2019年人教版高考数学一轮复习12.6几何概型优质课教案
几何概型一轮复习教学设计
几何概型一轮复习教学设计一、教学设计背景与目标几何学作为数学的重要分支之一，是培养学生空间想象力和逻辑思维的关键。
然而，由于内容较为抽象和复杂，学生在学习过程中常常遇到困难。
因此，为了帮助学生夯实几何概型的复习内容，本教学设计旨在通过一轮复习来加深学生对几何概型知识的理解和应用能力。
本教学设计的目标如下：1. 复习几何概型的基本概念和定理，加深学生对几何学的理解。
2. 提升学生的几何概型解题能力，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3. 培养学生复习和总结的能力，为后续学习打下坚实的基础。
二、教学内容与方法1. 复习内容：（1）基本几何概念：点、线、面、角等；（2）方向与位置关系：平行、垂直、相交等；（3）三角形的性质与分类：等边三角形、等腰三角形、直角三角形等；（4）四边形的性质与分类：矩形、正方形、菱形等；（5）圆的性质与计算：半径、直径、弧长、扇形面积等。
2. 教学方法：（1）总结与分析法：通过教师讲解，引导学生总结几何概型知识点，并分析其应用场景和解题方法。
（2）示范与练习法：教师通过示范解题，引导学生进行相关题目的练习，巩固知识点的理解和应用能力。
（3）互动与合作法：组织学生进行小组合作学习，通过互动交流和合作解题，促进学生的思维发展和团队意识。
三、教学过程安排1. 教学引入（10分钟）教师通过提问和教学课件等方式，引导学生回顾几何概型的基本概念，并与现实生活中的物体进行联系。
例如，提问：你身边有哪些物体涉及到几何概型？2. 概念与定理复习（30分钟）教师通过讲解的方式复习几何概型的基本概念和定理，引导学生思考其应用场景和解题方法。
例如，讲解角的概念时可用手势示范，并引导学生找出周围环境中涉及到角的例子。
3. 解题示范与练习（40分钟）教师通过解题示范，引导学生分析解题步骤和思考方法。
然后，组织学生进行相关题目的练习，并在过程中及时给予指导和反馈。
4. 小组合作学习（30分钟）教师组织学生分组进行小组合作学习，通过互动交流和合作解题，促进学生的思维发展和团队意识。
高考数学一轮复习 123几何概型课件 文
●两种类型 (1)线型几何概型：基本事件只受一个连续的变量控制的概 型． (2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一 般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事 件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
1．在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数a，则这
个实数满足17＜a＜20的概率是( )
1
1
A.3
B.2
3
7
C.10
D.10
解析：∵a∈(15,25]， ∴P(17＜a＜20)＝2205－ －1175＝130.
答案：C
2．有一杯2 L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中 取0.1 L水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( )
A．0.01 B．0.02 C．0.05 D．0.1 解析：因为取水是随机的，而细菌在2 L水中的任何位置是等 可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P＝02.1＝0.05.
能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的 思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以
用“事件A包含的基本事件 □4 __________________”与“试验的 基本事件所占的□5 ______________________”之比来表示．
3．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下
P(A)＝12×2 2＝12. 答案：12
考点二 与面积有关的几何概型 【例2】 设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中
任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个
解析：由Δ＝m2－434m＋1<0得－1<m<4. 即A＝{m|－1<m<4}． 由lg m有意义知m>0，即使lg m有意义的范围是(0,4)， 故所求概率为P＝4－4－－01＝45.
