高中数学竞赛教案讲义(17)整数问题
高中数学竞赛培训教程 初等代数
高中数学竞赛培训教程初等代数第一章代数基础整数是数学中最基本的数，包括正整数、负整数和零。
在代数中，我们经常使用整数来进行运算和表示未知数。
1.2 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
在代数中，我们常常使用有理数来计算方程的根，解方程组等。
实数是包括有理数和无理数的数集。
在代数中，我们必须了解实数的性质和运算法则，才能进行更复杂的数学运算和证明。
第二章一次方程与不等式2.1 一次方程一次方程是指最高次项为一次的代数方程。
我们需要学习如何解一次方程，并利用解方程的方法解决实际问题。
2.2 一次不等式一次不等式是指最高次项为一次的不等式。
我们需要学习如何解一次不等式，并应用不等式来解决实际问题。
2.3 一次方程与一次不等式的应用一次方程与一次不等式在实际问题中的应用非常广泛。
我们需要学会如何将实际问题转化为一次方程或一次不等式，并利用解方程和解不等式的方法得出问题的解。
第三章二次方程与不等式3.1 二次方程的定义与性质二次方程是指最高次项为平方项的代数方程。
我们需要学习二次方程的基本性质，如判别式、根的性质等。
3.2 二次方程的解法解二次方程是数学中非常重要的一部分。
我们需要学会使用求根公式、配方法等解二次方程，以及利用因式分解、完全平方式解二次方程。
3.3 二次不等式的解法解二次不等式是在二次方程的基础上进一步扩展的。
我们需要学会使用判别式、区间判断等方法来解二次不等式，并应用它们来解决实际问题。
第四章分式与分式方程4.1 分式的定义与性质分式是指一个整数与一个非零整数的比值。
我们需要学习分式的基本性质，如约分、通分、化简等。
4.2 分式的运算分式的加减乘除是数学中常见的运算。
我们需要学习如何进行分式的加减乘除，并应用它们解决实际问题。
4.3 分式方程的解法分式方程是包含分式的方程。
我们需要学会解分式方程，并利用解方程的方法解决实际问题。
第五章根式与根式方程5.1 根式的定义与性质根式是指包含根号的数。
高中数学数字整除问题教案
高中数学数字整除问题教案
教学目标：
1. 掌握整除的概念和判定方法。
2. 训练学生分析问题并运用整除性质进行解题。
3. 提高学生数学推理和逻辑思维能力。
教学重点：
1. 整除的定义和性质。
2. 数学问题中的整除运用。
教学难点：
1. 理解和掌握整除的应用。
2. 运用整除性质解决复杂问题。
教学准备：
1. 教师准备相关教学资料和教学案例。
2. 学生准备好纸笔进行课堂练习。
教学过程：
一、导入：
教师通过引导学生回顾整除的定义和判定方法，提出本节课要讨论整除问题，并引入相关实际问题。
二、讲解：
1. 整除的定义和性质：通过案例或实例讲解整除的概念和性质，引导学生理解整除乘法法则和整除性质。
2. 数学问题中的整除运用：通过实际问题讲解如何运用整除性质解决问题。
三、练习：
教师出示一些数字整除问题，让学生进行思考和运用整除性质解题，并进行课堂讲解和订正。
四、作业：
布置相关数字整除问题作业，让学生巩固所学知识。
五、总结：
通过课堂讨论和总结，引导学生理解整除的重要性和应用，并巩固整个内容。
教学延伸：
教师可以结合实际生活中的整除问题，引导学生思考和解决，提高学生数学推理和应用能力。
高中数学第十七课教案
高中数学第十七课教案
教学目标：
1. 理解正弦、余弦和正切三角函数的定义。
2. 掌握角度的度数和弧度的转换方法。
3. 能够应用三角函数解决实际问题。
教学重点与难点：
重点：正弦、余弦和正切三角函数的定义及应用。
难点：角度的度数和弧度的转换方法。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材
2. 教具：黑板、彩色粉笔、计算器等
教学步骤：
一、引入
老师介绍三角函数的概念及其在数学中的重要性，并提出本节课的学习目标。
二、讲解
1. 正弦、余弦和正切三角函数的定义及性质。
2. 角度的度数和弧度的概念及转换方法。
三、实例讲解
通过几个实际问题的讲解，引导学生理解三角函数的应用。
四、练习
1. 学生课堂练习，加深对三角函数的理解。
2. 布置相关习题作业，巩固所学知识。
五、总结
回顾本节课所学内容，强调三角函数的重要性及应用。
教学反思：
本节课通过实例讲解和练习等方式，提升学生对三角函数的理解和应用能力。
在引入、讲解、练习的过程中，应注意引导学生自主思考和解决问题的能力。
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座17数学归纳法
