=-+'f x x x f θ.从而有xx e e x x x sin lim sin 0--→=1. 2.16.2积分中值定理定理10(积分第一中值定理)[3]：若f 在[]b a ,上连续,则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()()()a b f dx x f ba-=⎰ξ.例23 求极限dx ax a ⎰+→103032lim .解由积分第一中值定理可得:3232lim 32lim 301030=+=+→→⎰ξa dx ax a a . 注这种方法适用于所求极限中含有积分的形式,运用积分定理将含有积分的形式化为一般形式再求极限.2.17 利用两个准则求极限 2.17.1 利用极限的迫敛性[3] 2.17.1.1 数列的迫敛性设收敛数列{}n a ,{}n b 都以a 为极限,数列{}n c 满足：存在正数0N ,当0N n >时有n n n b c a ≤≤,则数列{}n c 收敛,且a c n n =∞→lim .2.17.1.2 函数的迫敛性设()()A x g x f x x x x ==→→0lim lim ,且在某()δ';0x U 内有()()()x g x h x f ≤≤.则()A x h x x =→0lim .例24 求nn n n a n ++++++=22222212 的极限. 解因为0112lim 2lim 2=+=+∞→∞→n n n n n n n ,0112lim 12lim 22=+=+∞→∞→nn n n n n 故由数列的迫敛性可得0lim =∞→n n a .例25 求9cos lim 2-+∞→x xx x . 解因为1cos 1≤≤-x ,所以当+∞→x 时,有故由迫敛性可得09cos lim2=-+∞→x xx x .注利用极限的迫敛性求极限,通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列或函数,使得n n n b c a ≤≤或)()()(x g x h x f ≤≤.然后利用它们的极限和夹逼定理来得到所要求得的结果.2.17.2 利用单调有界准则[5]定理11(单调有界准则)：单调有界数列必有极限，且极限就是数列的上确界或下确界. 例26 证明下列数列的极限存在，并求其极限2321222222,22,2个n n a a a a ====.证明从这个数列的构造来看n a 显然是单调递增的，而且122a a =,232a a =,12-=n n a a ,所以得数列的通项为则有22221=⋅<=-n n a a .因此数列{}n a 有上界，故由单调有界准则可知，数列{}n a 的极限存在. 假设l a n n =∞→lim ,在递推公式122-=n n a a 两端同时取极限，可得l l 22=.由此解得 ()舍去或0,2==l l .因此有2lim =∞→n n a .注利用“单调有界准则”讨论递推数列极限问题通常分为两个步骤,首先,讨论数列极限是否存在,这是问题的关键；当判定数列极限存在时,然后根据数列的通项递推公式求出极限. 3 小结本文主要归纳了数学分析中求极限的一些常用方法.而这些方法也只是众多求解极限方法的一小部分,可见求极联系,才能在求极限的过程中游刃有余,并且要想熟练掌握求极限的各种方法,必须通过大量的练习,在练习中体会.参考文献[1]郑华盛.非线性递推数列极限的不动点解法[J].高等数学研究,2012,15(5):1-2.[2]甘媛.幂指函数极限的推广及应用[J].安徽电子信息职业技术学院学报,2011,10(6): 45-46.[3]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[4]李小光.求极限的若干技巧[J].西安航空技术高等专科学校学报,2002,20(1):42-43.[5]于邵权,李宏伟.递推数列极限的一种求法[J].高等数学研究,2011,14(5):47-48.Some Methods of Solving LimitationPang Dandan(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang,Henan,455002) Abstract:limitation has been a very important content in mathematical analysis,and the thought method of the limitation has been throughout the learning of the mathematical analysis. Some basic concepts such as differential and integral definition contacts with limitation closely. Therefore it is the key to do well in mathematical analysis to master the algorithm of the limitation expertly.But the algorithm of the limitation is diverse.In this text,through summing up and summary,I enumerate several ways which are commonly used in studying ,and use specific examples to illustrate them.Key words: Limitation;fixed point;L'Hospital's rule;definite integration;Taylors formula。

