辽宁省沈阳市2015届高三四校联考数学(文)试题 Word版含答案

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辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题含解析

第Ⅰ卷(共60分)【试卷综析】本试题是一份高三测试的好题，涉及范围广，包括集合、函数、导数、充要条件、不等式、简易逻辑、程序框图、数列、平面向量、三角函数、等高考核心考点，又涉及了集合、三角向量、简易逻辑、函数、导数应用等必考解答题型。

本题难易程度设计合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从6,12等题能看到命题者在创新方面的努力，从18、21、22三题看出考基础，考规范；从20题可以看出考融合，考传统。

一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1.若集合}0|{≥=x x A ，且B B A = ，则集合B 可能是 A.}2,1{ B.}1|{≤x xC.}1,0,1{-D.R【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】A 解析：A B B B A =⇒⊆，易知A 对【思路点拨】转化是关键。

【题文】2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是A.)62sin(π+=x y B.)32sin(π+=x yC.)32sin(π-=x yD.)62sin(π-=x y【知识点】三角函数的图像与性质 C3【答案解析】 D 解析：最小正周期为π，不起作用；把3π=x 带入解析式，函数取到最值，经检验D 符合。

【思路点拨】理解对称轴、对称中心在函数图像中的体现。

【题文】3.已知110a b<<，则下列结论错误的是A.22b a <B.2b aa b+> C.2b ab >D.2lg lg a ab <【知识点】不等式的概念与性质E1 【答案解析】C 解析：由110a b<<易得0b a <<两边都乘b ，且0b <，所以2ab b <，故C 错。

【思路点拨】不等式的性质要娴熟运用。

尤其倒数不等式的性质。

【题文】4.规定2,a b a b a b R +⊗=++∈　、，若14k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域A.(2,)+∞ B ．),1(+∞ C ．7[,)8+∞ D ．7[,)4+∞ 【知识点】函数及其表示B1【答案解析】A 解析：由14k ⊗=得241k k +⇒=，()12f x k x x x ∴=⊗=⊗=222=>【思路点拨】新定义关键是会“套”模式，套的合适，准确。

2015届高三第四次全国大联考文科数学 PDF版含答案

{ } D. x | x⩽-2 D. b<c<a 1 D. x=1 6
2 抛物线 y=4 关于直线 x-y=0 对称的抛物线的准线方程是 3. x
右图是一个几何体的正 ( 主) 视图和侧( 左) 视图, 其俯视图是面积 4. A. 2 0+8 2 为 8 2的矩形 , 则该几何体的表面积是 B. 2 4+8 2 D. 1 6
命题 : 衡水点睛文化编辑部
本试卷分第 Ⅰ 卷 ( 选择题 ) 和第 Ⅱ 卷 ( 非选择题 ) 两部分 , 总分 1 考试时间 1 5 0分, 2 0 分钟。
第 Ⅰ 卷 ( 选择题 , 共 6 0分)
4 5 6 7 8
题号答案
1
2
3
9
1 0
1 1
1 2
一、选择题 ( 本大题共 1 每小题 5 分 , 共6 只有一项 2 个小题 , 0 分。在每小题给出的四个选项中 , 1) 2 x } , ( } , 设集合 M = { 集合 N = { 则 M ∪N = 1. x | x +3 x+2<0 x | ⩽4 2
x ] ( 若在区间 [ 上存在实数 x 使 2 则 a 的取值范围是 1 5. 0, 1 3 x+a) <1 成立 ,
x , ) ) ) ) 则 f( 的值为 1 + 2 + 3 +…+ 8 f( f( f( 9-x
。
。
上, 则此球的表面积为
已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点 , 且左、右焦点分别为 F1 、这两条曲线在第 1 6. F2 , 一象限的交点为 P, 椭圆与双曲线 △P F1F2 是以 P F1 为底边的等腰三角形。若| P F1 |=1 0, 的离心率分别为 e 则e e e 1、 2, 1· 2 的取值范围为。

2015年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(文科)