比赛讲座 17-数学概括法基础知识数学概括法是用于证明与正整数n 相关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学比赛中据有很重要的地位．1．数学概括法的基本形式（ 1）第一数学概括法设 P(n) 是一个与正整数相关的命题，假如①当 n n0（ n0N ）时， P( n) 建立；②假定 n k (k n0 , k N ) 建立，由此推得n k 1时，P(n)也建立，那么，依据①②对全部正整数n n0时， P(n) 建立．（ 2）第二数学概括法设 P(n) 是一个与正整数相关的命题，假如①当 n n0（ n0N ）时， P( n) 建立；②假定 n k (k n0 , k N ) 建立，由此推得n k 1时，P( n)也建立，那么，依据①②对全部正整数n n0时， P(n) 建立．2．数学概括法的其余形式（ 1）跳跃数学概括法①当 n1,2,3,, l 时， P(1), P( 2), P(3),, P(l ) 建立，②假定 n k 时P( k)建立，由此推得 n k l 时，P( n)也建立，那么，依据①②对一切正整数 n 1 时，P(n)建立．（ 2）反向数学概括法设 P(n) 是一个与正整数相关的命题，假如① P(n) 对无穷多个正整数n 建立；②假定 n k 时，命题P(k)建立，则当 n k 1时命题P(k 1)也建立，那么依据①②对全部正整数 n 1时， P(n) 建立．3．应用数学概括法的技巧（ 1）起点前移：有些命题对全部大于等于1 的正整数正整数n 都建立，但命题自己对n 0也建立，并且考证起来比考证n 1时简单，所以用考证n 0建立取代考证n1，同理，其余起点也能够前移，只需前移的起点建立且简单考证就能够．因此为了便于起步，存心前移起点．（ 2）起点增加：有些命题在由 n k 向 n k 1跨进时，需要经其余特别情况作为基础，此时常常需要增补考证某些特别情况，所以需要适合增加起点．（ 3）加大跨度：有些命题为了减少概括中的困难，适合能够改变跨度，但注意起点也应相应增加．（ 4）选择适合的假定方式：概括假定为必定要拘泥于“假定n k 时命题建立”不行，需要依据题意采纳第一、第二、跳跃、反向数学概括法中的某一形式，灵巧选择使用．（ 5）变换命题：有些命题在用数学概括证明时，需要引进一个协助命题帮助证明，或许需要改变命题马上命题一般化或增强命题才能知足概括的需要，才能顺利进行证明．5．概括、猜想和证明在数学中常常经过特例或依据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这类不严格的推理方法称为不完整概括法． 不完整概括法得出的结论， 只好是一种猜想， 其正确与否，一定进一步查验或证明，常常采纳数学概括法证明．不完整概括法是发现规律、解决问题极好的方法．例题剖析例 1．用数学概括法证明：(1 1)(11)(1 1 )(11 ) 33n 1 （ n N * ,n1 ）473n 2例 2．已知对随意 nN * ，n 1，a n 0 且 a 13a 23a n 3(a 1 a 2a n )2 ，求证： a nn ．例 3．假如正整数 n 不是 6 的倍数，则 1986n1 不是 7 的倍数．例 4．设 a 1 , a 2 , , a n 都是正数，证明a 1a 2 a nna 1 a 2 a n ．n例 5 ．已知函数f (x) 的定义域为 [a,b] ，对于区间 [ a, b] 内的随意两数c, d 均有c d1[ f (c) f (d )] ．求证：对于随意 x 1, x 2 ,, x n[a,b] ，均有f ()2 2x 1x 2x n)1f ( x 2 ) f ( x n )] ．f (n[ f ( x 1 )n例 6 试证：对全部大于等于1 的自然数 n 都有1sin2n1cos cos2cosn2．22 sin2例 7 试证：对全部自然数n （ n 1）都有 2n2 n 2 ．例 8．证明：任一正方形能够剖分红随意个数多于 5 个的正方形．例9．设0a 1 ，a11 a ， a n 11a ，求证：对全部n N 均有a n1 a n例 10．已知a1a2 1 ，aa n21(1) n1N，a n都是整数．2，求证：对全部 nn a n例 11．设 f ( n)1111，能否存在对于正整数n 的函数 g(n) 使等式23nf (1) f (2) f (n1)g(n)[ f ( n)1] 对于n 2 的全部自然数都建立？并证明你的结论．例 12 ．设整数数列{ a n}满足 a1 1 ， a212 ， a3 20，且a n32a n 22a n 1a n．