浅析函数极限的求法毕业论文

浅析函数极限的求法摘要极限是数学分析的一个重要组成部分，它以各种形式出现且贯穿在全部容之中,因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析的关键，而函数极限的求法可谓是多种多样.首先本文先给出了函数极限的定义及其性质；其次归纳和总结了函数极限的若干求法，并举例分析；最后给出了求函数极限的流程图，也就是求函数极限的思路、步骤，使初学者能较快地掌握求函数极限方法.关键词：极限；导数；洛必达法则；泰勒公式RAMBLE ABOUT THE METHODS OF MATH LIMITABSTRACTMathematical analysis of the limit has been a focus of content, and runs through the entire contents in a variety of forms, therefore, how to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical analysis. The series of limit can be described as diverse, by concluded and induction, At first, this paper gives the definition of limit, by defining the to understand what is the limit of sequence and function; secondly by induction and summarization, this paper lists some common calculation methods, and analysis all kinds of method of limit. At last,given the procedure of the solution to function limit finally, i.e. the idea of solve function limit and the step of solve function limit, to make the beginning student can grasp the method of solve function limit fast]9[.Key words:limit; derivative; Variable substitution; L’hospital’s rule; McLaughLin formula; Taylar exhibition type目录1 前言 .................................................................. - 3 - 2函数极限的概念及性质................................................... - 4 -2.1函数极限的概念................................................... - 4 -2.2函数极限的性质................................................... - 5 - 3函数极限的求解方法..................................................... - 6 -3.1 利用两个准则求极限............................................... - 6 -3.2 利用极限的四则运算求极限......................................... - 7 -3.3 利用两个重要极限公式求极限....................................... - 9 -3.4 利用洛必达法则求极限............................................. - 9 -3.5 利用函数连续性求极限............................................ - 11 -3.6 通过等式变形化为已知极限........................................ - 11 -3.7 利用换元法求极限................................................ - 11 -3.23 利用自然对数法求极限....................................... - 12 -3.8 利用因式分解法求极限............................................ - 13 -3.14 利用压缩定理................................................... - 17 -4 求极限的一般流程...................................................... - 19 - 结论 ................................................................... - 23 - 参考文献................................................................ - 24 -致 ..................................................................... - 26 -1 前言极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题.数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限.两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例.因此，本文只就函数极限进行讨论.函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决.求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的.对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法.在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧.极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态]1[.早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载,例如，晋时期中国数学家徽的“割圆术”的数学思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想.在数学分析中的许多基本概念，都可以用极限来描述.如函数连续的定义，导数的定义，定积分、二重积分、三重积分的定义，级数收敛的定义，都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具，极限是贯穿数学分析的一条主线.本文是在极限存在的条件下，对极限的常用求法进行综述，归纳出计算极限的一般流程.计算极限所用的方法，是致力于把所求极限简化为已知极限.求极限的方法远远不止本文所归纳的，故本文并不够完善，求极限的方法未能拓展,只限于数学分析.希望通过本文，大家在思想上能对求解极限的方法有一个高度的总括，计算极限时游刃有余.2函数极限的概念及性质2.1函数极限的概念定义1 设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数M ()0a ≥，使得当x M >时有 ()f x A ε-<则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →+∞= 或 ()()f x A x →→+∞定义 2 （函数极限的εδ-定义）设函数f 在点0x 的某个空心邻域()0'0;U x δ有定义，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得00x x δ<-<时有()f x A ε-<则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作()0lim x x f x A →= 或 ()()0f x A x x →→定义3设函数f 在()0'0;U x δ+（或()0'0;U x δ-）有定义，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有 ()f x A ε-<则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作()0lim x x f x A +→= （()0lim x x f x A -→=）或()()0f x A x x +→→ （()()0f x A x x -→→）右极限与左极限统称为单侧极限. f 在点0x 的右极限与左极限又分别记为()()000lim x x f x f x +→+= 与 ()()000lim x x f x f x -→-=.2.2函数极限的性质定理1（唯一性）若极限()0lim x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00U x 有界.定理2（局部保号性）若()0lim 0x x f x A →=> （或0<），则对任何正数r A <（或r A <-），存在()00U x ，使得对一切()00x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）.定理3（保不等式性）设()0lim x x f x → 与 ()0lim x x g x →都存在，且在某邻域()0'0;U x δ有()()f x g x ≤，则()()0lim lim x x x x f x g x →→≤定理 4 （迫敛性）设()()0lim lim x x x x f x g x A →→==，且在某邻域()0'0;U x δ有()()()f x h x g x ≤≤，则()0lim x x h x A →=定理5（四则运算法则）若极限()0lim x x f x →与()0lim x x g x →都存在，则函数f g ±，f g •当0x x →时极限也存在.3函数极限的求解方法3.1 利用两个准则求极限(1)极限的迫敛性[1]（夹逼原理），对数列和函数同样适用：设A x g x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，且在某)';(00δx U 有)()()(x g x h x f ≤≤则A x h x x =→)(lim利用夹逼原理求极限，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列或函数， )()()(x g x h x f ≤≤. 例3.1求cos limx x xx→∞-解：因为1cos 1x -≤≤，所以当x ＜0时 11cos 1111x x x x x x x x x+--+=≤≤=- 而11lim 1lim 11x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由迫敛性定理得，cos lim x x xx→∞-=1例 3. 