数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用

数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用分类号O211.4编号毕业论文题目极限思想在中学数学中的应用学院数学与统计学院姓名x x x专业数学与应用数学学号291010133研究类型x x x x x x指导教师x x x提交日期2013-5-10原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。

除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：年月日论文指导教师签名：目录摘要. (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)引言 (Ⅱ)2、极限思想的发展 (2)2.1最早的极限思想 (2)2.2 极限思想的早期应用 (2)3、极限思想在中学数学中的应用 (3)3.1 在运动变化过程中把握极限位置 (3)3.2利用函数图像把握极限位置 (4)3.3极限思想在函数中的渗透 (6)3.4用极限思想解决立体几何中的有关问题 (8)总结 (9)参考文献 (10)极限思想在中学数学中的应用x x（天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，）摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 关键字：极限思想中学数学教学Application of limit thought in mathematics teaching in high schoolWang Hui(School of mathematics and statistics, Tianshui NormalUniversity, Gansu, Tianshui, 741000,)Abstract: the limit is an important content in the middle school mathematics, has important significance to the middle school mathematics learning. According to the current state of the current middle school mathematics teaching practice, introduces the application of historical development and the ultimate limit thought in function, analytic geometry, function image etc, by contrast, highlight the importance of limit thought in middle school mathematics of, not only reduces the difficulty, but also on the development of students' thinking, creative ability also to have the very big help.Keywords: limit thought in mathematics teaching in middle school极限思想在中学数学中的应用引言极限是近代数学中一个重要的概念。

在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么，这个定值就叫做变量的极限。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一个重要概念，函数的连续性、导数以及定积分等等都是依极限来定义的。

