数学中的极限思想及其应用.
摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。
灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。
极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。
关键词：极限思想，应用Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.Keywords:the limit idea，application目录1 绪论 (3)1.1研究意义 (3)1.2国内外研究现状 (3)1.3 本文解决的主要问题 (3)2数学极限思想的在解题中应用 (5)2.1数学极限思想在数列中的应用 (5)2.1.1利用极限思想处理无穷等比数列 (5)2.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案 (6)2.2数学极限思想在函数中的应用 (7)2.2.1利用极限思想确定函数图像 (7)2.2.2利用极限思想确定函数定义域 (7)2.2.3利用极限思想求未知变量的取值范围 (8)2.3数学极限思想在三角函数中的应用 (9)2.3.1通过求极端位置求三角函数的取值范围 (9)2.3.2通过假设极端状态推出角的取值范围 (9)2.4数学极限思想在不等式中的应用 ............................................... 错误!未定义书签。
2.4.1通过假设变量的极限求得答案 ............................................... 错误!未定义书签。
2.4.2利用极限思想解决不等式证明题........................................... 错误!未定义书签。
2.4.3应用极限思想并结合排除法解决不等式解集问题........... 错误!未定义书签。
2.5数学极限思想在平面几何图形中的应用 ........................................ 错误!未定义书签。
2.5.1利用极限思想求某些平面图形阴影部分面积.................... 错误!未定义书签。
2.5.2利用极限思想解决圆锥图形的问题...................................... 错误!未定义书签。
2.6数学极限思想在立体几何中的应用 ................................................. 错误!未定义书签。
2.6.1数学极限思想在解决求立体图形体积中的应用 ............... 错误!未定义书签。
2.6.2利用极限思想探索立体图形的等量关系............................. 错误!未定义书签。
2.6.3利用极限思想解决探索动点轨迹........................................... 错误!未定义书签。
3对一道数学题探索解题思路 . (16)结论 (17)谢辞 (18)参考文献 (19)1 绪论极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析中的一系列重要概念如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助极限来定义的。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
随着高中课程的改革，高考中将加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。
在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。
本文就数学极限思想在解决几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。
1.1研究意义极限思想作为一种重要思想，在整个数学发展史上占有重要地位。
极限思想在现代数学乃至物理学中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。
用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简，拓宽考虑问题的思路，为数学问题的顺利解决提供较大的帮助。
1.2 国内外研究现状由于数学中的极限思想对学生数学思维方法培养的重要性，因此数学极限思想的相关问题一直受到国内外众多学者的关注。
如为了引起广大师生对极限思想广泛关注和高度重视，苟玉德和董玉武在2006年给出了《渗透极限思想，优化解题过程》，说明了利用极限思想，把问题放置于极限状态，能提高解题能力；2007年刘明远给出了《极限思想在解题中的应用》，通过列举极限在函数、三角函数、数列、不等式和解析几何中的应用说明极限思想对于优化解题过程，降低解题难度的重要作用；孙道斌于2007年发表了《利用极限思想巧解立几问题》，列举了极限思想在解决一些立体几何选择题的范例；2005年黄加卫给出了《极限思想在数列中的几个“闪光点”》,认为极限是微积分中最基本、最主要的概念，同时列举了极限思想在解决等比数列问题和数列证明中的几个范例；2007年徐素琳给出了《极限思想的妙用》，认为极限思想即运用“化整为零，又积零为整”的思想在图形面积、周长、体积和函数等方面有重要作用；2007年牛保华给出了《极限思想在解题中的应用》，分析了极限思想在解题时简化运算过程、优化解题方案、探索解题思路的作用。
