高中数学竞赛 第59讲 概率1教案

第19讲 概率(一)概率的一些术语及基本知识．1.基本事件：一次试验(例如掷骰子)，可能有多种结果，每个结果称为基本事件．2.样本空间：基本事件的集合，称为样本空间，也就是基本事件的总体．本讲记为I ．3.随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件．4.必然事件：在试验中必然发生的事件，即样本空间I 自身．它的概率为1，即P(I) =1.5.不可能事件：不可能发生的事件，即空集∅．它发生的概率为0，即P(∅)=0．6.互斥事件：事件A 、B 不能同时发生，即A∩B=∅，则称A 、B 为互斥事件，也称为互不相容的事件．(也称互不相容的事件)7.和事件：A ∪B 称为事件A 与B 的和事件．8.积事件：A ∩B 称为事件A 与B 的积事件，也简记为AB ．9.概率：概率是样本空间I 中的一种测度，即对每一个事件A ，有一个实数与它对应，记为P(A)，具有以下三条性质：(1)P(A)≥()(非负性)；(2)P(I)=l ；(3)在A 、B 为互斥事件时，P(A ∪B)=P(A)+P(B)(可加性)．10.频率：在同样的条件下进行n 次试验，如果事件A 发生m 次，那么就说A 发生的频率为m n． 11.古典概型：如果试验有n 种可能的结果，并且每一种结果发生的可能性都相等，那么这种试验称为古典概型，也称为等可能概型，其中每种结果发生的概率都等于1n． 12．对立事件：如果事件A 、B 满足A ∩ B==∅，A ∪B=I,那么A 、B 称为对立事件，并将B 记为A ．我们有一个常用公式P(A )=l －P(A)．13.条件概率：在事件A 已经发生的条件下，事件B 发牛的概率称为条件概率，记为P(B ｜A)．我们有 P(AB)=P(A)P(B ｜A)．即P(B ｜A)= P(AB )P(A )注意P(B ｜A)，P(B)，P(A ｜B)的不同．P(B)是事件B 上发生的概率(没有条件)；P(B ｜A)是A已经发生的条件下，B 发生的概率；P(A ｜B)是B 已经发生的条件下，A 发生的概率．14.独立事件：如果事件A 是否发生，对于事件B 的发生没有影响，即P(B ｜A)=P(B)．那么称A 、B 为独立事件．易知这时P(AB)=P(A)P(B)，并且 P(A ｜B)=P(A),即B 是否发生，对于A 的发生没有影响．所以事件A 、B 是互相独立的．15.全概率公式：如果样本空间I 可以分拆为B 1，B 2，…，B n ，即B 1∪B 2∪…∪B n =I 并且B i ∪B j =∅(1≤i ＜j ≤n )那么事件A 发牛的概率 P(A)=1()()n i i i P A B P BA 类例题例1 (2004年重庆理工卷)某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（ ） A ．110 B ．120 C ．140 D ．1120分析 排列组合问题，往往以实际问题面目出现，它解法灵活,而排列组合又是概率的基本知识，如等可能性事件中有一类概率问题，它常与排列组合知识紧密联系，本题既考查了解排列组合问题的“捆绑法”，又考查了“插空法”，分别计算出带条件与不带条件限制的排法总数，再按照概率的意义求出概率即可．解 将一班3位同学视为一个整体，将这一整体与其他班的5位同学进行全排列,共有6633A A 种方法，并且他们之间共留下了7个空隙，将余下的二班的2位同学分别插入,共有27A 种方法，故一班有3位同学恰好被排在一起，而二班的2位同学没有排在一起排法总数为6633A A 27A . 故所求的概率为 2011010276633=A A A A .【答案】B 例2 (2004年全国卷)某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.（1）求这名同学得300分的概率；（2）求这名同学至少得300分的概率.分析 本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概率知识解决实际问题的能力. 解题突破口：(1)这名同学得300分的概率必是第1、2题一对一错,这样得100分,而第3小题一定答对,所以共得到300分.(2)至少300分意思是得300分或400分.故两种概率相加即可.解 记“这名同学答对第i 个问题”为事件)3,2,1(=i A i ，则P （A 1）=0.8，P （A 2）=0.7，P （A 3）=0.6.（1）这名同学得300分的概率：P 1=P （A 12A A 3）+P （1A A 2A 3）=P （A 1）P （2A ）P （A 3）+P （1A ）P （A 2）P （A 3）=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228.（2）这名同学至少得300分的概率：P 2=P 1+P （A 1A 2A 3）=0.228+P （A 1）P （A 2）P （A 3）=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.情景再现1． (2003年全国高考上海卷)某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 (结果用分数表示)2．(1)一圆周上均匀分布着1996个点, 从中均等地选出A 、B 、C 、D 四个不同的点, 则弦AB与CD 相交的概率是( )A 、14.B 、13.C 、12. D 、23. (2)记号为1,2,3的三个球放在一个缸子中. 将一个球从缸子中取出, 把它的号码记下来, 然后再将它放回到缸子里. 这个过程重复三次. 每个球在每次过程中被抽出的机会是等可能的.如果记录的数码之和为6, 那么其中记号为2的球三次全被抽出的概率为( )A 、127.B 、18.C 、17. D 、16. B 类例题例3 (2003年江苏卷)有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.（1）求恰有一件不合格的概率；（2）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）分析 本题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力,正确利用相互独立事件、互斥事件、独立事件重复发生概率的计算公式解决此类问题.