2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(I)
2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(I)【教学目标】掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题.【知识梳理】1．定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．重要提示1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面α的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β α=l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α．2．三种垂直关系的证明(1)线线垂直的证明①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”；②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直⇒线线垂直”；③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”．(2)线面垂直的证明①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直⇒线面垂直”；②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”；③利用“面面垂直的性质定理”，即由“面面垂直⇒线面垂直”；④利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面”.(3)面面垂直的证明①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角；②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直⇒面面垂直”.【点击双基】1、在三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD,⊿BCD是锐角三角形，那么必有……（）A、平面ABD⊥平面ADCB、平面ABD⊥平面ABCC、平面ADC⊥平面BCDD、平面ABC⊥平面BCDCB E H ASm AP n B α a γ β 2、直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,AC=AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是（ ）A 、aB 、 2 aC 、22a D 、 3 a 3、设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：① l ⊥α; ② l ∥β;③α⊥β,若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数是（ ）A 、3B 、2C 、 1D 、 04、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成的二面角A 1-BD-A 的正切值为 。
高中数学《几何概型》教案、教学设计
高中数学《几何概型》教案、教学设计
一、教学目标
【知识与技能】
理解几何概型的特点，掌握几何概型的概率计算公式，并能应用公式解决实际问题。
【过程与方法】
经历归纳几何概型的特点以及推导几何概型的概率计算公式的过程，提升抽象概括能力与逻辑推理能力。
【情感、态度与价值观】
体会数学与生活的联系，养成良好的数学思维习惯。
二、教学重难点
【重点】几何概型的特点以及概率计算公式。
【难点】几何概型特点的归纳以及概率计算公式的推导。
三、教学过程
(一)导入新课
回顾古典概型。
出示问题情境：往一方格中投一个石子。
请学生思考石子可能落在哪里，如何求概率。
在学生明确事件所有的可能结果是无限个，无法用古典概型求解的情况下，说明今天这节课将解决这样的问题。
引出课题。
(二)讲解新知
出示问题情境：如图有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向
区域时，甲获胜，否则乙获胜。
请学生在两种情况下分别求出甲获胜的概率是多少。
(四)小结作业
小结：今天有什么收获?回顾几何概型的特点以及概率计算公式。
作业：从几何概型的角度思考，是否概率为0的事件都是不可能事件，概率为1的事件都是必然事件?
四、板书设计。
2019版高考数学一轮复习第12章 第2讲古典概型与几何概型
第二讲古典概型与几何概型题组1求古典概型的概率1.[2017天津,3,5分][文]有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A. B. C. D.2.[2016全国卷Ⅰ,3,5分][文]为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A. B. C. D.3.[2016全国卷Ⅲ,5,5分][文]小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A. B. C. D.4.[2016北京,6,5分][文]从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.B.C. D.5.[2015 新课标全国Ⅰ,4,5分][文]如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A. B.C. D.6.[2014湖北,5,5分][文]随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则()A.p1<p2<p3B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2D.p3<p1<p27.[2016四川,13,5分][文]从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是.8.[2014新课标全国Ⅱ,13,5分][文]甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.9.[2017山东,16,12分][文]某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.10.[2016山东,16,12分][文]某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图12-2-1所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:图12-2-1①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.题组2几何概型的概率计算11.[2016全国卷Ⅱ,8,5分][文]某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A. B. C. D.12.[2015 山东,7,5分][文]在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo(x+)≤1”发生的概率为()A. B. C. D.13.[2015湖北,8,5分][文]在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,p2为事件“xy≤”的概率,则()A.p1<p2<B.p2<<p1C.<p2<p1D.p1<<p214.[2017江苏,7,5分][文]记函数f(x)=-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.15.[2015重庆,15,5分][文]在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为.16.[2014福建,13,4分][文]如图12-2-2,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为.图12-2-217.[2014重庆,15,5分][文]某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字作答)A组基础题1.