1.3 本文解决的主要问题本文主要对数学极限思想在数列中、在立体几何中、在函数中、在三角函数中、在不等式中和在平面几何图中的应用进行分析，然后具体比较了数学极限思想和一般解法在解决一道数学题的不同，进而反映了极限思想的优势。
2 数学极限思想的在解题中应用2.1 数学极限思想在数列中的应用2.1.1 利用极限思想处理无穷等比数列例1：（1）已知数列{}n c ，其中23n n n c =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p ；（2）已知数列{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明: 数列{}n c 不是等比数列。
解：（1）设{}1n n c pc +- 的公比为q ，则有：()()22112111123232323n n n n n n n n n n n n p c pc q c pc p ++++++++++-+-==-+-+()()()()1122332233n n n n p p p p ++-+-=-+- ()()()()2223332233nn p p p p ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ 对上式两端取极限，当3p =时，lim22n q →∞==； 当3p ≠时，()()033lim 303n p q p →∞+-==+-，此时，()2113n n n n c pc c pc +++-=-，即()()()2211112323323323n n n n n n n n p p +++++++-+=+-+整理得21122322n n n n p +++-=⋅-，即4263p p -=-，得2p =故常数2p = 或3p =。
（2） 假设数列{}n c 是等比数列，设{}n a 、{}n b 、{}n c 的公比分别为p ，q ，r()p q ≠，n n n c a b =+1111111111111nn nn n n n n n n n n p a b q c a b a p b q r c a b a p b q a b p p q q +++--⎛⎫+ ⎪++⎝⎭∴====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 两边取极限：若p q =，,,1p p q p q q≠∴=-=-，此时左边极限为r ，右边极限不存在，矛盾； 若p q ≠，不妨设1p q <,则111111lim lim n n n n p a b q b r q b a b p q p q q →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭此时()11111111111n n n n n n n n a c b c r b q c q b q c b q -----=-=-=-=-表明数列{}n a 的公比p q =，这与题设矛盾。
故假设不成立，即数列{}n c 不是等比数列。
注1:极限分析法是处理无穷等比数列的一个有效方法，设数列{}n a 是公比为q 的无穷等比数列, 将1n n a q a +=两边取极限, 得1lim lim n n n na q q a +→∞→∞==，说明等比数列中的1n n a a +的极限存在, 且就是公比q 。
极限思想方法及其在中学数学的应用研究
极限思想方法及其在中学数学的应用研究极限的概念首次出现于17世纪，是古典数学的重要组成部分。
它是数学家和物理学家用来衡量被测量的值的一种抽象的概念。
在研究生物和其他自然现象的概念中，极限是一种强大的理念，它可以用来描述数字和现象之间的关系。
极限思想在数学中具有重要的作用，它已经成为数学家研究和解决问题的重要工具。
今天，极限思想仍然被广泛用于学术研究中。
有许多学科使用极限思想来描述复杂的问题，如力学、热力学、电磁学和概率论等，并且极限思想正在改变科学家们对数学的看法。
在最近的发展中，极限思想已经被推广到中学的数学课程中，成为数学教学的重要组成部分。
本文将重点介绍极限思想的基本概念，并分析它在中学数学教学中的应用研究。
极限的定义和概念是数学和物理学的基础，它是用来表示数学问题的概念。
“极限是一个数字，表示运算结果无限接近，但不能达到它”[1]。
极限是一种抽象概念，因此，理解极限及其在数学中的作用，需要研究者有足够的抽象思维能力，而且对极限的计算需要相当复杂的数学算法。
极限的概念和定义不仅仅是理论上的，它也被广泛地用于实际应用中。
极限是数学中著名的难题之一，而且由于极限思想可以用来描述复杂的数学和物理问题，因此，极限思想在诸如力学、热力学、电磁学等学科中发挥着重要的作用。
极限思想在中学数学教学中的应用同样重要，可以有效地提高学生的数学能力。
在X数学课程，极限思想被广泛地用于解决一些复杂的问题，如求解一元函数的极限，求解二次函数的极限等。
此外，在学生学习初等数学的过程中，教师也需要引入极限思想来帮助学生理解一些复杂的数学概念，以及帮助他们进行抽象思维。
例如，在学习数据统计分析中，极限思想可以帮助学生看到数据的变化趋势，也可以帮助他们理解一些抽象的概念，如概率分布、期望值、抽样误差等。