2 求2sin lim4x x x x →+∞-解：因为当x ＞2时，222sin 444x x x xx x x -≤≤--- 而221lim lim0441x x x x x x→+∞→+∞--==--，2lim 04x x x →+∞=- 由迫敛性定理知 2sin lim 4x x xx →+∞-=0（2）单调有界定理[2]设()f x 为定义在()00U x +[或()00U x -]上的单调有界函数，则()0lim x x f x +→存在[或()0lim x x f x -→存在]3.2 利用极限的四则运算求极限极限的四则运算法则[4]：若A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0（1）B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim 0（2）B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )]()([lim 0（3）若0≠B 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000 （4）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于-∞→+∞→∞→x x x ,,时也同样成立通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算，首先对函数实行各种恒等变形.例 3.3 求极限()22lim 2sin cos x x x x π→--解：()22lim 2sin cos x x x x π→--=22222lim 2lim sin lim cos lim lim x x x x x x x x x πππππ→→→→→⎛⎫⎪--⋅ ⎪⎝⎭=222sin cos212224ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例3.4 求极限121lim 221----→x x x x解：121lim221----→x x x x =)12(lim )1(lim 2121----→-→x x x x x =20=0 例3.5 求极限2211lim 21x x x x →---解：2211lim 21x x x x →---=()()()()111lim121x x x x x →-+-+=()()112lim213x x x →+=+例 3.6求极限x →解：()()44244x x x x →→-=-=422x →2243+=3.3 利用两个重要极限公式求极限两个重要极限公式[2]：（A ）1sin lim0=→x x x (B)e xx x =+∞→)11(lim但我们经常使用的是它们的变形：1)()(sin lim)'(0)(=→x x A x ϕϕϕ e x B x x =+∞→)()())(11(lim )'(ϕϕϕ例3.7 求极限20cos 1limxxx -→ 解： 20cos 1lim x x x -→=21)22sin(21lim 20=→x xx 例3.8 求极限xx x 10)21(lim +→解： xx x 10)21(lim +→=22210)21(lim e x xx =+⋅→3.4 利用洛必达法则求极限型不定式极限定理：若函数f 和g 满足：（1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；（2）在点0x 的某空心邻域)(00x U 两者都可导，且0)('≠x g ；（3）A x g x f x x =→)(')('lim（A 可为实数，也可为∞±或∞），则 A x g x f x g x f x x x x ==→→)(')('lim )()(lim00∞∞型不定式极限定理：若函数f 和g 满足：（1）∞==++→→)(lim )(lim 0x g x f x x x x ；（2）在点0x 的某右空心邻域)(00x U +两者都可导，且0)('≠x g ；（3）A x g x f x x =→)(')('lim（A 可为实数，也可为∞±或∞），则 A x g x f x g x f x x x x ==++→→)(')('lim )()(lim 00不定式极限还有∞-∞∞∞⋅∞,,0,1,000等类型，经过简单变换，它们一般均可化为00型或∞∞型的极限. 例3.9 求极限x x x +→0lim解：由对数恒等式可得x x x e x ln =xx x +→0lim =xx x eln lim 0+→01ln lim ln lim 0==++→→xxx x x x 1lim 00==∴+→e x x x例3.10 求极限02cos 4sin 2lim2sin x x x x x→---解：02cos 4sin 2lim 2sin x x x x x →---=02sin 4cos lim 2cos x x xx →---=-43.5 利用函数连续性求极限（1）若)(x f 在0x x =处连续，则)()(lim 00x f x f x x =→（2）若)]([x f ϕ是复合函数，又a x x x =→)(lim 0ϕ且)(u f 在a u =处连续，则)()](lim [)]([lim 0a f x f x f x x x x ==→→ϕϕ这种方法适用于求复合函数的极限.如果)(x g u =在点0x 连续00)(u x g =，而)(u f y =在点0u 连续，那么复合函数)]([x g f y =在点0x 连续.即)]([)](lim [)]([lim 00x g f x g f x g f x x x x ==→→.例3.10 求极限x x x)11ln(lim +∞→解：令u y ln =，x xu )11(+=因为u ln 在点e x u x x =+=∞→)11(lim 0处连续所以x x x )11ln(lim +∞→=])11(lim ln[x x x+∞→=1ln =e3.6 通过等式变形化为已知极限要点：当极限不宜直接求出时，可考虑将求极限的变量作适当的等式变形，得到已知极限的新变量.例3.11 求极限1lim++++∞→x xx x x解： 1lim++++∞→x xx x x =xx x xx 11111lim 73++++∞→=03.7 利用换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求.例3.12 求极限xx x x x ln 1lim 1-→解：令1-=x x t ，则)1ln(ln +=t x xx x x x x ln 1lim 1-→=111lim )1ln(lim 00=+=+→→t tt t t t3.8 利用自然对数法求极限自然对数法：把形如)()(x g x f 通过恒等变形写成)(ln )(x f x g 的形式,改为求0或∞∞不定式的极限. 例3.13 求极限xx x x cos 110)sin (lim -→解：用自然对数法，令y=xxx cos 11)sin (- 取自然对数得xxx y sin lncos 11ln -=2sin ln limsin ln cos 11lim200x x xxxx x x →→=- =x x xx x x x x 20sin cos sin lim -⋅→ =3020sin cos lim sin sin cos lim x xx x x x x x x x x -=-→→=313sin lim 20-=-→x x x x31cos 110)sin (lim --→=∴e xx xx3.9 利用因式分解法求极限要点：如果可以通过因式分解将变量化简或转化为已知的极限，即可利用此方法求变量极限.例3.14 就极限2sin 3sin 1sin 3sin 4lim 222+---→x x x x x π解： 222224sin 3sin 1limsin 3sin 2(4sin 1)(sin 1)lim(sin 2)(sin 1)4sin 1lim5sin 2x x x x x x x x x x x x x πππ→→→---++-=--+==--=3.10 利用等价无穷小量求极限当0→x 时，下列函数都是无穷小（极限为0）且相互等价，x x sin ~，x x arcsin ~，x x tan ~，x x arctan ~，1~-x e x ，)1ln(~x x +，a x a x ln ~1-，x x αα~1)1(-+设函数h g f ,,在)(00x U 有定义，且有)(~)(x g x f )(0x x →.(1)若A x h x f x x =→)()(lim 0，则A x h x g x x =→)()(lim 0(2)若B x f x h x x =→)()(lim，则B x g x h x x =→)()(lim 0注：在用等价无穷小求极限过程，不是乘除的情况，不一定能这样做.例3.15 求极限3340)2(sin lim x x x x +→解： 3340)2(sin lim x x x x +→=88lim )2(lim 33403340=+=+→→x x x x x x x x 例3.16 x →α的值，使0x →时为同阶无穷小量解：1sin cos x x⋅～x ()0x →所以，0lim1x x→=，故当α=1时x α当0x →时为同阶无穷小量3.11 利用积分中值定理求极限一般根据积分第一中值定理[4]：若f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ将某些含有积分的变量化为一般形式再求极限. 例3.17 求极限⎰+→103011lim dx x εε]3[ 解：由积分中值定理⎰+10311dx x ε=113+εα， )10(<<α，111lim 11lim 301030=+=+→→⎰εαεεεdx x3.12利用定积分求和式的极限利用定积分和式求极限时首先选好恰当的可积函数)(x f ，把所求极限的和式表示成)(x f 在某区间],[b a 上的等分的积分和式的极限[5].例3.18 求极限)12111(lim nn n n n ++++++∞→解： n n n n ++++++12111 =]11211111[1nn n n n ++++++ =∑=⋅+nk n nk 1111○1 令)(x f =10,11≤≤+x x，则由定积分定义知 ⎰∑=∞→⋅+=+101111lim 11nk n n nk dx x ○2 又⎰=+102ln 11dx x○3 由○1，○2，○3得)12111(lim nn n n n ++++++∞→ =2ln3.13 利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n n u 收敛，则)(0∞→→n u n ，运用这个方法首先判定级数∑∞=1n n u 收敛，然后得出它的通项极限[6].例3.19 求极限2)!(lim n n nn ∞→解：设2)!(n n a nn = 则n n n nn n n n n n a a 2211)!(])!1[()1(lim lim ⋅++=+∞→+∞→ =n n nn )11(11lim+⋅+∞→=0<1由比值判别法知∑∞=1n n a 收敛由必要条件知2)!(lim n n nn ∞→=03.14 利用泰勒公式求极限泰勒公式是一大难点，在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式[7].实际上，泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用. 泰勒定理[8]：若)(x f 在0=x 点有直到1+n 阶连续导数，那么)(!)0(!2)0('')0(')0()(2x R x n f x f x f f x f n n n +++++=1)1()!1()()(+++=n n n x n f x R ξ （其中ξ在0与1之间）例3.20 求极限4202cos limx e x x x -→-解：泰勒展开式)(!4!21cos 442x O x x x ++-= )()2(!21)2(1422222x O x x ex +-+-+=-于是)(121cos 4422x O x ex x +-=--所以4202cos limx e x x x -→-=121)(121lim444-=+-→x x O x x3.15 利用压缩定理定理3.15（压缩定理）：1 对于任意数列{}n x 而言，若存在常数r ，使得n N ∀∈，恒有11n n n n x x r x x +--≤-，01r <<，则数列{}n x 收敛2 特别，若数列{}n x 利用递推公式给出：1()(1,2,3)n n x f x n +==⋅⋅⋅，其中f 为某一可微函数，且r R ∃∈，使得 '()1()f x r x R ≤<∀∈，则{}n x 收敛。

