用函数观点来看待二次函数
解析二次函数
解析二次函数二次函数在数学中是一种基本的二次多项式函数，也是一种常见的函数类型。
它的一般形式是 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 都是实数，且a ≠ 0。
二次函数具有许多重要的性质和应用，以下将对其进行详细分析和解释。
一、二次函数的基本性质1. 对称轴：二次函数的对称轴是 x = -b/(2a)。
对称轴将函数图像分为左右对称的两部分，该点也是二次函数的极值点。
2. 开口方向：当 a > 0 时，二次函数的图像开口向上；当 a < 0 时，二次函数的图像开口向下。
3. 零点：二次函数的零点是函数与 x 轴相交的点，它可以通过求解二次方程 ax²+bx+c=0 来求得。
4. 极值点：当 a > 0 时，二次函数的极小值为 y = c - b²/(4a)，极小值点横坐标为 -b/(2a)；当 a < 0 时，二次函数的极大值为 y = c - b²/(4a)，极大值点横坐标为 -b/(2a)。
5. 单调性：当 a > 0 时，二次函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；当 a < 0 时，二次函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。
二、二次函数的图像及其变化二次函数是一个连续光滑的函数，在平面直角坐标系中其图像是一个开口向上或向下的抛物线。
对于二次函数 f(x)=ax²+bx+c，可以通过改变 a、b 或 c 的值来改变该函数的图像。
1. 改变 a 的值：在不改变 b 和 c 的值的情况下，改变 a 的值，可以改变二次函数图像的开口方向，当a 增大（变正）时，图像向上开口；当 a 减小（变负）时，图像向下开口。
2. 改变 b 的值：在不改变 a 和 c 的值的情况下，改变 b 的值，可以改变二次函数图像的左右位置，当 b 增大时，图像向左移动；当 b 减小时，图像向右移动。
深入浅出二次函数核心思想
深入浅出二次函数核心思想二次函数是数学中经常遇到的一种函数形式，具有许多特殊的性质和重要的应用。
本文将深入浅出地探讨二次函数的核心思想，包括函数的定义、性质、图像、相关定理以及实际应用，旨在帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 二次函数的定义和性质二次函数是一个以自变量的平方为最高次幂的函数，一般表达式为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b和c都是实数，且a不等于0。
二次函数的定义域是全体实数集，值域则取决于二次项系数a的符号。
二次函数的性质包括：- 对称性：二次函数关于抛物线的对称轴对称。
- 单调性：当二次项系数a大于0时，函数开口向上，为上凹函数；当a小于0时，函数开口向下，为下凹函数。
- 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，可通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来确定。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，其形状和位置由二次项系数a、一次项系数b和常数项c决定。
根据二次项系数a的值不同，图像可以分为三种情况：- 当a大于0时，抛物线开口向上，图像在坐标系的正部分（y轴上方）。
- 当a小于0时，抛物线开口向下，图像在坐标系的负部分（y轴下方）。
- 当a等于0时，函数退化为一次函数。
通过移动抛物线的顶点和研究抛物线的对称性，可以更好地理解二次函数的图像特征。
3. 二次函数的相关定理二次函数有许多重要的相关定理，其中最著名的是二次函数的最值定理和零点定理。
最值定理指出，对于开口向上的二次函数，其最小值为抛物线的顶点坐标；对于开口向下的二次函数，其最大值也是抛物线的顶点坐标。
零点定理则表明，对于二次函数y=ax^2+bx+c，存在两个根（零点）x1和x2，满足a*x1^2+b*x1+c=0和a*x2^2+b*x2+c=0。
这两个根可以通过求解二次方程来获得。
这些定理在解决二次函数的问题时起到重要的作用，帮助我们确定最值点和求解方程。
4. 二次函数的实际应用二次函数在物理、经济和工程等领域中有广泛的应用。
二次函数的概念和性质
二次函数的概念和性质二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数是由二次方程演变而来的，其图像呈现出特殊的形状，同时具有一些独特的性质。
本文将介绍二次函数的概念和性质，并分析其在数学和实际问题中的应用。
一、二次函数的概念二次函数是指函数表达式中的最高次项为二次的函数。
在二次函数的一般形式中，ax^2代表二次项，bx代表一次项，c代表常数项。
二次函数的变量x可以取任意实数值，并对应一个唯一的函数值f(x)。
当二次函数的系数a、b、c满足一定条件时，其图像呈现出不同的特征，如开口向上或向下、对称轴等。
二、二次函数的性质1. 平移性：二次函数的图像可以通过平移来变换位置。
当二次函数的表达式中添加或减去一个常数h时，图像向左或向右平移h个单位；当表达式中添加或减去一个常数k时，图像向上或向下平移k个单位。
2. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称。
对称轴是通过顶点的垂直线，其方程可以通过计算 x = -b/(2a) 得到。
3. 开口方向：二次函数的图像具有开口向上或向下的特征。