总之，极限思想是数学和物理学中的重要概念，它可以帮助学习者理解复杂的数学概念，以及对抽象思维的掌握。
随着极限思想被应用到中学数学教学中，中学数学教学将在概念解释、问题解决等许多方面取得重要突破，从而帮助学生将极限思想融入到他们的数学知识体系中。
高中数学中的极限概念是如何应用的
高中数学中的极限概念是如何应用的在高中数学的学习中，极限概念是一个极为重要的知识点。
它不仅是数学分析的基础，还在众多领域有着广泛而深刻的应用。
首先，让我们来理解一下什么是极限。
简单来说，极限描述的是当自变量无限趋近于某个值时，函数所趋近的一个确定的值。
比如说，当 x 无限趋近于 0 时，函数 f(x) ＝ sin(x) ／ x 的极限是 1 。
这就是极限的一个简单例子。
那么，极限在高中数学中有哪些具体的应用呢？在函数的研究中，极限发挥着关键作用。
通过求函数在某一点的极限，我们可以判断函数在该点的连续性。
如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，那么函数在这一点就是连续的。
连续性是函数的一个重要性质，它对于我们理解函数的变化规律非常有帮助。
例如，对于函数 f(x) ＝ x ＋ 1 ，当 x 趋近于 1 时，f(x) 的极限就是2 ，而且 f(1) 也等于 2 ，所以这个函数在 x ＝ 1 处是连续的。
极限还用于求函数的导数。
导数反映了函数在某一点的变化率。
通过极限的方法，我们可以求出函数在某一点的导数。
比如，对于函数 f(x) ＝ x²，它在点 x 处的导数 f'（x) 可以通过极限来计算，即 f'（x) ＝ lim （h→0) （（x ＋ h)² x²）／ h ，经过计算可以得到 f'（x) ＝ 2x 。
导数的应用非常广泛，它可以帮助我们解决诸如求函数的单调性、极值和最值等问题。
在数列中，极限也有着重要的地位。
对于一个数列，如果它存在极限，我们就说这个数列是收敛的；如果不存在极限，就说它是发散的。
比如，数列 1/2， 1/4， 1/8， 1/16，…… 它的通项公式是 aₙ ＝（1/2)ⁿ 。
当 n 趋向于无穷大时，这个数列的极限是 0 ，所以这个数列是收敛的。
而数列 1， 2， 3， 4，…… 通项公式是 aₙ ＝ n ，当 n 趋向于无穷大时，这个数列的值也趋向于无穷大，不存在极限，所以这个数列是发散的。
极限思想及应用百科
极限思想及应用百科极限思想及应用是数学中的一个重要概念，通过对数列、函数等数学对象在某个趋近于某点的过程中的变化趋势进行研究，从而帮助我们理解数学问题的本质和解决实际应用问题。
下面将从极限的概念、性质以及应用等方面回答这个问题。
首先，极限的概念。
极限可以分为数列的极限和函数的极限两种情况。
对于数列而言，如果存在一个实数L，使得数列中的每一项的差值与L的差值无论多么小，只要足够靠近某一项的时候，都能满足这个条件，则我们说这个数列的极限存在，并且L就是它的极限。
对于函数而言，如果对于函数在某一点x0的一个去心邻域内的每一个x值，函数值与L的差值可以任意小，只要足够靠近x0的时候，都能满足这个条件，则我们说这个函数在x0处的极限存在，并且L就是它的极限。
极限可以用符号“lim”表示，例如数列an的极限为L可以表示为lim an=L，函数f(x)的极限为L可以表示为lim f(x)=L。
其次，极限的性质。
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法则等重要性质。
对于唯一性而言，如果数列或函数的极限存在，则它的极限是唯一的。
对于有界性而言，如果数列或函数的极限存在，则它的极限是有界的，也就是说，存在一个数M，使得数列或函数的值都在一个范围内。
对于保号性而言，如果数列或函数的极限存在且大于（小于）零，则它的数列或函数中必然存在正数（负数）。
对于四则运算法则而言，若两个数列或函数的极限都存在，则它们的和差积商的极限也都存在且满足相应的关系。
最后，极限的应用。
极限思想在数学和其他领域的应用非常广泛。
在数学中，极限的概念是微积分学的基础，通过利用极限思想，可以研究函数的连续性、可导性、积分等重要性质。
在物理学中，极限思想可以用来描述物体在足够小的时间或空间间隔内的瞬时变化情况，比如速度、加速度、力等概念都可以通过求极限来得到。
在工程学中，极限思想可以用来分析和设计复杂的系统，比如电路、机械结构等。
在经济学中，极限思想可以用来评估市场需求和供应的变化，分析企业的效益和利润最大化等问题。
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用摘要：极限思想在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。
在高中数学解题中,教师应渗透有关极限思想的教学,让极限思想进入学生数学思维领域，其次学生需善于总结发现运用极限思想解决相关题型。
下面就如何让极限思想应用于解高中几大类型题目,展开叙述。
关键词：极限思想；解题；应用；一、在日常教学中渗透,逐步形成认知在高中阶段,许多知识和方法和“无限趋近”相关﹐如区间的无穷远处、数列的项数﹑柱锥台之间的关系、函数图像的渐进线、曲边图形的面积及曲线的切线等。
因此,教师要在日常教学中进行渗透,让学生逐步形成对它的认知。
教科书这样呈现区间表示:实数集可以用区间表示为。
我们可以把满足, ,,的实数的集合分别表示为,,,。
二、在概念教学中渗透,深化理解与认识教科书虽然没有正面提及极限的概念,但是在导数的定义中,已经很紧密地把导数和极限概念关联在一起了。