极限思想及其在数学中的应用

极限思想及其在数学中的应用摘要：高等数学中极限教学作为重要内容，是高等数学计算分析的基础，也是高等数学问题分析的难题，极限的基本思考都是围绕高等数学计算分析开展的，高等数学中微积分、级数等基础概念和思想都是基于极限思想提出的，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。

许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。

本文首先阐述极限的定义；接着从数列极限和函数极限两方面分析极限的求解方法；最后指出极限的应用状况，通过这些应用使我们对极限有一个更系统立体的了解。

关键词：极限；求解方法；应用状况Limit thought and its application inmathematicsAbstract：Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analysis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because the concept of the limit is abstract and computationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we have a more systematic understanding of the limit.Key words:limit; Solution method; Application status目录一、引言 (1)（一）选题背景 (1)（二）研究目的和意义 (1)二、极限的概念 (1)（一）数列极限的定义 (1)（二）函数极限的定义 (2)1 一元函数极限的定义 (2)2 多元函数极限的定义 (3)三、极限的求法 (3)（一）数列极限的求法 (3)1 极限定义求法 (3)2 极限运算法则法 (6)3 夹逼准则求法 (6)4 单调有界定理求法 (7)5 定积分定义法 (8)6 级数法 (8)（二）函数极限的求法 (9)1 一元函数极限的求解方法 (9)2 多元函数极限的求解方法 (15)四、极限的应用 (18)（一）在计算面积中的应用 (18)（二）在求方程数值解中的应用 (18)五、结论 (20)致谢 (22)一、引言（一）选题背景随着对变量间函数关系的不断深化，微积分由此产生。

极限思想及其在数学中的应用-精选教育文档

极限思想及其在数学中的应用Limit Idea and its Application in MathematicsLI Meihua（South China Business College ， Guangdong Universityof Foreign Studies ， Guangzhou， Guangdong 510545 ） Limit is an important concept in advanced mathematics. This article summarizes the development history of thelimiidea ， and analyzes the application of the limit idea tin mathematics ， especially in differential and integralcalculus ， finally ， highlights its position as amethodological significance to solve practical problems.1极限思想的由来及其发展极限思想来源于生产生活实践，为求某些实际问题的精确解答而产生。

古希腊的安提芬（antiphon 480-403BC）采用“化圆为方”提出了用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的方法，数学家欧多克斯（ Eudoxus of Cnidus ， 408-355 BC ）发展了穷竭法，认为“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”，即量是无限可分的，阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积问题中。

中国古代刘徽的“割圆术”认为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，并由此得到“徽率” 3.1416 。

这正是极限思想的萌芽状态。

关于数学思想的论文

关于数学思想的论文数学思想方法产生于数学认知活动，又反回来对数学认知活动起重要指导作用，它是数学知识的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁。

在数学认知结构中，数学思想方法和科学的思维方法起着决定战略方向的作用。

下文是店铺为大家搜集整理的关于数学思想的论文的内容，欢迎大家阅读参考!关于数学思想的论文篇1试谈小学数学的数学思想数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。

通常混称为“数学思想方法”。

而小学数学教材是数学教学的显性知识系统，看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。

而数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。

数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征。

它揭示了数学发展中普遍的规律，对数学的发展起着指引方向的作用，它直接支配着数学的实践活动，是数学的灵魂。

而数学方法则体现了数学思想，在自然辩证法一书的导言中，恩格斯叙述了笛卡儿制定了解析几何，耐普尔制定了对数，来布尼茨和牛顿制定了微积分后指出：“最重要的数学方法基本上被确定了”，对数学而言，可以说最重要的数学思想也基本上被确定了。