而高等数学中的极限思想与我们高中所学到的极限知识有什么联系呢？找到其中的联系能让我们更快地接受和研究极限思想。

极限理论是微积分理论的核心内容，是数学分析的理论基础，在现代数学中着广泛的应用。

极限包括数列极限和函数极限。

当把数列看作一自然数为自变量的函数是，数列极限也被看作函数极限。

现代数学对极限是这样定义的：对任意的ε＞0，总存在N （自然数），使得N 时，n aa ε-<恒成立，称数列{}n a 的极限是啊，记作lim n a a =. 0,ε∀>总存在M>0,使得当,(),x M f x A ε>-<恒成立，则称当x 趋于无穷，函数以A 为极限.0,ε∀>总存在M>0,使得当M x >时，恒成立ε<-A x f )(，则称当X 趋于,∞函数F(x)以A 为极限. 记作lim ()x f x A→∞=0,ε∀>总存在0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<恒成立，则称当0x x →时，函数()f x 以A 为极限，记作lim ()x f x A →∞=. 微积分的创立是世界数学史上最大的事件之一，通常认为是牛顿和布莱尼次创立了微积分，但作为微积分基础的极限论起源可追至我国春秋时期，它的发展经历了漫长的过程，直到十九世纪才的以完善.1、极限思想的发展1.1最早的极限思想与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想在我国很早就产生.早在先秦时期，许多思想家就开始探讨无穷大、无穷小以及无穷分割等问题，战国后期，诸子更是就这些问题展开争鸣.<<秋水>>一文有云：“何以只毫末之足以定细之倪？”<<天下篇>>记载：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一.”着实际上就是数学史上无穷大和无穷小的概念雏形.对于无穷分割有无可能的思考，<<庄子>>提出了一个著名命题：一尺之槌，日取其半，万世不竭.”这个作为无穷分割的经典论断，至今在微积分的教学中还经常使用，今天可抽象成一个无穷数列；1，1/2，1/4……由此可见，这个表达不仅反映了我们祖先的极限思想，还给我们提供了一个无穷小量的实例.由此，把这种无限的思想创造的应用到数学领域，这种无限接近的思想就是后来极限概念的基础.1.2 极限思想的早期应用在我国，将无穷思想创造性的应用到数学中，当属魏晋时期的刘辉.他在注解<<九章算术>>是创立了“割圆术”，即用圆的内切正多边形的面积去无限逼近圆面积的方法.最后的到割之弥细，失之弥少的结论,有了割圆术这样的方法，在利用勾股定理进行严密推算，就得到了圆周率的估计值.在古希腊，“穷竭法”是古希腊人研究数学的一种方法.公元三世纪，安提芬在研究“化圆为方”问题时，提出了使用边数不断增加的圆内切正多边形面积“竭穷”圆面积的思想.后来欧多克斯用竭穷的思想证明了球的体积与直径成正比的结论.之后，竭穷思想一路发展，它所包含的无穷小量的概念被牛顿所引用，成了微积分的基础.这个事实表明，建立极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义.极限思想的完善与微积分的严格化有着密切的联系，在很长一段时间，微积分理论的基础问题，许多人都曾试图解决，但未能如愿以偿.直到后来捷克数学家波尔查诺提出了有思想价值的理论，但关于极限本质问题也未能说清.到了19世纪，法国数学学柯西在前人工作的基础上，比较完整的阐述了极限概念，他在《分析教程》中指出：当一个量逐次所取的无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个值就叫做其他值得极限值.此时，柯西澄清了似零非零的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是零，可以无限趋近与零但它的变化趋向是“零”.至此，人们对极限有了较为清晰的认识，数学上的一件具有里程碑意义的大事也随之产生,之后迎来了数学蓬勃发展的新时期.2、极限思想在中学数学中的应用极限思想是研究变量在无限变化中的趋势的思想，使用无限逼近的方式，从有限认识无限，用不变认识变，用近似认识精确的辩证思想.极限思想是高考的核心，对于某些问题，如能灵活应用极限思想，不仅能降低问题难度，优化解题过程，而且对培养学生的创造性思维有极大帮助.极限思想作为一种重要的解题思想，在解题中经常遇到，下面我们结合实例谈谈利用极限思想解题的几种方法.2.1 在运动变化过程中把握极限位置例1 已知三棱锥的的底面是边长为1的正三角形，两条侧面棱为13，试求第三条侧棱的取值范围.2分析：固定底面正三角形，让两腰的长均为13的侧面等腰三角形绕着其底2边旋转，当该等腰三角形与底面共面时有两种情况，这就是第三条侧棱的两个极限位置.底面正三角形和侧面等腰三角形的高分别为3,23，则第三条棱的最小趋于 3-23=23，最大趋于23+3=323故此题的答案为（23，323）.例2 锐角三角形ABC 的边长BC=1，AC=2，求AB 的取值范围分析：本题如果考虑使用正弦定理势必将比较繁琐，但如果依据已知条件构造锐角三角形，让AC 固定，BC=1，B 点在以C 为圆心、半径为1的圆周上运动，于是得到如图所示的两个极限位置.经计算知AB 分别为5、3，故所求为（3，5 ）.例3 已知01x y a <<<<，则有（ ）（A ）0)(log <xy a （B ） ()0log 1a xy <<（C ）1log ()2a xy << （D ） log()2xy >分析：当a x →时，由题意a y →，此时2a xy →，log (),2log →xy 故可排除（A ）、（B ），当时o y →，由题意0→x ，此时0→xy ，又10<<a ，则()∞→xy log ，故排除（C ），选（D ）.点拨：以上两例都是适当借助极限思想，用运动的观点对问题进行的定性分析，这肯定比定量运算寻找答案要简单的多.2.2利用函数图像把握极限位置函数图像式函数性质的一种直观反映，有些问题涉及到,o x x x →∞→时对应的函数值，可以通过图像的变化趋势进行合理推算得到答案.例3已知函数2()1x y f x x ==+,若lim x y a →∞=lim y x b→∞=，则a,b 各为多少.分析:函数的自变量在无限变化过程中，其函数值()f x 无限趋近一个常数而这个无限的趋势就通过一个有限来刻画.反过来，当Y 变化时，其自变量就趋近某个常数，以上这些性质都可以在函数图像上反映出来，如图，函数21x y x =+的图像是两条双曲线，渐进线为1,2x y =-=，由图易知a=2,b=-1.例4 给出下列图像，其中可能为函数432()(,,,)f x x ax bx cx d a b c d R =++++∈ T 图像的是（ ）分析：按常规的解题方法，我们会想到求函数倒数'32432y x ax bx c=+++，但接下来仍需不知如何处理，其实，这道题若从极限的角度考虑，问题会很简单.