新课标高中数学必修二基础练习卷(答案)

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高二数学选择性必修二同步练习与答案解析(基础训练)

高二数学选择性必修二同步练习《4.1数列的概念》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．数列的一个通项公式是（）A ．B ．C ．D ．2．下列说法正确的是（） A ．数列中不能重复出现同一个数 B ．与是同一数列 C ．不是数列D ．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同3．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n(n －2)，其中n ∈N *，则a 6＝（） A ．8B ．15C ．24D ．355．下列说法正确的是（）A ．数列1，3，5，7可以表示为B ．数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列C ．数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点D ．数列的项数一定是无限的6．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（） A ． B ．C ．D ．7．已知数列的前项和，则的值为（） A ．4B ．6C ．8D ．102,22,222,2222,()21019n -101n -()2101n-108n -1,2,3,44,3,2,11,1,1,1{}n a 21nn a =+{}1,3,5,7{}n a 4261220{}n a 42n a n =-22(1)nn a n =+-2n a n n =+1321n n a n -=+-{}n a n 2n S n n =+4a8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）A ．132B ．261C ．262D ．5179．已知数列的通项公式为，则该数列的前4项依次为（） A ．1，0，1，0 B ．0，1，0，1 C ．D ．2，0，2，010．在数列中，，，则的值为（） A ． B ．C ．D ．以上都不对二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式是___________12．已知数列{}n a 中，12aa …()2n a nn N *=∈，则9a=__________．13．已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =--，则n a =__________.14．填适当的数：1，（________），2（________）15．在数列110,,...,,...42n n -中，第3项是______；37是它的第______项. 16．函数()()2*2f x x x n n =-+∈N的最小值记为na，设()n n b f a =，则数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别是=n a ________，=n b ________. 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足313a =，()()1112n n a a +++=，则1a =_______；12S =___________．{}n a ()111,2n na n N +*+-=∈11,0,,022{}n a 114a =-111(1)n n a n a -=->2014a 14-545三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．在数列{}n a 中，2*,n a n n n N λ=+∈.若{}n a 是递增数列，求λ的取值范围.19．已知数列{}n a 的前n 项和为2230.n S n n =-（1）当n S 取最小值时，求n 的值；（2）求出{}n a 的通项公式. 20．已知数列{}n a 中，111,1n n na a a n +==+. （1）写出数列{}n a 的前5项. （2）猜想数列{}n a 的通项公式.21．已知数列{}n a 的通项公式为1n a cn dn -=+，且232a =，432a =，求n a 和10a .22．已知数列{}n a 满足2(*)n n S n a n N =-∈. （1）计算1,a 2,a 3,a 4,a 5a ；（2）并猜想{}n a 的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）. 答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．数列的一个通项公式是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】先写出的通项是，数列的通项公式是．故选：A ．2．下列说法正确的是（）2,22,222,2222,()21019n -101n -()2101n-108n -9,99,999,9999,101n -∴2,22,222,2222,()21019n n a =-A ．数列中不能重复出现同一个数B ．与是同一数列C ．不是数列D ．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同【答案】D 【解析】由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如，故A 不正确； B 中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B 不正确；由数列的定义可判断，是数列，即C 不正确；由数列定义可知，D 正确，故选：D.3．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】C 【解析】令，解得. 故选：C4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n(n －2)，其中n ∈N *，则a 6＝（） A ．8 B ．15C ．24D ．35【答案】C 【解析】代入通项公式得，，故选：C ．5．下列说法正确的是（）A ．数列1，3，5，7可以表示为B ．数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列C ．数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点D ．数列的项数一定是无限的1,2,3,44,3,2,11,1,1,11,1,1,11,1,1,1{}n a 21nn a =+25721n =+8n =66424a =⨯={}1,3,5,7【答案】C 【解析】A 中，表示集合，不是数列；B 中，两个数列中包含的数虽然相同，但排列顺序不同，不是相同的数列；D 中，数列的项数可以是有限的也可以是无限的．故选：C ．6．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】对于A ，，故A 错误. 对于B ，，故B 错误.对于C ，，故C 正确.对于D ，，故D 错误. 故选：C.7．已知数列的前项和，则的值为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C 【解析】由已知．故选：C ．8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）{}1,3,5,7{}n a 4261220{}n a 42n a n =-22(1)nn a n =+-2n a n n =+1321n n a n -=+-31012a =≠41662220a =+=≠22221234112,226,3312,4420a a a a =+==+==+==+=3549112a =+=≠{}n a n 2n S n n =+4a 22443(44)(33)8a S S =-=+-+=A ．132B ．261C ．262D ．517【答案】B 【解析】由题意知第行有个数，此行最后一个数为， ∴第八行的最后一个数为， ∴该数表中第9行的第6个数为261. 故选：B.9．已知数列的通项公式为，则该数列的前4项依次为（） A ．1，0，1，0 B ．0，1，0，1 C ．D ．2，0，2，0【答案】A 【解析】因为，所以分别取1，2，3，4，可得．故选：A ．10．在数列中，，，则的值为（） A ． B ．C ．D ．以上都不对【答案】A 【解析】n 12n -21n -821255-={}n a ()111,2n na n N +*+-=∈11,0,,022()111,2n na n N +*+-=∈n 1231010a a a a ====4,,,{}n a 114a =-111(1)n n a n a -=->2014a 14-545在数列中，，，，，，数列是周期为3的周期数列，，．故选：A二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式是___________【答案】1(1)(21)n n a n +=--，()n *∈N【解析】因为数列1,3,5,7,9,--，所以通项公式可以为1(1)(21)n n a n +=--，()n *∈N故答案为：1(1)(21)n n a n +=--，()n *∈N12．已知数列{}n a 中，12a a …()2n a n n N *=∈，则9a=__________．【答案】8164【解析】当8n =时，有128...64a a a ⋅⋅⋅= ① 当9n =时，有129...81a a a ⋅⋅⋅= ② 由①÷②，可得98164a ={}n a 114a =-111(1)n n a n a -=->∴211514a =-=-314155a =-=4111445a =-=-∴{}n a 201467131=⨯+2014114a a ∴==-故答案为：816413．已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =--，则n a =__________.【答案】31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，【解析】当1n =时，111313a S ==--=-，当2n ≥时，22131[(1)3(1)1]24n n n S n n n n a n S --=-------==-，当 1n =时，1242a -=-≠，所以31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，，故答案为：31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，14．填适当的数：1，（________），2（________）【解析】，. 15．在数列110,,...,,...42n n -中，第3项是______；37是它的第______项. 【答案】137 【解析】令3n =，则13112233n n --==⨯，所以第3项是13；令1327n n -=，解得7n =，所以37是它的第7项.故答案为：13；7.16．函数()()2*2f x x x n n =-+∈N的最小值记为na，设()n n b f a =，则数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别是=n a ________，=n b ________. 【答案】1n - 233n n -+ 【解析】当1x =时，()min (1)121f x f n n ==-+=-，即1n a n =-；将1x n =-代入()f x 得，22(1)(1)2(1)33n b f n n n n n n =-=---+=-+，故答案为1n a n =-，233n b n n =-+17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足313a =，()()1112n n a a +++=，则1a =_______；12S =___________．【答案】135 【解析】依题意，设1n n b a =+，则33431a b =+=，12n n b b +=，故23232b b ==， 12243b b ==，故1a =1113b -=；因为12n n b b +=，143b =，232b =，故以此类推，n 是奇数，43n b =，故13n a =， n 是偶数，32n b =，故12n a =，所以()12121166532S a a ⎛⎫=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：13；5. 三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．在数列{}n a 中，2*,n a n n n N λ=+∈.若{}n a 是递增数列，求λ的取值范围.【答案】(3,)-+∞ 【解析】解析由{}n a 是递增数列得，1n n a a +<，即22(1)(1)n n n n λλ+<+++，整理得(21)n λ>-+，*n N ∈恒成立，解得3λ>-.∴λ的取值范围是(3,)-+∞.19．已知数列{}n a 的前n 项和为2230.n S n n =-（1）当n S 取最小值时，求n 的值；（2）求出{}n a 的通项公式.【答案】（1）7n =或8n =；（2）432n a n =- 【解析】（1）222152252302(15)222n S n n n n n ⎛⎫=-=-=--⎪⎝⎭，因为n ∈+N ，所以当7n =或8n =时，n S 取最小值，（2）当1n =时，1123028a S ==-=-，当2n ≥时，221230[2(1)30(1)]432n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，128a =-满足上式，所以432n a n =-20．已知数列{}n a 中，111,1n n na a a n +==+. （1）写出数列{}n a 的前5项. （2）猜想数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）1234511111,,,,2345a a a a a =====；（2）1n a n= 【解析】（1）由111,1n n na a a n +==+，可得： 2111111122a a ==⨯=+，32221121323a a ==⨯=+，43331131434a a ==⨯=+，54441141545a a ==⨯=+ .（2）猜想：1n a n=21．已知数列{}n a 的通项公式为1n a cn dn -=+，且232a =，432a =，求n a 和10a .【答案】24n n a n =+,102710a =. 【解析】∵232a =，432a =，代入通项公式n a 中得32223424d c dc ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得14c =，2d =,∴24n n a n =+,∴101022741010a =+=. 22．已知数列{}n a 满足2(*)n n S n a n N =-∈. （1）计算1,a 2,a 3,a 4,a 5a ；（2）并猜想{}n a 的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）. 【答案】（1）11a =.232a =，374a =，4158a =，53116a =.（2）121,2n n n a --=*n ∈N ，详见解析【解析】解：（1）当1n ＝时，1112a S a ==-，11a ∴=.当2n =时，122222a a S a +==⨯-，232a ∴=，当3n =时，1233323a a a S a ++==⨯-，374a ∴=，当4n =时，12344424a a a a S a +++==⨯-，4158a ∴=，当5n =时，12345525a a a a a a ++++=⨯-，53116a ∴=.（2）11112112a --==，222132122a --==，333172142a --==，4441152182a --==，55513121162a --==，由此猜想121,2n n n a --=*n ∈N .《4.2等差数列》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．在等差数列{}n a 中，11a =，公差2d =，则8a 等于（） A ．13B ．14C ．15D ．162．在等差数列{}n a 中，824a =，168a =，则24a =（） A ．24-B ．16-C ．8-D ．03．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,2a a ==，则5S ＝（） A ．0B ．10C ．15D ．304．已知公差为2的等差数列{}n a 满足140a a +=，则7a =（） A ．5B ．7C ．9D ．115．在等差数列{a n }中，若a 4＝5，则数列{a n }的前7项和S 7＝（） A ．15B ．20C ．35D ．456．数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（） A ．31n -B ．32n +C ．32n -D ．31n +7．已知等差数列{}n a 的前5项和为25，且11a =，则7a =（） A ．10B ．11C ．12D ．138．有穷等差数列5，8，11，…，()*311n n N +∈的项数是（）A ．nB ．311n +C ．4n +D ．3n +9.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（） A ．184斤B ．176斤C ．65斤D ．60斤10．已知{}n a 为等差数列，d 为公差，n S 为前n 项和，545676,,S S S S S S <=>，则下列说法错误的是（） A ．0d >B ．60a =C ．5S 和6S 均为n S 的最大值D ．84S S >二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．1的等差中项是____________.12．数列{}n a 为等差数列，已知公差2d =-，110a =，则1a =_______. 13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6S a a =+=，则d =_______. 14．已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则公差d =________，5a =________. 15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，511a =-，则3a =______，5S =______． 16．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______.17．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{}n a ，则1a=______；n a =______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，511a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若120n S =，求n .19.在等差数列{}n a 中，（1）已知25121536a a a a +++=，求16S 的值；（2）已知620a =，求11S 的值.20．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负． (1)求数列的公差；(2)求前n 项和S n 的最大值．21．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值．22．在等差数列{}n a 中，38a =，724a a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．在等差数列{}n a 中，11a =，公差2d =，则8a 等于（） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C 【解析】81717215a a d =+=+⨯=,故选：C.2．在等差数列{}n a 中，824a =，168a =，则24a =（） A ．24- B ．16-C ．8-D ．0【答案】C 【解析】{}n a 是等差数列，824162a a a ，248a .故选：C.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,2a a ==，则5S ＝（） A ．0 B ．10C ．15D ．30【答案】C 【解析】由等差数列性质可知：1524426a a a a +=+=+=()1555561522a a S +⨯∴=== 本题正确选项：C4．已知公差为2的等差数列{}n a 满足140a a +=，则7a =（） A ．5 B ．7C ．9D ．11【答案】C 【解析】由题意知141230a a a d +=+=，因为2d =，可得13a =- 所以7163129a a d =+=-+=. 故选：C5．在等差数列{a n }中，若a 4＝5，则数列{a n }的前7项和S 7＝（） A ．15 B ．20C ．35D ．45【答案】C 【解析】因为数列{}n a 是等差数列，故可得74735S a ==.故选：C .6．数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（） A ．31n - B ．32n + C ．32n - D ．31n +【答案】B 【解析】因为13n n a a +-=，所以数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列，则()*53132,n a n n n N =+-=+∈.故选：B7．已知等差数列{}n a 的前5项和为25，且11a =，则7a =（） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】D 【解析】因为123453525a a a a a a ++++==，所以35a =，则公差5122d -==，故73413a a d =+=．故选：D8．有穷等差数列5，8，11，…，()*311n n N +∈的项数是（）A ．nB ．311n +C ．4n +D ．3n +【答案】D 【解析】由等差数列中125,8a a ==，知3d =，5(1)332n a n n ∴=+-⨯=+，设()*311n n N+∈为数列中的第k 项，则31132n k +=+，解得3k n =+，故选：D9.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（） A ．184斤 B ．176斤C ．65斤D ．60斤【答案】A 【解析】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，第一个孩子所得棉花斤数为1a ，则由题意得，818717,8179962d S a ⨯==+⨯=，解得165a =，()8181184a a d ∴=+-=．故选：A10．已知{}n a 为等差数列，d 为公差，n S 为前n 项和，545676,,S S S S S S <=>，则下列说法错误的是（） A ．0d >B ．60a =C ．5S 和6S 均为n S 的最大值D ．84S S >【答案】C 【解析】由5454500S S S S a <⇒-<⇒<，由5665600S S S S a =⇒-=⇒=，故选项B 说法正确；因为650a a d =+=，50a <，所以0d >，因此选项A 说法正确；因为0d >，所以等差数列{}n a 是单调递增数列，因此n S 没有最大值，故选项C 说法错误；由7676700S S S S a >⇒->⇒>，因为8487657672()20S S a a a a a a a -=+++=+=>，所以84S S >，因此选项D 说法正确.故选：C二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．1的等差中项是____________.【解析】1=12．数列{}n a 为等差数列，已知公差2d =-，110a =，则1a =_______. 【答案】20 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，公差2d =-，所以111100a a d =+=，解得120a =，故答案为：2013．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6S a a =+=，则d =_________.【答案】1 【解析】由266a a +=有43a =，而510S =∴结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：114．已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则公差d =________，5a =________. 【答案】2 9 【解析】等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则公差3122a a d -==，所以514189a a d =+=+=. 故答案为：2；915.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，511a =-，则3a =______，5S =______．【答案】4- 20- 【解析】由题得15333112,42a a a a -+=∴==-； 51555()(311)20.22S a a =+=-=-故答案为：4;20--.16．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______. 【答案】9566 20122【解析】设由下到上九节容量分别记为129,,...,a a a ，则129,,...,a a a 成等差数列，设公差为d ，且1234a a a ++=，67893a a a a +++=，即1231334a a a a d ++=+=，678914263a a a a a d +++=+=，所以19566a =，766d =-，故91982019222S a d ⨯=+=故答案为：9566；2012217．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{}n a ，则1a=______；n a =______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）【答案】8 157n -. 【解析】三三数之余二的正整数从小到大排列得到数列为：{}8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38；五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成数列为：{}8,13,18,23,28,33,38.所以三三数之余二，五五数之余三的正整数，从小到大排列得到数列{}n a 为：{}8,23,38，数列{}n a 是以首项为8，公差为15的等差数列.空1：18a =；空2：1(1)8(1)15157n a a n d n n =+-=+-⋅=-. 故答案为：8；157n -三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，511a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若120n S =，求n .【答案】（1）21n a n =+；（2）10. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为25a =，511a =，所以15a d +=，1411a d +=，解得13a =，2d =.