高等代数多项式 一元多项式 整除的概念

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高等代数第三版

高等代数第三版

显然仍不能整除 f x .
第一章 多项式
假定 g x 0,那么在F[x]里,以下等式成立: 并且 r x 0 .但是F [x]的多项式 qx 和r ( x) 都是
F[ x] 的多项式,因而在 F[ x] 里,这一等式仍然成立.
f x g x qx r x
qx 0, r x f x (ii)若 f x 0 ,且 f x g x . 把f x 和g ( x)
按降幂书写: n n 1 f x an x an1 x a1x a0 g x bm x m bm1 x m1 b1x b0
于是由 r x 的唯一性得出,在 F[ x] 里 g x 也不能整除
f x .
总之,两个多项式之间的整除关系 不因为系数域的扩大而改变.
第一章 多项式
例1
确定m ,使 x 1 | x mx mx 1 .
1 n m 令q1 x a n bm x ,并记 f1 x f x q1 x g x,
这里an 0, bm 0,并且 n
m
第一章 多项式
则f1 x 有以下性质:
或者 f1 x 0或 f1 x f x
f k 1 x f k x qk 1 x g x
f x f1 x g x
由于多项式 f1 x, f 2 x,的次数是递降的, 故存在k使
f k x 0或 f k x g x ,于是
第一章 多项式
3、多项式的带余除法定理
定理 设f x, g x F[ x] ,且 g x 0 ,则存在

大学 代数方法 第一章 多项式

大学 代数方法 第一章 多项式

x 2 x 1 与 f ( x) 在复数域内无公共根,从而 x 2 x 1 与 f ( x) 在复 证明 可以证明 x 2 x 1 的根满足 x2 x 1 0 数域内互素,因而在任何数域内都互素。事实上,
设 f ( x) ( x 1) g1 ( x) r1 , f ( x) ( x 1) g 2 ( x) r2 , 则 f ( x 3 ) ( x 3 1) g1 ( x 3 ) r1 因而有 f ( x 3 ) xg( x 3 ) ( x 3 1) g1 ( x 3 ) r1 x( x 3 1) g 2 ( x 3 ) r2 x ,
多项式理论是高等代数的重要内容之一, 虽然它在高等代数课程中是一个相对独立而自 成体系的部分,但却为高等代数所讲述的基本 内容提供了理论依据。多项式理论中的一些重 要定理和方法,在进一步学习数学理论和解决 实际问题时常要用到。因此,在学习这部分内 容时,要正确地掌握概念,学会严谨地推导和 计算。
重点、难点解读
( x 2 x 1)[( x 1)q1 ( x 3 ) x( x 1)q2 ( x 3 )] (r2 x r1 )
由 x 2 x 1 | f ( x 3 ) xg( x 3 ) 得 r2 x r1 0 所以 r1 r2 0 ,故 x 1 | f ( x) , x 1 | g ( x) 。
x ( m, n, p 是 例9、 证明 x x 1 x x 三个任意的正整数)。 分析 用带余除法及待定系数法不易证明时,可以 考虑采用因式定理来证明,即 x a f x 的充分必要 条件是 f a 0. 证 可求得 x 2 x 1 的根为
2 3m
2 2 由归纳假设当 ( x x 1) | f n 1 ( x) 时,必有 ( x x 1) | f n ( x) 。

高等代数(第1章)

高等代数(第1章)
i
称为系数在数域P中的一元多项式,简称为数域P上 符号x 可以是为未知数, 的一元多项式.
也可以是其它待定事物.
习惯上记为f (x),g(x)……或f, g……上述形 n 式表达式可写为 i
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f (x)
a
i0
i
x
8
几个概念:

零多项式 ——系数全为0的多项式 多项式相等 —— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系 数全相等 (系数为零的项除外) 多项式 f (x)的次数 ——f (x)的最高次项对应的幂 次,记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式
3
2012-12-2
§1