一、方程和函数思想在已知数与未知数之间建立一个等式，把生活语言“翻译”成代数语言的过程就是方程思想。

笛卡儿曾设想将所有的问题归为数学问题，再把数学问题转化成方程问题，即通过问题中的已知量和未知量之间的数学关系，运用数学的符号语言转化为方程(组)，这就是方程思想的由来。

在小学阶段，学生在解应用题时仍停留在小学算术的方法上，一时还不能接受方程思想，因为在算求解题时，只允许具体的已知数参加运算，算术的结果就是要求未知数的解，在算术解题过程中最大的弱点是未知数不允许作为运算对象，这也是算术的致命伤。

而在代数中未知数和已知数一样有权参加运算，用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边，而是和已知数一样，接受和执行各种运算，可以从等式的一边移到另一边，使已知与未知之间的数学关系十分清晰，在小学中高年级数学教学中，若不渗透这种方程思想，学生的数学水平就很难提高。

2021微积分教学中极限思想的内涵与价值范文1

2021微积分教学中极限思想的内涵与价值范文摘要：　极限思想渗透于微积分各个环节之中,是微积分理论形成的重要基础。

因此,微积分的教学必然要在学生充分理解极限思想的基础上进行,教师要擅于利用极限思想帮助学生理解微积分的相关理论知识。

本文主要介绍了极限思想的具体内涵、经典数学概念中蕴含的极限思想等,进一步阐述了极限思想的重要价值,希望能引起教师的重视,用好这个工具,为学生实现数学能力的提升打牢思想根基。

关键词：　极限思想;微积分教学; 经典概念; 微积分以函数为研究对象,主要介绍微分和积分的概念、计算方法以及导数和微分的应用等。

而这些内容都是建立在极限概念基础上的,没有极限思想做铺垫,就不会有整个微积分大厦。

为了进一步体现极限思想的重要意义,本文介绍了极限思想的具体内涵、经典概念蕴含的思想方法,还从三个层面分析了极限思想的价值体现,希望对明确极限思想的重要意义有所帮助。

1、极限思想的内涵在近代,极限思想应运而生,在一定程度上,它是历史发展的必然产物。

作为一种分析问题、解决问题的思想方法,极限思想主要被用来求未知量的精确值问题。

先确定未知量的近似值,且该近似值是一连串越来越准确的近似值,它最终无限趋近于一个确定的值,这个精确值就是所要求的值[1]。

它反映的是一个变量和另一个常量之间的无限接近的过程,在一定程度上揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,同时也是唯物辩证法在数学学科中的体现。

2、经典概念中蕴含的极限思想微积分学包括微分学和积分学,概括说来,微分就是无限地细分,积分就是无限地累加求和。

其中“无限”就是极限思想的体现,具体到知识点,函数连续性、导数和定积分等概念都是借助极限思想来定义的。

2.1、连续概念中渗透的极限思想自然界中有许多反映“连续”的现象,表现在函数关系上就是函数的连续性。

简单地说,如果一个函数图象可以一笔画出来,整个过程不用抬笔,那么这个函数就是连续的。

可是数学上如何来定义呢?无论从连续函数图象的特征还是从函数连续的本质出发都离不开极限思想这个工具。

浅析极限存在的条件及其应用毕业论文

引言在数学分析中,极限思想可以有效的处理各种复杂的数学问题，并能够准确、简便的得到结果，在极限的概念下，许多问题可以在无限的情况下得以解决，并且这个概念贯穿始终。