证明：随意正整数n ，14a n a n 1是一个整数的平方．例13．设x1 , x2 ,, x n为正数（n2），证明：x12x22x n21x n2n1．x12x2 x3x22x3 x4x n2x n x1x n2x1 x21例 14．已知a1 1 ， a n 1a n1（ n N * , n1），求证： a900030 ．a n2例 15．整数列{ a n}（n*, n1）知足 a12, a27 ，且有1a na n22 ．求N21an 1证： n2时， a n是奇数．训练题1．证明n N时，12222325 n1能被 31 整除．2．设n不小于 6 的自然数，证明：能够将一个正三角形分红n 个较小的正三角形．3．用数学概括法证明：11112242n14n 为自然数，求证：11112．．设2232n25（n3），求证：n n1(n1)n．．对于自然数 n6．已知a1a2 1 ，a n2a n21(1)n1，求证：对于全部n N *， a n是整数．a n7．设有2n个球分红了很多堆，我们能够随意选甲、乙两堆来依据以下规则搬动：若甲戴盆望天的球数 p 不小于乙堆的球数 q ，则从甲堆拿 q 个球放堆乙堆，这样算是搬动一次．证明：能够经过有限次搬动把全部的球归并成一堆．8．已知数列n}知足：13，a28， 4(a n 1 a n 2 ) 3a n 5n224n 20{ a a （ n3），试证：a n n22n．。
高中数学竞赛教案讲义
高中数学竞赛教案讲义主题：高中数学竞赛备考一、课程目标：1. 提高学生数学逻辑思维能力和解题能力；2. 增强学生对数学知识的理解和应用能力；3. 培养学生团队合作意识和竞赛意识；4. 培养学生学习数学的兴趣和信心。
二、教学内容：1. 数论知识与解题方法；2. 代数知识与解题方法；3. 几何知识与解题方法；4. 概率与统计知识与解题方法。
三、教学重点：1. 突出数学问题解题的逻辑思维；2. 突出数学知识运用的方法；3. 突出解题过程中的技巧与技法。
四、课堂教学安排：第一节课：数论知识与解题方法1. 介绍数论基础知识；2. 讲解数论解题方法；3. 练习数论题目。
第二节课：代数知识与解题方法1. 复习代数基础知识；2. 讲解代数解题方法；3. 练习代数题目。
第三节课：几何知识与解题方法1. 复习几何基础知识；2. 讲解几何解题方法；3. 练习几何题目。
第四节课：概率与统计知识与解题方法1. 介绍概率与统计基础知识；2. 讲解概率与统计解题方法；3. 练习概率与统计题目。
五、课后作业：1. 每节课的课后习题；2. 复习本节课的知识点；3. 复习前几节课的知识点；4. 组织小组讨论解题方法。
六、教学评估：1. 每节课的课堂练习成绩；2. 期中考试成绩；3. 期末考试成绩；4. 学生综合表现与进步情况。
七、教学心得与总结：数学竞赛备考是一个长期的过程，需要坚持不懈和不断努力。
教师要引导学生找到解题的方法，培养学生的数学思维和解题能力。
同时，学生也要积极主动，多加练习，不断提高自己的数学水平。
希望通过我们的共同努力，可以在数学竞赛中获得好的成绩。
高中数学整数与整除教案
高中数学整数与整除教案一、教学目标：1. 理解和掌握整数的概念；2. 掌握整数的加、减、乘、除运算规律；3. 掌握整数的大小比较；4. 理解和掌握整除的概念及相关性质。
二、教学内容：1. 整数的概念及表示方法；2. 整数的加减法规律；3. 整数的乘法规律；4. 整数的除法规律；5. 整数的大小比较；6. 整除的概念及性质。
三、教学重点与难点：1. 整数的概念及加减乘除运算规律为重点；2. 整除的概念及相关性质为难点。
四、教学过程设计：1. 整数的概念及表示方法（5分钟）- 通过实例引导学生理解整数的概念，如正整数、负整数和零的概念。
- 教师板书整数的表示方法，引导学生掌握整数的表示形式。
2. 整数的加减法规律（15分钟）- 通过一些具体的例题，引导学生掌握整数的加减法规律。
- 讲解整数的加法和减法规律，引导学生进行相关练习。
3. 整数的乘法规律（15分钟）- 通过示例引导学生理解整数的乘法规律，包括同号相乘与异号相乘的规律。
- 讲解整数的乘法规律，引导学生进行相关练习。
4. 整数的除法规律（15分钟）- 通过实例引导学生理解整数的除法规律，包括整除和余数的概念。
- 讲解整数的除法规律，引导学生进行相关练习。
5. 整数的大小比较（10分钟）- 通过比较不同整数的大小，引导学生理解和掌握整数的大小比较方法。
- 讲解整数的大小比较规律，引导学生进行相关练习。
6. 整除的概念及性质（10分钟）- 通过实例引导学生理解整除的概念，包括约数和倍数的概念。