数域


要说的话:对所要讨论的问题,通常要明确所考 虑的数的范围,不同范围内同一问题的回答可能 是不同的。例如,x2+1=0在实数范围与复数范围 内解的情形不同。 常遇到的数的范围:有理数集 、实数集、复数集 共性(代数性质):加、减、乘、除运算性质 有些数集也有与有理数集 、实数集、复数集相同 的代数性质 为在讨论中将其统一起来,引入一个一般的概 念——数域。
解之得
a
6 5
,b
13 5
,c
6 5
.
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例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0 证:反证. 若f (x)0,则f 2(x) 0.由 若g(x)0,由于

《高等代数》考试大纲

《高等代数》考试大纲

《高等代数》考试大纲(一)多项式考试内容数域;一元多项式;整除的概念及性质;最大公因式及辗转相除法;互素的概念及性质;不可约多项式的概念及性质;因式分解及唯一性定理。

考试要求1。

掌握数域、一元多项式的概念,了解一元多项式的运算及性质。

2。

掌握多项式整除的概念,了解相关的性质。

3。

掌握最大公因式的概念,了解辗转相除法。

4。

理解互素的概念,掌握两个一元多项式互素的充分必要条件。

5。

了解不可约多项式的概念及其性质。

6。

了解一般系数的多项式的因式分解定理,掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理。

(二)行列式考试内容行列式的概念和基本性质;行列式计算;行列式按行(列)展开;拉普拉斯(Laplace)定理及行列式的乘法法则。

考试要求1。

理解行列式的概念,掌握行列式的性质,了解拉普拉斯(Laplace)定理及行列式的乘法法则。

2。

会应用行列式概念计算行列式,会利用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式,会运用矩阵的初等行(列)变换计算行列式。

(三)向量和矩阵考试内容向量的线性组合和线性表示;向量组的等价;向量组的线性相关与线性无关;向量组的极大线性无关组;向量组的秩;向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。

矩阵的概念;矩阵的基本运算;矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵的概念和性质;矩阵可逆的充分必要条件;矩阵的初等变换和初等矩阵;矩阵的秩;矩阵的等价;分块矩阵及其运算考试要求1。

理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。

2。

理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。

3。

理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩。

4。

理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。

5。

理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵,熟悉它们的基本性质。

6。

掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。

掌握方阵的多项式概念。

7。

高等代数--第八章 多项式_OK

高等代数--第八章 多项式_OK
24
因此有
但是 (q(x) q(x)) (g(x)) (r(x) r(x))
矛盾。这就证明了
(g(x)) (r(x) r(x))
q(x)称为g(x)除f(x)的商,r(x)为余式
q(x) q(x),r(x) r(x)
25
例题
f 3x3 4x2 5x 6, g x2 3x 1
an :首项系数;
n为(1)的次数,记为 ( f (x)) 。 零多项式不定义次数。
11
运算:
n
m
f (x) ai xi , g (x) bj x j
i0
j0
加法:如n≥m,为方便,在g(x)中令

bn bn1 bm1 0
对于加减法: f (x) g(x)
n
(ai bi )xi
p(x)|f(x). 反过来,如果p(x)|f(x),p(x)|g(x),那 么p(x)一
定整除它们的线性组合 r(x)=f(x)-q(x)g(x)
由此可见,如果g(x),r(x)有一个最大 公因式 d(x),那么d(x)也是f(x),g(x)的一个 最大公因式。
36
定理2 对于P[x]中任意两个多项式 f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x), 且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个线性组合,即有P[x]中多项式u(x),v(x)使
定义4 所有系数在数域P中的多项式的全体,
称为数域P上的一元多项式环,记为P[x],
P称为P[x]的系数域
BACK
19
§3 整除的概念
以后讨论都是在某一固定的数域P上的 多项式环中进行。 带余除法 整除 整除的性质
20
带余除法
对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其