极限的概念在数学分析解题中起重要的作用。

然而很好的判别极限的存在，知道极限存在的条件，是讨论极限的最基本方法，首先我们要从这个概念出发，展开讨论。

一极限的定义数列极限的定义在文献[1]中对数列以及函数的极限的定义做了如下叙述：定义1 设}{n a 为数列,a 对0>∀ε（不论ε多么小）,总∃0>N ，使得当N n >时都有ε<-a a n 成立，则称数列{n a }收敛于a ,定数a 为数列}{n a 的极限,并记作a a n n =∞→lim ，或a a n →（∞→n ）.在数列的极限定义中,我们应该注意以下几点:1、ε的任意性——衡量数列通项n a 与定数a 的接近程度的,除要求为正以外,无任何限制.然而,尽管ε具有任意性，但一经给出，就应视为不变.（另外，根据ε具有的任意性， 2,2,2εεε等也具有任意性，它们也可代替ε）.2、 N 是随ε的变小而变大的，是ε的函数，即N 是依赖于ε的.在解题中，N 等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N ，使得当N n >时，有ε<-a a n 就行了，而不必求最小的N .3、“当n N >时，有ε<-a a n ” 的几何意义，（数形结合的思想方法）可知：ε<-a a n n n a a a a a εεεε⇔-<-<⇔-<<+故“当n N >时，有ε<-a a n ”的几何意义是：当n N >时，也就是数列{}n a 的所有下标大于N 的项都落在邻域(;)U a ε内，即区间(;)a a εε-+内，而在邻域(;)U a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有N 项（有限项），如下图所示:由ε的任意性,即区间(;)a a εε-+的长度2ε可以任意小，但总存在N ，使得当n N >时，数列{}n a 中所有项都落在此区间，这就是“数列的项n a 无限地趋近于某一个常数a ”的意义.由上面的分析,我们可以看出,对于任意的0ε>,落在邻域(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个,设这个有限项的最大下标为N ,则当n N >时有(;)n a U a ε∈,即当n N >时有ε<-a a n .成立时得到数列极限的另一等价的定义:任给的0ε>,若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项至多只有有限个,则称数列{}n a 收敛于极限a .一元函数极限的定义在文献[1]中函数极限的几类定义如下: 一、 x 趋于∞时函数的极限定义1.1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A ε∀0>，∃正数()M a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限,记作A x f x =+∞→)(lim 或()()f x A x →→+∞定义 1.1.2.1' 设f 是定义在()U -∞(即(,]b -∞)上的函数,A 为定数.若对ε∀0>,∃正数()M M b -≤,使得当x M <-时有()f x A ε-<则称f 当x 趋于-∞时以A 为极限,记作A x f x =-∞→)(lim 或()()f x A x →→-∞二、 x 趋于0x 时函数的极限定义.2 (函数极限的εδ-定义) 设函数f 在点0x 的某空心邻域00(;)U x δ内有定义,A 为定数. 若对ε∀0>， δ∃0> (δ>δ')，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0或0.()()f x A x x →→三、单侧极限定义.3 设函数f 在0U +''000(;)(;)x x x δδ=+（或0U -''000(;)(;)x x x δδ=-)内有定义,A 为定数.若对ε∀0>，δ∃0> ('δδ<），使得当00x x x δ<<+ (或00x x x δ-<<)时有()f x A ε-<则称数A 为函数f 当x 趋于0x + (或0x -）时的右(左）极限,记作A x f x x =+→)(lim 0（A x f x x =-→)(lim 0）或 (0()()f x A x x +→→0()()f x A x x -→→)右极限与左极限统称为单侧极限.常把f 在点0x 的右、左极限记作0(0)f x +、0(0)f x -.即0(0)f x += )(lim 0x f x x +→，0(0)f x -= )(lim 0x f x x -→. 在以上定义叙述中,利用在一点的极限与单侧极限,有如下判断极限的存在条件,)(lim )(lim 0a x f a x f x x x x =⇔=+→→a x f x x =-→)(lim 0. 以上的定义叙述我们知道,它们都可以成为极限存在的条件来解决极限的相关问题.下面简单介绍二元函数的极限.二元函数极限的定义与一元函数一样,我们研究二元函数的存在条件,首先也要从极限定义入手,在动点趋近于某定点时的极限情况;对一元函数)(x f y =而言,考虑函数在0x 点的变化趋势时，只是在数轴上考虑自变量从 x 左右两边的趋近情形,而对二元函数),(y x f z =来说,由于定义域是平面点集,所以考虑动点),(y x P 变化趋势时,就要在区域上考虑,如趋近于定点),( y x P 时,方式可以多种多样,故此研究要复杂得多,这也是与一元函数.定义1.1 设二元函数),(y x f z =在点集D 上有定义,),( y x P 是平面上一定点（它可以属于,D 也可以不属于D ）,A 是常数,若0 ,0>∃>∀δε,对D y x P ∈∀),(，当δ<<P P 0，（或δ<-+-<22)()(0 y y x x ）时，有ε<-A y x f ),(成立,则称函数),(y x f z =当P 趋于 P 时有极限,并且A 是它的极限值.记为：A y x f y y x x =→→),(lim或 A y x f p p =→),(lim) ,( ),( y y x x A y x f →→→为了区别一元函数与二元函数的极限,我们把二元函数的极限也称为二重极限. 以上给出的定义，均可作为极限存在的条件，一般先讨论并给出数列极根的定义, 在此基础上进一步研究函数的极限问题. 然而在极限的定义中都涉及到具体的极限值, 这为我们研究极限问题带来了一定的局限性, 因为即使数列或者函数的极限存在, 也不是事先可以知道的,进一步我们还将下面将给出判定极限存在条件这些条件使我们判断极限是否存在的方法更加多样化.二极限存在的条件2.1 数列极限的存在条件文献[2]中给出数列极限的存在条件叙述如下：定理在实数系中,有界的单调数列1必有极限.对于此定理的证明在这将不在叙述,给出此定理之后,为以后数列极限存在的证明提供了简便.例1:利用单调有界原理证明下列数列收敛nn n x 21+=证明:由于,021>+=n n n x 而1222212211<++=++=++n n n n x x nn nn ,即数列是递减列,由 10≤<n x ,数列单调有界,因此收敛.设a x n n =∞→lim ,已知2221++=+n n x x n n ,即n n x n n x 2221++=+,两边求极限得: a a 21=得0=a ;所以lim 0n n x →∞=.在我们讨论的有些极限问题中常常需要先判断数列或函数的收敛性,,再求解其极限,也可以从数列或函数自身出发,寻求其收敛的条件.对数列而言,有著名的柯西收敛准则:定理数列}{n a 收敛的充要条件是:对ε∀＞0, ∃0>N ,使得当N m n >,时,有ε<-m n a a .此定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题,把这个条件也叫做柯西条件. 实际上, 这正是收敛数列的本质特性所在. 原理中完全抛开了具体的极限值, 而直接通过数列本身判断其收敛性, 并且给出的是一个充分必要条件, 因此柯西收敛原理在极限理论中占有十分重要的.例2：利用柯西收敛准则证明下列数列收敛n n nx 2sin 22sin 21sin 2+++= 证明：0>∀ε，解不等式1单调数列:若数列}{n a 的各项满足关系式)(11++≥≤n n n n a a a a 则称为}{n a 递增(递减)数列,递增数列和递减数列统称为单调数列ε<<--=+++≤++++++≤++++++=-+++++++++++n p n p n n n pn n n pn n n n p n p n n n p n n n x x 21211)211(21212121|2)sin(||2)2sin(||2)1sin(||2)sin(2)2sin(2)1sin(|||1212121 得 2ln 1lnε>n即存在自然数2ln 1ln ε≥N ,N p ∈∀,有ε<-+||nP n x x 。