所以()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+，*n ∈N ，所以{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n ∈N . （2）由（1）知13a =，21n a n =+，因为120n S =，所以()11202n n a a +=，即()3211202n n ++=，化简得221200n n +-=，解得10n =.19.在等差数列{}n a 中，（1）已知25121536a a a a +++=，求16S 的值；（2）已知620a =，求11S 的值. 【答案】（1）144；（2）220. 【解析】（1）由等差数列的性质可得()()()251215215512116236a a a a a a a a a a +++=+++=+=，解得11618a a +=，因此，()1161616161814422a a S ⨯+⨯===；（2）由等差中项的性质和等差数列的求和公式得()11161161111211112022022a a a S a ⨯+⨯====⨯=.20．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负． (1)求数列的公差；(2)求前n 项和S n 的最大值．【答案】（1）4d =-；（2）78 【解析】(1)由已知，得6152350a a d d =+=+>，7162360a a d d =+=+<.解得232356d -<<-. 又d Z ∈，∴4d =-.(2)∵0d <，∴数列{}n a 是递减数列．又∵60a >，70a <，∴当6n =时， n S 取得最大值，为()6656234782S ⨯=⨯+⨯-=. 21．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值．【答案】（1）29n a n =-；（2）16-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得2d =．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．（2）由（1)得()228416nS n n n =-=--．所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-． 22．在等差数列{}n a 中，38a =，724a a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）22n a n =+（2）22nn +【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=.因为37248,a a a a =⎧⎨=+⎩所以11112863a d a d a d a d +=⎧⎨+=+++⎩，解得14a =，2d =，所以数列{}n a 的通项公式为22n a n =+.（2）由题意知()1121n n b na n n ==+11121n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以111111122231n S n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪+⎝⎭1112122n n n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭.《4. 3等比数列》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =（）A ．2B ．-2CD ．2．等比数列{}n a 中，已知12a =，416a =，数列{}n a 的公比为（）. A ．12B ．2-C ．2D ．12-3．在等比数列{}n a 中，11a =，2q ，则数列的前5项和等于（）A ．31B ．32C ．63D ．644． 2与2+ ） A ．1B ．1-C ．2D ．1-或15．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏6．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为（） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（）A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（）A ．32B ．31C ．16D ．159．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（） A ．2B ．4C ．8D ．1610．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的若视力4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为（）A ．91010a -B ．4510a -C ．4510aD ．91010a二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．已知等比数列{}n a 满足3432a a =且22a =，则1a =________. 12．已知公比为q 的等比数列{}n a 满足2432a a a +=，则q =____．13．从盛有1L 纯酒精的容器中倒出1L 3，然后用水填满，再倒出1 L 3，又用水填满…….连续进行了n 次后，容器中的纯酒精还剩下32L 243，则n =________. 14．在正项等比数列{}n a 中，若126a a +=，38a =，则q =______；n a =_____． 15．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过________次截取. 16． n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，36S a =，且3a ，6a ，k a 成等比数列，则n S =________，k =________．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．已知数列{}n a 的通项公式()26*n a n n N =-∈. （1）求2a ，5a ；（2）若2a ，5a 分别是等比数列{}n b 的第1项和第2项，求数列{}n b 的通项公式. 19．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，38a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .20．在正项等比数列{}n a 中，416a =，且2a ，3a 的等差中项为12a a +．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a n +的前n 项和为n S ．21．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S .22．设{}n a 是等比数列，其前n 项的和为n S ，且22a =，2130S a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若48n n S a +>，求n 的最小值. 答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =（）A ．2B ．-2C D ．【答案】A 【解析】因为各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⨯=，所以32a =（负值舍去）故选：A.2．等比数列{}n a 中，已知12a =，416a =，数列{}n a 的公比为（）. A ．12B ．2-C ．2D ．12-【答案】C 【解析】数列{}n a 是等比数列，则11n n a a q -=⋅，（q 为数列{}n a 的公比），则3341162a a q q =⋅⇒=⋅，解得2q.故选：C.3．在等比数列{}n a 中，11a =，2q ，则数列的前5项和等于（）A ．31B ．32C ．63D ．64【答案】A 【解析】因为等比数列{}n a 中，11a =，2q，所以数列的前5项和()()55151********a q S q-⨯-===--，故选：A.4．2与2+ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．1-或1【答案】D 【解析】由题意可设2与2m ，则2(21m =-+=，解得1m =-或1m =. 故选：D.5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（） A ．3盏 B ．9盏C ．27盏D ．81盏【答案】C 【解析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-，解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C6．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为（） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】由题意可得等比数列通项5111122n n n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5n = 故选：C7．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（） A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．不确定【答案】A 【解析】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>，∴4x =，故选：A8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（）A ．32B ．31C ．16D ．15【答案】B 【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q，所以211a a q==，又因为1111nna q S qq，所以()551123112S -==-.故选：B.9．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】D 【解析】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D.10．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的若视力4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为（）A ．91010a - B ．4510a -C ．4510aD ．91010a【答案】A 【解析】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：1101110nn n n a a a ---=⇔= 则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力5.1的视标边长为91010a - 故选：A二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．已知等比数列{}n a 满足3432a a =且22a =，则1a =________. 【答案】43【解析】因为3432a a =，所以4332a q a ==. 故由等比数列的通项公式得2124332a a q ===.故答案为：4312．已知公比为q 的等比数列{}n a 满足2432a a a +=，则q =_____．【答案】1 【解析】因为{}n a 为等比数列，且2432a a a +=，所以321112a q a q a q +=，即212q q +=，解得1q =，故答案为：113．从盛有1L 纯酒精的容器中倒出1L 3，然后用水填满，再倒出1 L 3，又用水填满…….连续进行了n 次后，容器中的纯酒精还剩下32L 243，则n =________. 【答案】5 【解析】根据题意，连续进行了n 次后，容器中的纯酒精的剩余量组成数列{}n a ，则数列{}n a 是首项为23，公比为23的等比数列，则1222()()()333n nn a -=⨯=，若连续进行了n 次后，容器中的纯酒精还剩下32243L ，即232()3243n =，解得5n =，故答案为：5．14．在正项等比数列{}n a 中，若126a a +=，38a =，则q =____；n a =______．【答案】2 2n 【解析】由题意可知0q >，由题意可得()1212311680a a a q a a q q ⎧+=+=⎪==⎨⎪>⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩，111222n n n n a a q --∴==⨯=.故答案为：2；2n .15．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过________次截取. 【答案】16411 【解析】记第n 天后剩余木棍的长度{}n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，所以12n n a =，所以6611264a ==，由1122018n n a =<得10n >，所以n 的最小值为11.所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是164尺，要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过11次截取. 故答案为：164；11. 16． n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．【答案】2 3 【解析】当1q =时，333S a ≠，不满足题意，故1q ≠；当1q ≠时，有()2131181261a q a q q ⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123a q =⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，36S a =，且3a ，6a ，k a 成等比数列，则n S =________，k =________．【答案】22n n+ 12【解析】设等差数列的公差为d ，则由36S a =得11335a d a d +=+，即3315d d +=+，解得1d =，则n a n =，(1)2n n n S n -=+=22n n+．由3a ，6a ，k a 成等比数列得263k a a a =⋅，即263k =，解得12k =．故答案为：22n n+；12三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．已知数列{}n a 的通项公式()26*n a n n N =-∈. （1）求2a ，5a ；（2）若2a ，5a 分别是等比数列{}n b 的第1项和第2项，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）22a =-，54a =；（2）(2)nn b =-.【解析】（1）因为()26*n a n n N =-∈，所以22a =-，54a =，（2）由题意知：等比数列{}n b 中，122b a ==-，254b a ==，公比212b q b ==-∴等比数列{}n b 的通项公式111(2)(2)(2)n n n n b b q--=⋅=-⋅-=-19．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，38a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）*2,n n a n N =∈；（2）1*22,n n S n +=-∈N .【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则223128a a q q ===，所以2q 或2q =-（舍），所以112n nn a a q -==，*n N ∈.（2）由（1）得2nn a =，所以()()11121222112n n n n a q S q+--===---.20．在正项等比数列{}n a 中，416a =，且2a ，3a 的等差中项为12a a +．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a n +的前n 项和为n S ．【答案】（1）2nn a =；（2）()11222n n n nS ++⋅=+-.【解析】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由题意可得3121111162()a q a q a q a a q ⎧=⎨+=+⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩． ∴数列{}n a 的通项公式为1222n n n a -=⨯=；（2）()()()()()1121221211222122n n n n a a a n n nn nS +-+⋅=++++++⋅=+=++-+-.21．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =，（2）1n nS n =+ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），因为11a =，且139,,a a a 成等比数列，所以2319a a a =，即2(12)1(18)d d +=⨯+，解得0d =（舍去）或1d =，所以n a n =，（2）由（1）可得11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅++，所以111111+2231n n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++ 22．设{}n a 是等比数列，其前n 项的和为n S ，且22a =，2130S a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若48n n S a +>，求n 的最小值. 【答案】（1）12n n a ；（2）6.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，因为2130S a -=，所以2120a a -=，所以212a q a ==，又22a =，所以11a =，所以1112n n n a a q --==.（2）因为()11211n n n a q S q-==--，所以11212321n n n n n S a --+=-+=⋅-，由132148n -⋅->，得13249n -⋅>，即14923n ->，解得6n ≥，所以n 的最小值为6.《4. 4数列的求和》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(41)n n a n +=-+，则111221a a a +++=（）A ．45B ．65C ．69D ．105-2．数列125⨯，158⨯，1811⨯，…，1(31)(32)n n -⨯+，…的前n 项和为（）A ．32nn + B ．64nn + C ．364nn + D ．12n n ++ 3．已知数列{}n a 为等差数列，且22a =，66a =，则12232021111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．1819B ．1920C ．2021 D ．21224． ()12149161n n +-+-++-等于（）A ．(1)2n n + B ．－(1)2n n + C ．()1(1)12n n n ++- D ．()(1)12n n n +- 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为（） A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋n －2D ．2n ＋1＋n 2－26．已知在等差数列{}n a 中，5=5a ，3=3a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2019项和是（）A ．20202019B ．20192020C ．20182019D ．201920187．设数列()()211,12,,1222,n -+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅的前n 项和为nS，则n S 的值为（）A ．24n n --B ．22n n --C ．124n n +--D ．122n n +--8．数列11111,2,3,424816…的前n 项和为( ) A ．()211122n n n ++- B ．()1111122n n n +++-C ．()211222n n n ++- D ．()1112122n n n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭9．已知数列{}n a 的通项公式是221sin()2n n a n π+=，则1232020a a a a ++++=( )A ．201920202⨯B ．202120202⨯C ．201920192⨯D ．202020202⨯10．设4()42xx f x =+，1231011111111f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭( )A ．4B ．5C ．6D ．10二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．数列{n a }中，()1nn a n =-，则1210a a a +++=________12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，cos()n a n π=，()*n N ∈，则2020S =________. 13．已知数列{}n a 中，2nn a n =⋅，则数列{}n a 的前9项和为_____________．14．已知等差数列{}n a 的首项和公差都为2.则数列{}n a 的通项公式=____，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭上的前2020项和为_______.15．设等差数列{}n a 的公差为非零常数d ，且11a =，若1a ，2a ，4a 成等比数列，则公差d =________﹔数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和100S =________.16．等差数列{}n a ，235a a +=，且4a 是2a 与8a 的等比中项，则n a =______；122334201920201111a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅______. 17．若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2121232222n n a a a a n n -++++=+，则n a =_________n S =_____三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项.（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列的前n 项和为n T .20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a S +=+对一切正整数n 恒成立. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的前n 项和n T .21．已知等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，前n 项和为n S ，且满足_____.（从①10105(1);S a =+②126,,a a a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）（1）求n a ；（2）若12n nb =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13,a a 的等差中项为10， 28a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(41)n n a n +=-+，则111221a a a +++=（）A ．45B ．65C ．69D ．105-【答案】B【解析】因为1(1)(41)n n a n +=-+，所以1211(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，则1112211112192021()()4585a a a a a a a a +++=+++++=-⨯+…… 65=，故选：B ． 2．数列125⨯，158⨯，1811⨯，…，1(31)(32)n n -⨯+，…的前n 项和为（）A ．32nn + B ．64nn + C ．364nn + D ．12n n ++ 【答案】B 【解析】 ∵1111(31)(32)33132n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭∴1112558(31)(32)n S n n =+++⋅⋅-+=1111111325583132n n ⎛⎫-+-++-⎪-+⎝⎭=111323264nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭ 故选：B3．已知数列{}n a 为等差数列，且22a =，66a =，则12232021111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．1819B ．1920C ．2021 D ．2122【答案】C 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，由题意得，11256a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a =，1d =，∴1(1)1n a n n =+-⨯=，∴11111(1)1+==-++n n a a n n n n ，∴12232021111111111201122320212121a a a a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=. 故选：C. 4． ()12149161n n +-+-++-等于（）A ．(1)2n n + B ．－(1)2n n + C ．()1(1)12n n n ++- D ． ()(1)12n n n +- 【答案】C 【解析】当n 为偶数时，()()121491613721n n n +-+-++-=-----()12(321)(1)214916122n nn n n n ++-+-+-++-=-=-当n 为奇数时，()()12214916137211n n n n +⎡⎤-+-++-=------+⎣⎦()1221[32(1)1]2149161+2n n n n n +-+---+-++-=- 所以()12(1)1491612n n n n ++-+-++-=综上可得：()()112(1)14916112n n n n n +++-+-++-=- 故选：C5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为（） A ．2n＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋n －2 D ．2n ＋1＋n 2－2【答案】D 【解析】由题可知：设数列{a n }的前n 项和为n S 所以12n n S a a a =+++即()()22221321n n n S =+++++++-。