2015年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（文科）一、选择题（每题5分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）向量与满足||=1，||=，且，则||为（）A．B．C．2 D．24．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．25．（5分）x＜2是x2﹣3x+2＜0成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤87．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．64 C．D．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或09．（5分）在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是（）A．2 B．8 C．14 D．1610．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A 在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C．2 D．311．（5分）若关于x的方程|log a|x+b||=b（a＞0，a≠1），有且只有两个解，则（）A．b=1 B．b=0 C．b＞1 D．b＞012．（5分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）成为M函数：①对任意的x∈[0，1]恒有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列函数不是M函数的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=2x﹣1 C．f（x）=ln（x2+1）D．f（x）=x2+1二、填空题（每题5分）13．（5分）函数y=的单调递增区间是．14．（5分）将高一9班参加社会实践编分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5，29，41学生在样本中，则样本中还有一名学生的编是．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是．16．（5分）如图，半球O内有一内接四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为正方形，SO⊥底面ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．18．（12分）某校甲、乙两个班级各有5名编分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，0＜k＜1，点F为PD中点．（1）若k=，求证：AF∥平面PEC；（2）是否存在一个常数k，使得三棱锥C﹣PEB的体积等于四棱锥P﹣ABCD的体积的，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅲ）过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2，常数a∈R．（Ⅰ）若a=1，过点（1，0）作曲线y=f（x）的切线l，求l的方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，求实数a的取值范围．四、选修题[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC，D为圆O上一点，且AD∥OC．（1）求证：CO平分∠DCB；（2）已知AD•OC=8，求圆O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2015年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【解答】解：∵A=[﹣1，1]，B=[0，2]，∴A∩B=[0，1]，故选：C．2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：==1﹣i，故选：A．3．（5分）向量与满足||=1，||=，且，则||为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：向量与满足||=1，||=，且，则，||===．共线：B．4．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4，=bcsinA==．∴S△ABC故选：C．5．（5分）x＜2是x2﹣3x+2＜0成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：解x2﹣3x+2＜0得：1＜x＜2，∵{x|x＜2}⊋{x|1＜x＜2}，故x＜2是x2﹣3x+2＜0成立的必要不充分条件，故选：A6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤8【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S==，n=6满足条件，S==，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6，故选：C．7．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．64 C．D．【解答】解：由三视图，该几何体是四个面都是直角三角形的三棱锥，V==．故选A．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【解答】解：由函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=±2，故选：B．9．（5分）在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是（）A．2 B．8 C．14 D．16【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（2，6），此时z的最大值为z=2+2×6=14．故选：C．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A 在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：如图，联立，解得，∵A在x轴上方，∴，则|AF|=x A+1=4，|BF|=，由=m，得．故选：D．11．（5分）若关于x的方程|log a|x+b||=b（a＞0，a≠1），有且只有两个解，则（）A．b=1 B．b=0 C．b＞1 D．b＞0【解答】解：∵|log a|x+b||=b，∴log a|x+b|=b，或log a|x+b|=﹣b；①若b=0，则x=±1，成立；②若b＞0，则|x+b|=a b，|x+b|=a﹣b；此时有四个解；故不成立；故选B．12．（5分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）成为M函数：①对任意的x∈[0，1]恒有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列函数不是M函数的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=2x﹣1 C．f（x）=ln（x2+1）D．f（x）=x2+1【解答】解：A．f（x）=x2，该函数显然满足①，f（x1+x2）=≥f（x1）+f（x2），即满足②；∴该函数是M函数；B．f（x）=2x﹣1，x∈[0，1]时，显然f（x）≥0，即满足①；x1≥0，x2≥0，f（x1+x2）=，f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=≥0；∴该函数为M函数；C．f（x）=ln（x2+1），显然满足①；，f（x1）+f（x2）=；x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1；∴2x1x2≥（x1x2）•（x1x2）；∴f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），即满足②；∴该函数是M函数；D．f（x）=x2+1，当x1=0，x2=1时，f（x1+x2）=2，f（x1）+f（x2）=3；∴不满足②；∴该函数不是M函数．故选：D．二、填空题（每题5分）13．（5分）函数y=的单调递增区间是[0，] ．【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．14．（5分）将高一9班参加社会实践编分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5，29，41学生在样本中，则样本中还有一名学生的编是17．【解答】解：样本间距为48÷4=12，则另外一个编为5+12=17，故答案为：17．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是{x|x≥3或x≤1} ．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），即|x﹣2|≥1，即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，即x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，故答案为：{x|x≥3或x≤1}．16．（5分）如图，半球O内有一内接四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为正方形，SO⊥底面ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为．【解答】解：设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=，四棱锥的体积为：=，解得r=，半球的体积为：=．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．【解答】（Ⅰ）解：设数列{a n}的公差为d，∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵S n==，∴b n==﹣=﹣，∴数列{b n}的前n项和为T n=﹣+…+==．∴T n＞﹣．18．（12分）某校甲、乙两个班级各有5名编分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率．【解答】解：（1）两个班数据的平均值都为7，..…（2分）甲班的方差=[（6﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（8﹣7）2]=2，..…（3分）乙班的方差=[（4﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2]=，..…（4分）因为＜，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定…（6分）（Ⅱ）甲班1到5记作a，b，c，d，e，乙班1到5记作1，2，3，4，5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，b5，c1，c2，c3，c4，c5，d1，d2，d3，d4，d5，e1，e2，e3，e4，e5}，共25个基本事件组成，这25个是等可能的；..…（8分）将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A，则A={a1，b1，c1，d1，d2，d4，e1，e4，e5}，A由10个基本事件组成，..…（10分）所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为=…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，0＜k＜1，点F为PD中点．（1）若k=，求证：AF∥平面PEC；（2）是否存在一个常数k，使得三棱锥C﹣PEB的体积等于四棱锥P﹣ABCD的体积的，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：作FM∥CD交PC于M．∴FM∥AE…（1分）∵点F为PD中点，∴FM=CD．∵k=，∴AE=AB=FM，∴AEMF为平行四边形，…（2分）∴AF∥EM，…（3分）∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．…（5分）（2）解：V C=V P﹣CEB==…（7分）﹣PEB=…（9分）…（10分）所以存在常数k=…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅲ）过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=2，e==，又c2=a2﹣b2，即有a=4，b=2，则椭圆C方程为+=1；（Ⅱ）证明：当切线的斜率k存在时，设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），又因为k=﹣．故切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），即有x0x+y0y=r2．当k不存在时，切点坐标为（±r，0），对应切线方程为x=±r，符合x0x+y0y=r2，综上，切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅲ）设点P坐标为（x P，y P），PA，PB是圆x2+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，过点B的圆的切线为x2x+y2y=1．由两切线都过P点，x1x P+y1y P=1，x2x P+y2y P=1．则切点弦AB的方程为x P x+y P y=1，由题知x P y P≠0，即有M（，0），N（0，），|MN|2=+=（+）•（+）=++•+•≥++2=，当且仅当x P2=，y P2=时取等，则|MN|≥，|MN|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2，常数a∈R．（Ⅰ）若a=1，过点（1，0）作曲线y=f（x）的切线l，求l的方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3﹣x2，设切点P为（x0，y0），则，∴过P点的切线方程为．该直线经过点（1，0），∴有，化简得，解得x0=0或x0=1，∴切线方程为y=0和y=x﹣1；（Ⅱ）曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，等价于关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根．显然x≠0，∴方程只有一个实根．设函数，则．设h（x）=x3+x﹣2，h′（x）=3x2+1＞0，h（x）为增函数，又h（1）=0．∴当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；∴g（x）在x=1时取极小值1．又当x趋向于0时，g（x）趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，g（x）趋向于负无穷；又当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于正无穷．∴g（x）图象大致如图所示：∴方程只有一个实根时，实数a的取值范围为（﹣∞，1）．四、选修题[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC，D为圆O上一点，且AD∥OC．（1）求证：CO平分∠DCB；（2）已知AD•OC=8，求圆O的半径．【解答】证明：（1）连接OD，BD，AB是直径，所以：AB⊥BD，OC⊥BD．…（1分）AD∥OC，所以：∠BOE=∠DOE设BD∩OC=E，且OD=OB，OE=OE，所以：△BOE≌△DOE，则：BE=DE，BD⊥OC，所以：CO平分∠DCB．（2）由于：AO=OD，所以：∠OAD=∠ODA，AD∥OC，所以：∠DOC=∠ODA，则：∠OAD=∠DOC，…（7分）所以：Rt△BDA∽Rt△CDO，所以：AD•OC=AB•OD=2OD2=8所以所求的圆的半径为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．。