- 讲解整除的性质，引导学生进行相关练习。
五、教学总结与作业布置：1. 总结本堂课的重点内容，强调整数的加减乘除运算规律及整除的概念及性质。
2. 布置相关作业，让学生巩固所学知识。
六、板书设计：1. 整数的概念及表示方法2. 整数的加减法规律3. 整数的乘法规律4. 整数的除法规律5. 整数的大小比较6. 整除的概念及性质七、教学反思：通过本节课的设计和实施，整合了整数的基本概念及运算规律，加深了学生对整数和整除的理解和掌握。
高中数学竞赛教案讲义(17)整数问题
第十七章 整数问题一、常用定义定理1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。
b 不能被a 整除，记作a b.2 带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。
3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,0<u 2<|u 1|；u 1=q 1u 2+u 3,0<u 3<u 2；u 2=q 2u 3+u 4,0<u 4<u 3；…u k-2=q k-2u 1+u k-1+u k ,0<u k <u k-1；u k-1=q k-1u k+1,0<u k+1<u k ；u k =q k u k+1.4．由3可得：（1）u k+1=(u 0,u 1)；（2）d|u 0且d|u 1的充要条件是d|u k+1；（3）存在整数x0,x 1，使u k+1=x 0u 0+x 1u 1.5．算术基本定理：若n>1且n 为整数，则k a k a a p p p n 2121=，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。
6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。
7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。
8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p ≡a(modp).9．若(a,m)=1，则)(m a ϕ≡1(modm),ϕ(m)称欧拉函数。
高中数学讲义：数列中的整数问题
数列中的整数问题一、基础知识：1、整数的基本性质：（1）整数的和，差，积仍为整数（2）整数的奇偶性：若()21n k k Z =+Î，则称n 为奇数；若()2n k k Z =Î，则称n 为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：① 奇数±奇数=偶数 ② 奇数±偶数=奇数③ 偶数±偶数=偶数 ④ 奇数´偶数=偶数⑤ 偶数´偶数=偶数 ⑥ 奇数´奇数=奇数（3）若,a b Z Î，且a b <，则1a b £-（4）已知,,a b R a b Î<，若n Z Î，且(),n a b Î，则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若aZ bÎ，称a 能被b 整除，则有：①b a£②b 为a 的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。
但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若(),2,5n N n ÎÎ，则n 的取值只能是3,4。
所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。
（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。
（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。
通常的处理方式有两个：① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：① 所解得变量非整数，或不符合已知范围② 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n 项和的项数，均为正整数。
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第十七章 整数问题
一、常用定义定理
1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。
b 不能被a 整除，记作a b.
