三角函数辅助角公式化简(1)
辅助角公式的解说
关于辅助角公式的解说 对于辅助角公式，大家都很熟悉。
公式如下：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a 其中：ab =ϕtan 。
但是在实际运用中，最让大家感到头疼的是关于辅助角ϕ的大小确定。
下面就此公式的实际运用作如下解说。
一、辅助角使用的准备（1） 顺序：要使正弦在前，余弦在后；（2） 系数：分析好a 、b ，正弦系数为a 、余弦系数为b 。
二、象限的确定（1） 当a 、b 都是正数时，ϕ在第一象限！（2） 当a 、b 都是负数时，ϕ在第三象限！（3） 当a 是正数，b 是负数时，ϕ在第四象限！（4） 当a 是负数，b 是正数时，ϕ在第二象限！（5） 规律：x y a b ==ϕtan ，利用x 、y 的正负确定象限。
三、b a 22+的确定（系数，相当于辅助直角三角形中的斜边长） （1）b a 22+的大小不管a 、b 符号如何，b a 22+始终是正数。
（2） b a 22+的大小与a 、b 顺序无关。
（3） 1||||==b a 时，222=+b a （4） 2||||==b a 时，2222=+b a （5） 2||1||==b a ，时，522=+b a （6） 23||21||==b a ，时，122=+b a （7） 36||33||==b a ，时，122=+b a（8） 3||1||==b a ，时，222=+b a 三、ϕ角的大小确定（1）1=a b ，4πϕ=或45πϕ=（4ππ+k ）（2）1-=a b ，43πϕ=或4πϕ-=（4ππ-k ） （3）33=a b ，6πϕ=或67πϕ=（6ππ+k ） （4）33-=a b ，65πϕ=或6πϕ-=（6ππ-k ） （5）3=a b ，3πϕ=或34πϕ=（3ππ+k ） （6）3-=a b ，32πϕ=或3πϕ-=（3ππ-k ） 四、例说辅助角的运用（一）︒+︒75sin 15sin （2015年四川高考题）来分析：分析：先由诱导公式化为：︒+︒=︒+︒cos15sin1575sin 15sin ，然后直接利用辅助角公式得： 26232sin602)45sin(152cos15sin1575sin 15sin =⋅=︒⋅=︒+︒=︒+︒=︒+︒ （二）公式的灵活运用（1）直接运用辅助角公式 ︒=︒+︒=︒+︒sin502)45sin(52cos5sin5（2）化系数，利用两角和的三角函数变换︒=︒+︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒+︒sin502)45sin(525cos 45sin sin5(cos452)cos522sin522(2cos5sin5）（3）化系数，利用两角和的三角函数变换︒=︒-︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒+︒cos402)5cos(4525sin 45sin cos5(cos452)sin522cos522(2cos5sin5）（三）拓展分析︒-︒5sin cos5的思考：（1）利用辅助角公式︒=︒--=︒-︒-=︒-︒-=︒-︒sin40240sin(2)455sin(2)5cos 5(sin 5sin cos5）（2）利用辅助角公式︒=︒=︒+︒=︒+︒-=︒-︒sin402140sin(2)1355sin(25cos 5sin 5sin cos5）（3）利用两角和计算︒=︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒-︒sin40250cos 2)5sin 45sin 5cos 45(cos 2)5sin 225cos 22(25sin cos5（4）利用两角和计算 ︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒-︒40sin 2)5sin 45cos 5cos sin452)5sin 225cos 22(25sin cos5（。
辅助角公式
推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]?（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
[1]?在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。
他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。
辅助角公式
辅助角公式Revised on November 25, 2020推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。
辅助角公式
辅助角公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b 在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
三角函数辅助角公式化简
（2）若
且
，求
的值。
标准文案
19．已知 f x 2cosx sin x 6
3sinx cosx sin 2x ，
（1）求函数 y f x 的单调递增区间；
（2）设 △ABC的内角 A 满足 f A 2 ，而 AB AC 3 ，求边 BC的最小值．
20．已知函数 f x
cos x 2
3cosx cosx
（ 2）函数 得到函数
的图象向右平移 个单位后， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 的图象，求 的单调递减区间 .