当x →∞时，'y =∞，所以，当x →∞时图像时上升的，排除第四个答案，在令0,0a b c y ===>不是恒成立的排除第二个答案，故选一和二.点拨：适当的借助函数图像能把抽象的数学性质直观化，具体化.在解答过程中，涉及到考虑,,x x x x →+∞→-∞→对应的函数值，并由此判断函数或函数图像的变化趋势，此时极限对整体认识问题起着重要的作用.2.3极限思想在函数中的渗透例5 设()1,10-∈a ，定义),2,1(21211⋯⋯=⎪⎭⎫⎝⎛+=-n a a n n ,求()n n n a -∞→14lim . 分析：函数极限所具有的性质与数列极限极为相似.与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论. 中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型.即∞-∞∞∞，，00 .但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则.其解答过程不免显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法，这使某些问题的解决显得更简便快捷.由于 ()1,1cos -∈θ，故可取()πθθ,0,cos 0∈=a , 于是有2cos 2cos 1211θθ=⎪⎭⎫⎝⎛+=a ，22121122cos 22cos 121θθ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a ， nn a 2cosθ=，因此有()n nn a -∞→14lim =nn n n n nn 2cos 12sin 4lim 2cos 14lim 2θθθ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→=2222sin 2cos 1lim ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n nn θθθθ.由于22cos 1lim 22θθθ=+∞→n n ，122sin lim 2=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→n n n θθ, 所以()21214lim 22θθ=⋅=-∞→n nn a .例6 计算下列极限. （1）、nn n 2sinlim π∞→；（2）、nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→2111lim分析：此题形式抽象，对于刚刚接触极限的高中生来说难度较大，如果我们在教学中适当渗透罗洛比达有关法则，在这里将会有很大便利性.利用公式计算,因为,001sin limsinlim =⋅=⋅=∞→∞→x xx xx x x ππππ且数列{}n 严格递增无上界.由归结原则，nn n 2sinlim π∞→=0.（2）、(),111112∞→→⎪⎭⎫⎝⎛+>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n e n n n nn另一方面，当1≥n 时有112112222111111111+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n nn n nn n n n n n n n ,取⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+=,2,1,12n n n x n ，由归结原则，有 e x n xn n n =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞←∞→11lim 11lim ；Se x x n n x x x n n n =⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→++∞→1121122211lim 11lim ；由迫敛性推得：nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛++∞→2111lim =e .点拨:函数极限所具有的性质与数列极限极为相似.与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论.①1sin lim0=→xxx②e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.2.4用极限思想解决立体几何中的有关问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例7 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 : 如图所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，C当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o，，故本题选B.(60180)点拨：从这个例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.总结极限思想是一种基本而又重要的数学思想，在中学阶段，重视直观运动和相对变化，反映出量变到质变的变化过程.本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用，以及通过较为详细的分析和点拨，突出了极限思想在中学中的重要性.通过极限的应用，不但加深了学生对知识的理解，也有助于培养学生的创新意识和发现问题的意识.当然，本文也有一些缺点，有个别地方的论述超出了中学知识的范围，锁具例题相对较少，语言不够简练等.极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面,在以后的研究中应向更深晨层次发展.参考文献[1] 谢慧杰. 极限思想的产生，发展与完善,[M]. 2008，（09）13-15.[2] 高中数学课程标准研制组编.普通高中数学课程标准（实验）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2003.[3] 冯国平.数学教学论[M]].甘肃：甘肃教育出版社，2010.[4] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2001.[5] 陈传璋，金福临编，数学分析（上下册）第二版[M]. 高等教育出版社[6] 冯丽珠，变形法求极限的变法技巧[J ]. 武汉职业技术学院学报，2003年3月，35-36 [8] 李小光，求极限的若干技巧[M]. 西安航空技术高等专科学校学报，2002年3月，20-21致谢大学生活一晃而过,回首走过的岁月,心中倍感充实,当我写完这篇毕业论文的时候,有一种如释重负的感觉,感慨良多。