当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。
a的绝对值决定了图像的开口程度。
4. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
零点可以通过解一元二次方程来求得，或者利用配方法化简二次函数的一般形式。
5. 最值：二次函数的最值即函数的最大值或最小值。
当二次函数的开口向上时，没有最小值；当二次函数的开口向下时，没有最大值。
最值的出现位置与顶点的坐标有关，顶点坐标可以通过计算 x = -b/(2a) 得到。
三、二次函数的应用二次函数在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
在数学中，研究二次函数可以深入理解函数的性质、变化规律和图像特征。
在实际问题中，二次函数可以用来描述和解决与二次关系相关的各类问题，如自由落体运动、抛物线轨迹、经济增长模型等。
二次函数与函数的概念
二次函数与函数的概念函数是数学中的一个重要概念，而二次函数是一种特殊的函数形式。
本文将围绕二次函数和函数的概念展开讨论，并解释它们之间的关系。
一、函数的概念函数是一个数学概念，用来描述输入与输出之间的关系。
通俗地说，函数就是一种“机器”，它接受一个或多个输入，并运算后产生一个输出。
函数通常用f(x)的形式表示，其中f是函数名，x是输入的自变量。
函数的输出则用f(x)的形式表示其值。
二、二次函数的概念二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a≠0。
二次函数的特点在于其自变量的平方项，即x^2。
二次函数的图像是一条抛物线，可以向上开口（a>0）或向下开口（a<0）。
三、二次函数与函数的关系二次函数是函数的一种特殊形式。
它满足函数的定义，即对于每个自变量x，确定唯一的函数值f(x)。
二次函数在数学和实际问题中都有重要的应用。
例如，抛物线的运动轨迹可以用二次函数来描述。
四、二次函数的图像特点二次函数的图像是一条抛物线，其特点如下：1. 开口方向：二次函数的图像可以向上开口，也可以向下开口。
开口方向由二次函数中的参数a决定。
2. 顶点坐标：二次函数的图像在开口方向上具有一个最高或最低点，称为顶点。
顶点的坐标可以通过求解二次函数的导数为零的点得到。
3. 对称轴：二次函数的图像具有一条对称轴，对称轴通过顶点并垂直于x轴。
对称轴的方程可以通过求解二次函数的导数为零的点得到。
4. 零点：二次函数的图像与x轴的交点称为零点，即函数值为零的点。
零点可以通过求解二次函数的方程f(x) = 0得到。
五、二次函数的应用二次函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 物体的抛体运动：二次函数可以描述抛体在空中的运动轨迹。
2. 经济学中的成本与利润：二次函数可以描述成本与利润之间的关系。
3. 自然界中的形态：许多自然界中的形态，如花朵、动物的身形等，都可以用二次函数来描述。
二次函数总结
二次函数总结二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是一种常见的数学函数形式。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
在这篇文章中，我将对二次函数的定义、性质、图像以及在实际问题中的应用进行总结和分析。
首先，来看一下二次函数的定义。
二次函数是一种多项式函数，其次数为2。
它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
其中，a决定了抛物线的开口方向，a大于0时抛物线向上开口，a小于0时抛物线向下开口；b决定了抛物线的位置；c决定了抛物线在y轴上的截距。
接下来，我们来讨论一下二次函数的性质。
首先是定义域和值域。
对于任意实数x，二次函数的定义域为全体实数，即(-∞,+∞)。
其次是值域，当a大于0时，二次函数的值域为大于等于c的全体实数；当a小于0时，二次函数的值域为小于等于c的全体实数。
然后，我们来看一下二次函数的图像。
二次函数的图像是一条抛物线。
当a大于0时，抛物线向上开口，当a小于0时，抛物线向下开口。
抛物线在顶点处取得最小值或最大值。
顶点的横坐标为-x轴的系数的一半，纵坐标为将顶点的横坐标代入二次函数得到的值。
接下来，我们来讨论一下二次函数在实际问题中的应用。
二次函数广泛应用于物理学、经济学、工程学等各个领域。
例如，在抛射运动中，物体的高度与时间之间的关系就可以用二次函数来描述。
经济学中的成本函数、收益函数以及利润函数等也可以用二次函数表达。
此外，在工程领域中，二次函数常用于描述物体的受力、能量消耗等问题。
最后，我们来总结一下二次函数。
二次函数是高中数学中的一个重要概念，它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
二次函数具有一些重要的性质，如定义域为全体实数，值域取决于二次函数的系数。
二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。
二次函数在实际问题中有广泛的应用，可以用来描述物理、经济、工程等领域的问题。
二次函数的基本概念及性质
二次函数的基本概念及性质二次函数是高中数学中经常出现的一个重要函数。
本文将介绍二次函数的基本概念和一些重要的性质。
通过学习，你将对二次函数有更深入的了解。
一、基本概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，b决定了二次函数的对称轴位置，c表示二次函数的纵截距。