(人教版新课标)高中数学必修2所有课时练习(含答案可编辑)

第一章空间几何体课时作业（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是()A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥答案： B2．下列说法中正确的是()①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④解析：因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.答案： A3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D.答案： D4.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．答案：三棱锥(也可答四面体)6．下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．解析：棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.答案：①②④⑤三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)如图所示的几何体是不是棱台？为什么？(2)如图所示的几何体是不是锥体？为什么？解析：(1)①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台；虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台．只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．(2)都不是．棱锥定义中要求各侧面有一个公共顶点．图①中侧面ABC与CDE没有公共顶点，故该几何体不是锥体；图②中侧面ABE与面CDF没有公共点，故该几何体不是锥体．8．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解析：(1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．尖子生题库☆☆☆9．(10分)在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解析：如图，连接A1B，BC1，A1C，则三棱柱ABC－A1B1C1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.课时作业（二）圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列四种说法①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析：①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．故选D.答案： D2．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析：该组合体上部是圆锥，下部是圆台，由旋转体定义知，上部由直角三角形的直角边为轴旋转形成，下部由直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成．故选A.答案： A3.如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是()A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D.答案： C4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．有下列说法：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面．其中正确说法的个数为________．解析：命题①②都对，命题③中一个平面与球相交，其截面是一个圆面，③对．答案： 36．下面几何体的截面一定是圆面的是________．(填正确序号)①圆柱②圆锥③球④圆台答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．解析：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：8．如图所示的几何体是否为台体？为什么？尖子生题库☆☆☆9．(10分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解析：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底一半O1A＝2 cm，下底一半OB＝5 cm.又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.课时作业（三）中心投影与平行投影空间几何体的三视图姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的平行投影可能平行D ．若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点解析：对于A ，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理，对于B ，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于C ，平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D 正确。

高中数学必修二第09章统计(A卷基础篇)(含答案)

