高中数学必修2基础练习题《空间图形基本关系的认识与公理》

课下能力提升（五）空间图形基本关系的认识与公理1-3
一、选择题
1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作( ) A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβ
C．A b，bβ D．A b，b∈β
3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )
A．直线AC B．直线BC
C．直线CR D．直线AR
4．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则( )
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M不在AC上，也不在BD上
二、填空题
6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．
7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
8．有下面几个说法：
①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；
⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．
其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．
三、解答题
9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.
求证：P，Q，R三点共线．
10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．
答案
1. 解析：选B 若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．
2. 解析：选B ∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A ∈b，bβ.
3. 解析：选C ∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，
∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，
∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.
4. 解析：选C 如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．
5. 解析：选A 因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF 与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．
6. 解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．
答案：1或4
7. 解析：观察图形可知①③错误，②④正确．
答案：②④
8. 解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．
答案：③④
9. 证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
10. 证明：①无三线共点情况，如图所示，
设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.
∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.
∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.
∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．
②有三线共点的情况，如图所示，
设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，
∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.
∵N∈a，aβ，∴N∈β.
∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．。