高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念

高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念

若 g x 0 则在 F x 中有
f x g x q x r x , r x 0
第二章 多项式
但 F x 中的多项式 q x , r x 仍是 F x 的多项式。 因而在 F x 中,这一等式仍然成立。 由 q x , r x 的唯一性知, 在 F x 中 g x
第二章 多项式
x f k x 例1.3.2:证明
k 1 的充要条件是 x f x
证:充分性显然。 x xq x c
k
k
xq1 x c k
由于 x f
f g h x m1 x m2 x , h x f g
第二章 多项式
m1 x , m2 x F x
若 性质3: h x f x ,对 g x F x 。 h fg 有 证:
f x
第二章
多项式

作业 P44 1(1),2(1),3(1)
第二章
多项式
h x f x
m1 x , m2 x F x
性质2:若 h x g x , h x f x ,则 h f g 。 证: g x h x m1 x , f x h x m2 x
g x 除 f x 的余式 r x 0
证: 充分性。 若 f x g x q x r x 且 r x 0 则有 g x f x 必要性。 若 g x f x ,则 f x g x q x 例1.3.1 设 f x 5x4 2x3 3x2 7x 1, g x x2 2x 3 求 g x 除 f x 所得的余式和商式。

842高等代数考试内容范围

842高等代数考试内容范围

高等代数考试内容范围
1.多项式:数域,一元多项式,整除的概念,最大公因式,因式分解定理,重因式,多项式函数,复系数与实系数多项式的因式分解,有理系数多项式;2.行列式:排列,级行列式的概念、性质和计算,行列式按行(列)展开,法则;
3.线性方程组:消元法,维向量空间,线性相关性,矩阵的秩,线性方程组有解判别定理,线性方程组解的结构;
4.矩阵:矩阵的概念及运算,矩阵乘积的行列式与秩,矩阵的逆及分块,初等矩阵,矩阵分块乘法的初等变换及应用;
5.二次型:二次型及矩阵表示,标准型,唯一性,正定二次型;
6.线性空间:集合与映射,线性空间的定义与简单性质,维数、基与坐标,基变换与坐标变换,线性子空间及其交与和,子空间的直和,线性空间的同构;7.线性变换:线性变换的定义、运算与矩阵表示,特征值与特征向量,对角矩阵,线性变换的值域与核,不变子空间,标准形;
8.欧几里得空间:欧几里得空间的定义与基本性质,标准正交基,同构,正交变换,子空间,实对称矩阵的标准形,向量到子空间的距离与最小二乘法;9.双线性函数与辛空间:线性函数,对偶空间,双线性函数。

主要参考教材:
《高等代数》(第三版),北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,王萼芳,石生明修订。

