常微分方程课后答案(第三版)王高雄
王高雄版《常微分方程》习题解答4.1
习题4.11.设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有()t x ()t y b t a ≤≤b t a ≤≤常数或常数，则和在区间上线形无关。
()()≠t y t x ()()t x t y ()t x ()t y b t a ≤≤证明：假设在，在区间上线形相关()t x ()t y b t a ≤≤则存在不全为零的常数，，使得αβ()()0=+t y t x βα那么不妨设不为零，则有()t x ()()βα-=t x t y 显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关βα-()t x ()t y b t a ≤≤2.证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程()t x 1()t x 2（1）()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n n n 111()t f 1（2）()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n nn 111()t f 2的解，则+是方程 +的解。
()t x 1()t x 2()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n n n 111()t f 1()t f 2证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解()t x 1()t x 2则： （3）()()()()()()t f t x t a dtt x d t a dt t x d n n n n n 1111111=+++--（4）()()()()()()t f t x t a dtt x d t a dt t x d n n n n n 2212112=+++-- 那么由（3）+（4）得：+()()()()()()()()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211211121 ()t f 1()t f 2即+是方程是+的解。
王高雄版《常微分方程》习题解答4.2
习题4.21. 解下列方程 （1）045)4(=+''-x x x解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt ttec e c ec ec --+++432221(2)03332=-'+''-'''x a x ax a x解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a=λ故通解为x=atatat et c tec ec 2321++（3）04)5(='''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2故通解为54232221c t c t c e c ec x tt++++=-（4）0102=+'+''x x x 解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t ec t ec x tt3sin 3cos 21--+=(5) 0=+'+''x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--故通解为tec t ec x t t 23sin23cos212211--+=(6) 12+=-''t s a s解：特征方程022=-aλ有根1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=atatec ec -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -==故通解为s=atat ec e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7)32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1齐线性方程的通解为x=ttttec e c ec 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如BtA x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=tt ttec e c ec 3221++-4-t(8)322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有故齐线性方程的通解为x=ttt t tec ec te c e c --+++4321取特解行如c Bt Atx ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1故通解为x=tttttec e c te c ec --+++4321+12+t(9)t x x cos =-''' 解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--13=λ故齐线性方程的通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--取特解行如tB t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B故通解为tt t e c t ec t ec x 321221123sin23cos++=--)sin (cos 21t t +-(10)tx x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1故齐线性方程的通解为x=ttec ec 221-+因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B故通解为x=ttec ec 221-+tt 2sin 562cos 52--（11）te x x =-''' 解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--13=λ故齐线性方程的通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--=λ1是特征方程的根，故tAte x =~代入原方程解得A=31故通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--+tte 31（12）tes a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a当a=-1时，齐线性方程的通解为s=tt tec ec 21+,=λ1是特征方程的2重根，故teAt x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121tte c ec tt++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=atat tec ec --+21,=λ1不是特征方程的根，故tAe x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=atattec ec --+21+tea 2)1(1+（13）te x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5故齐线性方程的通解为x=ttec ec 521--+=λ2不是特征方程的根，故tAe x 2~=代入原方程解得A=211故通解为x=tt ec ec 521--++te2211（14）te x x x tcos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为te c t ec x tt2sin2cos21+=i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如te t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B故通解为te c t ec x tt2sin2cos21+=+tet t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i故齐线性方程的通解为tc t cx sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-= tx x 2cos -=+''tB t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=31 B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t2cos 31+。
常微分方程第三版答案(王高雄)
dx
2 2
y
1 2 = ln x − ln 1 + x + ln c (c ≠ 0), (1 + 2
y )(1 + x ) = c x
1+
y
2
(1 + x ) = c x
2
2
4 (1 + x) ydx + (1 − y ) xdy = 0 y=0 x=0 ln x + x + ln y − y = c, xy ≠ 0 ln xy + x − y = c, 1+ x 1− y dx = dy = 0 x y
按
dy 1 − 2 x y −1 dx 够 x 2 次0 个 dy 1 − 2 x y +1 dx 次- x 2 个
18.
x dy = = f ( xy ) y dx x dy 2 + x 2 y 2 = y dx 2 − x 2 y 2 xy = u, x
xy = u
1 . y (1 + x 2 y 2 )dx = xdy (2).