当时，(为常数),把称为在点的导数,记作。
在这里,“无限趋近”的实质就是高等数学中的极限概念﹐实际教学中教师通常是借助导数的几何意义来帮助学生理解“无限趋近”,让学生直观地体验“无限趋近”,然后引导学生逐步认识“无限趋近”在解题中的作用。
三、在优化解题中渗透,体验巧妙解题的魅力数学思想的魅力在于能巧妙运用,优化解题思路，提升解题效率。
极限思想也不例外,它在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。
尤其在解决带参数的超越函数的零点问题上,可利用参变量分离方法和极限思想对所构造超越函数的图像进行定位,从而避开繁杂的讨论,大大优化解题过程。
1.极限思想在立体几何中的应用立体几何很考验同学们的空间想象和计算能力，同学们一般会花费大量时间解答这类题,但如果能够恰当地运用极限思想,就可以将复杂图形简单化,计算也随之变得容易。
例1、圆台的上底面和下底面的半径分别是和,作一个平行于圆台底面的截面将圆台分为体积相等的两部分,则截面圆的半径为（）。
极限思想在中学数学中的应用研究
极限思想在中学数学中的应用研究
极限思想是以极限的概念来分析数学问题，它提供了一种有效的方
法来研究函数、曲线、表面以及对这些图形和曲线进行计算和分析。
极限思想可以帮助人们更深入地理解数学知识，了解并分析数学中的
现象，并使用极限的思想来解决数学问题。
极限思想在中学数学中有着广泛的应用。
在微积分中，通过极限的思
想可以求得函数在某点附近的解析解及导数；在代数学中，极限思想
可以用来计算多项式的极值；在解析几何中，可以利用极限思想求出
圆周上某点到圆心的距离；在概率论与数理统计中，用极限思想可以
研究正态分布的形成。
此外，极限思想也用于优化问题中，帮助研究者设计出最优的解决方案；在几何图形中，极点的概念也可以用极限思想判断；在动力学和
运动中，可以利用极限思想找到运动物体的运行轨迹。
总之，极限思
想在中学数学中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解数学公式，更加深入地剖析数学问题，有效地解决实际问题，为数学有着重要作用。
极限思想在中学数学教学中的应用
极限思想在中学数学教学中的应用极限思想是一种重要的数学思想方法，在中学数学教学中运用极限思想，有助于学生对数列、定积分等复杂问题的理解，提高學生解决相关数学问题的能力。
如何引导学生掌握和应用极限思想，是中学数学教学中要认真思考的问题。
文章简单介绍了极限思想的内涵及在中学数学中的意义，并举出具体例子说明其在实际问题中的应用，以期提高学生的数学思维和解题能力。
标签：极限思想；中学数学教学；应用一、极限思想概述极限思想考察当变量按某种方式变化，譬如变量趋于无穷大或者趋于某一定值时，研究对象最终的变化趋势和趋向的唯一数值；是通过极限的概念，对研究对象从有限拓展到无限，从对常量的研究逐渐转化为对变量的研究，来分析和解决问题的一种思想方法。
二、极限思想在中学数学中的作用1.有利于提高数学思维能力新课标强调对学生数学思维能力和数学素养的培养。
教师通过极限思想教学的渗透，可让学生的思维从有限发散到无限，理解无限逼近的意义，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的思想方法，学会将极限思想应用到其他数学问题的学习和解决当中。
2.有利于解决复杂数学问题教学中灵活渗透极限思想，能降低问题难度，理顺解题思路，提高解题的效率和质量。
例如，求曲边梯形的面积，首先插入分点分割曲边梯形，每个小曲边梯形可近似看成小矩形，这些小矩形的面积和近似等于曲边梯形的面积，分划不同，得到的矩形面积和也不同，当分划足够细时求出极限从而得到曲边梯形面积。
利用这种极限思想，还能解决众多数学问题，如平面曲线的弧长问题。
3.有利于和大学数学知识衔接高等数学的许多概念和方法与极限密切相关，中学教学中让学生掌握极限思想方法，能促进中学与大学数学知识的衔接，为高等数学学习奠定基础。
三、极限思想在中学数学教学中的应用1.极限思想在函数中的应用函数是中学数学教学中的重要内容，贯穿于中学数学的始终，是变量数学的基础。
解决函数问题，可以充分利用极限思想。
通常可以用反函数的方法进行解答，答案为D，由于是选择题，也可以采用极限思想，迅速判断出大致范围，提高解题效率。
极限思想在解题中的应用
在微积分中的应用。
1、无穷分割方法下的极限思想
无穷分割方法下的极限思想是微积分思想的重要基础。
这种极限思想的实质是通过无数个同维度的无穷小的元素之和去定某些立体的体积、物体的质量和曲边形的面积。
定积分的理论来自与求曲边梯形的面积，指的是将曲边梯形看作无数个小梯形的面积之和。
这一思想也被应用在求面积、求弧长和求旋转体体积方面。
在这一思想影响下，结合相关的解析几何手段和代数方法，产生了直角坐标系下二重积分的定义和求解方法。
由此可以看出极限思想为微分学的产生和发展奠定了基础。
2、无穷大，无穷小方法下的极限思想
通过内接正多边形的面积的极限值求圆的面积，相当于两个相关的变量，一个变量在另一个变量发生变化的过程中，与另一个已知变量之间的差不断减小，从而可以通过这个已知量得到相关变量的最终极限值，这个极限值的概念就是“极限”。
例谈极限思想在导数及其应用中的作用
例谈极限思想在导数及其应用中的作用极限及其在导数及其应用中的作用极限是理论数学中重要的概念，它是数学发展的重要基石。
极限也在数学应用中发挥了重要作用：极限可以定义函数、求导数、研究函数以及证明数学定理等等。
