高等代数(上)_习题集(含答案)

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高等代数教程上王萼芳著课后习题部份解答2012

第一章行列式1. 习题1.4（2）第2题计算行列式。

14916491625916253616253649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 习题1.5第4（2）题计算行列式中所有元素的代素余子式之和。

12100...00...............0...000n n a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0,1,2, (i)i n a≠=解：3. 习题1.6第1（3）题计算行列式：1101231211232102321⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第6题计算2n 阶行列式aba b b a b a 0000000解:得列列加到第第，列，列加到第列，第列加到第将第,121212n n n n +-D ＝aba ab a a b a b b a b b a b b a 00000000000000000000000++++++ 行）行减第，第行行减第行，第行减第（第n n n n 121212+-b a b a b a b ba bb a b b a ---+++00000000000000000000000＝n n n b a b a b a )()()(22-=-+4. 复习题 1第4题计算行列式nn 222221222223222222222221-----------解: 原式244400014400006400000500222222222221)2()()2()4()2()3(++------------n n n=24444014440074400064000052221++⋅-n n=)2()1(7656+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯n n =)!2(41+n第 6 题计算行列式12121231212321----n n n n n n解：12121231212321----n n n n n n行）行减第第，行，行减第行，第行减第（第n n 13221- ＝122111111111111111111111--n n n －－－－－－－－－－（第n 列分别加到第1列，第2列，至第1-n 列）＝131110000120001220012220 -+n nn （对第1列展开）＝阶)1(1100012000122001222012222)1()1(-++-n n n ＝212)1(1-++n n n ）（－第 7 题计算行列式01211...110...01...0......... (10)n a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1...0na a≠)第二章线性方程组1. 习题2.1 第 1 （4）题1212323434545561562(4)56256254x x x x x x x x x x x x x ì+=ïïïï++=-ïïï++=íïïï++=-ïïï+=-ïî56561615615656115656156156156151515561656565655156656615619156301515151515561656561619563065114150515150565191145665D 解：方程组的系数行列式对第行展开=-骣÷ç÷ç÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷桫骣÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç桫=?? Cramer D 0, ¹根据法则，方程组有唯一解。

(完整word版)高等代数多项式习题解答

第一章多项式习题解答1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x).5x2. m, p,q 适合什么条件时，有 1) x 2 mx 11 x 3 px qq(x)x 2 x 1, r(x)5x 7.x 3 0x 2 px q xp 10,q m 时 x 2 mx 11 x 3 px1) f(x)x 3 3x 2 2x3x 232x 3xx 1 3 2 2 1x —x -x3 3 7 24 1 x x 3 37 2 14 7 —x ■ x — 3 9 926 2 —x9 9q(x) £ r (x )26 x92) f(x)2x 5, g(x)4 x 4x0x 3 0x 2 x 3 2x 2 x 3 2x 22x 32x x 2xx2x2x 54x 5 x 2 mx 1当且仅当m 2 i,g(x)x 2x 1 1—x 3 3x 2本题也可用待定系数法求解 .当X 2 mx 1| x 3 px q 时，用x 2 mx 1去除x 3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为 x q.于是有因此有m 2 p 1 0, q m .2) x 2 mx 11 x 4 2px q由带余除法可得42/ 2x px q (x mx1)( x2mx 2p 1 m ) m(2pm 2)x (q 1 pm 2) 当且仅当r(x) m(2 p 2m )x (q 1 p m 2) 0 时2x 42mx 11 x pxq .即m(2 p m 2) 2m，即 mQ 或 p 2小m 2,q 1p 0q 1 p,q 1.本题也可用待定系数法求解.当x 2 mx 1|x 4px 2 q 时，用x 2 mx 1去除x 4 px 2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为 x 2 ax q .于是有3. 求 g(x)除 f (x)的商 q(x)与余式 r(x). 531) f (x) 2x 5x 8x, g(x) x 3; 解：运用综合除法可得 32580 6 18 39 1173272 6 1339 109 327商为 q(x) 2x 4 6x 3 13x 2 39x 109，余式为 r(x) 327.4 2x pxq (x 2ax q)( 2x mx 1)(m a)x 3 (ma2q 1)x(a mq)x q.ma q 1 p,a mq 0.消去a 可得m 0,或2p m 2,q 1 p,q 1.x 4 比较系数可得m a 0,2px q (x q)(x mx 1)x 3 (m q)x 2(mq 1)x q .2) f(x) x 3 x 2x,g(x) x 1 2i .解:运用综合除法得：1 2i 11 1 0 1 2i4 2i 9 8i 1 2i5 2i9 8i商为x 2 2ix (5 2i),余式为9 8i .c 0即为x X o 除f (x)所得的余式，商为q(x) q 可得C 1为x x o 除商q(x)所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数解：1)解法一：应用综合除法得•1 1 o o o o o11111 111111 112 3 4 1 1 2 3 4 51 3 6 1 1 3 6 1o1 4 1 1 4 1o 14.把 f(; x)表成x X °的方幂和，即表示成CoC 1(X X o ) C 2(X X o )2的形1) f(x) 5x12) f(x) 4x 2x 23, xo2;3) f(x) 4x2ix 3 (1 i)x 2 3x 7 i,x o1分析：假设 f(x) 为n 次多项式，令f(x)C o G (x X o ) C 2(X X o )2C n (x X o )n式.x o )n1]C o (x X o )[G C 2(x x o )C n (x C 2(x X 。