[2018益阳市、湘潭市高三调考,2]已知a∈{-2,0,1,2,3},b∈{3,5},则函数f(x)=(a2-2)e x+b为减函数的概率是()A. B. C. D.2.[2018益阳市、湘潭市高三调考,4]若正方形ABCD的边长为4,E为四边上任意一点,则AE 的长度大于5的概率等于()A. B. C. D.3.[2018广东七校联考,9]在如图12-2-3所示的圆形图案中有12片树叶,构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为,若在圆内随机取一点,则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()图12-2-3A.2-B.4-C.-D.4.[2018惠州市一调,9][数学文化题]我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图12-2-4是赵爽的弦图.弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实=弦2,化简得:勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1∶,若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为()图12-2-4A.866B.500C.300D.1345.[2018陕西省部分学校摸底检测,14]连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,若向量a=(m,n)与向量b=(1,-2)的夹角为θ,则θ为锐角的概率是.6.[2018辽宁五校联考,15]在区间[-1,1]上随机取一个数k,则直线y=k(x+2)与圆x2+y2=1有公共点的概率为.7.[2017沈阳市三模,13]在区间(0,2)中随机地取出两个数,则两数之和小于1的概率是.B组提升题8.[2018成都市高三摸底测试,9]小明在花店定了一束鲜花,花店承诺将在第二天早上7:30~8:30之间将鲜花送到小明家.若小明第二天离开家去公司上班的时间在早上8:00~9:00之间,则小明在离开家之前收到这束鲜花的概率是()A. B. C. D.9.[2018陕西省部分学校摸底检测,9]在球O内任取一点P,则点P在球O的内接正四面体中的概率是()A. B. C. D.10.[2018石家庄市重点高中高三摸底考试,10]一个三位数,个位、十位、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当y>x,y>z时,称这样的数为“凸数”(如243),现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为()A. B. C. D.11.[2018湖北省部分重点中学高三起点考试,6]某商场对某一商品搞活动,已知该商品每一个的进价为3元,售价为8元,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售,该商场统计了近10天这种商品的销售量,如图12-2-5所示.设x为这种商品每天的销售量,y为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率为()图12-2-5A. B. C. D.12.[2018长春市高三第一次质量监测,18]长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉,在第二季“名师云课”中,数学学科共计推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计:(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量超过3 000的节数;(2)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间[0,1 000]内,则需要花费40分钟进行剪辑,若点击量在区间(1 000,3 000]内,则需要花费20分钟进行剪辑,点击量超过3 000,则不需要剪辑,现从(1)中选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑,求剪辑时间为40分钟的概率.答案1.C从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有10种不同取法:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4种,故所求概率P==.故选C.2.C从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,共有6种选法.红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法,根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为=.故选C.3.C开机密码的所有可能结果有:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1), (N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是,故选C.4.B设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊,从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人,有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁), (丙,戊),(丁,戊),共10种情况,其中甲被选中的情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种,所以甲被选中的概率为=.故选B.5.C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,有{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}共10个基本事件,其中这3个数能构成一组勾股数的只有{3,4,5},故所求概率为,故选C.6.C总的基本事件个数为36,向上的点数之和不超过5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个, 则向上的点数之和不超过5的概率p1==;向上的点数之和大于5的概率p2=1-=;向上的点数之和为偶数与向上的点数之和为奇数的个数相等,故向上的点数之和为偶数的概率p3=.即p1<p3<p2,选C.7.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,(a,b)的所有可能结果有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12种, 其中log28=3,log39=2为整数,所以log a b为整数的概率.8.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红,白),(白,红),(红,蓝),(蓝,红),(白,蓝),(蓝,白),(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共9种,他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共3种.故所求概率P==.9.(Ⅰ)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3 },{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个.则所求事件的概率P==.(Ⅱ)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个.则所求事件的概率P=.10.用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.(Ⅰ)记“xy≤3”为事件A.则事件A包含的基本事件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.