因式分解的16种方法凑因式 方法
因式分解的16种方法
因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
因式分解的十二种方式
因式分解的十二种方式因式分解是数学中的重要概念，它可以帮助我们简化和解决各种数学问题。
本文将介绍因式分解的十二种常用方式。
1. 公因式提取法公因式提取法是用于将多项式中的公因式提取出来。
首先找到多项式中所有项的公因式，然后将公因式提取出来，剩下的部分则是提取后的因式。
例如，对于多项式2x + 6，可以提取公因式2，得到2(x + 3)。
2. 完全平方公式完全平方公式是用于将平方差式因式分解的方法。
根据完全平方公式，平方差可以写成两个平方数的差。
例如，对于平方差a^2 - b^2，可以因式分解为(a + b)(a - b)。
3. 一元二次方程一元二次方程可以通过将其因式分解为两个一元一次方程来求解。
首先将方程设置为等于零，然后根据因式分解的方式将其分解成两个一元一次方程。
例如，对于一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x的解为2和3。
4. 分组法分组法是用于将多项式中的项进行分组然后进行因式分解的方法。
通过分组，可以在多项式中找到共同的因式，然后进行提取和化简。
例如，对于多项式3a + 6b + 9c + 18d，可以将其进行分组，得到(3a + 6b) + (9c + 18d)，然后提取公因式，得到3(a + 2b) + 9(c +2d)。
5. 十字相乘法十字相乘法是用于将二次三项式进行因式分解的方法。
通过十字相乘法，可以找到二次三项式的两个因式，从而进行因式分解。
例如，对于二次三项式x^2 + 5x + 6，可以使用十字相乘法得到(x + 2)(x + 3)。
6. 定积分法定积分法是用于计算定积分的方法，也可以用于对多项式进行因式分解。
通过计算定积分，可以得到多项式的因式分解形式。
例如，对于多项式x^3 - 1，可以通过计算定积分得到(x -1)(x^2 + x + 1)。
7. 化简法化简法是用于对复杂多项式进行因式分解的方法。
高中数学因式分解方法大全(十二种)
因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -xx -2x –x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b解：a +4ab+4b=（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法因式分解是一种将一个数或代数式分解成更简单的乘积的方法。
在数学中，有很多种因式分解的方法可以使用，根据不同的情况可以采用不同的方法，下面将介绍十二种常见的因式分解方法。
1.提取公因子法：当一个式子存在公因子时，可以先将公因子提取出来，然后再进行进一步的因式分解。
2. 公式法：利用公式进行因式分解，例如(a+b)^2=a^2+2ab+b^23.分组法：将一个多项式按照不同的组合方式进行分组，然后再分别进行因式分解，最后将得到的结果合并。
4.平方差公式法：对于一个二次型式，可以利用平方差公式进行因式分解，例如a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式法：对于一个完全平方式，可以通过完全平方公式进行因式分解，例如a^2+2ab+b^2=(a+b)^26. 二次因式法：对于一个二次多项式，可以通过二次因式法进行因式分解，例如ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
7.和差立方公式法：对于一个和差立方的多项式，可以通过和差立方公式进行因式分解。
8. 因式分解的配方法：通过配方法进行因式分解，例如ab+ac=a(b+c)。
9.分解因式法：将一个多项式根据不同的性质进行因式分解，例如差平方分解、和的平方分解等。
10.二次根与一次根相结合法：对于一个多项式，通过将二次根与一次根相结合，得到更简单的因式分解结果。
11. 分组求积法：对于一个多项式，可以通过分组求积法进行因式分解，例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
12.全等公式法：利用全等公式进行因式分解。
以上是常见的十二种因式分解方法。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体的问题选择合适的方法进行因式分解。
因式分解是数学中的一个重要概念，通过因式分解可以简化计算过程，提高解题效率。
因此，掌握不同的因式分解方法对于提高数学能力和解决实际问题都有很大的帮助。
数学因式分解的12种方法
数学因式分解的12种方法数学因式分解的12种方法数学因式分解是数学中的一项基础技能，它指的是将一个多项式化简成若干项乘积的形式。
因式分解可用于求解方程、化简式子、计算概率等各种领域，是数学学习过程中必不可少的内容。
下面介绍12种数学因式分解的方法，以便更好地掌握这项技能。
1. 相加法当括号内所有的项都有一个公共因子时，我们可以应用“相加法”来求得它们的积。
例如，3x+6x可以写成3(x+2x)的形式，而8a+12a+20a则可以写成4(2a+3a+5a)的形式。
2. 分组法这个方法通常用于处理有四项甚至更多项的式子，它可以将这些项分成两组，使得每组内都有一个公共因子，从而进行因式分解。
例如，2x^3+3x^2+2x+3=2x^2(x+1)+3(x+1)=(2x^2+3)(x+1)。
3. 因数分解法这个方法是将一个多项式写成多个项的乘积形式，然后查找其每一项的因数。
例如，6x^2+11x+4可以分解成(3x+4)(2x+1)的形式。
4. 公因数法当多项式的每一项都有相同的公因数时，可以用公因数法将其化简。
例如，24x^2+36x=12x(2x+3)。
5. 平方公式平方公式是将一个多项式化简为若干项平方的和的形式，例如(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。
它常常可以应用于因式分解中，例如4x^2-4y^2=4(x^2-y^2)=(2x+2y)(2x-2y)。
6. 完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示成两个一次多项式的平方和差的形式，例如(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
应用完全平方公式，可以将二次多项式分解为相加或相减的两个一次项。
7. 差平方公式差平方公式是指一个多项式之差可以表示为二次项的差的形式，例如a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
应用差平方公式，可以将含有二次项的多项式化简为二次项之差的形式，进而进行因式分解。
8. 转化法如果一个多项式不容易因式分解，我们可以通过变量代换的方法来转化它。
