极限思想的产生及发展
数学极限发展史
数学极限发展史
数学极限的概念最早可以追溯到古希腊时期。
在公元前5世纪的希腊，柏拉图学派和亚里士多德学派的数学家们就开始研究运动和变化的概念，其中就包括了极限的思想。
然而，直到17世纪的数学家纳皮尔和菲利波特发展了微积分的基本原理后，对极限的研究才得以深入发展。
他们提出了极限的定义和计算方法，并用它来解决各种数学问题。
随着微积分的发展，极限的研究日益细化和扩展。
19世纪的数学家卡尔·魏尔斯特拉斯和奥斯卡·韦伊尔斯特拉斯等人对连续性和收敛性的概念进行了深入的研究和推广，并建立了现代极限理论的基础。
20世纪，随着实分析和复分析等数学分支的发展，对极限的研究进一步深化。
数学家们提出了更加抽象和一般化的极限理论，如测度论和泛函分析等。
目前，极限理论已经成为数学的重要组成部分，被广泛应用于各个数学分支和其他学科。
极限思想
极限思想极限的思想极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
1.极限思想的产生与发展（1）极限思想的由来.与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
?（2）极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
?起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。
极限思想的产生与发展 毕业论文
河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：极限思想的产生与发展学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：学生姓名：学号：指导教师：职称：1、论文（设计）研究目标及主要任务[1] 进行文献检索与收集，填写任务书、撰写文献综述、开题报告，参加开题答辩并获得通过。
[2] 按照指导教师要求，撰写论文写作提纲、初稿、修改稿及定稿，达到本科生毕业论文撰写规范的写作要求；[3] 参加毕业论文答辩并获得通过。
2、论文（设计）的主要内容论文第一部分从历史的角度出发，讲述了极限思想的产生，发展，完善过程，在第一部分结束时给出极限的定义。
第二部分，开始讲述极限思想的应用，主要从极限思想在概念里的渗透，极限在导数中的应用和极限在积分中的应用三个方面来阐述极限思想的应用。
最后一个部分对全文做了简要的总结。
3、论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：图书馆借阅及网上查阅相关资料。
研究路线：首先，以历史为出发点，研究了极限思想在历史发展过程中是如何产生，发展，并且逐渐完善的。
从而得到极限的定义，并从定义出发，具体讨论了如何由极限的思想方法得到连续函数，导数及定积分的概念，由浅入深，进一步讨论如何由已知的运动规律求速度和如何由已知曲线求它的切线，进而得到极限思想在导数中的应用，不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是特殊形式，从而引出极限思想在积分中的应用。
4、主要参考文献[1]梁宗巨.世界数学通史[M].沈阳:辽宁教育出版社，1996.[2]华东师范大学数学系:数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社.2009.[3]华东师范大学数学系:数学分析[M].高等教育出版社.2007.[4] Finney Weir Giordano.Thomas’CALCULUS.高等教育出版社[M].2004.指导教师: 年月日教研室主任: 年月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书（附页）课题论证：高等数学的基础是微积分，在学习微积分时接触的第一个重要定义就是极限，极限思想是微积分的基本思想，在数学分析中，连续函数，导数，定积分等重要定义都是用极限来定义的，极限运算是微积分的运算基础。
极限思想的产生与发展
极限思想的产生与发展内容摘要：极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，合理应用极限思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究。
关键词：极限思想产生发展概念目录第一章极限思想的产生与发展 (1)1.1极限思想的产生 (1)1.2极限思想的发展 (1)1.3极限思想的完善 (4)1.4 极限的概念 (4)1.5极限思想的思维功能 (5)结论 (19)参考文献 ................................................. 致谢 (21)极限思想的产生与发展1、极限思想的产生极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。
是人在探索改造自然过程中逐渐形成的一新的思想方法。
极限的思想可以追溯到古代，在《庄子·天下篇》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。
这样一直进行下去,留下来的木棒越来越短,可以再分的部分越来越小,一直到无穷小不可以再切割,但永远不会消失。
公元前5世纪，有关无穷小的概念就已经作为希腊人关于什么是世界的设想而进入了数学思潮，而希腊数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：“在小的当中不存在最小的，但总有更小的”。
对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无限的恐惧，而是借助于其它的方法来完成有关的证明。
刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的。
极限
极限一、前言1、数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。
”2、极限思想的历史源远流长，一直可以上溯到2000多年前。
二、发展过程1、萌芽阶段（1）概观：1）人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够对极限思想得出一个抽象的、精准的概念。
2）也就是说，这时的极限思想建立在一种直观的原始基础上（物理直观），还是一种模糊的概念，没有上升到理论层面，人们还不能够系统而清晰地利用极限思想解释现实问题。