2 带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。
3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,0<u 2<|u 1|； u 1=q 1u 2+u 3,0<u 3<u 2； u 2=q 2u 3+u 4,0<u 4<u 3； …
u k-2=q k-2u 1+u k-1+u k ,0<u k <u k-1； u k-1=q k-1u k+1,0<u k+1<u k ； u k =q k u k+1.
4．由3可得：（1）u k+1=(u 0,u 1)；（2）d|u 0且d|u 1的充要条件是d|u k+1；（3）存在整数x 0,x 1，使u k+1=x 0u 0+x 1u 1.
5．算术基本定理：若n>1且n 为整数，则k a
k a
a
p p p n 2121 ，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或
称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。
6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。
7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。
8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p
≡a(modp). 9．若(a,m)=1，则)
(m a
≡1(modm), (m)称欧拉函数。
10．（欧拉函数值的计算公式）若k a k
a a p p p m 21
2
1
，则 (m)=.)1
1(1
k
i i
p m
11．（孙子定理）设m 1,m 2,…,m k 是k 个两两互质的正整数，则同余组： x ≡b 1(modm 1),x ≡b 2(modm 2),…,x ≡b k (modm k )有唯一解， x ≡'
1M M 1b 1+'
2M M 2b 2+…+'
k M M k b k (modM)， 其中M=m 1m 2m k ；i M =
i
m M ，i=1,2,…,k ；i i M M '
≡1(modm i ),i=1,2,…,k. 二、方法与例题 1．奇偶分析法。
例1 有n 个整数，它们的和为0，乘积为n ，（n>1），求证：4|n 。
2．不等分析法。
例2 试求所有的正整数n ，使方程x 3+y 3+z 3=nx 2y 2z 2
有正整数解。
3．无穷递降法。
例3 确定并证明方程a 2+b 2+c 2=a 2b 2
的所有整数解。
4．特殊模法。
例4 证明：存在无穷多个正整数，它们不能表示成少于10个奇数的平方和。
5．最小数原理。
例5 证明：方程x 4+y 4=z 2
没有正整数解。
6．整除的应用。
例6 求出所有的有序正整数数对(m,n)，使得1
1
3 mn n 是整数。
7．进位制的作用
例7 能否选择1983个不同的正整数都不大于105
，且其中没有3个正整数是等差数列中的连
续项？证明你的结论。
三、习题精选
1．试求所有正整数对(a,b)，使得(ab-a 2
+b+1)|(ab+1).
2．设a,b,c ∈N +，且a 2+b 2-abc 是不超过c+1的一个正整数，求证：a 2+b 2
-abc 是一个完全平方数。
3．确定所有的正整数数对(x,y)，使得x ≤y ，且x 2+1是y 的倍数，y 2
+1是x 的倍数。
4．求所有的正整数n ，使得存在正整数m,(2n -1)|(m 2
+9).
5．求证：存在一个具有如下性质的正整数的集合A ，对于任何由无限多个素数组成的集合，存在k ≥2及正整数m ∈A 和n A ，使得m 和n 均为S 中k 个不同元素的乘积。
6．求最小的正整数n(≥4)，满足从任意n 个不同的整数中能选出四个不同的数a,b,c,d 使20|(a+b-c-d).
7.对于正整数a,n,定义F n (a)=q+r ，其中q,r 为非负整数，a=qn+r 且0≤r ≤n ，求最大正整数A ，使得存在正整数n 1,n 2,…,n 6，对任意正整数a ≤A ，都有))((((((1
2
3
4
5
6
a F F F F F F n n n n n n =1，
并证明你的结论。
8．设x 是一个n 位数，问：是否总存在非负整数y ≤9和z 使得10n+1
z+10x+y 是一个完全平方数？证明你的结论。
9．设a,b,c,d ∈N +,且a>b>c>d,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)。
证明：ab+cd 不是素数。