2015年辽宁省沈阳市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3}B．{2，3，5，6}C．{1，4}D．{1，4，5，6} 2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，则n＝（）A．5B．6C．7D．86．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm37．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．3B．﹣3C．1D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4B．5C．6D．79．（5分）已知函数，若，则f（﹣a）＝（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8B．6C．4D．212．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是．14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝．15．（5分）若直线l：+＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是．16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A＝，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．（12分）某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．x2＝．19．（12分）如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且＝λ（其中λ＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF＝FG．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α＝．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|P A|•|PB|的值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3}B．{2，3，5，6}C．{1，4}D．{1，4，5，6}【解答】解：由补集的定义可得∁U M＝{2，3，5，6}，则（∁U M）∩N＝{2，3}，故选：A．2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）＝2i，∴z＝＝﹣1+i故选：A．3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）【解答】解：由题意知，y＝4ax2（a≠0），则x2＝，所以抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，则n＝（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：由S n+2﹣S n＝36，得：a n+1+a n+2＝36，即a1+nd+a1+（n+1）d＝36，又a1＝1，d＝2，∴2+2n+2（n+1）＝36．解得：n＝8．故选：D．6．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm3【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选：B．7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．3B．﹣3C．1D．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z＝2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选：A．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S＝0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s＝1，k＝1；第二次运行：满足条件，s＝3，k＝2；第三次运行：满足条件，s＝11＜100，k＝3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s＝1+2+8+211＞100，k＝4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．9．（5分）已知函数，若，则f（﹣a）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝＝1+，∴f（﹣x）＝1﹣，∴f（x）+f（﹣x）＝2；∵f（a）＝，∴f（﹣a）＝2﹣f（a）＝2﹣＝．故选：C．10．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．【解答】解：若|+|＝|﹣|，则＝，即有＝0，E，F为BC边的三等分点，则＝（+）•（+）＝（）•（）＝（+）•（+）＝++＝×（1+4）+0＝．故选：B．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：函数y1＝，y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H＝x B+x G＝x C+x F＝x D+x E＝2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）＝e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y＝g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0＝4﹣1＝3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y＝x．【解答】解：双曲线E的标准方程是，则a＝2，b＝1，即有渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故答案为：y＝x．14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2＝8，公比为，所以，故答案为．15．（5分）若直线l：+＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴＝1，∴a+b＝（a+b）（）＝3+≥3+2，当且仅当b＝a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A＝，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），＝＝（0，4，4）＝（0，1，1），∴Q（0，1，1），＝（0，﹣4，0），＝（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴sinθ＝＝．故答案为：．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（I）f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x…（2分）＝sin（2x﹣）+．…（4分）函数f（x）的最小正周期为T＝π．…（6分）因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（8分）（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…（10分）所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…（12分）18．（12分）某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．x2＝．【解答】解：（Ⅰ）积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，所以随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是＝；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，所以其概率为＝；（Ⅱ）x2＝≈11.7∵x2＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．19．（12分）如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．【解答】（I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO．由AE＝BE＝，知△AEB为等腰直角三角形．故EO⊥AB，EO＝1，又AB＝BC，∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形，从而CO＝．又因为EC＝2，所以EC2＝EO2+CO2，所以EO⊥CO．又EO⊥AB，CO∩AB＝O，因此EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD．…（8分）（II）解：V E＝﹣ABCD＝＝．…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且＝λ（其中λ＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．【解答】解：（I）由条件可知c＝1，a＝2，故b2＝a2﹣c2＝3，椭圆的标准方程是．…（4分）（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y＝k（x﹣1）．由，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．①由①的判别式△＝64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144（k2+1）＞0．因为，…（6分）所以＝，所以．…（8分）将代入方程①，得4x2﹣2x﹣11＝0，解得x＝．…（10分）又因为＝（1﹣x1，﹣y1），＝（x2﹣1，y2），，，解得．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）＝，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）＝＝2，解得a＝4．…（2分）（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣a（1﹣）＝a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）＝a（）．…（4分）令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）＝0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分）（Ⅲ）令h（x）＝alnx+1﹣x，则h′（x）＝﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）＝0．…（9分）当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分）当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）＝a+1﹣e＜0不合题意．…（11分）综上，a≥e﹣1…（12分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF＝FG．【解答】解：（I）∵CF＝FG∴∠CGF＝∠FCG∵AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA＝∠ACE∵∠CGF＝∠DGA∴∴∠CAB＝∠DAC∴C为劣弧BD的中点（5分）（II）∵∴∠GBC＝∠FCB∴CF＝FB又因为CF＝GF∴BF＝FG（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α＝．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|P A|•|PB|的值．【解答】解：（I）消去θ，得圆的标准方程为x2+y2＝16．…（2分）直线l的参数方程为，即（t为参数）…（5分）（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2＝16，得（1+t）2+（2+t）2＝16，即t2+（2+）t﹣11＝0，…（8分）所以t1t2＝﹣11，即|P A|•|PB|＝11．…（10分）选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）＝2x+1﹣（x﹣4）＝x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）＝2x+1+x﹣4＝3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x＜﹣时，f（x）＝﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（2）令F（x）＝f（x）+3|x﹣4|＝|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|＝9，当﹣时等号成立．即有F（x）的最小值为9，所以m≤9．即m的取值范围为（﹣∞，9]．。

东北三省四城市联考暨沈阳市2015届高三质量监测(二)数学(文科)试题

东北三省四城市联考暨沈阳市2015届高三质量监测（二）数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。