4 倍，纵坐标不变，
23．已知函数 f x cos4 x sin2x sin4 x . （ 1）求函数 f x 的递减区间； （ 2）当 x 0, 时，求函数 f x 的最小值以及取最小值时 x 的值 .
f （x）= a ?b 且 f （ －x）=f （ x）． 3
（Ⅰ）求 f （x）的解析式及单调递增区间；
（Ⅱ）将 f（ x）的图象向右平移 单位得 g（x）的图象， 若 g（x）+1≤ ax+cosx 在 x∈[0 ， ]
3
4
上恒成立，求实数 a 的取值范围．
18． 已知函数
（1）求函数
在 上的单调递增区间；
2
24．已知函数 f x 2 3sinxcosx 2sin2x 1.
（ 1）求函数 f x 的对称中心和单调递减区间；
（ 2）若将函数 f x 图象上每一点的横坐标都缩短到原来的
1（纵坐标不变） ，然后把所得图象向左平移
个
2
6
单位长度，得到函数 g x 的图象，求函数 g x 的表达式 .
标准文案
实用文档
17．已知函数 f x Asin x （ 1） 求函数 f x 的解析式；
高一数学专题辅导讲义7辅助角公式及其应用
高一数学补充讲义7：辅助角公式及其应用一．问题提出：三角恒等变换在函数中的常见问题、方法及注意点(1)常见问题：求三角函数的周期、值域、对称轴、单调区间等.(2)常见方法：利用辅助角公式把函数化成一个角的三角函数的形式，进而求以上问题.在变换过程中，常用换元、逆用公式等数学思想.二．教学过程：1．辅助角公式 引例：化简(1) （2（3公式：,b a b a ϕϕ其中所在象限由的正负决定，且tan = 推导：化为一个角的三角函数形式说明：1）对形如cos sin (,,y a x b x a b ωωω=+均为非零常数）的三角式，可以转化为形如sin()y A x ωϕ=+的三角式，使问题得到简化，体现了化归思想。
2）类似的cos sin a x b x ωω+也可以转化为cos()A x ωϕ±的形式，应用时可灵活处理3)对定义R 上的函数cos sin y a x b x ωω=+ 思考：若6sin ),(,),x x x ϕϕππϕ-=+∈-求的值sin cos a x b x +x x ⎫=+⎪⎭cos sin ϕϕ==（令)sin cos cos sin x x ϕϕ+=()x ϕ=+sin cos a x b x +()x ϕ=+1sin cos 22x x -cos x x+cos )x x -sin cos a x b x +2．应用例题讲解例1．化简下列各式，并求所给函数的最小正周期及值域()1cos y x x =()2y x x =()2312sin cos y x x x =-+()4sin(2)sin 23y x x π=-+变式：1．已知()cos ,(0,)f x x x x π=+∈，求()f x 的值域．2．分别求()3sin 4cos f x x x =+ 在下列范围的值域： ()1x R ∈； ()202x π≤≤．例2．已知()sin 2cos 2f x x a x =+的一条对称轴方程为8x π=-，求a 的值．变式：设函数()sin cos (0)f x a x b x ωωω=+>，已知函数()f x 的最小正周期为π，且当6x π=时()f x 取最大值为2，求满足()1f x >的x 的取值范围。
《辅助角公式》 讲义
《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。
为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。
二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。
这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。
三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。
三角函数公式与方法汇总
三角函数公式与方法汇总三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
掌握并熟练运用三角函数的公式与方法，对于解决各种问题具有重要意义。
下面是三角函数公式与方法的汇总。
一、基本公式及性质：1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期函数，周期为2π，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,+∞)-值域：[-1,1]- 奇函数：sin(-x) = -sin(x)- 辅助角公式：sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB- 和差化积公式：sin(A + B) + sin(A - B) = 2sinA cosB2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期函数，周期为2π，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,+∞)-值域：[-1,1]- 偶函数：cos(-x) = cos(x)- 辅助角公式：cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB- 和差化积公式：cos(A + B) + cos(A - B) = 2cosA cosB正切函数也是一个周期函数，周期为π，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,+∞)-值域：(-∞,+∞)- 奇函数：tan(-x) = -tan(x)- 辅助角公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)4. 余切函数（cot）：余切函数是正切函数的倒数，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,+∞)-值域：(-∞,+∞)- 奇函数：cot(-x) = -cot(x)- 辅助角公式：cot(A ± B) = (cotA cotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)5. 