（2）代表人物：极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。
（3）历程：1）提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。
阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下：“阿基里斯（希腊的神学太保，以跑步快而闻名）不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。
然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。
从概念上，面临这样一个倒退，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的。
”就是这样一个从直觉与现实两个角度都不可能的问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着微积分的发展，极限的概念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成的困惑才得以解除。
2）无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。
”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。
这更是从直观上体现了极限思想。
我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。
所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的边数n一倍一倍地增多，多边形的面积An就越来越接近于圆的面积πR2。
极限思想的产生与发展
毕业论文题目极限思想的产生与发展专业数学教育院系数学系学号 131002145姓名指导教师二○一三年五月定西师范高等专科学校2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：目录内容摘要：................................................................................................................................... (4)关键词： (4)引言： (5)一、极限思想的产生 (6)二、极限思想发展的分期 (6)（一）极限思想的萌芽时期 (6)（二）极限思想的发展时期 (8)（三）极限思想的完善时期 (8)三、极限思想与微积分 (9)（一）微积分的孕育 (10)（二）牛顿与微积分 (11)（三）莱布尼茨与微积分 (12)（四）微积分的进一步发展 (13)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (15)内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。
极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
关键词极限；无穷；微积分引言极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。
极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。
在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。
纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。
而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。
极限的起源 概念
极限的起源概念极限的概念起源于数学领域，它指的是在无限逼近过程中的临界值或极点。
极限的理念最初由古希腊数学家发展而来，如阿基米德、欧几里得和阿波罗尼奥斯等人。
其中，阿基米德对于正实数的数学无穷小概念的运用影响了后来对于极限的发展。
在欧几里得的《几何原本》中，也可见到对无限小数列和连续性的描述。
然而，真正对极限概念进行系统探索和发展的是17世纪的数学家斯帕诺（Johann Spahn），他从无穷数列的观点出发，研究了数列的逼近和趋势，提出了极限这一概念，并进一步发展了在解析几何和微积分中的应用。
随着数学发展的进程，极限的概念逐渐被引入到函数的研究中。
17世纪末至18世纪初，牛顿和莱布尼茨分别独立地发展了微积分学，并将极限作为微积分的基本概念之一。
微积分学的推广与应用为解析几何学和物理学的发展奠定了坚实基础。
为了系统地处理极限问题，数学家们提出了一系列与极限相关的数学方法和工具，如极限运算法则、级数展开和泰勒级数等。
这些方法和工具使得极限的概念得到更加深入和广泛的应用，为解决各种数学和科学问题提供了有力工具。
从数学的角度来看，极限是数学的一项基本概念，它运用于数学的各个分支，如数列极限、函数极限和无穷级数等。
极限的概念不仅在纯粹数学中具有重要意义，也在应用数学和其他学科中发挥着重要作用。
除了数学，极限的思想也渗透到其他学科领域。
在物理学中，极限概念被广泛应用于描述物理量的变化和趋势，如速度的极限、能量的极限等。
在工程学中，极限分析方法被用于结构和材料的设计与评估。
在经济学和社会科学领域，极限概念用于描述市场的饱和度和消费者的需求弹性等。
总结起来，极限的概念起源于数学，但其理念和方法已经渗透到许多学科领域。
它不仅是数学研究的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过对极限概念的深入研究和应用，我们可以更好地理解事物的发展和变化规律，为科学研究和工程实践提供理论支持和指导。
极限发展史
2.1 最早的极限思想公元前770——前221年，在《庄子》“天下篇”中记录：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这句话的意思是:有一根一尺长的木棍，如果一个人每天取它剩下的一半，那么他永远也取不完。
庄子这句话充分体现出了古人对极限的一种思考，也形象的描述出了“无穷小量”的实际范例。
迄今为止，微积分中也常常用这个例子来进行教学的导入。
2.2极限的早期使用公元前3世纪，古希腊数学家安提丰（antiphon,约公元前430年）提出了“穷截法”，即在求解圆面积时提出用成倍扩大圆内接正多边形边数，通过求正多边形的面积来近似代替圆的面积。