高等代数试卷及答案__(一)[1]

一、填空题（共10 题，每题2分，共20分）。

1．多项式可整除任意多项式。

2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。

3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于个是0D =。

4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A *= 。

5．实数域上不可约多项式的类型有种。

6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的重因式。

7．写出行列式展开定理及推论公式。

8．当排列12n i i i 是奇排列时，则12n i i i 可经过数次对换变成12n 。

9．方程组12312322232121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当满足条件时，有唯一解，唯一解为。

10．若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。

二、判断题（共10 题，每题1分，共 10分）。

1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。

（）2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。

（） 3．设12n ααα 是nP 中n 个向量，若nP β∀∈，有12,n αααβ 线性相关，则12n ααα 线性相关。

（）4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。

（） 5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。

（） 6 秩()A B +＝秩A ，当且仅当秩0B =。

（） 7．向量α线性相关⇔它是任一向量组的线性组合。

（）8．若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x +=。

（） 9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。

(完整版)高等代数习题集

《高等代数》试题库一、选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是（）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

高等代数试题及参考答案

高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。

错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项. A 、11223344a a a a . B 、14233142a a a a . C 、12233144a a a a . D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠. 4．下列向量组中，线性无关的是（）. A 、{}0. B 、{},,αβ0. C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=. D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（）. A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）. 1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （） 5．任何数域都包含有理数域. （）三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= . 四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）311110100(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分 (2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分）2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分）得同解方程组取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量）将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。

《高等代数》第一章习题及答案

习题1.1解答1.下列数集哪些是数域？哪些是数环？哪些既非数域也非数环？1）所有正实数所成的集合．2）所有偶数（或奇数）构成的集合． 3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合．4）F={Q b a b a ∈+,23}．解 1）所有正实数所成的集合对减法不封闭，所以不是数环，当然也非数域．2）所有偶数构成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．4）在F={Q b a b a ∈+,23} 中取32，显然32×32∉F ，即对乘法不封闭，所以F 不是数环，当然也非数域．2.证明：两个数域的交是一个数域．解设A ，B 是两个数域，则0,1∈A ，0,1∈B ，从而0,1∈A ∩B ；对任意x,y ∈A ∩B ，有x,y ∈A 和x,y ∈B ，从而x+y ∈A ，x-y ∈A ，x ×y ∈A ，x ÷y ∈A （对y ≠0），同样也有x+y ∈B ，x-y ∈B ，x ×y ∈B ，x ÷y ∈B （对y ≠0），所以x+y ∈A ∩B ，x-y ∈A ∩B ，x ×y ∈A ∩B ，x ÷y ∈A ∩B （对y ≠0），故A ∩B 是数域．3*.证明：F={a+bi|a,b ∈Q}（i 是虚单位）是一个数域．解显然0=0+0i ∈F ，1=1+0i ∈F ；对任意a+bi,c+di ∈F ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈F ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ∈F ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈F ，若c+di ≠0，则(a+bi)÷(c+di)=F i d c ad cb d c bd ac d c di c bi a ∈+-+++=+-+222222)())((．所以F 是数域．4*.证明：G={a+bi|a,b ∈Z}是数环而不是数域．解对任意a+bi,c+di ∈G ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈G ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i∈G ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈G ，所以G 是数环．数1=1+0i ∈G ，2=2+0i ∈G ，2≠0，但1÷2∉G ，所以G 不是数域．习题1.2解答1.用行的初等变换，将下列矩阵化为行最简形．①⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-213312011 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321③⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112110013 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213312011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-240330011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--200110011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----23/700200032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----200023/70032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001 ③⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112110013→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443100131211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564036401211 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200036401211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100006400211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100002/31002/101 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----231890126306600010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----660002318901263010521 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11000130001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---40000110001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10000010000063000521 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100000100000310001012*.用行的与列的初等变换，将上题中的③化成形为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000sE 的矩阵．解接上题中的③的行最简形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100004/61002/101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000100001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********习题1.3解答1.写出以下列行最简形矩阵为增广矩阵的线性方程组的全部解．①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032100301 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110000010010011 解 ①对应的线性方程组可写为⎩⎨⎧+=-=32312330x x x x令x 3=c ，得x 1=-3c ，x 2=3+2c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=c x c x c x 321233 其中c 为任意数．② 对应的线性方程组可写为⎪⎩⎪⎨⎧==-=1014321x x x x令x 2=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=1014321x x c x c x 其中c 为任意数．2.解下列线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432321321321321x x x x x x x x x x x x③⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x ④⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2/54/112/502/174/112/502124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110034111002124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2400034111002124 由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，所以原方程组无解．② 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328341325421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----147702814140147705421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000021105421 对应的同解方程组可写为⎩⎨⎧+=--=-323212452x x x x x令x 3=c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=cx c x cx 321221 其中c 为任意数．③对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020000100011112 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧=+-=02/12/12/14321x x x x令x 2=c 1，x 3=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=021212142312211x c x cx c c x 其中c 1，c 2为任意数．④ 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111124312325341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------5957010181014025341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000005957025341 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧+-=--+-=+432432195575324x x x x x x x令x 3=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-=++=24132122117/97/57/57/7/7/6c x c x c c x c c x 其中c 为任意数．3.解下列齐次线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----430013101211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---430030103/4001 令x 4=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=cx c x c x c x 43213/433/4 中c 为任意数．② 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---040004001121~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004001121对应的同解方程为⎩⎨⎧=-+-=+04234231x x x x x令x 2=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=2431221102c x x c x c c x ③ 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----5132631472137421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----199703419901410707421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----51007/1127/43001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----510011243001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100051001410707421 系数矩阵的秩为4，对应的齐次线性方程组只有零解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x4.讨论a,b 取什么值时下面的线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？①⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=-+b x a x x x x x x x x 3221321321)5(322 ②⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x ax x x 解 ①系数矩阵的行列式为5111211112--a =400211112--a =(a-2)(a+2)当a ≠2且a ≠-2时，方程组有唯一解。