第九章统计A（基础卷）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020春•郑州期中）某中学为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，500名学生身高的全体是（）A．总体B．个体C．从总体中抽取的一个样本D．样本的容量【解答】解：为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，这500名学生身高的全体是总体．故选：A．2．（2020春•盐城期末）某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、1000、800（单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n为（）A．108 B．96 C．156 D．208【解答】解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为800：1000：800＝4：5：4，现用分层抽样的方法抽出的样本中高一学生有48人，∴由分层抽样性质，得：，解得n＝156．故选：C．3．（2020•赣州模拟）从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，……50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）（注：表为随机数表的第1行与第2行）0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 62977424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676A．24 B．36 C．46 D．47【解答】解：由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24．故选：A．4．（2020•山西模拟）如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．则甲组数据的中位数，乙组数据的平均数分别为（）A．12，15 B．15，15 C．15，15.9 D．15，16.8【解答】解：由茎叶图得：甲组数据为：9，12，15，24，27，乙组数据为：8，15，18，19，24，故甲组数据的中位数是15，乙组数据的平均数是：16.8，故选：D．5．（2020•新课标Ⅲ）设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．10【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，∴数据10x1，10x2，…，10x n的方差为：100×0.01＝1，故选：C．6．（2020春•闵行区校级期中）在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A．100 B．85 C．65 D．55【解答】解：因为S210.2，所以40×10.2＝408，若存在x＝55，则（x）2＝（55﹣82）2＝729408，则方差必然大于10.2，不符合题意，所以55不可能是所有成绩中的一个样本．故选：D．7．（2020•4月份模拟）学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为n 的样本，并将得到的数据分成[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]四组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中支出在[40，50]的同学有24人，则n＝（）A．80 B．60 C．100 D．50【解答】解：本题考查频率分布直方图，考查数据处理能力．由频率分布直方图可得，支出在[40，50]的频率为1﹣（0.01+0.024+0.036）×10＝0.3．根据题意得，解得n＝80．故选：A．8．（2020•深圳模拟）一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如表：组别（0，10] （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70]频数12 13 24 15 16 13 7则样本数据落在（10，40]上的频率为（）A．0.13 B．0.52 C．0.39 D．0.64【解答】解：由频率分布表知，样本数据落在（10，40]上的频率为：0.52．故选：B．二．多选题（共4小题）9．（2020春•启东市校级月考）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取了20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（）A．2000名运动员是总体B．所抽取的20名运动员是一个样本C．样本容量为20D．每个运动员被抽到的机会相等．【解答】解：由题意知，2000名运动员的年龄是总体，所以A错误；所抽取的20名运动员的年龄是一个样本，所以A错误；样本容量是20，所以C正确；每个运动员被抽到的机会相等，所以D正确．故选：CD．10．（2020•烟台一模）2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，疫情就是命令，防控就是责任．在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争．右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）A．16天中每新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大B．16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C．16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D．19至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和【解答】解：由频率分布折线图可知，16天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势，但具体到每一天有增有减，故A错误；由每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量，则16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数，故B正确；由图可知，16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000，故C正确；由图可知，20日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和，故D错误．∴正确的结论是BC．故选：BC．11．（2020春•济宁月考）一组数据2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，记3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均值为a，方差为b，则（）A．a＝7 B．a＝ll C．b＝12 D．b＝9【解答】解：2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，设X＝（x1，x2，x3，…，x n），E（2X+1）＝2E（X）+1＝7，得E（X）＝3，D（2X+1）＝4D（X）＝4，D（X）＝1，3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均值为a，方差为b，a＝E（3X+2）＝3E（X）+2＝11，b＝D（3X+2）＝9D（X）＝9，故选：BD．12．（2020•淄博模拟）某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg）变化情况，对比数据，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A．他们健身后，体重在区间[90，100）内的人数较健身前增加了2人B．他们健身后，体重原在区间[100，110）内的人员一定无变化C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD．他们健身后，原来体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少【解答】解：体重在[90，100）内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，增加了2人，所以A 正确；他们健身后，体重在[100，110）内的百分比没有变，但人员组成可能改变，所以B错误；他们健身后，20人的平均体重大约减少了（0.3×95+0.5×105+0.2×115）﹣（0.1×85+0.4×95+0.5×105）＝5（kg），所以C错误；因为图（2）中没有体重在[110，120）内的人员，所以原来体重在[110，120）内的肥胖者体重都有减少，所以D正确．故选：AD．三．填空题（共4小题）13．（2020•江苏模拟）某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同学数学成绩的方差为10．【解答】解：由图可得这五位同学考试成绩分别为122，128，129，130，131；则这五位同学数学成绩的平均数为：（122+128+129+130+131）＝128，方差[（122﹣128）2+（128﹣128）2+（129﹣128）2+（130﹣128）2+（131﹣128）2]＝10．故答案为：10．14．（2020•南通模拟）为了解某校学生课外阅读的情况，随机统计了1000名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示，则阅读时间在[125，150）中的学生人数为200．【解答】解：由频率分布直方图得：阅读时间在[125，150）中的频率为：1﹣（0.004+0.012+0.016）×25＝0.2．∴阅读时间在[125，150）中的学生人数为：1000×0.2＝200．故答案为：200．15．（2020•扬州模拟）某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，则应从高三年级抽取15名志愿者．【解答】解：∵高三年级的学生人数占的比例为，则应从高三年级抽取的人数为5015，故答案为：15．16．（2020•中卫三模）从2021个学生中选取202人志愿者，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样法从2021人中剔除1人，剩下的2020人按系统抽样取出202人，则每人入选的概率．【解答】解：根据抽样的性质可知，无论哪种抽样，每个个体抽到的概率都是相同的，用简单随机抽样从2021人中剔除1人，每个人被剔除的概率相等，剩下的2020人再按系统抽样的方法抽取，每个人被抽取的概率也相等，即，故答案为：．四．解答题（共5小题）17．（2020•宁德模拟）A、B两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩（单位：分）记录如下：A71 62 72 76 63 70 85 83B73 84 75 73 7876 85B同学的成绩不慎被墨迹污染（，分别用m，n表示）．（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A、B两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由（不用计算）；（2）若B同学的平均分为78，方差s2＝19，求m，n．【解答】解：（1）A、B两同学参加了8次测验，成绩（单位：分）茎叶图如下：由茎叶图可知，B同学的平均成绩高于A同学的平均成绩，所以选派B同学参加数学竞赛更好．（2）因为（73+84+75+73+70+m+80+n+76+85）＝78，所以m+n＝8，①，因为S2[52+62+32+（m﹣8）2+（n+2）2+22+72]＝19，所以（m﹣8）2+（n+2）2＝4，②联立①②解得，m＝8，n＝0．18．（2020•武侯区校级模拟）成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）．根据检查结果：得分在[80，100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60，80）评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40，60）评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20，40）评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．【解答】解：（1）得分[20，40）的频率为0.005×20＝0.1；得分[40，60）的频率为0.010×20＝0.2；得分[80，100]的频率为0.015×20＝0.3；所以得分[60，80）的频率为1﹣（0.1+0.2+0.3）＝0.4．设班级得分的中位数为x分，于是，解得x＝70．所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分．（2）由（1）知题意“良”、“中”的频率分别为0.4，0.2．又班级总数为40．于是“良”、“中”的班级个数分别为16，8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2．因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗．所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级．记这个事件为A．则为两个评定为“中”的班级．把4个评定为“良”的班级标记为1，2，3，4，2个评定为“中”的班级标记为5，6．从这6个班级中随机抽取2个班级用点（i，j）表示，其中1≤i＜j≤6．这些点恰好为6×6方格格点上半部分（不含i＝j对角线上的点），于是有种．事件仅有（5，6）一个基本事件．所以．所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为．19．（2020•甲卷三模）中国女排一直是国人的骄傲，2019年女排世界杯于9月14日﹣9月29日在日本举行，中国女排10连胜提前夺冠，获世界杯第五冠、三大赛第十冠．中国女排用胜利点燃国人的激情，女排精神成为了拼搏、不服输的代表．某校受此影响，也举办了校园排球联赛，每班各自选出12人代表队，最后甲、乙两班进入决赛，如下茎叶图所示的是对每名队员上场时间做的统计，根据茎叶图回答问题：（Ⅰ）计算甲、乙两班队员上场的平均时间，并根据茎叶图分析哪班队员上场时间更均衡（不需要计算）；（Ⅱ）赛后学校在上场时间超过50分钟（包括50分钟）的队员中随机抽取2人评为最佳运动员，则两人中至少有一人来自乙班的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）甲班队员上场的平均时间31.25，乙班队员上场的平均时间34.5．由茎叶图分析甲班队员上场时间更均衡．（Ⅱ）上场时间超过50分钟的队员甲班有两人为A，B，乙班有3人为C，D，E．则从5人中随机抽取2人的取法有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE．共有10种，至少有一人来自乙班的有9种，故两人中至少有一人来自乙班的概率P．20．（2020春•锡山区校级期中）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，1），[1，2），…，[8，9）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a＝b．（1）求直方图中a，b的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．【解答】解：（1）由题意得：，解得a＝0.15，b＝0.06．由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．（2）由频率分布直方图得：全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1﹣0.04﹣0.08＝0.88，∴全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为：400000×（1﹣0.04﹣0.08）＝352000．（3）∵前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88＞0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73＜0.85，∴5≤x＜6，由0.15×（x﹣5）＝0.85﹣0.73，解得：x＝5.8，因此，估计月用水量标准为5.8吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．21．（2020•迎泽区校级模拟）2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于[20，45]岁的人中随机地抽取x人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．（1）求x，y，z的值；（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在[25，35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30，35]中的概率．组数分组“环保族”人数占本组频率第一组[20，25）45 0.75第二组[25，30）25 y第三组[30，35）20 0.5第四组[35，40）z0.2第五组[40，45） 3 0.1【解答】解：（1）由题意得：．（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值为：22.5×0.06×5+27.5×0.04×5+32.5×0.04×5+37.5×0.03×5+42.5×0.03×5＝30.75≈31．．（3）从年龄段在[25，35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，[25，30）中选：95人，[30，35]中选：94人，在这9人中选取2人作为记录员，基本事件总数n，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30，35]包含的基本事件个数：m26，∴选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30，35]中的概率p．。

人教A版高中数学必修第二册测试题(含答案)