y+x
dy dy = , dx dx
x
dy du = −y dx dx
1 du du u 1 − 1 = f(u), = (f(u) + 1) = (uf(u) + u) y dx dx = y(f(u) + 1) x x x=0 y=0 du 1 3 = (2u + u ), dx x xy ≠ 0s du 2u + u
在个
次个e 次 ce
− sin t
+ sin t − 1 个个个
个
截
dy x − y = ex xn dx n 个个 个个个n
常微分方程王高雄著课后习题答案
常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.d o c(总86页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + yy 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： yy -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dx dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x 1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题2.52．ydy x xdy ydx 2=- 。
解：2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+221 4．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxdu x u dx dy += 即dx dux u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。
6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxx d x yx d yy d x -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。
8.32xy x y dx dy += 解：令u xy= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+= 即21u x dx du x= 得到22x dxu du =故c xu +-=-11 即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。
10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为pp x 21+=，c p p y +-=ln 212。
12.x y xe dx dy e =⎪⎭⎫⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx du dx dy =+111-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u+=--221故方程的解为c x eyx =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx du dx dy =+1 那么u dx du dx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y=- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x e y+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。
常微分方程(第三版) 王高雄等编 高等教育出版社 课后习题答案
1常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123.yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xxyxyx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdudxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee ee ee eexy uu xy x uu xyxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
(完整版)常微分方程第三版课后习题答案
习题 1.21． dy=2xy, 并满足初始条件： x=0,y=1 的特解。
dx2特解为 y= e x.22. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解。
2dy 1 解： y dx=-(x+1)dy 2 dy=- dx y x 11两边积分 : -=-ln|x+1|+ln|c|y特解： y=ln |c(x 1)|2 3．dy 1 y 2 3dx1 y 2dy=dy=4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=01 y x 1 解：原方程为： dy=- dxyx两边积分： ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0 也是原方程的解。
5．( y+x ) dy+(x-y)dx=0y x解： 原方程为：dy =1 y2 dxy两边积分： x(1+x 2)(1+y 2)= 2cx解： dy =2xdxy2 两边积分有： ln|y|=x 2+cx 2cy=e +e =cex另外 y=0 也是原方程的解， c=0 时， y=0原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1 时 c=1y=ln |c(x 1)|另外 y=0,x=-1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e3xy x y 13 dxx解：原方程为：dx x yu 1 1- 2du= dxu2 1 x22ln(u +1)x =c-2arctgu即ln(y 2+x 2)=c-2arctg y2.x2dy du=u+ xdx dx1du=sgnx dxxyarcsin =sgnx ln|x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0两边积分：1siny=ccosx cosx所以原方程的通解为sinycosx=c.y2 3xdy e8 + =0dx y解：原方程为：dy=dx e y y3x e3x y22 e -3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dy=y ln y令y =u 则dy=u+x dudx dx 代入有：6. x dydx-y+ x2y2=0解：原方程为：dy=y+|x|dx x x 1 ( y)x则令y=u x11 u2解: 原方程为：dy dxtgy ctgxln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|c另外y=0 也是原方程的解，而c=0 时，y=0.dx x xduu+ x =ulnudxln(lnu-1)=-ln|cx|y1+ln =cy.x10. dy=e x y dx解：原方程为：e y=cexdu 2-1=udx12du=dx1 u2arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c解：令x+y=u, 则dy=du-1 dx dx du 1-1=dx -1=u2u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13.dy=2x y 1 dx x 2y 1解: 原方程为： ( x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 22 dxy-d(y -y)-dx +x=c22xy-y +y-x -x=cdy x y 5dx x y 2解：原方程为： (x-y-2 ) dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0令y=u ,则dyx dxdu=u+ xdx12.dy=1dx =(x y) 2dy x y=e edx11 dy 2ddyx=(x+y)解：令x+y=u, 则dy du= -1dx dx14:1 2 1 2 dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=02222y +4y+x +10x-2xy=c.15: dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1 dx解：dy 2原方程为：=( x+4y ) +3dx令x+4y=u 则dy= 1 du- 1dx 4 dx 4 1 du 1 2- =u +34 dx 4du 2=4 u 2+133u= 2tg(6x+c)-12tg(6x+c)= (x+4y+1).316: 证明方程x dy=f(xy), 经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：y dx221) y(1+x y )dx=xdyx dy 2 x 2y2 y dx 2-x 2 y2证明：令 xy=u, 则 x dy+y=du dx dx 则dy=1 du- u2，有：dx x dx x2 x du =f(u)+1 u dx11 du= dx u( f(u) 1) x所以原方程可化为变量分离方程。
王高雄《常微分方程》(第3版)(课后习题 一阶线性偏微分方程)【圣才出品】
第7章 一阶线性偏微分方程1．求下列方程组的通积分及满足指定条件的解：解：（1）两个方程相加得到令u＝x＋y，则上面方程可以写成这是一阶线性微分方程，可解出得即得原方程的一个首次积分为两个方程相减得到解之得于是得到另一个首次积分为所以，原方程组的通积分为（2）两个方程相加，得到解之得两个方程相减得到解之得．于是，原方程的通积分为而满足条件t＝0，x＝－2，y＝0的特解为（3）两个方程相除可以得到令则得到解之得，即另外，由原方程组得到第一项乘以（－y）加上第二项乘以x，则得到变形上式可得两边积分后得到所以原方程组的通积分为把条件t＝0，x＝y＝1代入上面的通解表达式可得，所以，特解满足解之可得（4）将三项相加可得故是原方程组的一个首次积分．将第1项乘x，第2项乘z，第3项乘z可得故可得原方程组的另一个首次积分所以，原方程的通积分为2．求下列方程的通解及满给定条件的解解：（1）特征方程为由可得一个首次积分为由可得另外一个首次积分为容易验证上面两个首次积分是独立的，故原方程的通解可表示为其中是的任意连续可微函数．（2）特征方程为由后两项可得令则有解之得或，故得到方程的一个首次积分为另外，容易得到故可得方程的另一个首次积分所以，原方程的通解可以表示为其中是的任意连续可微函数．（3）特征方程为由前两项可得解之得把代入可得即积分得再把代入上式，则得到显然两个首次积分是独立的，故方程的通解为（4）特征方程为由前两项可得令即y ＝ux ，则上面方程化为解之得或特征方程可以变形为。