以极限为话题的议论文（精选32篇）

以极限为话题的议论文以极限为话题的议论文（精选32篇）相信大家都尝试过写作文吧，特别是议论文，议论文是对某个问题或某件事进行分析、评论，表达自己的观点和主张的文章体裁。

我们应该怎么写这类型的作文呢？下面是小编收集整理的以极限为话题的议论文，欢迎大家分享。

以极限为话题的议论文篇1一位学者曾这样概括人生的三种境界：昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路、衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴、众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。

人们都希望能到达人生的最高境界，即这第三境界，体味那战胜自我，超越极限后一览众山小的胜利感，然而在这自我提炼、自我实现的过程中，许多优秀的品质都是不可或缺的。

要战胜自我，超越极限，首先要有坚定的信念。

坚定的信念是一个人取得成功的先决条件，伟大着作《史记》的创作者司马迁，曾饱受牢狱之灾，但他立志要通古仿之变，成一家之言，终于达成心愿，孙子膑脚，《兵法》修列；不韦迁蜀，世传《吕览》；韩非囚秦，《说难》、《孤愤》，这些例子无一不说明了坚定的信念对成功的重要。

外国也不乏这样的例子，在无产阶级饱受资产阶级剥削与压迫之时，马克思、恩格斯凭着对共产主义无比坚定的信念，完成了《资本论》一书，为人类社会的进步指出了一条光明的大道。

战胜自我，超越极限，还要有过人的勇气，首先从动物界来看，见过蝉蜕壳的人都知道，要破茧新生，关键在于震裂蝉壳时使出了多大的力气，倘若力气不够或半途而废，蝉最终会窒息而死。

动物界沿尚且有这样的规律，何况于人哥白尼提出日心说之时，正值教皇统治无比黑暗的时候，他不畏惧教皇势力对他的残酷打击，坚持扞卫自己的观点，为人类科学的进步作出了卓越的贡献。

战胜自我，超越极限，还要有足够的智慧。

要取得成功，一味只知蛮干的莽夫显然是不行的，他们只会遗留在历史冰冷的笑声里，如堂吉诃德大战风车一样毫无意义。

看过《飘》的人应该对其中描写荞麦的一段话记忆犹新：我们不要做小麦，而要做荞麦，小麦在大风过后会被刮断，而荞麦不同，它的体内有足够的水分，在大风吹来之时，能柔韧地弯腰，大风过后，仍能立起，昂起头茂密茁壮地生长。

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极限思想数学论文2200字_极限思想数学毕业论文范文模板
极限思想数学论文2200字(一)：极限思想在数学解题中的运用论文
摘要：极限思想是近代数学的重要思想，是一种利用极限的概念去分析问题
和解决问题的思想方法。

对于某些数学问题，能够灵活运用极限思想往往能够化
繁为简，事半功倍。

本文通过类比的方法来探究利用极限思想的方法与常规的解
题方法之间的区别，然后分别举例来说明在解决函数、数列、不等式的问题时，
利用极限思想的解法的优势所在。

关键词：极限思想；函数；数列；不等式
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用
极限思想解决问题的一般步骤可以概括为：首先，对于被考察的未知量，设法构
造一个与它相关的变量；然后，确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未
知量；最后，用极限计算来得到这个结果。

极限思想是近代数学的一种重要思想，其由来可以追溯到古代，例如魏晋时
期数学家刘徽的“割圆术”，其实就可以看作是一种比较原始的极限思想。

而随
着微积分的诞生，极限思想也得到了进一步的发展和完善。

极限思想作为微积分
的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分
等等都是借助于极限来定义的。

可以说，数学分析就是以极限概念为重要基础，以极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。

除此之外，极限思想在解决一些抽象、复杂或是计算量大的问题时有着出色的表现，往往在常规的解法山穷水尽之时，利用极限的思想方法柳暗花明。

一、极限思想在函数中的应用
1.利用极限思想巧解函数图像问题
根据所给函数的解析式找出对应的函数图像是高考数学中的一类常见问题，一般的常规解法是研究函数的零点，通过解方程或是画出函数图像找出交点的个数，进而得到函数的零点个数，最后结合所给图像得出正确答案。

而如果利用极限思想来解决这类问题，往往可以事半功倍。

例1函数y=2x-x2的图像大致是()
pagenumber_ebook=299，pagenumber_book=292
常规解法：首先，研究函数的零点。

在同一平面直角坐标系中，分别画出y= 2x和y=x2两个函数的图像，观察到与x的交点有3个，故排除B、C；本题的难点在于A、D两个选项的对比，都是与x轴有3个交点，此时，可以解方程2x =x2，得到2个解x=2和x=4，结合所给图像，可以排除D。

故本题选择A。

利用极限思想的解法：只需要考虑当pagenumber_ebook=299，pagenu mber_book=292两种情况即可。

首先，当pagenumber_ebook=299，page number_book=292时，y的取值应该是先变小后变大，趋近于pagenumber_ ebook=299，pagenumber_book=292，故可以排除C；又因为当x=3时，y 的值是小于0的，所以排除B；然后，考虑到当pagenumber_ebook=299，pa genumber_book=292时，pagenumber_ebook=299，pagenumber_book =292，故选择A。

这样，就巧妙地避开了本题的难点，直接得出正确答案。

2.利用极限思想巧解函数中的未知参数取值范围问题
在研究未知参数取值范围的问题时，利用极限思想相比于常规解法更是有着明显的优势。

例2已知函数pagenumber_ebook=299，pagenumber_book=292取值范围是()
pagenumber_ebook=299，pagenumber_book=292
常规解法：主要是应用对数函数的性质以及基本不等式来解决本题；
解：设函数pagenumber_ebook=299，pagenumber_book=292单调递增
pagenumber_ebook=299，pagenumber_book=292
即a+2b>3，故本题选择C.
利用极限思想的解法：易做出函数f(x)的图像，由f(a)=f(b)，作一条平行于x 轴的直线与函数f(x)的图像相交，可以得到两个交点的横坐标即为a、b且0＜a ＜b。