人教A版高中数学必修第二册测试题（含答案）一、单选题1．设D为所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．2．若复数为纯虚数，则实数（）A．B．0C．5D．3．已知四边形为平行四边形，其中，则顶点的坐标为（）A．B．C．D．4．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45)的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A．0.04B．0.06C．0.2D．0.35．某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积为A．B．C．D．6．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法正确的个数是（）①一组数据的标准差越大，则说明这组数据越集中；②曲线与曲线的焦距相等；③在频率分布直方图中，估计的中位数左边和右边的直方图的面积相等；④已知椭圆，过点作直线，当直线斜率为时，M刚好是直线被椭圆截得的弦AB的中点.A．1B．2C．3D．48．在中，一定成立的等式是（）A．B．C．D．9．从高二某班级中抽出三名学生．设事件甲为“三名学生全不是男生”，事件乙为“三名学生全是男生”，事件丙为“三名学生至少有一名是男生”，则（）A．甲与丙互斥B．任何两个均互斥C．乙与丙互斥D．任何两个均不互斥10．已知是平面，是直线，则下列命题不正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若，则11．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为( )A．80B．96C．108D．110二、填空题12．在复变函数相关领域中，欧拉公式为（这里是虚数单位），当时，可以得到，这个公式被誉为数学中最令人着迷的公式，根据欧拉公式，则______．13．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________．14．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有_____．15．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=2，∠B'A'C'=90°，则原△ABC的面积为______．三、解答题16．在中，角所对的边分别为已知.（1）求A的大小；（2）如果，求的面积.17．宜宾市创建全国文明城市期间，一单位有甲、乙、丙三个志愿小组，其中甲组4人，乙组8人，丙组12人，现用分层抽样方法从这三个组中选出6人组成宣传小组.（1）应从甲组、乙组、丙组中各抽取多少人？（2）记选出6人分别为，现从这6人中抽取2人进入某小区进行创文宣传；①试用所给的字母列举出所有可能的抽取结果；②设事件是“抽取2人来自同一志愿小组”，求事件发生的概率. 18．某公司有名员工，根据男女员工人数比例，用分层随机抽样的方法从中抽取了人，调查他们的通勤时间（上下班途中花费的总时间，单位：分钟），将数据按照，，，分成组，并整理得到如下频率分布直方图：（I）从总体中随机抽取人，估计其通勤时间小于分钟的概率；（Ⅱ）求样本数据的中位数的估计值；（Ⅲ）已知样本中通勤时间大于或等于分钟的人都是男员工，通勤时间小于分钟的人中有一半是男员工，求该公司男员工的人数.19．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B1C1和BC的中点．（1）求证：MB∥平面AC1N；（2）求证：AC⊥MB．20．设，复数，其中为虚数单位.（1）当为何值时，复数是虚数？（2）当为何值时，复数是纯虚数？（3）当为何值时，复数所对应的点在复平面内位于第四象限？21．如图，已知正方体内接于球O，且球的半径为，P，Q分别是，上的动点.（1）求正方体的棱长；（2）求的最小值；（3）若平面与平面所成二面角的大小为，平面与平面所成二面角的大小为，试求的最小值，及此时P点的位置.参考答案1．D2．A3．D4．C5．A6．D7．B8．C9．A10．D11．C12．413．公平14．①③15．816．（1）；（2）17．（1）甲组1人，乙组2人，丙组3人；（2）①，；②.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.19．（1）见解析；（2）见解析20．（1）且；（2）；（3）. 21．（1）2（2）（3），点P位于BC的中点。

新教材人教A版高中数学必修第二册全册各章综合测验汇总(共五套,附解析)

高中数学必修第二册全册各章测验汇总章末质量检测(一) 平面向量及其应用 ............................................................................... 1 章末质量检测(二) 复数 ....................................................................................................... 8 章末质量检测(三) 立体几何初步 ..................................................................................... 14 章末质量检测(四) 统计 ..................................................................................................... 23 章末质量检测(五)概率 (32)章末质量检测(一) 平面向量及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB →＋2BC →等于( ) A ．5 B ．(－1,5) C ．(6,1) D ．(－4,9)解析：AB →＝(2,3)，BC →＝(－3,3)，∴AB →＋2BC →＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)．答案：D3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4解析：因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.答案：C4．若A (x ，－1)，B (1,3)，C (2,5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：AB →∥BC →，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B5．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4,0)，(－2,6) B ．(－2,6)，(4,0) C ．(2,0)，(－1,3) D ．(－1,3)，(2,0)解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，3，a －b ＝3，－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，0，b ＝－1，3.答案：C6．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5 B．±10 C ．±12 D．±13解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13，所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C7．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522m解析：由正弦定理得AB ＝AC ·sin∠ACB sin B＝50×2212＝502(m)．答案：A8．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形解析：由题意知a －b ＝d －c ， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形，故选D. 答案：D9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 2解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v 1|－|v 2|.答案：C10．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，则(OA →＋OB →)·(OA→－OB →)等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，所以OB →＝OA →＋AB →＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)，所以(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OA →2－OB →2＝(22＋12)－(12＋22) ＝5－5＝0.故选C. 答案：C11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．答案：C12．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC→|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0. 答案：014．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 解析：方法一：设OB →＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x －3y＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝2 5.故|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，又|OA →|＝10，所以|AB →|＝10×2＝2 5.答案：2 515．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ，所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .解析：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， ∴k ＝－2914.19．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，且(a －3b )⊥c . (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ.解析：(1)因为a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，所以a －3b ＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m ，－3)．因为(a －3b )⊥c ，所以(a －3b )·c ＝(1－3m ，－3)·(3,4) ＝3(1－3m )＋(－3)×4 ＝－9m －9＝0，解得m ＝－1.(2)由(1)知a ＝(1,3)，b ＝(－1,2)，所以a ·b ＝5，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.20．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝2a ＋b ，求(b －a )·c ； (2)求向量a 在b 方向上的投影．解析：(1)由a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)，可得c ＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b －a＝(1，－5)，则(b －a )·c ＝4－20＝－16.(2)向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－422＝－ 2. 21．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC→＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0，所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图， DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．22．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ，即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.章末质量检测(二) 复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i －i 2的实部为( ) A ．0 B ．1 C ．i D ．－2 解析：i －i 2＝1＋i. 答案：B2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R ∩I B ．R ∩I ＝{0}C ．R ＝C ∩ID ．R ∩I ＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R ∩I ＝∅. 答案：D3．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数(a ∈R )C ．如果复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，那么x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i(a ，b ∈R )不是实数解析：两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，所以A 正确；B 中，当a ＝0时，a i ＝0是实数，所以B 不正确；要使复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，则只需y ＝0，所以C 不正确；D 中，当b ＝0时，复数a ＋b i 是实数，所以D 不正确．答案：A4．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C5．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：z 1－z 2＝5－7i. 答案：D6．复数1－7i 1＋i 的虚部为( )A ．0 B. 2 C ．4 D ．－4 解析：∵1－7i1＋i＝1－7i 1－i 1＋i1－i ＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案：D7．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3C ．1D ．－1或3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3.故选B.答案：B8．已知z－1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z －＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ，从而z ＝1－3i ，选B. 答案：B9．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，且该点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.答案：A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x＋4y|的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x＋4y≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个解析：f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．解析：由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案：414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案：115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________．解析：先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)实数m 为何值时，复数z ＝m ＋6m －1＋(m 2＋5m －6)i 是实数？解析：复数z 为实数，则虚部为0，由于实部是分式，因此要求分式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m －6＝0，m ≠1，解得m ＝－6.所以当m ＝－6时，复数z 是实数． 18．(12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.19．(12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.20．(12分)设复数z 1＝(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，θ∈(0，π)，z 2在复平面内对应的点在第一象限，且z 22＝－3＋4i.(1)求z 2及|z 2|；(2)若z 1＝z 2，求θ与a 的值．解析：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去，故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3，所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2.21．(12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z<0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，①②又x 2＋y 2＝1.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.22．(12分)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解析：(1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋－22＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝22＋1.章末质量检测(三) 立体几何初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )A ．4SB ．4πSC ．πSD ．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ，则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 答案：C4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( ) A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)．答案：A5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A ．16π B．32π C ．36π D．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr 2＝16π.答案：A6．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B 在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：当直线a ⊂平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线中不存在与a 平行的直线．故选A.答案：A7．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )A ．16和12B ．15和13C ．17和11D ．18和10解析：如图，作AM ⊥β，CN ⊥β，垂足分别为M 、N ，设AB ＝x ，则CD ＝28－x ，BM ＝9，ND ＝5，∴x 2－81＝(28－x )2－25， ∴x ＝15,28－x ＝13. 答案：B 8.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.答案：B9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22，∴∠CMA ＝90°. 答案：C12．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292 B.135C.175D.1195 解析：如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥PE . ∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体14．若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________．解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22，故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6.答案：2＋22＋ 615．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 216．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA ＝PA AC＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解析：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．18．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的．故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.19．(12分)如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 都为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)设DF 与GN 交于点O ，连接AE ，则AE 必过点O ，且O 为AE 的中点，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.21．(12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ 5.章末质量检测(四) 统计一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( )A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是样本C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量解析：A×总体应为500名学生的体重B×样本应为每个被抽查的学生的体重C√抽取的60名学生的体重构成了总体的一个样本D×样本容量为60，不能带有单位2．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01,02,03，…，70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是( )(注：如表为随机数表的第8行和第9行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A ．07B ．44C ．15D ．51解析：找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29,64,56,07,52,42,44，故选出的第7个个体是44.答案：B3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论： ①这组数据的众数是3.②这组数据的众数与中位数的数值不等． ③这组数据的中位数与平均数的数值相等． ④这组数据的平均数与众数的数值相等．其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 答案：A4．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10解析：若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x2＋300，所以有x＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取的高一学生数为800100＝8.答案：A5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一组的频数为x ，则其他8组的频数和为52x ，所以x ＋52x ＝140，解得x ＝40.答案：B6．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表所示：一年级二年级三年级女生373380y男生377370z现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A．24 B．18C．16 D．12解析：一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×642 000＝16.故选C.答案：C7．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )A．甲的极差是29 B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24解析：甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数应该是23.答案：D8．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18解析：由图知，样本总数为N ＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x ，则6＋x 50＝0.36，解得x ＝12. 答案：C9．一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x B ．2s 2,2x C ．4s 2,2x D ．s 2，x解析：将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍．故答案选C.答案：C10.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有( )A ．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定B ．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定C ．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定D ．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.答案：D11．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加上2所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：设A 样本数据为x i ，根据题意可知B 样本数据为x i ＋2，则依据统计知识可知A ，B 两样本中的众数、平均数和中位数都相差2，只有方差相同，即标准差相同．答案：D12．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677解析：由题图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 13．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m ＝________.解析：由题意知第一组的频率为 1－(0.15＋0.45)＝0.4，所以8m＝0.4，所以m ＝20.答案：2014．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为________．解析：由于样本容量与总体个体数之比为20100＝15，故各年龄段抽取的人数依次为45×15＝9(人)，25×15＝5(人)，20－9－5＝6(人)．答案：9,5,615．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．解析：由频率分布图知，设90～100分数段的人数为x ，则0.40x ＝0.0590，所以x＝720.答案：72016．设样本数据x 1，x 2，…，x 2017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2017的方差为________．解析：本题考查数据的方差．由题意得D (y i )＝D (2x i －1)＝D (2x i )＝4D (x i )＝4×4＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某总体共有60个个体，并且编号为00,01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列的1开始．依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，求抽取样本的号码．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60解析：由随机数表法可得依次的读数为：18,24,54,38,08,22,23,0118．(12分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解析：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人数为200×34×10%＝15.19．(12分)已知一组数据按从小到大的顺序排列为－1，0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解析：由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以4＋x2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x －，方差为s 2，由题意得 x －＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 20．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．解析：(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2. (2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5，所以x ＝50.即参加这次测试的学生有50人． (3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.21．(12分)市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能得冠军呢？解析：(1)甲的平均成绩为：(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69 m，乙的平均成绩为：(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68 m；(2)根据方差公式可得：甲的方差为0.0006，乙的方差为0.00315∵0.0006＜0.00315∴甲的成绩更为稳定；(3)若跳过1.65 m就很可能获得冠军，甲成绩均过1.65米，乙3次未过1.65米，因此选甲；若预测跳过1.70 m才能得冠军，甲成绩过1.70米3次，乙过1.70米5次，因此选乙．22．(12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高(单位：cm)情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：(1)(2)画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在[149.5,165.5]范围内的有多少人？解析：(1)由题意得M＝80.16＝50，落在区间[165.5,169.5]内的数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，。