解 设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C.（1）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ，.05.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P答：恰有一件不合格的概率为0.176. (2)解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯=解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.例3．(2004年全国高考湖南卷)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 92． （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．分析 本题考查相互独立事件、互斥事件概率的计算及分析和解决实际问题的能力．这是一个逆向思考题,还是以正向思维解决为佳．可先设甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率,再由题意列出方程组并解之可解决此类问题．解（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅.92)()(,121))(1()(,41))(1()(.92)(,121)(,41)(C P A P C P B P B P A P C A P C B P B A P 即 由①、③得)(891)(C P B P -= 代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0．解得 91132)(或=C P （舍去）． 将 32)(=C P 分别代入 ③、② 可得 .41)(,31)(==B P A P 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.32,41,31（2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则 .653143321))(1))((1))((1(1)(1)(=⋅⋅-=----=-=C P B P A P D P D P 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.65 说明 这类问题直接求概率较为困难,若用待求概率去表示已知概率,就得到了待求概率的方程,使概率问题成为方程问题,从而问题迎刃而解．例5 抛挪一枚硬币，每次正面出现得1分，反面出现得2分，试证:恰好得到n 分的概率是]212[31n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 分析 数列与概率的交汇题需要综合使用数列与概率中的主干知识，特别是概率中探索的P n与P n －1关系的思路，以及由数列的递推公式求数列的通项公式的方法和手段都给我们留下了极其深刻的印象．解 设恰好得到n 分的概率为P n ，则得到n －1分的概率为P n －1，得到n －2分的概率为P n －2．要得n 分，必须满足以下情形:先得n －1分，再掷一次正面，此时概率为121-n P ,或为先得n －2分，再掷一次反面，此时概率为221-n P 因为这两种情况是互斥的,故有=n P 121-n P 221-+n P ． 由题意 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===--212121214321n n n P P P P P 而)(21212121121-------=-=-n n n n n n P P P P P P 即n n n n n P P P P )21()2(41)()21(21221-=-=--=----累加可得=n P ]212[31n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+． ① ② ③例6 (2005年全国高考江苏卷)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3.4假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（3）假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？分析 本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解．第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式.解 (1)记“甲连续射击4次至少有一次末中目标”为事件A 1，由题意知，射击4次，相当于作4次独立重复试验， 故)(1)(11A P A P -==.8165)32(14=- 答：甲连续射击4次至少有一次末中目标的概率为：.8165 （2）记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事件B 2,则 P 278)321()32()(22242=-⋅⋅=C A 6427)431()43()(13342=-⋅⋅=C B P 由于甲乙射击相互独立，故 .816427278)()()(2222=⨯==B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.81（3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3“乙第i 次射击末中”为事件Di （I=1,2,3,4,5）,则A 3=12345D D D D D ⋅⋅⋅ ，且41)(=i D P 由于各事件相互独立，故 )()()()()(123453D D P D P D P D P A P ⋅⋅⋅==.102445)41411(434141=⨯-⨯⨯⨯ 答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.102445 情景再现3．