高中数学因式分解方法大全(十二种)
因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -xx -2x –x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b解：a +4ab+4b=（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
因式分解配凑法
因式分解配凑法因式分解配凑法是高中数学中的一种常用方法，用于将多项式因式分解为更简单的形式。
通过配凑，我们可以将复杂的多项式化简为易于处理的因子，从而更好地理解和分析多项式的性质和特点。
在我们开始深入探讨因式分解配凑法之前，让我们首先回顾一下因式分解的基础知识。
在数学中，因式分解是将一个多项式表示为一组乘积的形式，其中每个乘积因子都是多项式的因子。
在因式分解配凑法中，我们的目标是将给定的多项式分解为两个或更多个较小的因子。
通常，我们通过配凑一些特定的项来达到这样的目的。
下面，我将分享几个常见的因式分解配凑法，以帮助您更好地理解和掌握这一方法。
1. 两项因式分解：对于形如a^2 - b^2的差平方多项式，我们可以使用“差平方公式”进行因式分解。
该公式表达为a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
通过将多项式转化为差平方形式，我们可以轻松地将其分解为两个因子。
2. 三项因式分解：对于三项多项式，我们可以利用“分组配方”来进行因式分解。
该方法适用于形如ax^2 + bx + c的三项多项式。
我们首先尝试将该多项式分成两组，并利用其内部的特定项进行配方。
我们可以对其进行因式分解。
3. 四项因式分解：对于四项多项式，我们可以使用“交叉乘积法”进行因式分解。
该方法可以将四项多项式分解为两个二次因式的乘积。
通过找到适当的乘积形式，并利用交叉和乘积的性质，我们可以将其进行因式分解。
通过以上的配凑法，我们可以将复杂的多项式因式分解为更简单的形式。
这有助于我们更好地理解多项式的结构和性质。
除了在解题中应用因式分解配凑法外，它还在代数、数学建模和物理等领域中有广泛的应用。
总结起来，因式分解配凑法是一种用于将多项式以简单因子的形式展示的重要数学方法。
通过配凑特定的项，我们能够将复杂的多项式化简为易于处理的因子，从而更好地理解和分析多项式的性质和特点。
该方法广泛应用于解题和实际问题中，并具有重要的数学应用价值。
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因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上,又有拆项与添减项法,分组分解法与十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正(例如:()1332--=+-x x x x )分解因式技巧1、分解因式与整式乘法就是互为逆变形。
2、分解因式技巧掌握:①等式左边必须就是多项式;②分解因式的结果必须就是以乘积的形式表示;③每个因式必须就是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数与因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法:当各项系数都就是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项就是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤:(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式:①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即就是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形瞧奇偶。
例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意:把22a +21变成2(2a +41)不叫提公因式 ⑵公式法如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。
平方差公式:2a 2b -=(a+b)(a-b); 完全平方公式:2a ±2ab ＋2b ＝()2b a ± 注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须就是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方与的形式,另一项就是这两个数(或式)的积的2倍。
立方与公式: 33b a +=(a+b)( 2a -ab+2b );立方差公式:33b a - =(a--b)( 2a +ab+2b );完全立方公式:3a ±32a b ＋3a 2b ±3b =(a ±b)2.公式:3a +3b +3c -3abc=(a+b+c)( 2a +2b +2c -ab-bc-ca)例如:2a +4ab+42b =(a+2b) 2。
⑶分组分解法分组分解就是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。
比如: ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)我们把ax 与ay 分一组,bx 与by 分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。
同样,这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)几道例题:1、 5ax+5bx+3ay+3by解法:=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)说明:系数不一样一样可以做分组分解,与上面一样,把5ax 与5bx 瞧成整体,把3ay 与3by 瞧成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。
2、 x 3-2x +x-1解法:=( x 3-2x )+(x-1) =2x (x-1)+ (x-1) =(x-1)( 2x +1)利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。
3、 2x -x-y 2-y解法:=(2x -y 2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)利用二二分法,再利用公式法a 2-b 2=(a+b)(a-b),然后相合解决。
⑷十字相乘法这种方法有两种情况。