人教课标版(B版)高中数学必修2基础练习-点到直线的距离

2.2.4 点到直线的距离一、选择题1．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是() A．(5，－3)B．(9,0)C．(－3,5) D．(－5,3)2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝03．与直线2x＋y＋1＝0的距离为55的直线的方程是()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝04．过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A．4x＋y－6＝0B．x＋4y－6＝0C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝05．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1：x－2y＋1＝0和l2：3x－y－2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是()A．2x－y＋7＝0和x－3y－4＝0B．x－2y＋7＝0和3x－y－4＝0C．x－2y＋7＝0和x－3y－4＝0D．2x－y＋7＝0和3x－y－4＝06．到直线3x－4y－1＝0距离为2的点的轨迹方程是()A．3x－4y－11＝0B．3x－4y＋11＝0C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝07．顺次连结A(－4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(－3,0)所组成的图形是()A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不对8．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于原点对称，则a、b的值分别为()A．1,9 B．－1，－9C．1，－9 D．－1,9二、填空题9．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．10．与直线3x＋4y－3＝0平行，并且距离为3的直线方程为________________．11．已知a、b、c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为__________．12．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．三、解答题13．(2010·曲师大附中高一期末检测)已知正方形中心G(－1,0)，一边所在直线方程为x＋3y－5＝0，求其它三边所在直线方程．14．(2010·山东聊城高一期末检测)已知点A(2,4)，B(1，－2)，C(－2,3)，求△ABC 的面积．15．求经过点A(2，－1)且与点B(－1,1)的距离为3的直线方程．16．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．17．已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0 截得的线段的长为5，求直线l的方程．1. [答案] A[解析] 当PQ 与已知直线垂直，垂足为Q 时，点Q (5，－3)即为所求．2. [答案] A[解析] 所求直线与两点A (1,2)，O (0,0)连线垂直时与原点距离最大．3. [答案] D[解析] 验证法：直线2x ＋y ＝0与2x ＋y ＋1＝0的距离为122＋12＝55，直线2x ＋y ＋2＝0与2x ＋y ＋1＝0的距离为|2－1|22＋12＝55，故选D. 4. [答案] D[解析] 设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，∵直线过(1,2)且与A 、B 两点距离相等，则⎩⎨⎧ A ＋2B ＋C ＝0 ①|2A ＋3B ＋C |A 2＋B 2＝|4A －5B ＋C |A 2＋B 2 ②由②得：A ＝4B 或3A －B ＋C ＝0. 当A ＝4B 时，C ＝－6B ，直线方程4Bx ＋By －6B ＝0即4x ＋y －6＝0.当3A －B ＋C ＝0时，2A ＝3B ，－7A ＝3C ，∴直线方程3Ax ＋2Ay －7A ＝0，即3x ＋2y －7＝0.点评：本题实际解答比较麻烦，作为选择题可用检验淘汰法，由P (1,2)在所求直线上，排除B ，C.故只须检验A 、B 两点到直线3x ＋2y －7＝0的距离是否相等即可，选D.5. [答案] B[解析] 解法一：l 1关于P (2,3)的对称直线l 3，l 2关于P (2,3)的对称直线l 4，就是另两边所在直线．解法二：因为另两边分别与l 1、l 3平行且到P (2,3)距离分别相等，∴设l 3：x －2y ＋c 1＝0，l 4：3x －y ＋c 2＝0，由点到直线距离公式得出．解法三：l 1的对边与l 1平行应为x －2y ＋c ＝0形式排除A 、D ；l 2对边也与l 2平行，应为3x －y ＋c 1＝0形式排除C ，∴选B.[解析] 设所求轨迹上任意点P (x ，y )，由题意，得|3x －4y －1|32＋42＝2，化简得3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0.7. [答案] B[解析] ∵k AB ＝k CD ＝13，k BC ＝－12，k AD ＝－3，∴AB ∥CD ，AB ⊥AD .8. [答案] B[解析] 设直线ax ＋3y －9＝0关于原点对称的直线方程为－ax －3y －9＝0，又∵直线ax ＋3y －9＝0与直线x －3y ＋b ＝0关于原点对称，∴－a ＝1，b ＝－9，即a ＝－1，b ＝－9.9. [答案] 3x －y ＋10＝0[解析] 设原点为O ，则所求直线过点A (－3,1)且与OA 垂直，又k OA ＝－13，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y －1＝3(x ＋3)．即3x －y ＋10＝0.10. [答案] 3x ＋4y －18＝0或3x ＋4y ＋12＝0[解析] 设所求直线上任意一点P (x ，y ) 由题意，得|3x ＋4y －3|32＋42＝3， ∴|3x ＋4y －3|＝15，∴3x ＋4y －3＝±15，即3x ＋4y －18＝0或3x ＋4y ＋12＝0.11. [答案] 4[解析] 由题设a 2＋b 2＝c 2，m 2＋n 2表示直线l ：ax ＋by ＋2c ＝0上的点P (m ，n )到原点O 的距离的平方，故当PO ⊥l 时，m 2＋n 2取最小值d ，∴d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c a 2＋b 22＝4c 2a 2＋b 2＝4. 12. [答案] x ＋y －10＝0或x ＋y ＝0[解析] ∵l 1∥l 2其距离d ＝|2－(－3)|2＝52 2.所求直线l 4∥l 3，设l 4：x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋5|2＝522， ∴c ＝0或－10， ∴所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0.13. [解析] 正方形中心G (－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32＝610 . 设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0，由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7. 故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0.由|3×(－1)＋c 2|10＝610，得c 2＝9或c 2＝－3. ∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.14. [解析] 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(1－2)2＋(－2－4)2＝37，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －4－2－4＝x －21－2. 即6x －y －8＝0.点C (－2,3)到6x －y －8＝0的距离h ＝|－12－3－8|62＋(－1)2＝233737，因此，S △ABC ＝12×37×233737＝232.15. [解析] 若所求直线斜率不存在，则它的方程为x ＝2满足要求；若所求直线的斜率存在．设方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，由题设B (－1,1)到该直线距离为3， ∴|－k －1－2k －1|k 2＋1＝3，∴k ＝512，∴直线方程为：y ＋1＝512(x －2)即：5x －12y －22＝0，∴所求直线的方程为：x ＝2或5x －12y －22＝0.16. [解析] 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等，即|t －(3－t )＋1|2＝|t －(3－t )－1|2，解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎨⎧ y －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝32.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)，故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法三：由题意知直线l 的斜率必存在，设l ：y －4＝k (x －2)，由⎩⎨⎧ y －4＝k (x －2)x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1.∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1. 又点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)，即5x －y －6＝0.17. [解析] 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A ′(3，－4)和B ′(3，－9)，截得线段A ′B ′的长为|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，解方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －3)＋1x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝k (x －3)＋1x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. ∵|AB |＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋1k ＋1＋9k －1k ＋12＝25，解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，所求直线的方程为x ＝3或y ＝1.。

【课堂新坐标】高中数学北师大版必修二练习：2.1.1直线的倾斜角和斜率（含答案解析）

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题一、选择题1．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2的倾斜角为θ，若l 1与l 2关于y 轴对称，则θ的值为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180° 【解析】【解析】由对称性知θ＝180°－45°＝135°135°.. 【答案】【答案】 C2．直线l 经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．135°或225°D ．0°【解析】【解析】由k ＝－1－0－1－0＝1，知tan α＝1，α＝45°45°. . 【答案】【答案】 A3．过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则a 等于( ) A ．－8 B ．10 C ．2 D ．4 【解析】【解析】 ∵k ＝4－a a ＋2＝－12，∴a ＝10.【答案】【答案】 B4．已知三点A (2，－3)，B (4,3)及C èæøö5，k 2在同一条直线上，则k 的值是( )A ．7B ．9C ．11D ．12 【解析】【解析】若A 、B 、C 三点在同一条直线上，则k AB ＝k AC ，即3＋34－2＝k2＋35－2，解得k ＝12. 【答案】【答案】 D5．直线l 过点A (1,2)且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C.ëéûù0，12D.ëéøö0，12 【解析】【解析】如图，当k ＝0时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，∴由k OA ＝2－01－0＝2，知k ∈[0,2]．【答案】【答案】 A 二、填空题二、填空题6．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是________．【解析】【解析】 k ＝2a －＋a 3－－a＝a －12＋a ，因为倾斜角为钝角，，因为倾斜角为钝角，所以k <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.【答案】【答案】 (－2,1)7．已知点M 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点N ，若k MN ＝2，则N 点的坐标为________. 【导学号：10690041】【解析】【解析】设N (x,0)或(0，y )，k MN ＝43－x 或4－y 3，∴43－x ＝2或4－y 3＝2，∴x ＝1或y ＝－2，∴N 点的坐标为(1,0)或(0，－2)．【答案】【答案】 (1,0)或(0，－2)8．已知直线l 的倾斜角为60°，将直线l 绕它与x 轴的交点顺时针旋转80°到l ′，则l ′的倾斜角为________．【解析】【解析】如图，如图，顺时针旋转顺时针旋转80°，等价于逆时针旋转100°，故l ′的倾斜角为60°＋100°＝160°160°..【答案】【答案】 160° 三、解答题三、解答题9．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a 、b 的值．的值．【解】【解】由题意可知k AB ＝5－13－1＝2， k AC ＝7－1a －1＝6a －1， k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.10．已知P (3，－1)，M (5,1)，N (1,1)，直线l 过P 点且与线段MN 相交，求：相交，求： (1)直线l 的倾斜角α的取值范围；的取值范围； (2)直线l 的斜率k 的取值范围．的取值范围．【解】【解】k PM ＝1＋15－3＝1，∴直线PM 的倾斜角为45°45°.. 又k PN ＝1＋11－3＝－1，∴直线PN 的倾斜角为135°135°.. (1)由图可知，直线l 过P 点且与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.(2)当l 垂直于x 轴时，直线l 的斜率不存在，∴直线l 的斜率k 的取值范围是k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．[能力提升]1．若图2-2-1-1-1-44中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )图2-2-1-1-1-4 4 A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【解析】由图可知，l 1的倾斜角α1>90°，所以k 1<0，l 2，l 3的倾斜角满足0°0°<<α3<α2<90°，所以k 3<k 2，于是可得k 1<k 3<k 2，故选D.【答案】【答案】 D2．将直线l 向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )A.54B.45 C ．－54 D ．－45【解析】【解析】设点P (a ，b )是直线l 上的任意一点，当直线l 按题中要求平移后，点P 也做同样的平移，平移后的坐标为(a ＋4，b －5)，由题意知，这两点都在直线l 上，∴直线l 的斜率为k ＝b －5－b a ＋4－a＝－54.【答案】【答案】 C3．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为________．【解析】【解析】直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°180°))，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°90°<<α<180°，∴α∈[0°，45°45°]]∪(90°，180°180°))．【答案】【答案】 [0°，45°45°]]∪(90°，180°180°) ) 4．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．的最大值和最小值．【解】【解】如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率，的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.。