高等代数学习题集

高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。

高等代数习题及参考答案

高等代数习题及参考答案第一章多项式1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：322f(x)?x?3x?x?1,g(x)?3x?2x?1； 1）2）f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。

q(x)?17262x?,r(x)??x?3999；解 1）由带余除法，可得2q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。

2）同理可得2．m,p,q适合什么条件时，有23x?mx?1|x?px?q， 1）242x?mx?1|x?px?q。

2）2(p?1?m)x?(q?m)?0，解 1）由假设，所得余式为0，即?p?1?m2?0?23q?m?0x?mx?1|x?px?q。

?所以当时有?m(2?p?m2)?0?2q?1?p?m?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。

?m?0?q?1??2242p?q?1p?m?2x?mx?1|x?px?q。

??综上所诉，当或时，皆有3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：53f(x)?2x?5x?8x,g(x)?x?3； 1）2）f(x)?x?x?x,g(x)?x?1?2i。

32q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109解 1）r(x)??327；q(x)?x2?2ix?(5?2i)2）r(x)??9?8i。

x?x0的方幂和，即表成4．把f(x)表示成c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：5f(x)?x,x0?1； 1）42f(x)?x?2x?3,x0??2； 2）432f(x)?x?2ix?(1?i)x?3x?7?i,x0??i。

3）2345f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)?10(x?1)?5(x?1)?(x?1)解 1）由综合除法，可得； 2）由综合除法，可得x?2x?3?11?24(x?2)?22(x?2)?8(x?2)?(x?2)；432x?2ix?(1?i)x?3x?(7?i) 3）由综合除法，可得42234?(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2?2i(x?i)3?(x?i)4。

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《高等代数（上）》课程习题集一、填空题11. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。

2. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（）关。

3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （）。

4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（）。

5. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（）。

6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（）。

7. 设行列式014900716=--k，则=k （）8. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（）9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（）10. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A =（） 11. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （）12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（） 13. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是（）14. 若排列n j j j 21的逆序数为k ，则排列11j j j n n -的逆序数为（）15. 当=a （）时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 有零解。

16. 设A 为n n ⨯矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（）17. 设00A X C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X -等于（） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（） 20. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（）21. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果n m >.，则这组向量线性（）关22. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则k=（）。

23. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（） 24. 设A 为n 阶方阵，若I 2A -A -7=0，求()13A I --=（） 25. 如果24211()|x Ax Bx -++，则A =（），B =（）。