高等代数知识点总结

高等代数知识点总结

r(A)+r(B)-n≤ r(AB)≤r(A), r(B)
r(AT)=r(A)
伴 随
n, 若r(A)=n
(A*)*=|A|n2A* |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1
其 它
A-1=|A|-1A*
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时,
A*=|A|A1
定义 性质
交错性 |.........| = 0
备注 行列地位平等 换法变换
齐性 加性
|...k...| = k|.......|
倍法变换
统称线性
|...+...| = |......| + |......|
对称多项式基本定理 每个对称多项式,都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
精品PPT
运算
行列式
矩阵
初等变换 和标准形
特殊矩阵
精品PPT
运算及其关系
转置
加 法
(A+B)T=AT+BT
数 乘
(kA)T= k AT
取逆
(kA)1= k1A1
伴随
(kA)*= kn1A*
行列式
秩数
r(A+B)≤r(A)+r(B)
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上,每个次数大于1的多项式f都有如下的
标准分解
f a( x x1 )m1
(x
xs )ms
p n1 1
p nt t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.
精品PPT
多项式作为函数:
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又 f ( x), g( x) 均为实系数多项式 , 从而必有 g( x) h( x) 0. f ( x) g( x) h( x) 0. (2) 在 C上不成立.如取 f ( x) 0, g( x) ix, h( x) x
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
使得 f1 x q1 x g x r1 x
其中 r1 x < g( x) 或者 r1( x) 0. 于是
f x b1axnm q1 x g x r1 x.
即有 q( x) b1axnm q1 x , r x r1 x 使
f ( x) q( x)g( x) r( x),
成立. 由归纳法原理,对 f ( x), g( x) 0, q( x),r( x)
的存在性得证.
再证唯一性.
若同时有 f x q x g x r x,
其中 r x g x或r x=0.
③ 若 a0 a1 an 0 ,即 f ( x) 0,则称之 为零多项式.零多项式不定义次数.
区别:
零多项式 f ( x) 0 零次多项式 f ( x) a, a 0 , ( f ( x))=0.
2.多项式的相等
若多项式 f ( x) 与 g( x) 的同次项系数全相等,则 称 f ( x)与 g( x)相等,记作 f ( x) g( x).
n
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 ai x i ,
i0 m
g( x) bm xm bm1 xm1 b1x b0 bj x j ,
j0
加法: 若 n m, 在 g( x) 中令
bn bn1 L bm1 0
f ( x)g( x) 的首项系数 f ( x) 的首项系数× g( x)的首项系数.
3) 运算律 f (x) g(x) g(x) f (x) ( f ( x) g( x)) h( x) f ( x) ( g( x) h( x)) f (x)g(x) g(x) f (x) ( f ( x)g( x))h( x) f ( x)(g( x)h( x))
f ( x)(g( x) h( x)) f ( x)g( x) f ( x)h( x)
f ( x)g( x) f ( x)h( x), f ( x) 0 g( x) h( x)
9
例1 设 f ( x), g( x),h( x) R( x) (1) 证明: 若 f 2( x) xg2( x) xh2( x), 则
注: 多项式 f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 中,
① ai xi 称为i次项,ai 称为i次项系数. ② 若 an 0, 则称 an xn 为 f ( x)的首项,an 为首项 系数,n 称为多项式 f ( x) 的次数,记作( f ( x))=n.
高等代数
中南大学数学院 高等代数课题组
一、一元多项式的定义 二、多项式环
一、一元多项式的定义 1.定义 设 x是一个符号(或称文字),n 是一
个非负整数,形式表达式 an xn an1 xn1 L a1 x a0
其中 a0 ,a1, an P, 称为数域P上的一元多项式. 常用 f ( x), g( x),h( x) 等表示.
所以 q x q x, 从而 r x=r x.
唯一性得证.
例1.求 g x 除 f x的商式和余式
f x 2x5 5x3 8x, g x x2 x 2
§1.3 整除的概念
附: 综合除法
若 f ( x) a0 xn + a1xn-1 + L + an , 则 x a 除 f ( x) 的商式 q( x) b0 xn1 bn1 和余式 r 可按下列计算格式求得:
若q x q x,由g x 0, 有r x-r x 0
q x-q x+ g x= r x-r x max r , r gx
但 q x-q x+ g x g x, 矛盾.
则称 g( x)整除 f ( x), 记作 g( x) | f ( x). ① g( x) | f ( x)时, 称 g( x)为 f ( x)的因式,f ( x)
为 g( x)的倍式. ② g( x)不能整除 f ( x) 时记作: g( x) | f ( x).
③ 允许 g( x) 0,此时有 0 0h( x), h( x) P[x]
f ( x) q( x)g( x) r( x), 结论成立. 下面讨论 n m 的情形,对 n作数学归纳法. 次数为0时结论显然成立.
假设对次数小于n的 f ( x),结论已成立.
现在来看次数为n的情形.
设 f ( x)的首项为 axn , g( x)的首项为 bxm , (n m)
则 b1axnm g x 与 f ( x)首项相同, 因而,多项式 f1( x)= f ( x)- b- 1axn-mg x
的次数小于n或 f1为0.
若 f1 x = 0, 令 q( x) b1axnm ,r( x) 0 即可.
若 f1 x n, 由归纳假设,存在 q1( x),r1( x)
① 求一次多项式 x a 去除 f x的商式及余式. ② 把 f x 表成 x a 的方幂和,即表成
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式.
例2.求 g x 除 f x的商式和余式
f x x3 x2 x, g x x 1 2i
nm