高中数学选择性必修二第四章数列单元测试(基础卷)(含答案)

第四章数列单元过关检测基础A 卷解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．已知数列{a n }的前4项为：l ，−12，13，−14，则数列{a n }的通项公式可能为（） A ．a n =1n B ．a n =−1nC ．a n =(−1)n nD ．a n =(−1)n−1n【答案】D 【解析】【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式【详解】正负相间用(−1)n−1表示，∴a n =(−1)n−1n．故选D ．【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律． 2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =，621S =，则数列{}n a 的公差为（） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】A【分析】利用等差数列{a n }的前n 项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n }的公差．【详解】∴S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3∴3∴S 6∴21∴∴316123656212a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩∴ 解得a 1∴1∴d ∴1∴ ∴数列{a n }的公差为1．故选A ∴ 【点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知数列{}n a ，满足111n n a a +=-，若112a =，则2019a =（） A ．2 B ．12C ．1-D ．12-【答案】C 【分析】利用递推公式计算出数列{}n a 的前几项，找出数列{}n a 的周期，然后利用周期性求出2019a 的值. 【详解】111n n a a +=-，且112a =，211121112a a ∴===--，32111112a a ===---， 111a ===，所以，()a a n N *=∈，则数列{}n a 是以3为周期的周期数列，20193672331a a a ⨯+===-∴. 故选C. 【点睛】本题考查利用数列递推公式求数列中的项，推导出数列的周期是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．在等比数列{}n a 中，6124146,5a a a a ⋅=+=，则255a a =( ) A ．94或49B ．32C ．32或23 D ．32或94【答案】A 【分析】根据等比数列的性质得6124146a a a a ⋅=⋅=，又由4145a a +=，联立方程组，解得414,a a 的值，分类讨论求解，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得6124146a a a a ⋅=⋅=，又由4145a a +=，联立方程组，解得41423a a =⎧⎨=⎩或41432a a =⎧⎨=⎩，当41423a a =⎧⎨=⎩时，则1014432a q a ==，此时201022559()4a q q a ===；当41432a a =⎧⎨=⎩时，则1014423a q a ==，此时201022554()9a q q a ===，故选A. 【点睛】值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5．等比数列{}n a 中（） A ．若12a a <，则45a a <B ．若12a a <，则34a a <C ．若32S S >，则12a a <D ．若32S S >，则12a a >【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中，20q >，∴当12a a <时，可得2212a q a q <，及34a a <，故B 正确；但341a a q =和352a a q =不能判断大小（3q 正负不确定），故A 错误；当32S S >时，则12312+++a a a a a >，可得30a >，即210a q >，可得10a >，由于q 不确定，不能确定12,a a 的大小，故CD 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.6．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（） A ．14924B ．7914C ．165D ．5110【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．7．函数()2cos 2f x x x =-的正数零点从小到大构成数列{}n a ，则3a =（）A ．1312π B ．54π C ．1712πD ．76π 【答案】B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再解函数零点得4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.8．已知函数3()13xxf x =+（x ∈R ），正项等比数列{}n a 满足501a =，则 1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++=A ．99B ．101C ．992D ．1012【答案】C 【详解】因为函数31()()()11331x x xf x f x f x ---==∴+-=++（x ∈R ），正项等比数列{}n a 满足2501995011a a a a =∴==，9921ln ln ln ln ...0a a a a +=+=则1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++=992，选C二、多选题A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列【答案】AC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列，不可能是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：AC 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题． 10．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N++-=∈，则（）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=【答案】BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于111222n nn n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==，故D 正确. 故选：BD本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.11．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <【答案】AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.12．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，1a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）1112131.n a a a a ⋯⋯ 2122232.n a a a a ⋯⋯ 3132333.n a a a a ⋯⋯……123.n n n nn a a a a ⋯⋯A ．3m =B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯ D ．()()131314n S n n =+- 【答案】ACD 【分析】根据等差数列和等比数列通项公式，结合13611a a =+可求得m ，同时确定67a 、ij a 的值、得到,,A B C 的正误；首先利用等比数列求和公式求得第i 行n 个数的和，再结合等差求和公式得到D 的正误. 【详解】对于A ，2213112a a m m =⋅=，6111525a a m m =+=+，2235m m ∴=+，又0m >，3m ∴=，A 正确；对于B ，612517a m =+=，666761173a a m ∴=⋅=⨯，B 错误；对于C ，()111131i a a i m i =+-=-，()111313j j ij i a a mi --∴=⋅=-⋅，C 正确；对于D ，第i 行n 个数的和()()()()()1131133131122n n n i a m i i S m-----'===--，()()()()()()3111131258313131312224n n nn n S n n n +∴=-⨯+++⋅⋅⋅+-=-⨯=+-⎡⎤⎣⎦，D 正确. 故选：ACD .本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够灵活应用等差和等比数列的通项公式和求和公式，将新定义的数阵转化为等差和等比数列的问题来进行求解.三、填空题13．已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________. 【答案】20 【分析】先由条件求出1,a d ，算出n S ，然后利用二次函数的知识求出即可【详解】设{}n a 的公差为d ，由题意得135********d a a a a d a a ++++==++即1235a d +=，①2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=即1333a d +=，②由①②联立得139,2a d ==-所以()()22139(2)40204002n S n n n n n n -=+⨯-=-+=--+故当20n =时，n S 取得最大值400 故答案为：20等差数列的n S 是关于n 的二次函数，但要注意n 只能取正整数.14．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的12.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n =_____尺.【答案】2n +1﹣21﹣n【分析】写出两只老鼠打洞的通项公式，利用分组求和即可得解. 【详解】根据题意大老鼠第n 天打洞12n na 尺，小老鼠第n 天打洞112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭尺，所以11111242122n n n S --⎛⎫=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭111221112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--112122n n -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1212n n -=+-故答案为：1212n n -+- 【点睛】此题考查等比数列的辨析，写出通项公式，根据求和公式求和，关键在于熟练掌握相关公式，涉及分组求和.15．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405 【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，9989994052S ⨯=⨯+⨯= 16．如图，互不相同的点12,,,n A A A 和12,,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设n n OA a =.若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】n a =【分析】根据三角形相似和所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，找到与n a 相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式. 【详解】由于11//,n n n n A B A B ++ 所以11,n n n n OA B OA B ++梯形11n n n n A B B A ++ 的面积为11n n OA B ++∆的面积減去n n OA B △的面积，2222i i j jOA B i i OA B j jS OA a SOA a == 则可得 222211,n n n n a a a a +--=- 即递推公式为222112,n n n a a a +-=+故2{}n a 为等差数列，且公差d =2221a a -3=，故21(1)332n a n n =+-⨯=-，得n a =故答案为: n a 【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且462S =-，675S =-，求：（1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n a 的前14项和.【答案】（1）323n a n =-；（2）147. 【分析】（1）由已知条件列出关于1,a d 的方程组，求出1,a d 可得到n a ；（2）由通项公式n a 先判断数列{}n a 中项的正负，然后再化简数列{}n a 中的项，即可求出结果. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得11434622656752a d a d ⨯⎧+=-⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，解得120,3a d =-=，∴()2013323n a n n =-+-⨯=-；（2）∵323n a n =-，∴由0n a <得8n <，22(20323)3433432222n n n n n S n n -+--===-∴123141278141472a a a a a a a a a S S ++++=----+++=-223433431414772222⎛⎫=⨯-⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭()()7424372143147=---=.【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题. 18．数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+ （1）设1n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等差数列（2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）证明过程见详解；（2）21n nS n =+. 【分析】（1）先化简得到()()2112n n n n a a a a +++---=即12n n b b ，再求得1211b a a =-=，最后判断数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列.（2）先求出数列{}n b 的通项公式21n b n =-，再运用“裂项相消法”求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nS 即可. 【详解】解：（1）因为2122n n n a a a ++=-+，所以()()2112n n n n a a a a +++---= 因为1n n n b a a +=-，所以12nn b b ，且1211b a a =-=所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列. （2）由（1）的()11221n b n n =+-⨯=-，所以()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以12233411111n n n S b b b b b b b b +=++++11111111111121323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111.22121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题.19．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【分析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列，所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+，因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n nS ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤，所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ），因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-，则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=，又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a =；（2）()12326n n T n +=-⨯+【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，11a S =，可得{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式n a ；（2）利用错位相减法求和即可求n T ．【详解】（1）当1n =时，11122a S a ==-，解得12a =，当1n >时，由22n n S a =-可得1122n n S a --=-，1n >两式相减可得122n n n a a a -=-，即12nn a a -=，所以{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1222n nn a -=⋅=（2）由（1）(21)2nn b n =-⋅，23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，则23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯()112118(12)2(21)226(21)2232612n n n n n n n n -++++-=+--⨯=---⨯=--⋅--，所以()12326n n T n +=-⨯+．【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.21．已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T . 【答案】（1）32n a n =-；（2）10002631T =. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解. 【详解】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦，将1n =代入上式验证显然适合，所以32n a n =-. （2）因为410a =，34100a =，3341000a =，333410000a =，所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查分组求和法，属于基础题. 22．在①535S =，②13310a a +=，③113n a n a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，________，且1a ，412a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1n n n b a =-，求1ni i b =∑.【答案】（1）32n a n =-；（2）13,213,2n i i n n b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数【分析】（1）利用1a ，412a ，9a 成等比数列∴可得221132690a a d d +-=，若选①：由535S =得：127a d +=，即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式；若选②：由13310a a +=可得152d a =-，即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式；若选③：由113n a n a +=+，可表示出419a a =+，9124a a =+，结合1a ，412a ，9a 成等比数列∴即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()()132n n b n =--，分n 为奇数和偶数，利用并项求和即可求解.【详解】 {}n a 是各项均为正数的等差数列，1a ，412a ，9a 成等比数列. 所以241914a a a =⋅，即()()2111348a d a a d +=⋅+，整理可得221132690a a d d +-=，若选①：535S =，则1545352a d ⨯+=，即127a d +=，由127a d +=可得172a d =-代入221132690a a d d +-=可得：2230d d --=，解得3d =或1d =-（舍）所以11a =，所以()11332n a n n =+-⨯=-，若选②：13310a a +=，即152d a =-，代入221132690a a d d +-=得：2111762450a a -+=，即 ()()11117450a a --=解得：113a d =⎧⎨=⎩或145175017a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩不符合题意；若选③：113n a n a +=+，则419a a =+，9124a a =+，代入241914a a a =⋅可得21126270a a +-= 解得：113a d =⎧⎨=⎩或1273a d =-⎧⎨=⎩不符合题意；综上所述：113a d =⎧⎨=⎩， 32n a n =-，（2）()()132n n b n =--， ()()()()()12311231111111n n n i n n i b a a a a a --==-+-+-+-+-∑ ()()()()114710135132n n n n -=-+-++--+-- 当n 为偶数时，13322n i i n n b ==⨯=∑，当n 为奇数时，()11131322n i i n n b =--=-+-⨯=∑，所以13,213,2n i i n n b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数. 【点睛】关键点点睛：本题得关键点是分别由条件①②③结合1a ，412a ，9a 成等比数列计算出1a 和d 的值，由{}n a 是各项均为正数的等差数列，所以10a >，0d >，第二问中()1n n n b a =-正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分n 为奇数和偶数讨论.。

