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2007年韶关市高考模拟测试数学试题(理科)第一部分 选择题 (共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数(1)(1)i i +-= A . 2 B . 2-C . 2iD . 2i -2.220(3)10,x k dx k +==⎰则A .1B .2C .3D .43. 在二项式6(1)x -的展开式中，含3x 的项的系数是A . 15-B . 15C .20-D .204. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在[50,60)的汽车大约有A .30辆B . 40辆C .60辆D .80辆5．某市在一次降雨过程中,降雨量()y mm 与时间(min)t 的函数关系可近似地表示为2()100t f t =,则在时刻10min t =的降雨强度为A. 1/min 5mmB. 1/min 4mmC. 1/min 2mm D. 1/min mm6. 已知函数2()2cos 2sin cos 1f x x x x =+-的图象与()1g x =-的图象在y 轴的右侧交点按从横坐标由小到大的顺序记为123,,,D D D ，则57D D ＝A . πB .32π C .2π D .52π 7. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x0.２ 0.６ １.０ １.４ １.８ ２.２ ２.６ 3.0 ３.４ … x y 2= 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … 2x y = 0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程22xx =的一个根位于下列区间的A .(0.6,1.0)B . (1.4,1.8)C .(1.8,2.2)D .(2.6,3.0)0.040.030.020.01频率组距时速80706050408. 若定义在R 上的减函数()y f x =,对于任意的,x y R ∈,不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--成立.且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,则当14x ≤≤时,yx的取值范围 A .1[,1)4- B . 1[,1]4- C .1(,1]2- D .1[,1]2-第二部分 非选择题(共110分)二.填空题：每小题5分, 共30分.9. 22416x y +=的离心率等于__________,与该椭圆有共同焦点，且一条渐近线是30x y +=的双曲线方程是___________________.10. 运行右边算法流程，若x 输入3时，输出y 的值为________.11. 下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸， 它的体积为 .否否3y x =-开始输入x 1x <-1x ≤是2y x =1y x =+是输出y结束左视图俯视图主视图224242PTC DBAO12. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和, 对于等比数列{}n a ,有命题:p 若396,,S S S 成等差数列,则285,,a a a 成等差数列成立；对于命题q ：若,,m n l S S S 成等差数列, 则 ________________成等差数列.请将命题q 补充完整,使它也是真命题.(只要一个符合要求的答案即可)选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分. 13. 不等式125x x ++-≥的解集为 .14.在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程是sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________________.15. 已知：如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3， BD ＝6，则PB ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)如图,在ABC ∆中,25,25,cos 45B AC C π===. (Ⅰ)求sin A ;(Ⅱ) 记BC 的中点为D ,求中线AD 的长.17.(本题满分12)在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题。

规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为12. (Ⅰ)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;(Ⅱ)设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个,求的分布列及数学期望.FEDCBAP18. (本题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD AD ==,若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (Ⅰ) EF //平面PAD ；(Ⅱ) 求证:平面PDC ⊥平面PAD ； (Ⅲ) 求二面角B PD C --的正切值.19. (本题满分14分)已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-，0MA AP ⋅=.（Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.20. (本题满分14分)已知,,,a b c R ∈且a b c <<，函数2()2f x ax bx c =++满足(1)0f =，()f t a =-，(t R ∈≠且t 1)(Ⅰ)求证: 0,0a c <>； (Ⅱ)求证: 01ba≤<； (Ⅲ)若不等式: ()f x a <-恒成立，求x 的取值范围.21. (本题满分14分)若对于正整数k 、()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(3)3g =，(20)5g =， 并且(2)()()g m g m m N *=∈,设(1)(2)(3)(2)n n S g g g g =+++（Ⅰ）求S 1、S 2、S 3 ； （Ⅱ）求n S ； （III ）设11n n b S =-，求证数列{}n b 的前n 顶和32n T <．2007年韶关市高三模拟测试数学试题(理科)答案及评分标准一、选择题答案 AACCA ACD二、填空题 9. 32，22193x y -= (第一空2分，第二空3分)， 10. 4 ， 11. 8， 12. ,,()m k n k l ka a a k N *+++∈开放题，答案不唯一. 13.(,2][3,)x ∈-∞-+∞，14.2sin ρθ=, 15. 15三、解答题16.(本题满分12分) 解: (Ⅰ)由25cos 5C =, C 是三角形内角，得25sin 1cos 5C C =-=……………..2分∴ sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+………………………………………..5分22253105252510=⋅+⋅=…………………………………………………………6分 (Ⅱ) 在ACD ∆中,由正弦定理，sin sin BC AC A B = ，25310sin sin 1022AC BC A B ==⋅6= …………………………………………………………………………………………………..9分125,32AC CD BC ===, 25cos 5C =,M EDCP由余弦定理得:222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅=25209225355+-⨯⨯⨯=…………………………………12分 17.(本题满分12分)解: (Ⅰ)设事件A 表示“甲选做14题”,事件B 表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB AB +”,且事件A 、B 相互独立…………………………..2分∴ ()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+ ………………………………..4分=11111(1)(1)22222⨯+-⨯-=………………………………6分 (Ⅱ)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.且1(4,)2B ξ.∴ 4444111()()(1)()(0,1,2,3,4)222k k k k P k C C k ξ-==-==………………….8分 所以变量ξ的分布列为…………………………………………………………………………………………….10分113110123421648416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 或1422E np ξ==⨯=…………..12分 18.(本题满分14分)(Ⅰ)证明：连结AC ，在CPA ∆中EF//PA ………………………………………………………………..2分 且PA ⊆平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴PAD EF 平面//…………………………………………………………………………………………………….4分 (Ⅱ)证明：因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD面ABCD AD = CD AD ⊥所以，CD ⊥平面PAD CD PA ∴⊥………………………………………………………………………6分又22PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形，且2PAD π∠=即PA PD ⊥…………………………………………………………………………………………………………………….8分C DP D D =，且CD 、PD ⊆面ABCD PA ⊥面PDC 又PA ⊆面PAD面PAD ⊥面PDC ……………………………………………………………..10分(Ⅲ)解：设PD 的中点为M ,连结EM ,MF ,则EM PD ⊥ξ0 1 2 3 4P116 14 38 14 116由(Ⅱ)知EF ⊥面PDC , EF PD ⊥ PD ⊥面EFM PD MF ⊥EMF ∠是二面角B PD C --的平面角……………………………………….12分Rt FEM ∆中，1224EF PA a == 1122EM CD a ==224tan 122aEF EMF EM a ∠===故所求二面角的正切值为22……………………………….14分 另解：如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF .∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,PAD ABCD AD ⋂=平面平面, ∴PO ABCD ∴⊥平面,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥. ∵22PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,2a OP OA ==.以O 为原点,直线,,OA OF OP 为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,则有(,0,0)2a A ,(0,,0)2a F ,(,0,0)2a D -,(0,0,)2a P ,(,,0)2a B a ,(,,0)2aC a -. ∵E 为PC 的中点, ∴(,,)424a a aE -.