(aibj )xi
s1 i js
注: f ( x)g( x) 中s 次项的系数为
asbo as1b1 a1bs1 a0bs aibj .
i js
4.多项式运算性质
1) f ( x)g( x) 为数域 P上任意两个多项式,则 f ( x) g( x), f ( x)g( x) 仍为数域 P上的多项式.
f ( x)=g( x) h( x) 0 (2) 在复数域上(1)是否成立?
(1) 证:若 f ( x) 0, 则 x(g2( x) h2( x)) f 2( x) 0,
从而 g2( x) h2( x) 0. 于是 ( xg2( x) xh2( x)) ( x(g2( x) h2( x)))为奇数. 但 ( f 2( x))为偶数. x(g2( x) h2( x)) f 2( x), 这与已知矛盾. 故 f ( x) 0, 从而 g2( x) h2( x) 0.
称 q( x)为 g( x)除 f ( x的) 商, r( x为) g( x除) f ( x) 的余式.
证: 先证存在性.
① 若 f ( x) 0, 则令 q( x) r( x) 0. 结论成立. ② 若 f ( x) 0, 设 f ( x), g( x)的次数分别为 n,m, 当 n m 时, 显然取 q( x) 0, r( x) f ( x) 即有
即 0 0.
区别:
00 0
零多项式整除零多项式,有意义.
0 除数为零,无意义.
④ 当 g( x) | f ( x) 时, 如果 g( x) 0, 则 g( x) 除
f ( x) 所得的商可表成 f ( x) . g( x)
2.整除的判定
定理1 f ( x), g( x) P[x], g( x) 0,
n
则 f ( x) g( x) (ai bi )x i .
i0 n
减法: f ( x) g( x) (ai bi )x i
i0
乘法:
f ( x)g( x) anbm xnm (anbm1 an1bm )xnm1
(a1b0 aob1 )x a0b0
即, f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 , g( x) bm xm bn1xm1 b1x b0 ,
f ( x) g( x) m n, ai bi , i 0,1,2, ,n.
3.多项式的运算:加法(减法)、乘法
a a0 a1 a2 L +) ab0 ab1 L
b0 a0 b1 b2 L
an1 an abn2 abn1 bn1 r
这里, b1 a1 ab0 , b2 a2 ab1, L , bn1 an1 abn2 , r an abn1 .
说明: 综合除法一般用于
2) f ( x), g( x) P[x] f ( x) g( x) 0 ① ( f ( x) g( x)) max(( f ( x)),g( x))) ② 若 f ( x) 0, g( x) 0, 则 f ( x)g( x) 0, 且
( f ( x)g( x)) ( f ( x)) ( g( x))
P上的一元多项式环,记作 P[x] . P称为 P[x] 的系数域.
一、带余除法 二、整除
一、带余除法
定理 对 f ( x), g( x) P[x], g( x) 0,
一定存在 q( x),r( x) P[x], 使 f ( x) q( x)g( x) r( x)
成立,其中 (r( x)) (g( x)) 或 r( x) 0, 并且这样的 g( x),r( x) 是唯一决定的.
g( x) | f ( x) g( x) 除 f ( x) 的余式r x 0.
3.整除的性质
1) 对 f ( x) P[x], 有 f ( x) | f ( x), f ( x) | 0; 对 f ( x) P[x], a P, a 0, 有 a | f ( x).
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