高等代数 第4章多项式 4.5 多项式的因式分解

则 f x, g x x 33 x 1
虽然根据多项式的标准分解式写出
f x, g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法 还是采用辗转相除法。
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问：如何求 f x 的标准分解式？
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 x2 2 在C上
可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质
性质1 若 p x不可约，则 cp x 也不可约，
c 0, c F.
问题： f xF x, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1： F x 中任一个nn 0 次多项式 f x
都可以分解成 F x 中不可约多项式的乘积。
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证（归纳法）：
n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
其他因式，则称 f x 在数域F上可约。
等价定义：如果 F x 中一个 nn 0 次多项式 f x 可分解成 F x 中两个次数都小于 n 的多项式
g x,hx 的积，即 f x g xhx, 则称
f x 在数域F上可约。
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若 f x p1 x p2 xL pr x, 取 c1c2 L cr 1.
则 f x c1 p1 xc2 p2 xL cr pr x, 可见 f x 分解式不唯一。
定理1.5.2：F x 中任一个次数大于零的多项式
f x 分解成不可约多项式的乘积：
f x p1 x p2 xL pr x,
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解
成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式：
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f x p1 x p2 xL pr x q1 xq2 xL qs x.
若d x 1, 则 px, f x 1.
若d x cpx, 则 p x f x 性质3：若 p x 不可约且 p x f x g x
则 px f x 或 px gx.
证： 若 p x f x, 则结论成立；
若 p x f x ，又 p x 不可约。
在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再 分下去？
这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。
对于F x 中任一个多项式 f x, c F及cf x
总是 f x 的因式。这样的因式称为平凡因式。
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，
并把相同的因式合并，于是，f x 的分解式就变成：
f
x

an
p k1 1
x
p k2 2
xL
p kl l
x.
p1 首x项,L系, p数l x 为 F x 的首一不可约多项式，
k1,L , kl 为自然数，这种分解式称为 f x 的标准分解
解：f (x) x2 2 2x 1 x2 2 2x 1
x 2 1x 2 1x 2 1x 2 1
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我们感兴趣的是，除了平凡因式外，f x
还有没有其他的因式？
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一、不可约多项式 1、定义
定义1.5.1 设 f x是 F x中次数大于零的多项式，
如果在 F x 中，f x 只有平凡因式，则称 f x 在数域
F上不可约。若 f x 除平凡因式外，在 F x中还有
上的标准分解式。
解： 在Q上：f x x2 2 x2 2;
在R上：f x x 2 x 2 x2 2;
在C上： f x x 2x 2x 2ix 2i.
例1.5.3：在R上分解 f x x4 6x2 1
则有① r=s；
② 适当调整 qj x 的位置后，有
qi x ci pi x , i 1, 2,L , r
）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：
当r=1时，结论显然成立。
假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立，
则当 f x 分解成r个因式时，有
在Rx上 f x x2 1 x2 2 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
如何知道 x a 是不是 f x 的一个因式？
x a 是 f x 的一个因式的充要条件是 f a 0.
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例1.5.2：求 f x x4 4 在 Qx, Rx,Cx
f x n 时，
1、若 f x 不可约成立；
2、若 f x 可约，f x g xhx g n,h n.
由假设知 g x,hx 均可分解为不可约多项式的乘积。
问题：多项式 f x 分解成不可约多项式的乘积
是否唯一？
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由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且
q2 c11c1p2 c2 p2, qi ci pi , i 3, 4,L , r
故
qi ci pi , i 1, 2,L , r
三、标准（典型）分解式
在 f x 的分解中，可以把每个不可约因式的
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式。
1. 每个多项式的标准分解式是唯一的。 2. 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项 式是否整除另一个多项式。
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3. 利用多项式的标准分解式可以直接写出
f x,gx.
例如： f x 5 x 35 x 23 x 1, g x 7 x 33 x 14 x 1,
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由性质2， px, f x 1. pu fv 1, pgu fgv g
px gx.
推论： 若 p x 不可约且 p x f1 xL fs x.
则 p x 必整除某个 fi x,1 i s.
二、因式分解
例1.5.1： 求 f x x4 3x2 2,
在 Qx, Rx 中的标准分解式。
解：利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
即有 x2 1 f x。
在Qx上 f x x2 1 x2 2 x 1x 1x2 2
性质2 若 p x 是不可约多项式，f x F x,
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则 p x f x px, f x 1. 证：设 px, f x d x,
由d x f x d x 1或 d x cpx.
f x p1 x p2 xL pr x q1 xq2 xL qs x.
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由于 p1 x q1(x)q2(x)L qs (，x) 故存在某个qi 使 p1(x) qi (x)
为方便起见不防设 qi (x) 就是 q1(x) 。
q1 c1 p1 p2(x)L pr (x) c1q2 xL qs x