3.考试结束后，考生将答题卡交回。

球的体积公式：343V R π=. 第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{11}A x x =-≤≤，{02}B x x =≤≤，则AB = （）（A ） [1,0]- （B ） ]2,1[ （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞⋃+∞2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则2z=（）（A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+3. 已知,1=ab =2，且a b ⊥，则b a +为（）（A ）2 （B ）3 （C ） 2 （D ）224. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（）（A ）12（B ）1 （C ）3 （D ）25. 2x <是2320x x -+<成立的（）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )（A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤ 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）（A ）323 （B ）64 （C ）3233（D ） 643 8. 函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+≠对任意x 都有 ()()44f x f x ππ+=-，则()4f π等于( )（A ）2或0 （B ）2-或2 （C ）0 （D ）2-或09. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则2x y +的最大值是（）（A ）2 （B ）8 （C ）14 （D ）1610. 已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线3(1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点．若AF mFB =，则实数m 的值为（）（A ）3 （B ）32（C ）2 （D ）3 11. 若关于x 方程log (0,1)a x b b a a +=>≠有且只有两个解，则（）（A ） 1b = （B ）0b = （C ）1b > （D ） 0b > 12. 定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数：① 对任意的x ，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（）（A ）2()f x x = （B ）()21xf x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二. 填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13. 函数13sin cos 22y x x =+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________.14. 将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 .15. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f =，则不等式(2)0f x -≥的解集是 .16. 如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为423，则该半球的体积为 .三. 解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足299,9971-=-=+S a a . （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设nn S b 21=，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：43->n T .18.（本小题满分12分）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号甲班 6 5 7 9 8 乙班48977（Ⅰ）从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？（Ⅱ）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一点，且k ABAE=，点F 为PD 中点. （Ⅰ）若21=k ，求证：直线AF //平面PEC ；（Ⅱ）是否存在一个常数k ，使得平面PED ⊥平面PAB . 若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,2)，且离心率为32，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过圆222x y r +=上一点00(,)Q x y 的切线方程为200x x y y r +=；（Ⅲ）从椭圆C 上一点P 向圆221x y +=上引两条切线，切点为,A B . 当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于,M N 两点时，求MN 的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数23)(ax x x f -=，常数a ∈R .（Ⅰ）若1a =，过点(1,0)作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程；（Ⅱ）若曲线)(x f y =与直线1y x =-只有一个交点，求实数a 的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 为圆O 的切线，B ，D 为切点.，（Ⅰ）求证： OC AD //；（Ⅱ）若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）（Ⅰ）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求△ABM 面积的最大值.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()222f x x x =+--．（Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集；（Ⅱ）若∈∀x R ，27()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题（1）C ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；（5）A ；（6）C ；（7）D ；（8）B ；（9）C ；（10）D ；（11) B ；（12）D ．二.填空题（13）[0,]6π；（14） 17；(15) (,1][3,)-∞+∞；（16）423π. 三.解答题（17）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则由已知条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+29936996211d a d a ， (2)分解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1231d a ， …………………………4分于是可求得212+-=n a n . ………………………………6分（Ⅱ）因为2)2(+-=n n S n ，故)211(21)2(1+--=+-=n n n n b n ， ………8分于是)211123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n .……10分又因为211123+-+-n n 23<，所以43->n T . ………………………………12分 (18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7， ……………………………………1分甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s =（）（5）（7）（9）（8）， ……………3分乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s =（4）（8）（9）（7）（7）， ……………5分因为2212s s <，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ……………6分 (Ⅱ)甲班1到5号记作,,,,a b c d e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e ，…………………8分Ω由25个基本事件组成，这25个是等可能的；将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A ，则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =，A 由10个基本事件组成， …………10分所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为102255=. …………12分 (19)解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . …………………………………2分 ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∵21=k ，∴FM AB AE ==21，…………4分 ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM . ∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC . ………………6分 (Ⅱ)存在常数22=k ，使得平面PED ⊥平面MFE BDCAPPAB . …………………………………7分 ∵k AB AE =，1AB =，22=k ，∴22AE =. ………………………………8分又∵∠DAB ＝45°，∴AB ⊥DE .又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB . ………………………………10分又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE .∵PAB AB 平面⊂，∴平面PED ⊥平面PAB . …………………12分 (20) 解：(Ⅰ)2b =，3=2c e a =， 4,2a b ∴==， ∴椭圆C 方程为221164x y +=. …………………………………………………2分（Ⅱ）当切线的斜率k 存在时，设切线方程为00()y y k x x -=-. ………………3分又因为00x k y =-，故切线方程为0000()xy y x x y -=--，200x x y y r ∴+=. ……5分当k 不存在时，切点坐标为(),0r ±，切线方程为x r =±，符合200x x y y r +=. 综上，切线方程为200x x y y r +=. ………………………………………………6分（Ⅲ）设点P 坐标为(,)p p x y ，,PA PB 是圆221x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的圆的切线为111x x y y +=，过点B 的圆的切线为221x x y y +=.两切线都过P 点，112211p p p p x x y y x x y y ∴+=+=，. ……………………8分∴切点弦AB 的方程为1p p x x y y +=，由题知0P P x y ≠ ，1(0)p M y ∴，，1(,0)pN x ，22222221111=164p p p p p p x y MN x y x y ⎛⎫⎛⎫∴=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222211111119=+++21641641646416p p p p p p p p x y x y y x y x ⋅+⋅≥+⋅⋅=，当且仅当2163Px =， 283P y =时取等号，34MN ∴≥，MN ∴的最小值为34. …………………12分(21) 解：（Ⅰ）设切点P 为00(,)x y ，则P 处的切线方程为23200000(32)()y x x x x x x =--+-. 该直线经过点(1,0)，所以有232000000(32)(1)x x x x x =--+-，化简得3200020x x x -+=，解得00x =或01x =，所以切线方程为0y =和1y x =-. …………………4分（Ⅱ）法一：由题得方程3210x ax x --+=只有一个根. ………………………5分设1)(23+--=x ax x x g ，则2'()321g x x ax =--，因为24120,a ∆=+>所以'()g x 有两个零点12,x x ，即23210ii x ax --=（1,2i =），且120x x <，2312i ix a x -=. …7分不妨设120x x <<，所以()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞单调递增，在12(,)x x 单调递减，1()g x 为极大值，2()g x 为极小值，方程3210x ax x --+=只有一个根等价于1()0g x >且2()0g x >，或者1()0g x <且2()0g x <. ………………………………………………………………………9分又232323311()111(1,2)222i i i iii ii i i i x x g x x ax x x x x x i x -=--+=--+=--+=.设31()122x h x x =--+，所以231'()022h x x =--<，所以()h x 为减函数. 又(1)0h =，所以1x <时，()0h x >；1x >时，()0h x <，所以(1,2)i x i =大于1或小于1，由120x x <<知，(1,2)i x i =只能小于1，所以由二次函数2'()321g x x ax =--性质可得'(1)3210g a =-->，所以1a <. ……………………………………………………………………12分法二：曲线)(x f y =与直线1y x =-只有一个交点，等价于关于x 的方程231ax x x =-+只有一个实根. ………………………………………………5分显然0x ≠，所以方程211a x x x=-+只有一个实根. 设函数211()g x x x x =-+，则3233122'()1x x g x x x x+-=+-=. …………………7分设3()2h x x x =+-，2'()310h x x =+>，()h x 为增函数. 又(1)0h =，所以当0x <时，'()0g x >，()g x 为增函数；当01x <<时，'()0g x <，()g x 为减函数；当1x >时，'()0g x >，()g x 为增函数；所以()g x 在1x =时取极小值1. ……………9分又当x 趋向于0时，()g x 趋向于正无穷；又当x 趋向于负无穷时，()g x 趋向于负无穷；又当x 趋向于正无穷时，()g x 趋向于正无穷.所以()g x 图象大致如图所示：所以方程211a x x x=-+只有一个实根时，实数a 的取值范围为(,1)-∞. …………12分(22) 解： (1)连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴，ο90=∠+∠∴DOC ODB ,又∵AB 为圆O 的直径，DB AD ⊥∴，ο90=∠+∠∴ODB ADO ODA OAD ∠=∠∴,DOC OAD ∠=∠∴,即得证，…………………………5分(2)OD AO =∴,DOC DAO ∠=∠∴,∴Rt △BAD ∽△COD ，8AD OC AB OD ⋅=⋅=. …………………………………………………………10分1O 1x y(23)解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x . ……………………………………2分 ∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ …………………5分（2）点),(y x M 到直线AB :02=+-y x 的距离为 ……………………6分 2|9sin 2cos 2|+-=θθd …………………………………………………7分△ABM 的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S……………………………………………………………………………………9分所以△ABM 面积的最大值为229+ ………………………………………10分(24) 解：（1）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩， …………………………………2分当1,42,6,6x x x x <---><-∴<- 当2212,32,,233x x x x -≤<>>∴<< 当2,42,2,2x x x x ≥+>>-∴≥综上所述 2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或． ………………………………5分（2）易得min ()(1)3f x f =-=-，若∈∀x R ，t t x f 211)(2-≥恒成立，则只需22min 73()32760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤，综上所述322t ≤≤． ……………………………………………10分。

东北三省三校2015届高三第一次高考模拟考试文科数学试卷 Word版含答案

哈尔滨师大附中 2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷东北师大附中辽宁省实验中学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．已知集合若，则b等于 A．1 B．2 C．3 D．1或2 2．复数 A．i B．-i C．D．1 + i 3．ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a > b”是“cos2A < cos2B”的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．向量a，b满足，，，则向量a与b的夹角为 A．45° B．60° C．90° D．120° 5．实数m是区间上的随机数，则关于x 的方程有实根的概率为 A．B．C．D．6．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 A．B．C．D．7．椭圆两个焦点分别是F1、F2圆上任意一点，则的取值范围是 A．B．C．D．8．半径为1的球面上有四个点A、B、C、D，O为球心，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A - BCD的体积为 A．B．C．D．9．已知数列满足（），则a10=A．e26 B．e29 C．e32 D．e35 10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的 A．8 B．9 C．10 D．11 11．若函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围是 A．B．C．D．12．函数的零点个数为 A．9 B．10 C．11 D．12 第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