二、性质1：二次函数的图像二次函数的图像常常是一个抛物线。
具体来说，如果a>0，则二次函数的图像开口向上，形如∩；如果a<0，则二次函数的图像开口向下，形如∪。
对于开口向上的情况，图像的最低点称为最小值点；对于开口向下的情况，图像的最高点称为最大值点。
性质2：对称轴二次函数的对称轴是指图像的对称轴线。
对称轴的公式为x=-b/2a。
可以看到，对称轴与y轴平行。
性质3：顶点坐标二次函数的顶点是指图像的最低点或最高点。
顶点的横坐标即为对称轴的横坐标，也就是x=-b/2a；顶点的纵坐标可以通过代入对称轴的横坐标求得。
性质4：零点二次函数的零点是指函数图像与x轴的交点。
要求二次函数的零点，我们需要解二次方程ax²+bx+c=0。
根据二次方程的求根公式，可以求得二次函数的零点。
三、性质的应用二次函数的性质在实际问题中有广泛的应用。
下面通过几个例子来说明。
例1：抛物线的最大高度一个枪弹以v0的初速度射出，枪口与地面之间的距离为h。
如果不考虑阻力和重力加速度变化，可以用二次函数表示该枪弹的轨迹。
那么枪弹射出的最大高度对应于二次函数的最大值点，可以通过顶点的纵坐标求得。
例2：图像的平移与缩放二次函数的图像可以通过平移和缩放来得到变换后的图像。
平移是通过添加常数项实现的，可以将二次函数的图像沿x轴平移或y轴平移。
缩放则是通过改变系数实现的，可以改变二次函数的开口程度，使图像更加陡峭或平缓。
例3：经济学中的应用二次函数在经济学中有广泛的应用。
例如，成本函数和收益函数常常是二次函数的形式。
二次函数知识点复习
二次函数知识点一、二次函数观点：1．二次函数的观点：一般地，形如y ax2 bx c0 ）的函数，叫做二次函数。
这（ a ，b ，c 是常数，a里需要重申：和一元二次方程近似，二次项系数 a 0 ，而b，c能够为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数 y ax2 bx c 的构造特色：⑴ 等号左边是函数，右边是对于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的张口越小。
a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而增大； x 0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值 0 ．a 0 0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而减小； x 0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值 0 ．2. y ax2 c 的性质：上加下减。
a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 0 ，c x 0 时， y 随x的增大而增大； x 0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值c．a 0 0 ，c x 0 时， y 随x的增大而减小； x 0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值c．23.y a x h 的性质：左加右减。
a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 h ，0 x h 时， y 随x的增大而增大； x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小；x h 时， y 有最小值 0 ．a 0 h ，0 x h 时， y 随x的增大而减小； x h 时， y 随向下X=hx 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 0 ．4. y a x h 2k 的性质：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质ah ，kx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．ah ，kx h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线分析式转变为极点式y a x h 2h ，k ； k ，确立其极点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k |个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 ( h<0)】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 向右 (h>0)【或左 (h<0)】 平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a(x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ yax 2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， y ax2bx c 变为y ax 2 bx cm （或 yax 2 bx cm ）⑵ yax 2 bx c 沿轴平移： 向左（右）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变为 y a( x m)2b(x m) c（或 y a(x m) 2b( x m) c ）四、二次函数y2ax2c的比较a x hk 与 ybx从分析式上看， y a x h2ax 2bx c 是两种不一样的表达形式，后者经过配方能够获取前者，k 与 y2b 2b，kb 2即 ya xb 4ac ，此中 h4ac ．