棱长为1的正四面体A －BCD ，有一小虫从顶点A 处开始按以下规则爬行:在每一顶点处以同样的概率选择通过这个顶点的3条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头．记小虫爬了n 米后重新回到点A 的概率为P n ．(1)求P 1和P 2的值;(2)探寻P n 与P n －1的关系;(3)求P n 的表达式．4． 一个数由7个数字组成．这7个数字的和为59.求这个数被11整除的概率．C 类例题例7 在给定的圆周上随机地选六个点A ，B ，C ，D ，E ，F ．求△ABC 与ADEF 的边(线段)互不相交的概率．解 在6个点中取3个点作为△ABC 的顶点，有C 63=20种方法．其中3个点相邻的方法有C 61=6种(第一个点选定后，另两个依顺时针次序紧随它的点也就唯一确定)，而这样得到的△ABC 与余下三点组成的△DEF 的边互不相交．所求概率为620=310. 例8 给定三只相同的有n 个面的骰子．它们的对应面上标上同样的任意写的整数．证明如果随意投掷它们，那么向上的三个面上的数的和被3整除的概率不小于14． 解 不妨设每个面上的数是0，l ，2(将每个数换成它除以3后所得的余数)．又设每个骰子上0有a 个，1有b 个，2有c 个．这里 0≤a,b,c ≤n并且a+b+c=n随机掷3只骰子，总可能有n 3种．其中和被3整除的有以下情况：0，0，0；0，1，2；1，1，1；2，2，2．共a 3+b 3+c 3+6abc 种．概率为a 3+b 3+c 3+6abc n 3 a 3+b 3+c 3+6abc n 3≥14⇔ 4(a 3+b 3+c 3+6abc)≥(a+b+c)3. ⇔ a 3+b 3+c 3+6abc ≥a 2b+ a 2c+b 2a+b 2c+c 2a+c 2b. 不妨设a ≥b ≥c 则a 3+b 3+2abc －(a 2b+ a 2c+b 2a+b 2c)= a 2(a －b)－b 2(a －b)－ac(a －b)+bc(a －b)= (a －b)(a 2－b 2－ac+bc)= (a －b)2(a+b －c)≥0c 3+abc － c 2a －c 2b=c(a －c)(b －c)≥0两式相加即得结论 情景再现5．有人玩掷硬币走跳棋游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是21，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前或向后跳．若掷出正面，棋子向前跳动一站；若掷出的反面，则棋子向前跳动两站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，游戏结束，设棋子跳到第n 站的概率为P n ．（I ）求P 0,P 1,P 2；（II ）求证：P n －P n －1=21(p n －1－P n －2)； （Ⅲ）求P 99及P 100．6．三名棋手A ，B ，C 进行循环赛．先是A 同B 比赛，胜者再与C 比赛，新的胜者再与上次比赛的败者比赛．如此继续下去，直至有一名选手连胜两次．这名选手就是冠军．(1)如果三人棋力相当，问各人得冠军的概率各是多少?(2)如果第一盘A胜，那么三人分获冠军的概率是多少?习题19A类题1.有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9，从这五条线段中任取三条，则所得的三条线段不能拼成三角形的概率是 ( )A. 25B.35C.710D.452.若a,b,c是从集合{}1,2,3,4,5中任取的三个元素(不一定不同). 则ab+c为偶数的概率为A、25. B、59125. C、12. D、64125.3. 把编号为1到6的六个小球，平均分到三个不同的盒子内，则有一盒全是偶数号球的概率为 ( ) A.15 B. 25 C. 35 D. 134. 有5副不同的手套, 甲先任取一只, 乙再任取一只, 然后甲又任取一只, 最后乙再任取一只. 求下列事件的概率.(1) A ：甲正好取得两只配对手套.； (2) B ：乙正好取得两只配对手套；(3)A 与B 是否独立？5. (2005年上海市高中数学竞赛)a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为 ．6. (第六届北京高中数学知识应用竞赛)体育彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码，也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？ B 类题7. (2005年全国高考湖南卷)某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的. （Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率； （Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.8. 如果从某个五位数的集合中随机地抽出一个数, 它的各位数字和均等于43, 求这个数可以被11除尽的概率.9. 有人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为A 、B 两方，开始时棋子放在A 方，根据下列①、②、③的规定移动棋子：①骰子出现1点时，不能移动棋子；②出现2、3、4、5点时，把棋子移向对方；③出现6点时，如果棋子在A 方就不动，如果棋子在B 方就移至A 方． (1)求将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A 方而掷第二次后在B 方的概率． (2)将骰子掷了n 次后，棋子仍在A 方的概率记为P n , 求P n ．10. 将A ，B ，C 三个字母之一输入，输出时为原字母的概率是a ，为其他两个字母之一的概率都是1－a 2．现将字母串AAAA ，BBBB ，CCCC 之一输入，输人的概率分别为p 1，p 2，p 3 (p 1+p 2+p 3=1)．发现输出为ABCA ．求输入为AAAA 的概率是多少?(假定传输每个字母的工作是互相独立的)．