全国大联考2015届高三第四次联考·文科数学试卷(附详解答案)

全国大联考2017届高三第四次联考·文科数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前3次联考内容+立体几何+平面解析几何.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x2≤2x},B={y|y>1},则A∩B等于A.{x|x≥2}B.{x|x>1}C.{x|0≤x<1}D.{x|1<x≤2}2.若双曲线x2-ay2=1的离心率为62,则正数a的值为A.3B.2C.4D.123.在下列四个图所表示的正方体中,能够得到AB⊥CD的是A.①②B.②③C.②④D.①③④4.若过点P(2,-1)的圆(x-1)2+y2=25的弦AB的长为10,则直线AB的方程是A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.x-2y+5=05.设sin α+cos β=12,则sin α+sin2β的最小值为A.3 2B.-12C.-1D.346.已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A.4+4πB.4+3πC.3+4πD.3+3π7.设m,n ∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x 轴相交于点A,与y 轴相交于点B,且坐标原点O 到直线l 的距离为 3,则△AOB 的面积S 的最小值为A.1B.2C.3D.48.已知直线m ⊥平面α,直线n 在平面β内,给出下列三个命题:①“α∥β”是“m ⊥n ”的充分不必要条件;②“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件;③“α⊥β”是“m ⊥n ”的充要条件.则其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.39.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k 等于A.1B. 2C.2D.2 2 10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=52cos(π2x)+lo g 12x,则函数f(x)的零点个数为A.4B.6C.7D.911.半径为1的球内最大圆柱的体积为A.2 69π B. 34πC.2 33π D.4 39π12.双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A 、B,渐近线分别为l 1、l 2,点P 在第一象限内且在l 1上,若PA ⊥l 2,PB ∥l 2,则该双曲线的离心率为A. 5B.2C. 3D. 2第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.一圆锥的侧面展开图是一半径为2的半圆,则该圆锥的体积为 ▲ .14.已知椭圆x 2+y 2=1(m>n>0)的离心率为1,且有一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点重合,则椭圆的短轴长为 ▲ .15.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,已知a 2-b 2=c,且sin Acos B=2cos Asin B,则c= ▲ .16.正四面体ABCD 的棱长为1,其中线段AB ∥平面α,E,F 分别是线段AD 和BC 的中点,当正四面体绕以AB 为轴旋转时,线段EF 在平面α上的射影E 1F 1长的范围是 ▲ .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图,这是一个半圆柱与多面体ABB 1A 1C 构成的几何体,平面ABC 与半圆柱的下底面共面,且AC ⊥BC,P 为A 1B 1 上的动点.(1)证明:PA 1⊥平面PBB 1;(2)设半圆柱和多面体ABB 1A 1C 的体积分别为V 1,V 2,且AC=BC,求V 1∶V 2.18.(本小题满分12分)已知点C 的坐标为(0,1),A,B 是抛物线y=x 2上不同于原点O 的相异的两个动点,且OA ·OB =0. (1)求证:AC∥BC ; (2)若AM =λMB (λ∈R),且OM ·AB =0,试求点M 的轨迹方程.19.(本小题满分12分)如图,在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是平行四边形,DD 1⊥平面ABCD,AB= 2AD,AD= 2A 1B 1,∠BAD=45°. (1)证明:BD ⊥AA 1;(2)证明:AA 1∥平面BC 1D.20.(本小题满分12分)已知数列{a n }中,a 1=5,a 2=2,且2(a n +a n+2)=5a n+1. (1)求证数列{a n+1-2a n }和{a n+1-12a n }都是等比数列; (2)求数列{2n-3a n }的前n 项和S n .21.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上,点P 是椭圆上任意一点,当|MP |最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m 的取值范围.22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=a-lnxx(a ∈R). (1)求f(x)的极值;(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e]上有公共点,求实数a 的取值范围.2015届高三第四次联考·数学试卷参考答案1.D 因为A={x|x 2≤2x}={x|0≤x ≤2},B={y|y>1},所以A ∩B={x|0≤x ≤2}∩{y|y>1}={x|1<x ≤2}.2.B 双曲线x 2-ay 2=1的方程可化为x 2-y 21a=1,得c 2=1+1a ,所以e 2=(1+1a )2=( 62)2,解得a=2.3.A 对于①,通过平移AB 到右边的平面,可知AB ⊥CD,所以①中AB ⊥CD;对于②,通过作右边平面的另一条对角线,可得CD 垂直AB 所在的平面,所以②中AB ⊥CD;对于③,可知AB 与CD 所成的角60°;对于④,通过平移CD 到下底面,可知AB 与CD 不垂直.所以能够得到AB ⊥CD 的是①和②.4.C 因为圆的直径为10,所以弦AB 为圆的直径,因为圆心为C(1,0),且直线AB 过点P(2,-1),由直线方程的两点式得y+1=x-2,即x+y-1=0.5.B 由sin α+cos β=12,得sin α=12-cos β,所以sin α+sin 2β=12-cos β+1-cos 2β=-(cos β+12)2+74,易知当cos β=1时,sin α+sin 2β取最小值-12,此时sin α=-12,满足题意. 6.A 由三视图可知,该几何体的上半部分是直径为1的球,其表面积为π,下半部分是底面半径为1,高为2的圆柱体的一半,其表面积为2×2+π×1×2+1×π×12×2=4+3π,所以该几何体的表面积为4+4π.7.C 由坐标原点O 到直线l 的距离为 3,可得22= 3,化简可得m 2+n 2=13,令x=0,可得y=1n ,令y=0,可得x=1m,故△AOB 的面积S=12·|1m ||1n |=12|mn|≥1m 2+n2=3,且当仅当|m|=|n|=6时,取等号. 8.C 对于①若α∥β,因为直线m ⊥平面α,所以直线m ⊥平面β,因为直线n 在平面β内, 所以直线m ⊥直线n,反之不成立,所以①是真命题;对于②,若m ∥n,因为直线m ⊥平面α,所以直线n ⊥平面α,因为直线n 在平面β内,所以α⊥β,反之不成立, 所以②是真命题;对于③,可知“α⊥β”是“m ⊥n ”的既不充分也不必要条件,所以③是假命题.所以真命题的个数为2.9.D 设抛物线C:y 2=8x 的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0), 如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M,BN ⊥l 于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B 为AP 的中点、连接OB,则|OB|=1|AF|,≨|OB|=|BF|,点B 的横坐标为1,故点B 的坐标为(1,2 2),≨k=2 2-0=2 2.10.C 当x>0时,函数f(x)=5cos(πx)+lo g 12x=5cos(πx)-log 2x 的零点个数,即函数y=52cos(π2x)与函数y=log 2x 的交点个数,如图所示有3个交点,又因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数,则f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数为3×2+1=7.11.D 设圆柱的底面半径为r,高为h,则有(h 2)2+r 2=12,所以圆柱的体积为V=πr 2h=π(1-h 2)h=π(-h 3+h),而V'=π(-3h 2+1),易知当h= 3时,V 取最大值π(-h 3+h)=π[-4( 3)3+ 3]=4 3π. 12.B 依题意有A(-a,0),B(a,0),渐近线方程分别为l 1:y=b a x,l 2:y=-bax,设P(x,y).