2a4a2a4a五、二次函数yax2bxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2bx c 化为极点式 ya ( x h)2 k ，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图. 一般我们选用的五点为：极点、与 y 轴的交点0 ，c 、以及 0 ，c 对于对称轴对称的点 2h ，c 、与 x 轴的交点 x 1 ，0 ， x 2 ，0 （若与 x 轴没有交点， 则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点 .六、二次函数yax 2bx c 的性质1. 当 a0 时，抛物线张口向上，对称轴为 xb ，极点坐标为b ，4ac b 2 ．2a2a4a2当 xb 时， y 随 x 的增大而减小； 当 xb 时， y 随 x 的增大而增大； 当 xb 时， y 有最小值4ac b．2a 2a2a4a2. 当 a0 时，抛物线张口向下，对称轴为 xb ，极点坐标为b ，4ac b2．当 xb时， y 随 x 的2a2a4a2 ab时， y 随 x 的增大而减小；当b时， y 有最大值4ac2增大而增大；当 xxb ．2a2a 4a七、二次函数分析式的表示方法1. 一般式： y ax2bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 极点式： y a ( xh)2k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；3. 两根式： y a ( x x 1 )( x x 2 ) （ a 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛2物线与 x 轴有交点，即 b 4ac 0 时，抛物线的分析式才能够用交点式表示．二次函数分析式的这三种形式能够互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2bx c 中， a 作为二次项系数，明显 a 0 ．⑴ 当 a 0 时，抛物线张口向上， a 的值越大，张口越小，反之 a 的值越小，张口越大； ⑵ 当 a 0 时，抛物线张口向下， a 的值越小，张口越小，反之 a 的值越大，张口越大．总结起来， a 决定了抛物线张口的大小和方向，a 的正负决定张口方向，a 的大小决定张口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确立的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在 a 0 的前提下，当 bb 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左边；当 b 0 时，b ，即抛0时，2a2a物线的对称轴就是 y 轴；当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右边．2a⑵ 在 a 0 的前提下，结论恰好与上述相反，即当b0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右边；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左边．2a 2a总结起来，在 a 确立的前提下， b 决定了抛物线对称轴的地点．ab 的符号的判断：对称轴 xb在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右边则 ab 02a⑵当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的地点．二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有以下几种状况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；2.已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点状况）：一元二次方程ax2 bx c 0 是二次函数 y ax2 bx c 当函数值 y 0 时的特别状况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当24ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0 ，B x2，0 (x1 x2 ) ，此中的 x1，x2是一元二次方程bax 2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2 x1 b2 4ac .a② 当0 时，图象与x轴只有一个交点；③ 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1' 当 a 0 时，图象落在x 轴的上方，不论x 为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0 时，图象落在x 轴的下方，不论x 为任何实数，都有y 0 ．