但安提丰的做法却让许多的希腊数学家产生了“有关无限的困惑”，因为在当时谁也不能保证无限扩大的正多边形能与圆周重合。
通过多边形边数的加倍来产生无限接近的过程，从而出现“差”被“穷竭”的说法虽然不合适，但在现在看来，这个所谓的“差”却构造出了一个“无穷小量”，因此也被认为是人类最早使用极限思想解决数学问题的方法。
在中国公元3世纪，刘徽（约225——295）在《九章算术注》中创立了“割圆术”。
用现代的语言来描述他的方法即是:假设一个圆的半径为一尺，在圆中内接一个正六边形，在此后每次将正多边形的边数增加一倍，从而用勾股定理算出内接的正十二边、二十四边、四十八边等多边形的面积。
这样就会出现一个现象，当边数越多时，这个多边形的面积就越与圆面积接近。
刘徽运用这个相当于极限的思想求出了圆周率，并且由于与现在的极限理论的思想很接近，从而他也被誉为在中国史上第一个将极限思想用于数学计算的的人。
2.3极限定义的产生直到17世纪为止，安提丰制造的“极限恐慌论”都阻挡了极限的发展。
到了17世纪，牛顿（Newton,1642-1727）、莱布尼茨（Leibniz,1646-1716）利用极限的方法创立了微积分，但在那个时候，他们的极限理论还不是十分的严密清楚。
经过十八世纪到十九世纪初，微积分的理论和主要内容基本上已经建立起来了，但几乎它所有的概念都是建立在物理和几何原型上的，带有很大程度上的经验性和直观性。
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毕业论文题目极限思想的产生与发展专业数学教育院系数学系学号 *********姓名指导教师二○一三年五月定西师范高等专科学校2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：目录内容摘要： ............................................................................................................... (4)关键词： (4)引言： (5)一、极限思想的产生 (6)二、极限思想发展的分期 (6)（一）极限思想的萌芽时期 (6)（二）极限思想的发展时期 (8)（三）极限思想的完善时期 (8)三、极限思想与微积分 (9)（一）微积分的孕育 (10)（二）牛顿与微积分 (11)（三）莱布尼茨与微积分 (12)（四）微积分的进一步发展 (13)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (15)内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。
极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
关键词极限；无穷；微积分引言极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。
极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。
在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。
纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。
而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。
从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的。
极限理论是微积分学的基础，极限方法为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想。
极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用。
理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将具有一定的理论意义。
对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力都有极好的促进作用。
一、极限思想的产生限思想的产生和其他科学思想一样，是经过历代古人的思考与实践一步一步渐渐积累起来的，因此它也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊认的穷竭法也蕴含了极限思想，但希腊人对“无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的归谬法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术，代数和初等几何的简单方法来解决的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果”。
两千多年前可以称作是极限思想的萌芽阶段。
其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够系统而清晰的利用极限思想解释现实问题。
极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺、中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。
我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。
”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝竿会越来越短，长度越来越趋于零，但又有缘不会等于零。
这更是从直观上体现了极限思想。
我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。
所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的面积S就越来越接近于圆的面积πR。
在有限次的过程中，用正多边形的面积来逼近圆的面积，只能到达近似的程度。
但可以想象，如果把这个过程无限次的继续下去，就能得到精确的圆面积。
二、极限思想发展的分期（一）极限思想的萌芽时期远在2000多年以前，人们在对无穷的萌芽认识中，极限的思想和方法就不可回避的孕育在其中了。
在我国，著名的《庄子·天下篇》一书中记有：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。
