《常微分方程》第三版答案
常微分方程第三版课后习题答案
习题1、2 1.dxdy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:ydy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也就是原方程的解,c=0时,y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x 、2、 y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也就是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解:y=|)1(|ln 1+x c 3.dx dy =yx xy y 321++ 解:原方程为:dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24、 (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解:原方程为: y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也就是原方程的解。
5.(y+x)dy+(x-y)dx=0解:原方程为:dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y 、 6、 x dxdy -y+22y x -=0 解:原方程为:dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7、 tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也就是原方程的解,而c=0时,y=0、 所以原方程的通解为sinycosx=c 、 8 dx dy +ye xy 32+=0 解:原方程为:dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c 、9、x(lnx-lny)dy-ydx=0解:原方程为:dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy 、 10、 dxdy =e y x - 解:原方程为:dxdy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解:令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12、 dx dy =2)(1y x + 解:令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c 、13、 dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c 、15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解:原方程为:dxdy =(x+4y)2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1)、 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程,并由此求下列方程: 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明: 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2xu ,有: u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版答案
百度文库•让每个人平等地捉升口我习题1.21・—=2xy,并满足初始条件：x=0, y=l 的特解。
dx解：—=2xdx 两边积分有：ln|y|=x'+cy=e ' +e =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2, x=0 y=l 时c=l特解为尸e r \2. y' dx+(x+l)dy=O 并求满足初始条件：x=0, y=l 的特解。
dy 1 + y 2* — 了dx xy + x^ydy _ 1 + y 2 1 dx y x + A 3 dy= ------ r dx X + X'两边积分：x(l+x 2) (1+y 2 )=cx"4. (1+x)ydx+(l-y)xdy=O解：原方程为：—dy=-—dx y x两边积分：In | xy +x-y=c另外x=0, y=0也是原方程的解。
5・(y+x) dy+(x-y)dx=O解：原方程为：解：y - dx=-(x+l)dy卑 dy=J x + 1 dx 两边积分：-丄=-ln|x+l|+ln|c| y I尸 In 1 c(x + 1)1另外y=0> X-1也是原方程的解x=0, y=l 时 c=e 特解：y=In I c(x + \) I解：原方程为:dy x- ydx x + y八V … t dv du 小、亠令i =u 则——=u+x 代入有: x dx dx---- d u= — dx iC +1 xln(u~ +l)x~ =c-2arctgu即 ln(y ~+x~ )=c-2arctg 厶.6. x — -y+ -Jx 2 — y 1 =0解：原方程为：y^=- + —-Jl-(-)2 dx xxv xA y dv dii 贝U 令—=u — =u+ x — x dx dx,du=sgnx — dx VI-w 2 Xarcsin —=sgnx In I x I +c x7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：—=—fgy ctgx两边积分:In |siny =-ln |cosx I-In I c I1 c siny= ---------- = ------ 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. ccosx cosx所以原方程的通解为sinycosx=c.dx y解：原方程为：学二 dx y2 e ' -3e~ =c.9・ x (lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：——=—In — dx x xA v rjl dy du 令—=u ，贝11 — =u+ x —— x dx dxduu+ x — =ulnudxln(lnu-l)=-ln|cx|1+1 n = =cy・xdx解：原方程为：g二11 — =(x+y) 2dx“A十du解：令x+y=u,则〒=〒T dx dxdx------du=dx\ + ir arctgu=x+c arctg (x+y)=x+cdx (x+y)-“ 八dy du解：令x+y=u,则一=——1 dx dxu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.cly 2x - y +113.—= ---------- :——dx x-2y+ 1解：原方程为：(x-2y+l) dy=(2x-y+l)dx xdy+ydx-(2y-l)dy-(2x+l)dx=O dxy-d (y' -y) -dx +x=c乍•>xy-y - +y_x - _x二c—dy x-y+ 5dx x _ y _ 2解：原方程为：(x-y-2) dy= (x-y+5) dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=O1 . 1 .dxy-d (— y' +2y) -d( —x" +5x) =02 2y - +4y+x - +10x-2xy 二c・15：— =(x+l) 2+(4y+l)，+8xy + l dx解：原方程为：—=(x+4y) 2+3 dx八 e ■ 1 d" 1令x+4y=u 贝(J ——= -------dx 4 dx 41du 1 =------ =iT +34 dx 4—=4 U2+13dx3z、u= —t g(6x+c)T22t g(6x+c) = -(x+4y+l).16:证明方程丄学=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程: y dx1) y(l+x2 y2)dx=xdyX 心二2 + x：y： y dx2)2-x2y2证明:令xy=u,则x— +y= —dx dx…, dy 1 du u亠贝9于=—: ---- •有:dx x dx Q——=f (u) +1 u dx------ ! ------- d u= — dx«(/(«)+ 1) X所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版答案
习题1.2 1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dx dy +ye xy 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y =ce x11dxdy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dxdy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后答案
常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
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1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c-另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