2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y轴必定订交，交点坐标为(0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转变为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转变为极点式；⑶依据图象的地点判断二次函数y ax2 bx c 中 a ，b， c 的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的地点，要数形联合；⑷ 二次函数的图象对于对称轴对称，可利用这一性质，乞降已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.下边以 a 0 时为例，揭露二次函数和一元二次方程之间的内在联系：0 抛物线与 x 轴有两个交点一元二次方程有两个不相等实根0 抛物线与 x 轴只有一个交点一元二次方程有两个相等的实数根0 抛物线与 x 轴无交点一元二次方程无实数根 .十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获取最大收益最大面积是多少二次函数考察要点与常有题型1．考察二次函数的定义、性质，有关试题常出此刻选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y (m 2)x 2m2m 2 的图像经过原点，则m的值是2．综合考察正比率、反比率、一次函数、二次函数的图像，习题的特色是在同向来角坐标系内考察两个函数的图像，试题种类为选择题，如：如图，假如函数 y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2 bx 1 的图像大概是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3．考察用待定系数法求二次函数的分析式，有关习题出现的频次很高，习题种类有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)5，求这条抛物线的分析式。
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式从函数的角度来看，一元二次方程和一元二次不等式都是关于一个未知数的二次函数。
一元二次不等式是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式。
而一元二次方程则是有两相异实根或有两相等实根的二次函数。
对于一元二次方程，判别式Δ＝b²－4ac可以判断其有无实根以及实根的情况。
当Δ＞0时，方程有两相异实根x1和x2；当Δ＝0时，方程有两相等实根x1＝x2；当Δ＜0时，方程没有实数根。
而对于一元二次不等式，其解集可以通过判别式2Δ的符号来确定。
当2Δ＞0时，解集为{x|x＞x2或x＜x1}；当2Δ＝0时，解集为{x|x＝x1或x＝x2}；当2Δ＜0时，解集为{x|x1＜x＜x2}。
此外，对于分式不等式和整式不等式，我们可以通过乘上一个不等式来确定其符号。
具体而言，对于f(x)/g(x)>0(0(<0)；对于f(x)/g(x)≥0(≤0)，我们则需要同时满足f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.在解不等式时，我们需要注意绝对值不等式的解集，以及当a＝0时的特殊情况。
同时，要结合函数图象来确定___成立的条件。
针对一些疑误辨析，我们可以判断：(1)错误，解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，并不能确定方程的两个根；(2)正确，解集为(x1，x2)时，a必须大于0；(3)错误，解集为x≤a时，其实为(-∞，a]。
4.已知函数$f(x)=-x+ax+b-b+1(a\in R,b\in R)$，对任意实数$x$都有$f(1-x)=f(1+x)$成立，当$x\in[-1,1]$时，$f(x)>0$恒成立，则$b$的取值范围是()解析：由$f(1-x)=f(1+x)$可得$-1+a+b-b+1=1+a-b-b+1$，即$a=0$，代入$f(x)>0$恒成立的条件，可得$b\in(-1,0)\cup(2,+\infty)$，故选项为$\textbf{(C)}$。
用函数观点看一元二次方程
用函数观点看一元二次方程一元二次方程是数学中的重要内容，通过函数的观点来看待一元二次方程可以更加深入地理解其性质和解法。
在本文中，将从函数的角度出发，探讨一元二次方程的定义、特点以及解法，并结合具体例子进行说明。
我们来回顾一下函数的概念。
函数是数学中的基本概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
在一元二次方程中，我们可以将自变量视为方程中的未知数，因变量视为方程的解。
通过这种角度，我们可以将一元二次方程看作是一个函数关系。
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0。
其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
在函数的观点下，我们可以将一元二次方程看作是一个关于x的二次函数。
而二次函数的图象是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负性。
接下来，我们来讨论一元二次方程的特点。