当这条直线无限的趋近于x轴时，且pagenumber_ebook=299，pagen umber_book=292，此时pagenumber_ebook=299，pagenumber_book=2 92；当这条直线无限的远离x轴时，pagenumber_ebook=299，pagenumber _book=292，pagenumber_ebook=299，pagenumber_book=292，此时pa genumber_ebook=299，pagenumber_book=292。

所以pagenumber_ebo ok=299，pagenumber_book=292，故本题选择C。

二、结语
本文主要讨论了极限思想在不同情况下解题的应用，有常规的解法也有利用极限思想的解法，而利用极限思想从而实现解题的途径，常常能够简化我们的计算步骤，在一定意义上也体现了"量变到质变"的过程，教师们在课堂中多多引导学生使用极限思想的方法解题，有助于培养学生的发散性思维能力，同时开阔学生的眼界，足以说明极限思想在数学解题中的重要性。

极限思想数学毕业论文范文模板(二)：以极限思想为例谈数学思想的有效渗透论文
曾有教育家说过，当学生忘掉了所有的知识，剩下的就是思想精华。

具体到小学数学教育，当学生忘光了所有的公式定理，剩下的就是一些活动经验和思维习惯。

数学思想应具备两个基本条件：一是数学知识产生时的思想理论根基，二是学习者自己的一套心得体会。

如转化思想、符号化思想、分类讨论思想、集合思想等，都属于催生一切数学知识的基本理论纲领。

基本思想是隐伏的，难以捕捉和提炼。

为此，笔者参阅了大量资料，经过反复斟酌，发现研读教材、挖掘内涵、随机渗透是传授基本数学思想的必经之道。

本文以“极限思想”为例展开讨论。

一、罗列极限思想的现实材料
通过分析对比各册教材对极限思想这一章的处理安排，就会发现，编者的思路是由易至难、循序渐进的。

之所以这样安排，是为了遵循小学生的发展规律。

对于学生而言，只要严格站在原有的知识起点上，在贴切的现实情境中进行学习，是可以形成健全的极限思想的。

正是由于有了那么多极限案例打底，学生才可能从纷杂的思维模式中提炼出极限思想。

于是，教学过程中，我们应利用好这些生动的极限案例，帮助学生实现从抽象的“无限”演化到具体的“极限”。

比如，小学数学六年级上册的“圆的面积”，就是渗透极限思想的好课例。

它是促使学生思想从“无限”演变为“极限”的重要一环，也是体现极限思想真实存在且切实可用的生动案例。

通过动画演示，深刻理解了“把圆分得份数越多，每份就越小，拼出的图形就会无限接近
一个长方形”。

进而推导出圆形的面积公式。

从中提炼极限思想，积累极限思维的经验。

二、体会极限思想的转折点
如果说，学生在推导圆形面积公式时感受了极限思想，那么，“数与形”中例2的学习，则是深入埋设极限思想的又一袭重磅炸弹。

教材以“计算pagenu mber_ebook=59，pagenumber_book=58pagenumber_ebook=59，pagen umber_book=58为例，让学生通过观察、分析、推理出“和为1”。

分析教材我们发现，编者照旧是运用循序渐进的编写模式，延长体验过程：化难为易，在有限的简易数字中摸索基本规律——借助数形结合，感受“随着加数不断增多，计算结果代表的图形面积无限趋近于1，直至为1”——推论出“和为1”。

实践表明，学生从接受相信“无限趋近于1”到接受“就是完完全全等于1”是有难度的，是需要突破一些障碍的，甚至有些学生觉得这难以置信，不可思议。

但换个角度来看，思维的跨越和转化提升，其实就是“无限”到“极限”的丰富过程和完善过程。

为帮助学生顺利实现思维的飞跃，教材巧妙利用了数形结合思想，除了“圆形图”还有“线段图”。

这样双管齐下，双向用力，正是为了形成数与形的合力，突破“思想增长”的难点。

教学时，我们应充分领会编排意图，在学生思维困顿时加以提点，为学生实现数学思想的跨越式发展提供了跳板。

三、冲出极限思想的突破口
学生学习极限思想，之所以困难重重，是由其高度的抽象性决定的。

因此，作为教师，不仅要在课前对课本多下工夫，充分挖掘数学思想，在教学中还应敏锐捕捉渗透数学思想的契机，让学生在有限的数学课堂体量中学习到更多的极限思想。

例如，前文提到的“数与形”教学中，借助图形揭示出“计算结果等于1”后，笔者灵机一动，临时布置了一个活动：让学生截取一根麻绳的（即单位“1”）的pagenumber_ebook=59，pagenumber_book=58…切身感受“不断取下去，剩下的会越来越少，直到无法再操作，就可以等同于截取了全部”。

在渗透数学思想的过程中，让学生放慢节奏，停止混乱的思维，动手试一试，反复对比思考，无疑比“针对一题说事”更有趣。

另外，教师及时归纳小结，也能帮助学生“消化吸收”极限思想。

学完全课后，老师可以总结：“今天的学习无非就是和无穷多打交道，其实就是不断地分下去。

分成无数个、无数份，直到逼近一个可靠的具有说服力的恒定结果，这就是极限思想。

”
数学思想是智慧的结晶，不能灌输，只能领悟。

作为教师，应挖掘出蕴藏在教材背后的数学思想，并合理组织课堂，为学生感知、体会、认同数学思想护航。