正割函数（sec）：正割函数是余弦函数的倒数，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,-1]∪[1,+∞)-值域：(-∞,-1]∪[1,+∞)- 偶函数：sec(-x) = sec(x)- 辅助角公式：sec(A ± B) = (secA secB ± tanA tanB) / (secB ± secA)余割函数是正弦函数的倒数，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,-1]∪[1,+∞)-值域：(-∞,-1]∪[1,+∞)- 奇函数：csc(-x) = -csc(x)- 辅助角公式：cs c(A ± B) = (cscA cscB ± cotA cotB) / (cscB ± cscA)二、三角函数的基本关系式：1. 余弦和正弦关系：cos^2(x) + sin^2(x) = 12. 正切与余切关系：tan(x) = 1 / cot(x)3. 正割与余割关系：sec(x) = 1 / cos(x)4. 余切与直角三角形关系：cot(x) = adjacent / opposite5.三角函数的平方关系：- cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2- sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2- tan^2(x) = (1 - cos(2x)) / (1 + cos(2x))三、三角函数的周期性及对称性：1. 正弦函数的周期性：sin(x + 2πn) = sin(x)2. 余弦函数的周期性：cos(x + 2πn) = cos(x)3. 正切函数的周期性：tan(x + πn) = tan(x)4.正割、余切、正切函数的奇偶性：- sec(-x) = sec(x)- csc(-x) = -csc(x)- tan(-x) = -tan(x)四、三角恒等式：1.基本恒等式：- sin^2(x) + cos^2(x) = 1- 1 + tan^2(x) = sec^2(x)- 1 + cot^2(x) = csc^2(x)2.余弦的恒等式：- cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB- cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB3.正弦的恒等式：- sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB- sin(A - B) = sinA cosB - cosA sinB4.正割与余割的恒等式：- sec(A + B) = secA secB + tanA tanB- sec(A - B) = secA secB - tanA tanB- csc(A + B) = cscA cscB - cotA cotB- csc(A - B) = cscA cscB + cotA cotB五、解三角函数方程的方法：1.化简法：根据已知条件和三角函数的性质，将复杂的三角方程化简为简单的形式，然后求解。
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（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
8．（1） （2） 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
三角函数辅助角公式化简
一、解答题
1．已知函数 ，
（1）求 的对称中心；
（2）讨论 在区间 上的单调性.
2．已知函数 .
（1）将 化简为 的形式，并求 最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值及取得最值时 的值.
3．已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的单调递增区间及最大值与最小值．
试题解析：1）由已知
令 ，得 ，对称中心为 ， .
（2）令 ，
得 ， ,增区间为
令 ，
得 ， ,增区间为
上的增区间为 ，减区间为 .
2．（1） ， ；（2） 时， ， 时， .
【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得 ，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得 的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．
（2）将f（x）的图象向右平移 单位得g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0， ]上恒成立，利用数形结合分别研究h（x）=sinx-cosx和φ（x）=ax—1即可.
试题解析：
（Ⅰ）∵f（x）= =sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），
再由f（ -x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x= 对称，
6．(1) (2)
【解析】试题分析：(1) ，令 解得x即可(Ⅱ)求 在 上的单调区间，则令 解得x,对k赋值得结果.
试题解析：
(Ⅰ)
令 ，得 ，
故所求对称中心为
(Ⅱ)令 ，解得
又由于 ，所以
故所求单调区间为 .
点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成 类型，把wx+ 看成整体进行分析.
试题解析：
(1)f(x)＝2cosxcos(x－ )－ sin2x＋sinxcosx
＝
＝ cos2x＋sin2x
＝2sin ，
∴T＝π.
(2)
画出函数 在x∈ 的图像，由图可知 或
故a的取值范围为 .
11．（1） （2）
【解析】试题分析：（1）由三角恒等变换化简得 ，由 可解得增区间(2) 由 得 ， ，由余弦定理得 ，即 即得
试题解析：
（1）
．
所以 的最小正周期 ．
（2）令 ，函数 的单调递增区间是 ， ．
由 ，得 ， ．
设 ， ，易知 ．
所以，当 时， 在区间 上单调递增。
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 最大值为2，最小值为-1．
点睛：解题的关键是将函数化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式后，把ωx＋φ看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”，如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
=
的最大值为2．
要 使取最大值 ,
故 的集合为 .
（2） ,
化简得 ,
，只有
在 中，由余弦定理， ,
由 当 时等号成立， 最小为1.