C 类题 11. (2005年全国高中数学竞赛)将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 12. (2004年全国高中数学竞赛)一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关．问： （Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？ （Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体．抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数．） 本节“情景再现”解答：1. 119190, 提示：属于同一个国家的概率为190712202524211=++C C C C ，所求概率为 190119190711=-或：所求概率为 19011954511411220=⨯+⨯+⨯C 2. (1)选 B. 考虑点A 、B 、C 、D 的顺序即可.因为对任意凸四边形而言, 孔AB 、CD 恰为两对角线时, 它们才相交.当A 、B 为相邻顶点时, 其顺序情况有8种;C 、D 顺序有2种;当A 、B 为相对顶点时, 其顺序情况有4种;C 、D 顺序有2种;这样, 所求概率为42142823⨯=⨯+⨯.(2)选 C. 因为一共有7种抽出情形使小球数码的和为6, 且它们是等可能的.用下面的三元有序组来表示即 (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) 和(2,2,2),所以记号为2的球三次全被抽中的概率为17. 3. (1)小虫从点A 爬了一米后又回到点A 是不可能的，P 1=0,小虫从点A 爬了两米后又回到点A ，有A →B(或C ，或D )→A 这3种情况，概率都是913131=⨯,所以912=P 91+91+31=．(2)小虫爬了n 米后回到点A ，则爬了n －1米后不在点A,概率是1－1-n P ,此时小虫从另三点中的一点回到点的概率是31，故)1(311--=n n P P (3)由题意,00=P 又)1(311--=n n P P ,故)41(31411--=--n n P P数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-41n P 是以为43首项, 41-为公比的等比数列，所以nn P )31(4341-+=． 4. 7个数字的和为59有以下几种情况：(1)6个9，1个5；(2)5个9，1个8，1个6；(3)5个9，2个7；(4)4个9，2个8，1个7；(5)3个9，4个8．共7+7×6+C 72+7×C 62 +C 74=210个．其中被11整除的，奇数位数字和与偶数位数字和的差应被11整除．但奇数位数字和与偶数位数字和的和为59，是一个奇数，所以上述的差只能为11，而且必须是奇数位4个数字之和为35(=59+112)，偶数位3个数字之和为24．奇数位4个数字的和为35，只有3个数字为9，1个数字为8这一种情况，共4个．偶数位3个数字的和为24，有(1)3个8；(2)2个9，1个6；(3)1个9，1个8，1个7三种情况，共1+3+3！=10种．所以被11整除的数共4×10=40个．所求概率为40210=421.5. （I ）P 0＝1，P 1＝21，P 2＝43212121=+⋅． （II ）棋子跳到第n 站(2≤n ≤99，必是从第n －1站或第n －2站跳到的)的概率为 P n ＝2212--+n n P P ，所以 P n －P n －1＝－21(P n －1－P n －2) （III ）由(Ⅱ)知数列{P n+1－P n }是首项为P 1－P 0＝－21，公比为－21的等比数列，该数列的前99项和，由P 1－P 0，P 2－P 1，…,P 99－P 98相加得，P 99－1=(－21)＋(－21)２+…＋(－21)99，所以 P 99＝32[1－(21)100]，则P 98＝P 99－(－21)99=32[1+(21)99]即P 100＝21P 98＝31[1+(21)99].6. 先考虑(2)，设A ，C ，B 获胜的概率分别为p 1，p 2，p 3，则显然有 p 1+p 2+p 3=1 (1)(总有一人能得冠军一无限制地循环下去的概率为12×12×12×…=0，因为12n →0)A 得冠军有两种可能：第二盘A 胜C ，概率为12；第二盘A 负于C ，概率为12，而下一盘B 胜C(C 胜B 则C 为冠军，A 不为冠军)，从这盘算起，A 成 为B ，C ，A 系列中的第三个人，获胜概率为p 3，． 所以p 1= 12＋ 12× p 3. (2)C 得冠军必须A 在第二盘负(概率为12)，这样C 成为C ，B ，A 系列中的第一个人，获胜的概率为p 1，所以p 2= 12p 1. (3)由(1)，(2)，(3)得p 1=47 ，p 2=27，p 3=17．在第(1)问中，A 、B 得冠军的概率均为12p 1＋ 12p 3=514.C 得冠军的概率为1－2×514=27(无论第一盘A,B 谁胜C 得冠军的概率都为p 2=27)本节“习题19”解答：1. C. 提示：能拼成三角形的三条线段仅有3 5 7；5 7 9；3 7 9这三种可能，故所求概率为1－C 353=1072. 选B. 首先从集合任取三元素的总事倒数为35=125.下面考虑c 的情况：从{}1,3,5中选一个有13C =3种情况c 是奇数; 以{}2,4中选一个有12C =2种情况c 是偶数.而ab 为奇数的情形有23=9种, 为偶数的情形有2253-=16种.由“奇+奇=偶”“偶+偶=偶” 知,ab +c 为偶数的情形共有 3×9+2×16=59(种)这样所求概率为59125.3. 6个球平均分入三盒有C C C 222426种等可能的结果, 每盒各有一个奇数号球的结果有A A 3333种，所求概率P(A)=52C C C A A 2224263333=, 则有一盒全是偶数号球的概率是53．故选B.4. (1)912)(4102815=⋅⋅=A A C A P (2) 912)(4102815=⋅⋅=A A C B P (3) 63122)(4101225=⋅⋅⋅=A C C AB P 故A 与B 是不独立. 5.179431256. 