三角函数辅助角公式化简

三角函数辅助角公式化简8．设函数()()sin 3cos ?cos 2tan x x x f x xπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=.（1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性.9．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+，（I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。

10．已知函数.(1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围.11．设()2sin cos cos4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1a =， 3bc =b c +的值.12．已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值.13．设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值. 14．已知()()13sin cos cos2f x x x xωωω=+-，其中0ω>，若()f x的最小正周期为4π.（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）锐角三角形ABC中，()2cos cosa c Bb C-=，求()f A的取值范围.15．已知a r=（sinx，cosx），b r=（cosφ，sinφ）（|φ|＜）．函数f（x）=ar•br且f（3π－x）=f（x）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4π]上恒成立，求实数a 的取值范围．16．已知向量av=（2cos 2xω， 3sin2xω），bv=（cos 2x ω，2cos 2x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v •b v，且f （x ）的最小正周期为π．（1）求函数f （x ）的表达式；（2）求f （x ）的单调递增区间．17．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.（1） 求函数()f x 的解析式；（2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程;（3） 若142f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．已知函数（1）求函数在上的单调递增区间；（2）若且，求的值。

19．已知()22cos sin 3sin cos sin 6f x x x x x xπ⎛⎫=⋅++⋅- ⎪⎝⎭，（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）设△ABC 的内角A 满足()2f A =，而3AB AC ⋅=u u u v u u u v，求边BC 的最小值．20．已知函数()cos 3cos cos 2f x x x xπ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．21．已知()223cos sin231f x x x =+-+ ()x R ∈，求：（1）()f x 的单调增区间；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.22．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求的值；（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.23．已知函数()44cos sin2sin f x x x x =--.（1）求函数()f x 的递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值.24．已知函数()223sin cos 2sin 1f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的对称中心和单调递减区间；（2）若将函数()f x 图象上每一点的横坐标都缩短到原来的12（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的表达式.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第0页，总27页参考答案1．（1）对称中心为,0212k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭， k Z ∈；（2）增区间为,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，减区间为,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x 轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间． 试题解析：1）由已知()21cos 21cos2113cos2sin 222426x x f x x x x ππ⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭=-=-=- ⎪⎝⎭令26x k ππ-=，得,212k x k Z ππ=+∈，对称中心为,0212k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭， k Z∈.（2）令222262k x k πππππ-≤-≤+， k Z ∈ 得63k x k ππππ-≤≤+， k Z ∈,增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤-≤+， k Z ∈得536k x k ππππ+≤≤+， k Z ∈,增区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增区间为,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，减区间为,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.2．（1）()f x 2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， T π=；（2）4x π=-时， ()min 1f x =-， 12x π=时， ()max2f x =.【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由周期公式可得答案；（2）由x 的范围可得22633x πππ-≤+≤的范围，可得f （x ）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x 值． 试题解析：（1）()24sin cos cos sin sin 2sin cos 33f x x x x x x x ππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin22sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以22T ππ==.（2）因为46x ππ-≤≤，所以22633x πππ-≤+≤所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤， 当236x ππ+=-，即4x π=-时， ()min1f x =-，当232x ππ+=，即12x π=时， ()min2f x =.3．(1) π (2) ()f x 最大值为-2，最小值为1． 【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据22T ππ==求周期；（2）先求出函数()f x 的单调递增区间，再求其与区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的交集即可；根据23x π-的取值范围确定函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值。

试题解析：（1）()4tan cos cos 3f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4sin cos 3x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14sin cos 2x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =+)sin21cos2x x =-sin22sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期22T ππ==．（2）令23z x π=-，函数2sin y z =的单调递增区间是2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+， k Z ∈． 设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，5{|,}1212B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知,124A B ππ⎡⎤⋂=-⎢⎥⎣⎦．所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增。

∵44x ππ-≤≤， ∴52636x πππ-≤-≤， ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴12sin 223x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭∴()f x 最大值为2，最小值为-1．点睛：解题的关键是将函数化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式后，把ωx ＋φ看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”， 如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．4．（1）T π=，最大值为1（2）()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期T 及最大值；（2）根据正弦函数性质列不等式()222Z 232k x k k πππππ-+≤+≤+∈，解得函数()f x 的单调递增区间.试题解析：解：())1cos21sin222x f x x +=+1sin2sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（1）T π=当2232x k πππ+=+ 即()Z 12x k k ππ=+∈时 ()f x 取最大值为1（2）令()222Z 232k x k k πππππ-+≤+≤+∈ ∴()f x 的单调增区间为()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦5．(1)答案见解析；(2) ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式可得()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数的最小正周期为T π=；对称轴方程为()3x k k Z ππ=+∈；(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 试题解析：（1）()22344f x cos x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q()()12222cos x sin x sinx cosx sinx cosx =++-+221222cos x x sin x cos x =++-12222cos x x cos x =+- 26sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 22T ππ∴==周期由()()2,6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5,,2,122636x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q因为()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又11222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，当12x π=-时，()f x取最小值所以 函数 ()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．(1) ,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭(2) 50,,36πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】试题分析：(1)()21cos cos sin 2126f x x x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=解得x 即可(Ⅱ) 求()f x 在[]0,π上的单调区间，则令222262k x k πππππ-≤-≤+解得x,对k 赋值得结果.试题解析：(Ⅰ) ()1cos21sin 21226x f x x x π+⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭令26x k ππ-=，得212k x ππ=+， 故所求对称中心为,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭(Ⅱ)令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 又由于[]0,x π∈，所以50,,36x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故所求单调区间为50,,36πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成()sin y A wx ϕ=+ 类型，把wx+ ϕ 看成整体进行分析.7．（1）T π=；（2）单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）()min1f x =-， ()2miaxf x =.【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得： () 2sin 26f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得最小正周期； （2）由2k 22,62x k k Z ππππ≤+≤+∈可得增区间；（3）由64x ππ-≤≤得22663x πππ∴-≤+≤，根据正弦函数的图象可得最值. 试题解析： (1)()214cos sin 14cos cos 1cos 2cos 162f x x x x x x x x x π⎫⎛⎫=+-=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Qcos2x x=+ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ()f x ∴的最小正周期T π=.（2）由2k 22,62x k k Z ππππ≤+≤+∈ 解得k ,36x k k Z ππππ-≤≤+∈ ∴函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(3) 64x ππ-≤≤Q 232x ππ∴-≤≤ 22663x πππ∴-≤+≤∴当266x ππ+=-时， x 6π=-， ()min1f x =-当262x ππ+=时， x 6π=， ()2miaxf x =.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.8．（1）T π=（2）()f x 在区间0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在区间,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得()f x 的最小正周期；（2）根据正弦函数性质求0,)2π上单调区间，即得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性. 试题解析：（1）()()2sin ?cos sin cos f x x x x x x x=+=12sin2sin 2232x x T πππ⎛⎫==++⇒== ⎪⎝⎭（2）令222232k x k πππππ-+<+<+，解得51212k x k ππππ-+<<+（k Z ∈）∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ ()f x 在区间0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,122ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 9．(Ⅰ) 最大值为2，对称中心为： (),0212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭；(Ⅱ) 递增区间： 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；递减区间： 5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可知最大值为2，对称中心由26x k ππ-=，解得x 可求。