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高一数学必修二基础练习卷班别 ____ 姓名________ 座号_____一、选择题1 .用符号表示点A在直线I上，I在平面G外”正确的是（）A. A I,丨二匚B. A l,l「C. A 丨，丨二：D. A I ,l「2、正棱柱L长方体?=（）A. ■正棱柱｝B.长方体1C. ■正方体｝D.不确定3、已知平面a内有无数条直线都与平面B平行，那么（）A . all 3 B. a与B相交C . a与3重合D . al 3或a与3相交4、在空间四边形ABCD各边AB BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果与EF、GH能相交于点P，那么A、点P不在直线AC上B、点P必在直线BD上C、点P必在平面ABC内D、点P必在平面ABC外5、已知正方体的ABC^A1B1C1D1棱长为1，则三棱锥C -BC i D的体积是（）1 1A. 1B.C.—3 26、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位A.24 n 捅12 n cn3B.15 n c n i 12 n cn3C.24 n cn, 36 n cn3D.以上都不正确1D.—6cm）,则该几何体的表面积和体积为：（7. 利用斜二测画法，一个平面图形的直观图是边长为（）A .3B 2C 2.28. 半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（1的正方形，如图所示.则这个平面图形的面积为A .仝二R324 B. 乜二R38C .乜二R3249.用与球心距离为1的平面去截面面积为二，则球的体积为（） 2 218 .圆x y -2y -1 = 0的半径为 ()A.1B.2C. 3D. 219、直线 3x+4y-13=0 与圆（x -2）2，（ y - 3）2 =1 的位置关系是：（）A.相离；B.相交；C.相切；D.无法判定.20 .圆：x 2 y 2 -2x -2y • 1 =0上的点到直线x - y =2的距离最大值是（f —A 、2B 、12C 、1 -D 、12.2 232-： A. B. 3 10. 已知m, n 是两条不同直线，:■A .若m IN- ,n II 〉,则m II nC .若mil :■ ,m | ,则:-I :11. 已知点 A(1,2)、B (-2, 3)、C (4, 1 A . - B . 12 12. 直线x -3y T =0的倾斜角是( A. 300 B. 600 C. 1200 - C. D.3 ,'-,是三个不同平面，下列命题中正确的是 B .若口丄？，B 丄？,则a II P D .若m 丨r , n 丨-,则m I n y ）在同一条直线上，贝U y 的值为（3C. - D . -12 ）.D. 150013. 直线I 经过两点A1,2、B 3,4，那么直线I 的斜率是A. -1B. -3C. 1D. 314. 过点P （T,3）且垂直于直线x 「2y ，3 = 0的直线方程为（）A . 2x y-1=0B . 2x y-5=0C. x 2y-5=0 D . x-2y 7=0kA . (0,0)B . (0,1)C . (3,1)D . (2,1)16 .两直线3x • y -3 =0与6x my ^0平行，则它们之间的距离为（A . 4B . ■— 13 17 .下列方程中表示圆的是( A . x 2 + y 2 + 3x + 4y + 7=0C . 2x ?+ 2y 2— 3x — 4y — C .D . —26 20 )B . x 2+ 2y 2— 2x + 5y + 9=0D . x 2— y 2— 4x — 2y +且AC 二BC , PC 与O O 所在的平面成45角，E 是PC 中点.F 为PB 中点.21 .直线x • y =1与圆x 2 • y 2 -2ay =0(a • 0)没有公共点则a 的取值范围是A . (0^.2 -1)B .(迈-1,,2 1)C . (-.2-1^2 1)D . (0,、2 1)22 .直线y = kx+3与圆(x —2)2+(y —3)2 =4相交于 M,N 两点，若MN > 2 J3 ,则k 的取值范围是( )3 门 Ii 43 3 I_ 片 /—q 2 J A . ,0 B • - ，- C . -V 3, V 3】 D .J-—，0 ]4 」 [33- -] 3 」 23.菱形ABCD 勺相对顶点A(1,-2),C(-2,-3)，则对角线BD 所在的直线方程为( )A. 3x y 4=0B . 3x y_4 = 0C . 3x -y1=0D . 3x -y -1=0二、填空题 23 .点P(1,—1)至煩线x — y+1=0的距离是 ___________24 .若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的侧面积为25 .右图所示的直观图，其原来平面图形的面积是26 .两平行直线x • 3y -4二0与2x • 6y -9 = 0的距离是 __________________27 .直线x -2y • 5 =0与圆x 2 • y 2 =8相交于A 、B 两点，则 AB = ____________28 .已知点A(-2, 3, 4),在y 轴上求一点 B ,使|AB|=7 ,则点B 的坐标为29 .如图，圆柱的轴截面是边长为5cm 距离为 ____________ . 的正方形ABCD,则圆柱侧面上从三、解答题30 .如图，已知PA — O O 所在的平面, AB 是O O 的直径，AB =2, C 是O O 上一点, 正视图B A A 至UC 的(1) 求证：EF〃面ABC ;(2) 求证：EF .1 面PAC ;(3) 求三棱锥B-PAC的体积.解(1 )在A PBC中E、F分别是PC、PB的中点所以EF为APBC的中位线所以EF // BC又EF不在面ABC内，BC在面ABC内所以EF //面ABC(2)AB是。

O的直径，C是O O上一点所以AC丄BC因为PA_ O O所在的平面所以PA丄BC又EF // BC所以AC丄EF PA丄EF且PA P AC = A所以EF _面PAC(3)由(2)知AC 丄BC 且AC = BC AB = 2所以AC = BC = , 2PA_ O O所在的平面，所以/ PCA为PC与O O所在的平面所成的角,所以Z PCA = 45°所以PA = AC = .. 2I—1 1 1 一厂厂“2所以V B—PAC = V P— BAC = S A ABC ?PA=匚X- X. 2 X、. 2 心 2 =-3 3 2 3 31 .已知圆C经过A(3,2)、B(1,6)两点,且圆心在直线y = 2x上.(1)求圆C的方程；⑵若直线I经过点P(-1,3)且与圆C相切,求直线I的方程.设圆C的方程为(x —a)2 + (y —b)2二r2则有b= 2a2 2 2(3 —a) +(2 —b) = r2 2 2 (1 —a) +(6 —b) = r解得a = 2,b = 4,r2 = 5圆C 的方程为(x —2)2 + (y —4)2 = 5设直线I的方程为y —3二k(x + 1)即kx —y+k + 3=0由题意得|2k — 4 + k + 3「5解得k =」或k = 2 V'k2 +1 2所以直线I的方程为x+2y — 5 = 0或2x —y+ 5 = 0(1) 求证：直线BD1//平面PAC ；(2) 求证：平面PAC _平面BDD1；(3) 求证：直线PB j _平面PAC。

32、解：(1)设AC和BD交于点0,连PO,由P, 0分别是DD1, BD的中点，故P0〃BD1 , 所以直线BD1//平面PAC -- (4分)(2)长方体ABCD - A1B1C1D1中，AB = AD = 1, 底面ABCD是正方形，则AC _BD又DD j _ 面ABCD，贝U DD j _ AC ,所以AC_面BDD1，则平面PAC _平面BDD12 2 2(3)PC =2, PB1 =3, B1C =5,所以△ PB i C 是直角三角形,所以PB j _ PC ,同理PB j _ PA,且PA交PC于点P,所以直线PB j _平面PAC。

33 .已知两条直线I1 : x - y，4=0与I2: 2x • y • 2 = 0的交点P，求满足下列条件的直线方程(1) 过点P且过原点的直线方程；(2) 过点P且平行于直线l3: x-2y-1=0直线l的方程;解:( 1)联立方程组x一y 4 = 0解得x一2l2x + y+2=0 \y = 2所以点P(-2,2)所求直线方程为口二口2-0 -2-032.如图，长方体ABCD - A i B i C1D1 中，AB = AD = 1，AA"i = 2，点P 为DD1的中点。

(2)由题意可设直线方程为 x _2y • m = 0，又直线过点 P(_2,2) 则有-2-2 2 • m = 0可得m = 634.己知圆 C: x 2+y 2— 2x — 4y — 20=0,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y — 7m — 4=0(m € R)(1) 证明：无论m 取何值直线I 与圆C 恒相交.(2) 求直线l 被圆C 截得的最短弦长，及此时直线I 的方程.解：由圆 C: x 2+y 2— 2x — 4y — 20=0,得(x-1)2 ( y _ 2)2 = 25(1)直线 l: (2m+1)x+(m+1)y — 7m — 4=0(m € R)可化为m(2x y -7) (x y -4) = 0所以直线直线l 恒过定点P (3,1)又(3 -1)2 (1 -2)2 =5 ::: 25，即点 P (3,1)在圆 C 内所以无论m 取何值直线l 与圆C 恒相交.(2)由题目可知，当PC _直线丨时，直线l 被圆C 截得的最短弦长1-2-2m -1 则 k PcL k l _ -1 所以有 ----------- * -------- _ _1 3-1 m 13解得m _ __ 4 由方程组 2x y - 7 0 x y -4 = 0 解得x = 3 ly t。