导数是分析函数，特别是复杂函数的性质和特征的工具，广泛应用于物理、化学、生物、机械、电子、计算机等多个领域。
由于极限的概念是理论数学中一个重要基石，而导数也是应用数学中不可缺少的概念，因此极限 O 在导数及其应用中发挥着十分重要的作用。
首先，极限对导数的计算是至关重要的。
极限有助于清楚地展示函数临近某一点时，如何改变其函数值，即极限清楚地显示出该点（称为变量）在函数函数变化时的方向。
依据定义，当连续函数在多次进行的极限的放缩过程中，每个极限都存在，则连续函数在对应点上可以设置导数，即极限可以实现导数的定义。
因此，极限可以定义函数的导数，也可以求出某函数的导数，从而更深入地了解函数的特性。
此外，极限不仅可以定义导数，而且可以帮助研究函数的特征。
极限可以判断某函数的极限点，从而确定函数的极限值。
对某些函数而言，只有当所有变量满足某些关系时，函数才会有显示的极限值。
因此，极限可以指定函数的极限点，这有助于研究函数的特征。
同样重要的是，极限可以证明一些数学定理，其中最常见的例子是关于谛达力总是存在收敛极限的定理。
该定理阐明了对于给定的n以及一系列实数级数Sn，Sn必然呈现某一特定的极限的存在，从而确定它的极限值。
换言之，极限用于证明给定级数具有收敛性质。
总而言之，极限概念在导数及其应用中发挥着重要作用：极限可以定义函数的导数，也可以帮助研究函数的特性，并能够用于证明一些数学定理。
然而，利用极限概念来推导结论需要许多复杂的计算，因此，极限只有在计算机技术的支持下才能实现上述用途。
而且，极限本身也仅仅是概念性的，无法被用于实际的数学计算，因此，有必要弄清楚极限的概念，正确地学会使用它，以及将其应用到正确的数学问题上，才能更好地理解和应用极限。
数学的极限思想是什么在现实应用里有应用到吗经常思考这问题是不是可以锻炼自己的数学能力
数学的极限思想是什么在现实应用里有应用到吗经常思考这问题是不是可以锻炼自己的数学能力数学的极限思想是什么？在现实应用里有应用到吗？经常思考这问题是不是可以锻炼自己的数学能力？ -极限就是一个趋向性的过程等号让人困惑，但是等号和极限符号只是代表数字无限趋近于某一值，不是真的相等有关极限的思想1、古希腊不停地拿一把可以分开任何物体的刀来一分为二一个物体，只有两个结果，（1）小刀一直分下去，无穷无尽（2）分到一定程度，分不动了，物体不能再分了现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的所以我们知道了物体是由基本粒子的2、中国古代，用无穷无尽的多边形面积来代替圆（所谓的割圆术）的面积，用近似解来代替真实解3、还有就是芝诺提供的，芝诺悖论之一公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他10米。
当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米…… 芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。
动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。
由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。
因此被追者总是在追赶者前面。
现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的，所以总有最为微小的一个时间里，阿基里斯和乌龟共同前进了一个空间单位，从此阿基里斯顺利超过乌龟。
（时间是不可以无限分割的。
这不是由于某种哲学上的原因，而是由于一个物理理论：量子力学。
在量子力学主要研究的微观现象中出现大量“量子化”现象，即物理量不能连续取值，而只能取分离的几个值。
这个理论在进一步的研究中就出现了“时间不可无限分割”的理论。
即任何时间段，都不能短于“普朗克时间”，短于这个的时间长度在物理学中没有意义。
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。
因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。
首先，要认识到极限中的关系。
极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。
根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。
其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。
再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。
这样就可以轻松求出一元二次方程的解。
比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。
最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。
极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。
极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。
因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。