点睛：（1）要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式；
（2）巧妙利用三角函数值求得角A，再利余弦定理得边的关系，得到最值；
14．（1） （2）
【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数： ，再根据正弦函数周期性质求 ，并根据单调性性质求单调增区间（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得 ，即得 ，根据锐角三角形得A取值范围，根据正弦函数性质求 的取值范围.
（3）求 在区间 上的最大值和最小值.
8．设函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）讨论 在区间 上的单调性.
9．已知函数 ，
（I）求 的最大值和对称中心坐标；
(Ⅱ)讨论 在 上的单调性。
10．已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)若关于 的方程 在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围.
11．设 .
同理可求得f(x)的单调减区间 ，，在 上的减速区间有 .
递增区间： 和 ；递减区间： .
10．（1） ；（2） 的取值范围为
【解析】试题分析：
(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为：f(x)＝2sin ，结合三角函数的周期公式可知T＝π.
(2)原问题等价于 ，结合函数的图象可得 或 ，求解不等式可得a的取值范围为 .
（2）当 时，求 的值域.
22．已知函数 为偶函数，且函数 图象的两相邻对称轴间的距离为 .
（1）求 的值；
（2）函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 的单调递减区间.
23．已知函数 .
（1）求函数 的递减区间；
（2）当 时，求函数 的最小值以及取最小值时 的值.
7．（1） ；（2）单调递增区间为 ；（3） ， .
【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得： ，进而得最小正周期；
（2）由 可得增区间；
（3）由 得 ，根据正弦函数的图象可得最值.
试题解析：
(1)
.
的最小正周期 .
（2）由
解得
函数 的单调递增区间为
(3)
当 时， ，
当 时， ， .
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
得： .
∴函数 的单调增区间为 ， .
（2）∵ ，即 .
∴ .
可得 ， .
∵ ，
∴ .
由 ，且 的面积为 ，即 .
∴ .
由余弦定理可得： .
∴ .
13．(1) , (2)a最小值为1.
【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一；（2）由 得
到 ， ；由余弦定理得 最小为1；
（1）
4．（1） ，最大值为1（2）
【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期 及最大值；（2）根据正弦函数性质列不等式 ，解得函数 的单调递增区间.
试题解析：解：
（1）
当
即 时
取最大值为1
（2）令
∴ 的单调增区间为
5．(1)答案见解析；(2) .
24．已知函数 .
（1）求函数 的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数 图象上每一点的横坐标都缩短到原来的 （纵坐标不变），然后把所得图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求函数 的表达式.
参考答案
1．（1）对称中心为 ， ；（2）增区间为 ，减区间为 .
【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．
【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式可得 ，则函数的最小正周期为 ；对称轴方程为 ；
(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为 .
试题解析：
（1）
由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以当 时， 取最大值1
又 ，当 时， 取最小值
所以函数 在区间 上的值域为
试题解析：（1） ，最小正周期为 ，
∴ ，令 ，即 ，
∴ 的单调递增区间为 .
（2）∵ ，∴ ，
整理得： ， ， ，∵锐角三角形 ，∴ 且 ，
∴ ，∴ ，∴ .
15．（Ⅰ）f（x）=sin（x+ ）， ；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：（1）利用向量的坐标运算得到 ，再由f（ -x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x= 对称，所以 +φ= +kπ，进而得到φ= ，利用三角函数的性质求解单调区间即可；
∴ +φ= +kπ，k∈Z，又|φ|＜ ，∴φ=
∴f（x）=sin（x+ ），
由2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ 可得2kπ- ≤x≤ 2kπ+ ，
∴函数的递增区间为[2kπ- ，2kπ+ ]，k∈Z；
（Ⅱ）由图象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0， ]上恒成立．
也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0， ]上恒成立.
16．已知向量 =（2cos ， sin ）， =（cos ，2cos ），（ω＞0），设函数f（x）= ，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求f（x）的单调递增区间．
17．已知函数 的部分图象如图所示.
（1） 求函数 的解析式；
（2） 如何由函数 的通过适当图象的变换得到函数 的图象， 写出变换过程;
(1)求 的单调递增区间；
(2)锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ， ， ，求 的值.
12．已知函数 .
（1）求函数 的单调增区间；
（2） 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ，且 的面积为 ，求 的值.
13．设函数 .
（1）求 的最大值，并写出使 取最大值时 的集合；
（2）已知 中,角 的边分别为 ，若 ，求 的最小值.