数学中的极限思想及其应用

摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。

灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。

极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。

关键词：极限思想，应用Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.Keywords:the limit idea，application目录1 绪论 (3)1.1研究意义 (3)1.2国外研究现状 (3)1.3 本文解决的主要问题 (3)2数学极限思想的在解题中应用 (5)2.1数学极限思想在数列中的应用 (5)2.1.1利用极限思想处理无穷等比数列 (5)2.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案 (6)2.2数学极限思想在函数中的应用 (7)2.2.1利用极限思想确定函数图像 (7)2.2.2利用极限思想确定函数定义域 (7)2.2.3利用极限思想求未知变量的取值围 (8)2.3数学极限思想在三角函数中的应用 (9)2.3.1通过求极端位置求三角函数的取值围 (9)2.3.2通过假设极端状态推出角的取值围 (9)2.4数学极限思想在不等式中的应用 ............................................... 错误!未定义书签。

2.4.1通过假设变量的极限求得答案 ............................................... 错误!未定义书签。

2.4.2利用极限思想解决不等式证明题........................................... 错误!未定义书签。

2.4.3应用极限思想并结合排除法解决不等式解集问题........... 错误!未定义书签。

2.5数学极限思想在平面几何图形中的应用 ........................................ 错误!未定义书签。

2.5.1利用极限思想求某些平面图形阴影部分面积.................... 错误!未定义书签。

2.5.2利用极限思想解决圆锥图形的问题...................................... 错误!未定义书签。

2.6数学极限思想在立体几何中的应用 ................................................. 错误!未定义书签。

2.6.1数学极限思想在解决求立体图形体积中的应用 ............... 错误!未定义书签。

2.6.2利用极限思想探索立体图形的等量关系............................. 错误!未定义书签。

2.6.3利用极限思想解决探索动点轨迹........................................... 错误!未定义书签。

3对一道数学题探索解题思路 . (16)结论 (17)辞 (18)参考文献 (19)1 绪论极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析中的一系列重要概念如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助极限来定义的。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

随着高中课程的改革，高考中将加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。

在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。

本文就数学极限思想在解决几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。

1.1研究意义极限思想作为一种重要思想，在整个数学发展史上占有重要地位。

极限思想在现代数学乃至物理学中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。

用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简，拓宽考虑问题的思路，为数学问题的顺利解决提供较大的帮助。

1.2 国外研究现状由于数学中的极限思想对学生数学思维方法培养的重要性，因此数学极限思想的相关问题一直受到国外众多学者的关注。

如为了引起广大师生对极限思想广泛关注和高度重视，苟玉德和董玉武在2006年给出了《渗透极限思想，优化解题过程》，说明了利用极限思想，把问题放置于极限状态，能提高解题能力；2007年明远给出了《极限思想在解题中的应用》，通过列举极限在函数、三角函数、数列、不等式和解析几何中的应用说明极限思想对于优化解题过程，降低解题难度的重要作用；道斌于2007年发表了《利用极限思想巧解立几问题》，列举了极限思想在解决一些立体几何选择题的例；2005年黄加卫给出了《极限思想在数列中的几个“闪光点”》,认为极限是微积分中最基本、最主要的概念，同时列举了极限思想在解决等比数列问题和数列证明中的几个例；2007年徐素琳给出了《极限思想的妙用》，认为极限思想即运用“化整为零，又积零为整”的思想在图形面积、周长、体积和函数等方面有重要作用；2007年牛保华给出了《极限思想在解题中的应用》，分析了极限思想在解题时简化运算过程、优化解题方案、探索解题思路的作用。

1.3 本文解决的主要问题本文主要对数学极限思想在数列中、在立体几何中、在函数中、在三角函数中、在不等式中和在平面几何图中的应用进行分析，然后具体比较了数学极限思想和一般解法在解决一道数学题的不同，进而反映了极限思想的优势。

2 数学极限思想的在解题中应用2.1 数学极限思想在数列中的应用2.1.1 利用极限思想处理无穷等比数列例1：（1）已知数列{}n c ，其中23n n n c =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p ；（2）已知数列{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明: 数列{}n c 不是等比数列。

解：（1）设{}1n n c pc +- 的公比为q ，则有：()()22112111123232323n n n n n n n n n n n n p c pc q c pc p ++++++++++-+-==-+-+()()()()1122332233n n n n p p p p ++-+-=-+- ()()()()2223332233nn p p p p ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ 对上式两端取极限，当3p =时，lim22n q →∞==； 当3p ≠时，()()033lim 303n p q p →∞+-==+-，此时，()2113n n n n c pc c pc +++-=-，即()()()2211112323323323n n n n n n n n p p +++++++-+=+-+整理得21122322n n n n p +++-=⋅-，即4263p p -=-，得2p =故常数2p = 或3p =。

（2） 假设数列{}n c 是等比数列，设{}n a 、{}n b 、{}n c 的公比分别为p ，q ，r()p q ≠，n n n c a b =+1111111111111nn nn n n n n n n n n p a b q c a b a p b q r c a b a p b q a b p p q q +++--⎛⎫+ ⎪++⎝⎭∴====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 两边取极限：若p q =，,,1p p q p q q≠∴=-=-，此时左边极限为r ，右边极限不存在，矛盾； 若p q ≠，不妨设1p q <,则111111lim lim n n n n p a b q b r q b a b p q p q q →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭此时()11111111111n n n n n n n n a c b c r b q c q b q c b q -----=-=-=-=-表明数列{}n a 的公比p q =，这与题设矛盾。

故假设不成立，即数列{}n c 不是等比数列。

注1:极限分析法是处理无穷等比数列的一个有效方法，设数列{}n a 是公比为q 的无穷等比数列, 将1n n a q a +=两边取极限, 得1lim lim n n n na q q a +→∞→∞==，说明等比数列中的1n n a a +的极限存在, 且就是公比q 。