首先，一元二次方程在解的个数上有一些特殊性。
根据韦达定理，一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。
一元二次方程在图象上也有一些特点。
根据二次函数的性质，当a 大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
同时，方程的解对应了抛物线与x轴的交点，这些交点被称为方程的根。
根的个数和位置与方程的系数有关，可以通过观察方程的图象来判断方程的解的情况。
我们来探讨一元二次方程的解法。
求解一元二次方程的一种常见方法是配方法。
通过变形、配方和化简，我们可以将一元二次方程转化为完全平方式，从而求得方程的解。
另一种常见的解法是使用求根公式，即利用判别式和一些公式来求解方程的根。
除了这些常见的解法，我们还可以利用图象的性质来求解一元二次方程。
通过观察抛物线与x轴的交点，我们可以直观地得到方程的解。
这种方法在一些特殊情况下尤为有效，例如当方程的系数为整数或有理数时。
通过函数的观点来看待一元二次方程，我们可以更加深入地理解其性质和解法。
二次函数的地位和作用
二次函数的地位和作用二次函数是高中数学中一种重要的函数类型，其地位和作用十分显著。
下面将从几个不同的维度来介绍二次函数的地位和作用。
首先，从数学理论的角度来看，二次函数是一种多项式函数，其代数表达式的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的特点是可由一般式表示，且其图像为一条开口朝上或朝下的抛物线。
二次函数的地位体现在以下几个方面：1.二次函数是整个代数函数族中最简单和最基本的一类函数之一、它不仅包含了一次函数，还产生了一些新的数学概念和应用，如顶点坐标、对称轴、判别式等。
2.二次函数在数学的其他分支中也具有重要地位。
在微积分学中，二次函数是研究函数的极值、曲率等问题的基础。
在代数学中，二次函数是研究代数方程的一个重要对象。
在数论中，二次函数与二次剩余、模平方和问题等息息相关。
然后，从数学应用的角度来看，二次函数在很多实际问题中起着重要的作用。
以下是二次函数在几个领域中的应用示例：1.物理学：通过建立质点运动的二次函数模型，可以研究抛体运动、自由落体、弹性碰撞等物理现象。
2.经济学：二次函数可以用来建立成本函数、收益函数等。
例如，通过研究二次函数模型来优化生产成本和利润等经济指标。
3.工程学：二次函数在工程学中有广泛的应用，如研究桥梁、拱形物体、抛物线喷水池等结构的设计和计算。
4.计算机图形学：二次函数可以用来绘制曲线、实现图像变形和平滑等功能，常用于计算机游戏和动画制作中。
此外，二次函数还具有一些重要的性质和特点，也进一步彰显了其地位和作用：1.二次函数的图像是一条抛物线，它能够描述很多实际世界中存在的曲线形态。
通过对二次函数的图像进行研究和分析，可以帮助我们更好地理解和解释各种物理和数学问题。
2.二次函数的对称轴和顶点坐标等性质，给函数的变化特点提供了重要线索，可以用来确定函数的最值、方程的根等问题。
3.二次函数的判别式可以判断方程的根的情况，不仅在解方程的过程中有重要作用，也在几何图像的研究和实际问题的求解中起着重要作用。
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用函数观点来看待二次函数
问题：以40m/s 的速度小将球沿与地面成30°的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：h=20t –5t 2考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要飞行多少时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m ？需要飞行多少时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
下列二次函数哪些与X 轴有交点，哪些没有交点？
（1）y=x 2＋x －2 （2）y=x 2－6x ＋9 （3）y=x 2－x ＋1
一、一般地，由y=ax 2＋bx ＋c 的图象可知：（1）如果y=ax 2＋bx ＋c 与X 轴有公共点（x 0，0）那么x=x 0是方程ax 2＋bx ＋c=0的一个根。
（2）二次函数
2
＋c 与
X 轴的公共点个数有三种：
有两个公共点 2－4ac ＞0
只有一个公共点b 2－4ac=0
无公共点b 2－4ac ＜0
例1、（1y=x 2－5x －14与X 轴的交点坐标为 。
（2）已知二次函数y =－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m=0的解为 。
例2、（1）若抛物线2x 2
1y -=与直线y=x+m 只有一个公共点，则m= 。
（2）已知抛物线()1x 1k 2x k y 22+-+=与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 。
例3、（1）不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x ＋m 的函数值总是正数，则m 的取值范围是 。
（2）已知抛物线()4
1x 2x 1m y 2---=的图象全部在X 轴的下方，则m 的取值范围是 。
二、函数值恒大于
函数值恒小于
例4、抛物线
c 的图象如图所示，那么abc 、b 2-4ac 、2a+b 、a+b+c 中值为正数的有 个。
a ＞0
b 2-4a
c ＜0 a ＜0 b 2-4ac ＜0。