”墨家著作《墨子·经天下》中也有“非半弗，则不动，说在端。
”的论述。
从中可体现出我国早期对物质的无限可分性与连续性已有了相当深刻的认识，虽然这些认识属于哲学，但已反映出极限思想的萌芽。
将无穷思想创造性地运用到数学中的是我国魏晋时期的数学家刘徽。
刘徽在注释《九章算术》中多次用到极限思想处理问题，运用的比较熟练，说明当时他已经对极限思想有了相当深刻的认识。
对极限的观念和方法已经有了直观基础上的运用。
正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率。
到公元五世纪，南北朝时期的大数学家、科学家祖冲之（429—500年）的《缀术》中，同样运用“割圆术”推算出24576边形得到：3.1415926<π<3.1415927。
祖冲之这一成果领先世界近千年。
在国外，古希腊的巧辩学派—几何三大问题。
安提芬在研究画圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积，当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,而布莱森（约公元前450年）则从相反的方向，提出通过圆的外切正多边形的面积来逼近圆的面积的思想。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法—“穷竭法”，这种方法假定量的无限可分性，并且以及下面命题为基础：“如果从任何量中减去一个不小于它的一半部的部分，从剩余部分中再减去不小于它的一半的另一部分，继续下去，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量”。
应用穷竭法，欧多克斯(约公元前400—前347年）正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”。
他的穷竭法也已经体现出了极限论思想。
继欧多克索斯之后，阿基米德使用穷竭法求出了一系列几何图形的面积。
他用足够“内接”和“外切”扇形逼近螺线所围成的平面图形，这和我国的“割圆术”理论大相径庭，实质上是一种极限思想。
阿基米德（Archimedes，公元前287—前212年）生于叙拉古（现意大利西西里岛）。
他才智过人、成果卓著，被誉为古代最伟大的数学家和科学家。
他的传世名著有《圆的测量》、《论球体和圆柱体》、《论劈锥曲面体与球体》、《抛物线弓形求积》、《论螺线》、《砂粒计算》等。
他巧妙地把欧克多索斯与人的穷竭法与德·谟克利特的原子论观点结合起来通过严密的计算，解决了求几何图形的面积、体积、曲线场，计算大量的计算问题。
他突破了传统的有限运算，采用了无限逼近的思想，将需要求积的量分成许多微小单元，再来用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较，他的无穷小概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础。
阿基米德的杰出成就丰富了古代数学内容，其思想的深度和论述的严密性在当时是极为罕见的，因而被人们称为“数学之神”,并与高斯、欧拉和牛顿并称为19世纪以前的“数学四杰”。
由此，我们可以看到数学无穷思想发展之初，古人已经在极限领域开创了光辉的起点。
（二）极限思想的发展时期14世纪末，欧洲开始有了资本主义的萌芽，到15世纪中期，封建制度的解体，欧洲的生产力得到了迅速地发展，开始了“文艺复兴”时代。
由于生产力的发展，也推动了科学技术的进步，当时，围绕着力学为中心，在天文学、物理学、地理学等方面都提出了大量的新问题，对这些问题的探究促进了相关科学的发展。
如哥白尼“日心说”的诞生带来了一场自然科学的革命；由于对天体力学的研究，涌现出了一批科学家，如斯蒂文、伽利略、开普勒等，他们在数学方面也做了大量的研究工作，为微积分的发展奠定了基础，为极限思想和方法的发展及运用带来了机遇。
16世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力得到了极大的发展。
生产力和科学技术中发生了大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、受力做功问题等，初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想，新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动，变化过程的新工具，这极大的促进了极限思想的发展。
众多数学家为解决上述问题做了不懈的努力，如笛卡尔、费马、巴罗、卡瓦列里、沃利斯等，并取得了一定成果，尤其是牛顿和莱布尼茨创立微积分的工作，他们都以不同的角度运用了极限的思想和方法，虽然他们的工作过多的依赖于直观，缺乏严密的逻辑基础，但在他们的努力和成就为极限思想的进一步完善奠定了坚实的基础。
（三）极限思想的完善时期18世纪微积分富有成果然而欠缺严密的基础，因而受到了人们的怀疑和攻击。
英国哲学家大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
正因为当时缺乏严密的极限定义，微积分理论才受到严峻的挑战。
弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身的需要，而且还有着认识论上的重大意义。
柯西的贡献几乎遍及所有数学领域，在他的7本专著和800篇论文中，可以看出他在微积分学、级数理论、微分方程、复变函数论、数论、行列式论、群论等方面都有研究和贡献。
1821年至1826年他的《无穷小计算在几何中的应用》和《无穷小分析讲义》等3部专著给出了分析学的一系列基本理论的严格定义，从而形成了现代微积分体系，他是近代微积分的奠基着。
在复变函数方面，柯西在《关于定积分理论的报告》中，从可交换积分顺序的二重积分着手，导出来积分于路径无关的柯西理论。
他证明了函数()f z 在极点1z 的留数为：1()()2c f z d z iπ⎰（其中c 为包含1z 的圆）。
并且他还证明了：如果曲线C 包围着函数()f z 的一些极点，则()f z 沿曲线C 的积分就是该函数在这些极点上留数之和的2i π倍。
在微积分方程理论中，柯西探讨了微分方程的存在性问题，证明了微分方程在不包含奇点的区域内存在着满足给定条件的解这一事实，从而使微分方程的理论得以进一步深化。
在研究微分方程的解法时，他成功地提出了优势函数法，柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于19世纪70年代各自建立了完整的实数体系。