由PB ∥l 2得y x-a =-b a,因为点P 在直线y=b a x 上,于是解得P 点坐标为P(a 2,b2),因为PA ⊥l 2,所以y-0x-(-a)·(-b a)=-1,即b 3a ·(-ba )=-1,所以b 2=3a 2,因为a 2+b 2=c 2,所以有c 2=4a 2,即c=2a,得e=2.13.3π3设圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为l,则l=2,2πr=πl,得r=1,所以h= l 2-r 2= 4−1= 3,所以圆锥的体积为V=13πr 2h=3π3.14.8 3 由已知得m-n m =122=14,所以4n=3m,因为抛物线y 2=16x 的焦点为(4,0),而椭圆的右焦点为(c,0),所以c=4,得m-n=42=16,解得m=64,n=48,所以椭圆的短轴长为2 n =2 48=8 3.15.3 由sin Acos B=2cos Asin B 得a 2R ·a 2+c 2-b 22ac =2·b 2+c 2-a 22bc ·b2R ,所以a 2+c 2-b 2=2(b 2+c 2-a 2),即a 2-b 2=c 2,又a 2-b 2=c,解得c=3.16.[1, 2] 如图,取AC 中点为G,连接EG 、FG,≧E,F 分别是线段AD 和BC 的中点,≨GF ∥AB,GE ∥CD,在正四面体中,AB ⊥CD,≨GE ⊥GF, ≨EF= GE 2+GF 2=22,当四面体绕AB 旋转时, ≧GF ∥平面α,GE 与GF 的垂直性保持不变,当CD 与平面α垂直时,GE 在平面上的射影长最短为0,此时EF 在平面α上的射影E 1F 1的长取得最小值1;当CD 与平面α平行时,GE 在平面上的射影长最长为12,E 1F 1取得最大值 22;≨射影E 1F 1长的取值范围是[12, 22].17.证明:(1)在半圆柱中,BB 1⊥平面PA 1B 1,所以BB 1⊥PA 1.因为A 1B 1是底面圆的直径,所以PA 1⊥PB 1,因为PB 1∩BB 1=B 1,PB 1⊂平面PBB 1,BB 1⊂平面PBB 1,所以PA 1⊥平面PBB 1. ................................................................................. 5分 (2)因为AC ⊥BC,AC=BC,所以△ABC 是等腰直角三角形,且AB 2=BC 2+AC 2=2AC 2.所以半圆柱的体积V 1=12(12AB)2π·AA 1=π4AC 2·AA 1.多面体ABB 1A 1C 是以矩形ABB 1A 1为底面,以C 为顶点的四棱锥,其高为点C 到底面ABB 1A 1的距离,设这个高为h,在Rt △ABC 中,易得AB ·h=AC ·BC,所以h=AC ·BCAB ,所以V 2=13·AA 1·AB ·AC ·BC AB =13·AA 1·AC ·BC=13AA 1·AC 2.所以V 12=3π. ................................................................................................................................... 10分18.解:(1)设A(x 1,x 12),B(x 2,x 22),x 1≠0,x 2≠0,x 1≠x 2,因为OA ·OB =0,所以x 1x 2+x 12x 22=0,又x 1≠0,x 2≠0,所以x 1x 2=-1. 因为 AC =(-x 1,1-x 12),BC =(-x 2,1-x 22),且(-x 1)(1-x 22)-(-x 2)(1-x 12)=(x 2-x 1)+x 1x 2(x 2-x 1)=(x 2-x 1)-(x 2-x 1)=0,所以AC ∥BC. ................ 6分 (2)由题意知,点M 是直角三角形AOB 斜边上的垂足,又定点C 在直线AB 上,∠OMB=90°,所以点M 在以OC 为直径的圆上运动,其运动轨迹方程为x 2+(y-12)2=14(y≠0). ................................................................................................................................................. 12分19.证明:(1)因为AB= 2AD,∠BAD=45°,在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AD 2+AB 2-2AD ·ABcos 45°=AD 2,所以AD 2+BD 2=AB 2,因此AD ⊥BD,因为DD 1⊥平面ABCD,且BD ⊂平面ABCD,所以DD 1⊥BD,又AD ∩DD 1=D,所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1,所以BD ⊥AA 1. ................................................................................. 6分 (2)连结AC 、A 1C 1,设AC ∩BD=E,连结EC 1,因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AE=12AC,由棱台的定义及AB= 2AD=2A 1B 1知,A 1C 1∥AE,且A 1C 1=AE,所以四边形A 1C 1EA 是平行四边形,因此AA 1∥EC 1, 又因为EC 1⊂平面BC 1D,AA 1⊄平面BC 1D,所以AA 1∥平面BC 1D. .............................................................................................................. 12分20.解:(1)由2(a n +a n+2)=5a n+1得a n+2=5a n+1-a n ,所以a n+2-2a n+1=5a n+1-a n -2a n+1=1a n+1-a n =1(a n+1-2a n ).又因为a 2-2a 1=2-2×5=-8,所以数列{a n+1-2a n }是首项为-8,公比为12的等比数列.同理a n+2-12a n+1=52a n+1-a n -12a n+1=2a n+1-a n =2(a n+1-12a n ),又a 2-12a 1=2-52=-12,所以数列{a n+1-1a n }是首项为-1,公比为2的等比数列. ...................................................... 6分(2)由(1)知a n+1-2a n =-8×(12)n-1=-2-n+4,a n+1-12a n =-12×2n-1=-2n-2,将以上两式相减得到a n =25−n -2n-13(n ∈N +),所以2n-3a n =2n-3×25−n -2n-13=4−4n-23(n ∈N +),所以S n =4n 3-13(4-1+40+41+42+…+4n-2)=48n-4n+136. ............................................................ 12分21.(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0).由题意 a 2=b 2+c 2a ∶b =2∶ 3c =2.解得a 2=16,b 2=12.所以椭圆C 的方程为x 216+y 212=1. .............................................................................................. 6分(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为x 216+y 212=1,故-4≤x ≤4.因为MP=(x-m,y), 所以|MP|2=(x-m)2+y 2=(x-m)2+12×(1-x 2)=1x 2-2mx+m 2+12=1(x-4m)2+12-3m 2. 因为当|MP |最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点, 即当x=4m 时,|MP|2取得最小值,而x ∈[-4,4], 故有4m ≥4,解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上,即-4≤m ≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]. ......................................................................................... 12分22.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+≦),f'(x)=-1-(a-lnx)2,令f'(x)=0,得x=e 1+a , 当x ∈(0,e 1+a )时,f'(x)<0,f(x)是减函数; 当x ∈(e 1+a ,+≦)时,f'(x)>0,f(x)是增函数.所以当x=e 1+a 时,f(x)取得极小值,即极小值为f(x)=a-(a+1)e a+1=-e -1-a ,无极大值. ............. 6分 (2)①当e 1+a <e,即a<0时,由(1)知,f(x)在(0,e 1+a )上是减函数,在(e 1+a ,e)上是增函数,当x=e 1+a时,f(x)取得最小值,即f(x)最小值=-e -1-a ,又当x=e a 时,f(x)=0,当x ∈(0,e a )时,f(x)>0,当x ∈(e a ,e)时,f(x)∈(-e -1-a ,0),所以f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e]上有公共点,等价于-e -1-a ≤-1,解得a ≤-1,又a<0,所以a ≤-1.②当e 1+a ≥e,即a ≥0时,f(x)在(0,e]上是减函数,f(x)在(0,e]上的最小值为f(e)=a-1e,所以,原问题等价于a-1e≤-1,得a ≤1-e<0,又a ≥0,所以不存在这样的实数a.综上知实数a 的取值范围是a ≤-1. ....................................................................................................................... 12分。