26. 若行列式125132025x -=，则x =（）。

27. 向量α线性无关的充要条件是（）28. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（）。

29. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（）30. 当a = 时，线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解二、计算题31. 已知b ax x x x x f +++-=23463)(，12-=x x g )(.b a ,为何值时，)(x g 能整除)(x f 。

32. 计算下列n 级行列式：xa a ax a aa x33. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321ηηη,,是它的三个解向量且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43215432321ηηη,求该方程组的通解。

34. 求矩阵A 的逆矩阵： 1200340000430012A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭35. 设向量组 123111131226240ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，求向量组的秩和一个最大无关组，并用最大无关组将其余量线性表示。

36. 证明多项式1073234+-+-=x x x x x f )(在有理数域上不可约。

37. 设A 为n 阶方阵，若k A =0，证明I A -可逆，并求()1I A --38. 计算n 阶行列式D =nn n n n n n nnnn n n 32139. 设矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡31000270000520031，求1-A 40. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410011103A ，且满足X A AX 2+=，求矩阵X 41. 当λ为何值时方程组1232123123424x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 无解，有唯一解，有无穷多解。

42. 设向量组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11021α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10112α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00113α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=11204α求向量组的秩和一个最大无关组，并用最大无关组将其余向量线性表示。

43. 计算行列式2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a44. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-01117840246303542432143214321x x x x x x x x x x x x45. 设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭且AB A B =+2，求B 。

46. 求下列多项式的有理根：1415623-+-x x x 47. 当λ为何值时，线性方程组1231231232125541x x x x x x x x x λλ-++=⎧⎪-+=⎨⎪-++=-⎩无解，有唯一解或有无穷多解。

48. 计算n 阶行列式00000000nx y x y D x y y x=49. 求矩阵A 的逆矩阵：1400230000430012A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭50. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43110412A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=204131210131B ，求)'(AB51. 设122013421102A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 564b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求b Ax =的通解52. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321ηηη,,是它的三个解向量且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43215432321ηηη,求该方程组的通解。

53. 计算n 阶行列式D =nn nn 111111111111 54. 已知1123P ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 1002⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭，且Λ=-AP P 1，求A 及kA （k 是正整数）。

55. 设X =AX +B ，其中A =010111101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，B =112053-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，求X 。

56. 求下列齐次线性方程组的基础解系, 并写出其通解:⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x57. 设向量组1102α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 2320α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3211α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,4235α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵的列向量组的秩和一个最大无关组，并用最大无关组将其余的列向量线性表示。

三、证明题1 （略）……答案一、填空题1 1. 0 2. 相3. 89-4. 0A ≠5. 1000-⎛⎫ ⎪⎝⎭6. 07. 48. 42-9. 111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10. 40- 11. n s -12. 存在多项式(),()u x v x 使得()()()()1u x f x v x g x += 13. 1((),())f x f x '=14. 112()n n k --15. 12,a =16. 秩（A ）= 秩（A,B ）17. 1100A X C --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 18. 相19. ()|()p x f x 20. 48-21. 相 22. -1 23. 024. 2A I + 25. 12,A B ==- 26. 327. 0α≠28. 1000-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 29. 42- 30. 12,a =二、计算题31. (法一)()g x 除()f x 的余式为37()()()r x a x b =-++（5分）。

()g x 整除()f x 的条件是0()r x =，即37,a b ==-（5分）。

（法二）()g x 的根为1±，故()g x 整除()f x 的条件是(1)0,(1)0f f =-=，（6分）即40,100a b a b ++=-++=解得3,7a b ==-。

（4分）32.111001110[()][()]x a a a a a a a x a x a x a x n a x n a a axaxx a-=+-=+--11[()]()n x n a x a -=+--（10分）33. 此方程组的导出组的基础解系含有431-=个解向量（2分），而12334256()ξηηη⎛⎫ ⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是导出组的一个非零解，故ξ就是此方程组的一个基础解系（6分）。

所以，方程组的通解为1k ηξη=+ （k 为任意常数）（2分）34. 解：设1234B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4312C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则B O A O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭------------------------(2分)111B O A OC ---⎛⎫=⎪⎝⎭----(2分) 又1213122B --⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭，123551455C -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-------(4分) 故12100310022230055140055A --⎛⎫⎪ ⎪- ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭------------------------------------------------(2分) 35. 解：()123111*********,,226000240000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--------------------（4分）故()123,,2R ααα=------（2分）()12,αα是一个极大无关组，且3122ααα=-（4分）36. 432111317110()()()()()()g x f x x x x x =+=+-+++-++432366x x x =+++ （3分）取素数3p =，由Eisenstein 判别法可知()g x 在有理数域上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。