/5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -》则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3》2 ex3-3e2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- ,e y=cex11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21u、u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 ：dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） (2）y(1+x 2y 2)dx=xdy3） y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后习题答案
常微分方程第三版课后习题答案习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dxdy=-y x y x +- 令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy . 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令x y =udx dy =u+ x dxdu 211u - du=sgnx x1dxarcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10.dxdy=e y x - 解：原方程为：dxdy=e x e y - e y =ce x 11dxdy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu-1 dx du-1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu-1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c 14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15:dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后习题答案
习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后答案
常微分方程1.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程第三版课后习题答案
1．Dy/dx=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：dy/y=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e2x .2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx du =ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|，1+ln x y =cy.10. dx dy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y -，e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1，dxdu -1=u2，211u +du=dx ，arctgu=x+c ，arctg(x+y)=x+c12. dx dy =2)(1y x +，解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1，dx du -1=21u u-arctgu=x+c ，y-arctg(x+y)=c.13. dx dy =1212+-+-y x y x （x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx ，xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=， xy-y 2+y-x 2-x=c15: dx dy =(x+1) 2+(4y+1)2+8xy1+解dxdy =（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dxdy =41dx du -41，dx du =4 u 2+13，u=23tg(6x+c)-1=tg(6x+c)=32(x+4y+1).，这也就是方程的解。
常微分方程第三版课后答案
常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
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《常微分方程》第三版答案习题1.2 1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dx dy +ye xy 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y =ce x11dxdy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d( 21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+x 2 y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明：令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
1）令xy=u 则dx dy =x 1dx du -2x u(1) 原方程可化为：dx dy =xy [1+（xy ）2] (2)将1代入2式有：x 1dx du -2x u =xu (1+u 2)u=22+u +cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y 则与x 轴，y 轴交点分别为：x= x 0 -'y y y= y 0 - x 0 y’ 则x=2 x 0 = x 0 -'y y 所以xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α = 4π。
解：由题意得：y ’=xyy 1dy=x 1 dxln|y|=ln|xc| y=cx. α =4π则y=tg αx 所以c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx 则：y=kx 2+c 即为所求。
常微分方程习题2.1 1.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xx y x yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsinln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x xyc x x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。
另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。
两边积分得：变量分离，得：则令解：.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：cx y x arctg cx arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dxdy cdx dy dxdy tt y x e e e e e x yxyyx +=++==++=+==+=+===+-)(,11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，12．2)(1y x dx dy += 解c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t tdx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X YX dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'22,31,3131,31;012,0121212.132-+-==--=+=-==-==+-=--+---=.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22c x y x cx t dx dt t t tdx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令15．18)14()1(22+++++=xy y x dx dy原方程的解。
，是，两边积分得分离变量，，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dxdy+=++=++==+=+++++=+++++++=6)383232(941494141412)14(181816122222216．2252622yx xy x y dx dy +-= 解：，则原方程化为，，令u y xxy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32322332322232]2)[(32(2)( 126326322222+-=+-=xu x u xxu x u dx du ，这是齐次方程，令cx x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz dz z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735372 233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。