2015年东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(文科)

2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1B．2C．3D．1或22．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1] 8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e3510．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8B．9C．10D．1111．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，] 12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9B．10C．11D．12二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P 关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=．16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年1月某日某省x 个监测点数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x ，y 的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF 是正方形且DE ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：CF ∥平面ADE ；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF 的体积V ．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点（2，0），且被y 轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1B．2C．3D．1或2【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠∅，则b=1或b=2，故选：D．2．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i【解答】解：复数==i，故选：A．3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sinA ＞sinB．若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．充分性成立．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，必要性成立．所以，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件．即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件，故选：C．4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：设向量与的夹角为θ．∵（+）⊥（2﹣），∴（+）•（2﹣）=+==0，化为cosθ=0，∵θ∈[0，π]，∴θ=90°．故选：C．5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵方程x2﹣mx+4=0有实根，∴判别式△=m2﹣16≥0，∴m≤﹣4或m≥4时方程有实根，∵实数m是[0，6]上的随机数，区间长度为6，[4，6]的区间长度为2，∴所求的概率为P==．故选：B．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，AB=BC=CA=2，点P在侧面ABC的射影为O，OP=2．∴该三棱锥的体积V===．故选：B．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]【解答】解：椭圆的焦点坐标F1（，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．∴═（﹣﹣2cosθ，﹣sinθ）•（﹣2cosθ，﹣sinθ）=4cos2θ﹣3+sin2θ=3cos2θ﹣2，∵0≤cos2θ≤1，∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．即的最大值与最小值分别是1，﹣2．故选：C．8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知图形如图：AB过点O，CA=CB，DA=DB，三角形ABD 与ACB都是等腰直角三角形，半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，∴AD=BD=AC=BC=，DC=1，OD=0C=1，AB⊥OD，AB⊥OC，几何体的体积为：×S△OCD•（AO+OB）==故选：A．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35【解答】解：数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），可知•••…•=，两式作商可得：==，可得lna n=3n+2．a10=e32．故选：C．10．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，∵sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，∴当t=8时，S=sin+sin+…+sin=sin+sin+sin=＞1，故A符合要求；当t=9时，S=sin+sin+…+sin+sin=sin+sin+sin+sin=＜1，故B不符合要求；当t=10时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin+sin=0＜1，故C不符合要求；当t=11时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin=0＜1，故D 不符合要求；故选：A．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]【解答】解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（2，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；∴（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：；解得；∴；∴综上得；∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选：D．12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作函数y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象如下，结合图象及三角函数的最值知，图象在y轴左侧有6个交点，在y轴右侧有5个交点，在y轴上有一个交点；故选：D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=4030．【解答】解：∵a2012+a4=a6+a2010=a1+a2015，a4+a6+a2010+a2012=8，∴2（a1+a2015）=8，∴a1+a2015=4，∴S2015==4030．故答案为：4030．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为﹣6．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P 关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=﹣16．【解答】解：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，则F为PA的中点，F'为PB的中点，由点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则Q为PP1的中点，由中位线定理可得，|P1A|=2|QF|，|P1B|=2|QF'|，由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8，则|P1A|﹣|P1B|=2（|QF|﹣|QF'|）=﹣2×8=﹣16．故答案为：﹣16．16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是②③④（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．【解答】解：令x1=1，x2=0，f（1+0）+f（1﹣0）=2f（1）f（0），即2f（1）=2f（1）f（0），∵f（1）=，∴f（0）=1．令x1=0，x2=x，则f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），则f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故②正确，①错误．∵f（1）=，∴f（1+1）+f（1﹣1）=2f（1）f（1），即f（2）=2f2（1）﹣f（0）=2×（）2﹣1=，f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），即f（3）=2f（1）f（2）﹣f（1）=2××﹣=，同理f（4）=，由归纳推理得对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）正确；故③正确，令x1=x2=x，则由f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f2（x），即f（2x）+1=2f2（x）≥0，∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥﹣1．∴对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．故④正确．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的范围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[，），∴sin（2θ﹣）∈[，1]，∴1+2sin（2θ﹣）∈[2，3]，∴f（θ）的取值范围为：[2，3]18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年1月某日某省x 个监测点数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得；0.003×50=，∴x=100；又∵15+40+y+10=100，∴y=35；…（2分）∴直方图中（50，100]对应矩形的高为=0.008，（100，150]对应矩形的高为=0.007，（150，200]对应矩形的高为=0.002；补全频率分布直方图，如图所示；…（5分）（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，…（8分）其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7种，…（10分）所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是P（A）=．…（12分）19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A﹣BDEF=2×=2×=．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，由题可知，∴动圆圆心的轨迹方程为：y2=4x；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则l1：y﹣2=k（x﹣1），l2：y﹣2=﹣k（x﹣1），点P（1，2）在抛物线y2=4x上，联立，消去x得：ky2﹣4y+8﹣4k=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0恒成立，即（k﹣1）2＞0，有k≠1，∴y1y P=，∵y P=2，∴y1=，代入直线方程可得：，同理可得：x2=，，k AB===﹣1，不妨设l AB：y=﹣x+b，∵直线AB与圆C相切，∴=，解得b=3或1，当b=3时，直线AB过点P，舍去，当b=1时，由，可得x2﹣6x+1=0，此时△=32，∴|AB|==8，∴P到直线AB的距离d=，△PAB的面积为=4．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．【解答】（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；②由①知：f（x），f′（x）变化如下：由表可知：f（x）在[x1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【解答】证明：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，即f（x0）＜4m﹣2m2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4m﹣2m2 ，求得﹣＜m＜．。