①2x +(p+q)x+pq 型的式子的因式分解这类二次三项式的特点就是:二次项的系数就是1;常数项就是两个数的积;一次项系数就是常数项的两个因数的与。
因此,可以直接将某些二次项的系数就是1的二次三项式因式分解:2x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .②k 2x +mx+n 型的式子的因式分解如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么kx 2+mx+n=(ax+b)(cx+d).图示如下:a d 例如:因为1 -3× ×c d 7 2 -3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,所以72x -19x-6=(7x+2)(x-3).十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求与凑中⑸裂项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
这钟方法的实质就是分组分解法。
要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b).⑹配方法对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。
属于拆项、补项法的一种特殊情况。
也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如:2x +3x-40 =2x +3x+2、25-42、25 =()()225.65.1-+x =(x+8)(x-5). ⑺应用因式定理对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.例如:f(x)=2x +5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2就是2x +5x+6的一个因式。
(事实上,2x +5x+6=(x+2)(x+3).)注意:1、对于系数全部就是整数的多项式,若X=q/p(p,q 为互质整数时)该多项式值为零,则q 为常数项约数,p 最高次项系数约数;2、对于多项式f(a)=0,b 为最高次项系数,c 为常数项,则有a 为c/b 约数⑻换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元、例如在分解(2x +x+1)( 2x +x+2)-12时,可以令y=2x +x ,则原式=(y+1)(y+2)-12 =y 2+3y+2-12=y 2+3y-10 =(y+5)(y-2)=(2x +x+5)( 2x +x-2) =(2x +x+5)(x+2)(x-1).⑼求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x 2-13x+6=0,则通过综合除法可知,该方程的根为0、5 ,-3,-2,1.所以2x^4+7x^3-22x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).⑽图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X 轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但就是不够准确。
例如在分解x^3 +22x -5x-6时,可以令y=x^3; +22x -5x-6、作出其图像,与x 轴交点为-3,-1,2则x^3+22x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).⑾主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
⑿特殊值法将2或10代入x,求出数p,将数p 分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的与与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例如在分解x^3+92x +23x+15时,令x=2,则x^3 +92x+23x+15=8+36+46+15=105,将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 .注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,则x^3+92x+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。
⒀待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-52x-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
于就是设x^4-x^3-52x-6x-4=(2x+ax+b)( 2x+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d) 2x+(ad+bc)x+bd由此可得 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4.解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.则x^4-x^3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4).⒁双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。
双十字相乘法就就是二元二次六项式,启始的式子如下:ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数,其余都就是常数用一道例题来说明如何使用。
例:分解因式:x2+5xy+6y2+8x+18y+12.分析:这就是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解:原式=(x+2y+2)(x+3y+6).双十字相乘法其步骤为:①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y);②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。
如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6);③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。
多项式因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。