（Ⅰ）易知平面PAD 的法向量为(0,,0)2a OF =而(,0,)44a aEF =-,且(0,,0)(,0,)0244a a aOF EF ⋅=⋅-=, ∴EF //平面PAD .(Ⅱ)∵(,0,)22a a PA =-,(0,,0)CD a = ∴(,0,)(0,,0)022a aPA CD a ⋅=-⋅=,∴PA CD ⊥,从而PA CD ⊥,又PA PD ⊥,PDCD D =,∴PA PDC ⊥平面,而PA PAD ⊂平面, ∴平面PDC ⊥平面PAD (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(,0,)22aa PA =-.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =.∵(,0,),(,,0)22a a DP BD a a ==-,z yxOFEDCBAP∴由0,0n DP n BD ⋅=⋅=可得002200aa x y z a x a y z ⎧⋅+⋅+⋅=⎪⎨⎪-⋅+⋅+⋅=⎩,令1x =,则1,1y z ==-, 故(1,1,1)n =-∴6cos ,3232n PA a n PA n PAa ⋅<>===⨯, 即二面角B PD C --的余弦值为63,二面角B PD C --的正切值为22. 19.(本题满分14分) 解（Ⅰ）解：设P (,)x y 则(,)A AP x x y =- (,)B PB x y y =-- ……………………………………………...2分由AP PB =- 得 2A x x =，2B y y = ……………………………………………..4分 又(,2)A MA x = (,)A AP x x y =- 即(2,2)MA x =，(,)AP x y =-……………6分 由0MA AP ⋅= 得 2(0)x y y =≥……………………………………………………..8分 （Ⅱ）设11(,)E x y ，22(,)F x y因为'y x = ，故两切线的斜率分别为1x 、2x ……………………………10分由方程组22(2)x y y k x ⎧=⎨=+⎩ 得2240x kx k --= 122x x k += 124x x k ⋅=- (12)当12l l ⊥时，，121x x ⋅=-，所以 18k =所以，直线l 的方程是 1(2)8y x =+ ……………………………….14分20.(本题满分14分) (Ⅰ)证:2()2f x ax bx c =++ (1)20(1f a b c ∴=++= 又424a b c a a b c c <<∴<++<…………………………2分即4040,0a c a c <<∴<>…………………………………4分(Ⅱ) 证:由(1)得:2c a b =--代入a b c <<结合0a <知:113ba-<<…………(2)………6分将2c a b =--代入22at bt c a ++=-得2220at bt b +-=,即方程2220ax bx b +-=有实根,故22480()2()02b b b b ab a a a ∆=+≥∴+≥∴≤-或0ba≥…………………(3)……………7分联立(2) (3)知01ba≤<………………………………………8分 (Ⅲ)解:由()f x a <-得:220ax bx a c +++<20220b ba x x a a <∴+⋅-⋅>…………………9分即2(22)0bx x a -⋅+>……………………………………………11分令2()(22)b b g x x a a =-⋅+,据题意()0bg a>对[0,1]b a ∈恒成立故22(1)02203131(0)00g x x x x g x ⎧->+->⎧⎪⇒⇒<-->-⎨⎨≥≥⎩⎪⎩或…………13分所以: 不等式: ()f x a <-的解集为:{}|1313x x x <-->-+或………14分 21.(本题满分14分)解：（Ⅰ）1(1)(2)112S g g =+=+=……1ˊ 2(1)(2)(3)(4)11316S g g g g =+++=+++=……2ˊ3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1131537122S g g g g g g g g =+++++++=+++++++=……3ˊ （Ⅱ）(2)()g m g m =，n N +∈……4ˊ(1)(2)(3)(4)(21)nnn S g g gg gg ∴=+++++-+ [(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(2)]n n g g g g g g g =++++-++++1[135(21)][(21)(22)(22)]n n g g g -=++++-+⨯+⨯++……5ˊ11(121)2[(1)(2)(2)]2n n n g g g --+-=+++……6ˊ114n n S --=+……7ˊ则114n n n S S ---=112211()()()n n n n n S S S S S S S S ---∴=-+-++-+……8ˊ12244442n n --=+++++14(41)12244133n n --=+=+-……9ˊ（Ⅲ）221333333[]141(2)1(21)(21)22121n n n n n n nn b S =====-----+-+……10ˊ 12233311311311311()()()()22121221212212122121n n Tn =-+-+-++--+-+-+-+22311311111111[1]22121212121212121n n n n --=-+-+++-+-+-+--+-+ 23131111111[1()()()]2332121212121n n n -=--------+-+-+ ……11ˊ ∴当1n =时，11312T b ==<成立……12ˊ 当2n ≥时，111111121212202121(21)(21)(21)(21)n n n n n n n n n----------==≥+-+-+-……13ˊ 223131111111[1()()()221212*********n n n Tn -∴=-------+-+-+-+33122<= ……14ˊ。