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2014-2015学年度高三四校联考数学试题（文）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知全集R U =，{}{}034|,2|2>+-=<=x x x B x x A ，则)(B C A U ⋂等于{}31|.<≤x x A {}12|.<≤-x x B {}21|.<≤x x C {}32|.≤<-x x D2.设R b a ∈,，则“0>>b a ”是“ba 11<”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.函数9ln )(3-+=x x x f 的零点所在的区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 4．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若336=S S ，则69S S =A. 2B.37C.38D. 3 5. 定义在R 上的函数)(x f 满足)()6(x f x f =+，当13-≤≤-x 时，2)2()(+-=x x f ，当31<≤-x 时，x x f =)(.则=+++)2012(...)2()1(f f f A ．335 B ．338 C ．1678 D ．20126.已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是A. ()1,2B.(][),12,-∞+∞ C. []1,2 D.()(),12,-∞+∞7．已知函数1212)(+-=x x x f ，则不等式0)4()2(2<-+-x f x f 的解集为（）A .()1,6-B .()6,1-C.()2,3-D.()3,2-8. 已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0)sin()(πϕωϕωx x f 的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f y =的图像（）A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于直线12π=x 对称 C.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π对称 D.关于直线125π=x 对称9.已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线斜率为3，数列})(1{n f 的前n 项和为n S ，则2014S 的值为 A.20132012B.20142013C.20152014D.2016201510.下列四个图中，函数11101++=x x n y 的图象可能是( )11. 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是A．B．83C．81),3D ．8,812.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（）A ． b c a <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为6，则ba 21+的最小值为________________.14．在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AB BC ==2PA =,则此三棱锥外接球的体积为．15. 函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．16.在AOB ∆中，G 为AOB ∆的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且︒=∠60AOB .若6=⋅的最小值是________．三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数22()3cos 2sin cos sin f x x x x x =++．（1）求()f x 的最大值，并求出此时x 的值；（2）写出()f x 的单调区间．18.（本小题满分12分）已知()()()23sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫=+-->⎪⎝⎭的最小正周期为T π=. （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围.19.（本小题满分12分）数列{n a }的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{n b }满足140b S +=，91b a =．（1）求数列{n a }，{n b }的通项公式；（2）若()1(16)18n n n c b b =++，求数列{}n c 的前n 项和n W .20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，2,AB PD ==O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PD ∥平面EAC ,求三棱锥P EAD -的体积.21.（本小题满分12分）已知函数23)(bx ax x f +=的图象经过点)4,1(M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线09=+y x 垂直．（1）求实数b a ,的值；（2）若函数)(x f 在区间[]1,+m m 上单调递增，求m 的取值范围．22.（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=,且32a +是2a ,4a 的等差中项.PABCD EO（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =⋅,12n n S b b b =+++,求n S .2014-2015学年度上学期期中学业水平监测答案（文）二．填空题：13.3348+ 14. π328 15. 4 16. 2 三. 解答题：17.（10分）解：（1）3(1cos2)1cos2()sin 222x xf x x +-=++sin 2cos 22x x =++)24x π=++所以()f x 的最大值为2,Z 8x k k ππ=+∈.………………………5分（2）由222242k x k πππππ-≤+≤+得388k x k ππππ-≤≤+；所以()f x 单调增区间为：3[,],Z 88k k k ππππ-+∈；由3222242k x k πππππ+≤+≤+得588k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 单调减区间为：5[,],Z 88k k k ππππ++∈。

………………………10分18.（12分）解()2cos cos f x x x x ωωω=- ……1分112cos 222x x ωω=-- ……2分 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ……3分 ()y f x =的最小正周期为T π= ，即：212ππωω=⇒= ……4分 ()1sin 262f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ……5分22171sin 2sin 1336262f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……6分（2）()2cos cos a c B b C -=∴由正弦定理可得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -= ……7分()()2sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π⇒=+=+=-= ……8分1sin 0 cos 2A B >∴=()0 3B B ππ∈∴=， ……9分22 033A C B A πππ⎛⎫+=-=∴∈ ⎪⎝⎭， ……10分72666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ ……11分 ()11sin 21,622f A A π⎛⎫⎛⎤∴=--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ ……12分19.（12分）解:(1) ∵的等差中项，和是1n n S a 12-=n n a S 当,22)12()12(2111----=---=-=≥n n n n n n n a a a a S S a n 时，,21-=n n a a当1,1211111=∴-===a a S a n 时，………………………………………………2分 ∴),(0*∈≠N n a n 21=-n na a…………………………………………………………4分 {}11221-=∴=∴n n n a a a 为公比的等比数列，为首项，是以数列………………6分1221-=+⋯⋯++=n n n a a a S设{}n b 的公差为d ，21815,15941=⇒=+-=-=-=d d b S b()1722115-=⨯-+-=∴n n b n ………………………………………………………8分（2）()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=1211212112121n n n n c n ……………………………………10分24121121121513131121+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴n n n W n ……………12分 20.（12分）证明:(Ⅰ)PD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,AC PD ∴⊥.四边形ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥,又PD BD D =,AC ⊥平面PBD .而AC ⊂平面EAC ,∴平面EAC ⊥平面PBD . ………………………………………6分（Ⅱ）PD ∥平面EAC ,平面EAC 平面PBD OE =,PD OE ∴∥,O 是BD 中点,E ∴是PB 中点. 取AD 中点H ,连结BH ,四边形ABCD 是菱形,60BAD ∠=,BH AD ∴⊥,又,BH PD AD PD D ⊥=,BD ∴⊥平面PAD ,BH AB ==………………………………………………9分 12P EAD E PAD B PAD V V V ---==1123PAD S BH =⨯⨯⨯△11262=⨯⨯=………………………………………………12分21.（12分）解：（1）∵f （x ）=ax 3+bx 2的图象经过点M （1，4），∴a+b=4①式………1分 f'（x ）=3ax 2+2bx ，则f'（1）=3a+2b………………………………………………………3分由条件②式……………………………………5分由①②式解得a=1，b=3（2）f （x ）=x 3+3x 2，f'（x ）=3x 2+6x ，令f'（x ）=3x 2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…………………………………………………8分 ∵函数f （x ）在区间[m ，m+1]上单调递增∴[m ，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）……………………………………………………10分 ∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3………………………………………………………………………………12分22.（12分）解：（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意，有2（32a +）=2a +4a ,代入23428a a a ++=, 得3a =8,∴2a +4a =20 ∴311231208a q a q a a q ⎧+=⎪⎨==⎪⎩解之得122q a =⎧⎨=⎩或11232q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩ P AB CD EOH又{}n a 单调递增，∴q =2, 1a =2,∴n a =2n┉┉┉┉┉┉┉┉6分（2）122log 22n n n n b n =∙=-∙, ∴23122232...2n n s n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ①∴23412122232...(1)22n n n s n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+②∴①-②得23112(12)222...22212n nn n n s n n ++-=++++-∙=-∙-＝1122n n n ++-∙- .......12分。