体育彩票应本36个号码的36个球大小、重量等应该是一致的，严格说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形，和没有用过的球一样．因此，当你把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．7. 解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等. （I ）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P （A 1）=.943!3424=⋅C （II ）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P （A 3）=271334=，事件A 2的概率为 P （A 2）=1－P （A 1）－P （A 3）=.2714271941=--解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P （A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 8. 十进制中每位数字最大是9, 因而五位数字和d 1+d 2+d 3+d 4+d 5最多是45. 而数字和是43则有下面情况：(1) 其中一个数字是7, 其余是9, 有5种可能：79999, 97999, 99799, 99979, 99997.(1) 其中两个数字是8, 其余数字是9, 有10种可能：88999, 89899, 89989, 89998, 98899, 98989, 98998, 99889, 99898, 99988.而上述诸数中可被11整除者仅97999,99979,98989三个.综上所求概率 31155p ==. 9. （1）将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A 方而掷第二次后在B 方的概率P=⨯6264=92 (2)设把骰子掷了n ＋1次后，棋子仍在A 方的概率为P n +1，有两种情况：①第n 次棋子在A 方，其概率为P n ，且第n ＋1次骰子出现1点或6点，棋子不动，其概率为3162= ②第n 次棋子在B 方，且第n ＋1次骰子出现2，3，4，5或6点，其概率为65 ∴)1(65311n n n P P P -+=+，即)95(21951--=-+n n P P ，P 0＝1，31)1(6531001=-+=P P P ， 2195951-=--+n n P P ， ∴{95-n P }是首项为92951-=-P ，公比为21-的等比数列 ∴1)21(9295---=-n n P ⇒ 229)1(95-⋅-+=n n n P ．10. 输人为AAAA 时输出ABCA 的概率是a 2(1－a 2)2,输人为BBBB 时输出ABCA 的概率是a (1－a 2)3,输人为CCCC 时输出ABCA 的概率是a (1－a 2)3,输出为ABCA 时输入AAAA 的概率是22122331231()2111()()()222a p a a a a p a p a p a =112311ap a p a.11. 九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有2!8种. 下求使S 达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设k x x x ,,,21 是依次排列于这段弧上的小球号码，则.8|91||)9()()1(||9|||||1|211211=-=-++-+-≥-++-+-k k x x x x x x x x 上式取等号当且仅当9121<<<<<k x x x ，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此1682=⋅=最小S .…………………………………………………………………10分 由上知，当每个弧段上的球号}9,,,,1{21k x x x 确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在1,2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有6372717072=+++C C C C 种情况，每种情况对应着圆周上使S 值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是62种，故所求概率.31512!826==P 12. 由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的．（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而45642,652⨯>⨯<，因此，当5n ≥时，n 次出现的点数之和大于2n已不可能．即这是一个不可能事件，过关的概率为0．所以最多只能连过4关．（Ⅱ）设事件n A 为“第n 关过关失败”，则对立事件n A 为“第n 关过关成功”． 第n 关游戏中，基本事件总数为6n个．第1关：事件1A 所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），∴过此关的概率为：1122()1()163P A P A =-=-=． 第2关：事件2A 所含基本事件数为方程x y a +=当a 分别取2，3，4时的正整数解组数之和．即有1111231236C C C ++=++=（个）．∴过此关的概率为：22265()1()166P A P A =-=-=．第3关：事件3A 所含基本事件为方程x y z a ++=当a 分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和．即有22222223456713610152156C C C C C C +++++=+++++=（个）．∴过此关的概率为：3335620()1()1627P A P A =-=-=． 故连过前三关的概率为：1232520100()()()3627243P A P A P A ⨯⨯=⨯⨯=． （说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）。