(Ⅱ)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的基本事件共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)==.事件C包含的基本事件共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=.因为>,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.11.B记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A.则P(A)==.12.A由-1≤lo(x+)≤1得lo2≤(x+)≤,所以≤x+≤2,解得0≤x≤,故事件“-1≤(x+)≤1”发生的概率为=.故选A.13.D如图D 12-2-3所示,事件“x+y≤”的概率p1=△==<,事件“xy≤”的概率四边形=曲边梯形>,所以p1<<p2,故选D.p2=四边形曲边梯形四边形图D 12-2-314.由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,则D=[-2,3],则所求概率P=-(-)=.-(-)15.设方程x2+2px+3p-2=0的两个根分别为x1,x2,由题意,得-(-), -,-,结合0≤p≤5,解得<p≤1或2≤p≤5,所以所求概率P=(-)(-)=.16.0.18依题意,得阴影正方形=,所以阴影=,解得S阴影=0.18.17.设小张与小王的到校时间分别为7:00后第x分钟,第y分钟,根据题意可画出图形,如图D 12-2-4所示,则总事件所占的面积为(50-30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A={(x,y)|y-x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},如图D 13-2-4中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为×15×15=,所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)==.图D 12-2-4A组基础题1.C函数f(x)=(a2-2)e x+b为减函数,则a2-2<0,又a∈{-2,0,1,2,3},故只有a=0,a=1满足题意,又b∈{3,5},所以函数f(x)=(a2-2)e x+b为减函数的概率P==.故选C.2.D设M,N分别为BC,CD靠近点C的四等分点,则当E在线段CM,CN(不包括M,N)上时,AE 的长度大于5,因为正方形的周长为16,CM+CN=2,所以AE的长度大于5的概率为=,故选D.3.B设圆的半径为r,根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S=24(πr2-r2)=4πr2-6r2,圆的面积S'=πr2,所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为=4-,故选B.4.D设勾为a,则股为a,所以弦为2a,小正方形的边长为a-a,所以题图中大正方形的面积为4a2,小正方形的面积为(-1)2a2,所以小正方形与大正方形的面积比为(-)=1-,所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为(1-)×1 000≈134.5.因为向量a,b的夹角为锐角,所以a·b>0且a,b不共线,所以m-2n>0且n≠-2m.由题意得向量a一共有36个,其中满足m-2n>0且n≠-2m的共有6个,分别为(3,1),(4,1),(5,1),(5,2), (6,1),(6,2),所以θ为锐角的概率是.6.因为直线y=k(x+2)与圆x2+y2=1有公共点,所以≤1,解得-≤k≤,所以所求概率为=.7.设在区间(0,2)中随机取出的两个数为x,y,根据题意可画出图形,如图D 12-2-5,则总事件所占的面积为2×2=4.记两数之和小于1为事件A,则A={(x,y)|x+y<1,0<x<2,0<y<2},如图D 12-2-5中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为×1×1=,所以两数之和小于1的概率为P(A)==.图D 12-2-5B组提升题8.D如图D 12-2-6,设送花人到达小明家的时间为x,小明离家去上班的时间为y,记小明离家前能收到鲜花为事件A.(x,y)可以看成平面中的点,试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|7.5≤x≤8.5,8≤y≤9},这是一个正方形区域,面积为SΩ=1×1=1,事件A所构成的区域为A={(x,y)|y≥x,7.5≤x≤8.5,8≤y≤9},即图中的阴影部分,面积为S A=1-××=.这是一个几何概型,所以P(A)==,故选D.图D 12-2-69.C设球O的半径为R,球O的内接正四面体的棱长为a,所以正四面体的高为a,所以R2=(a)2+(-R)2,即a=2R,所以正四面体的棱长为,底面面积为××R=R2,高为,所以正四面体的体积为××=R3.又球O的体积为πR3,所以P点在球O的内接正四面体中的概率为=,故选C.10.B从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423 ,431,432,其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342,共8个结果,所以这个三位数是“凸数”的概率为=,故选B.11.B日销售量不少于20个时,日利润不少于96元,其中日销售量为20个时,日利润为96元;日销售量为21个时,日利润为97元.从条形统计图可以看出,日销售量为20个的有3天,日销售量为21个的有2天.日销售量为20个的3天记为a,b,c,日销售量为21个的2天记为A,B,从这5天中任选2天,可能的情况有10种:(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B),其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种,故所求概率P=.故选B.12.(1)根据分层抽样,从36节云课中选出6节课,其中点击量超过3 000的节数为×12=2.(2)在(1)中选出的6节课中,点击量在区间[0,1 000]内的有1节,点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节.设点击量在区间[0,1 000]内的1节课为A1,点击量在区间(1 000,3 000]内的3节课分别为B1,B2,B3,点击量超过3 000的2节课分别为C1,C2.从中选出2节课的方式有A1B1,A1B2,A1B3,A1C1,A1C2,B1B2,B1B3,B1C1,B1C2,B2B3,B2C1,B2C2,B3C1,B3C2,C1C2,共15种,其中剪辑时间为40分钟的情况有A1C1,A1C2,B1B2,B1B3,B2B3,共5种,则剪辑时间为40分钟的概率P==.。
高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第十章 第六节 几何概型教案 文
第六节几何概型【考纲下载】1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．几何概型有什么特点？提示：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型和古典概型有什么区别？提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个．1．(2014·漳州模拟)在区间[20,80]内随机取一实数a，则实数a属于区间[50,75]的概率是( )A.14B.34C.512D.712解析：选C 显然，该问题属于几何概型，实数a 属于区间[50,75]的概率为75－5080－20＝2560＝512. 2．已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110 B.19 C.111 D.18解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成所求事件的区域长度为1 min ，故P ＝110.3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 选项A 的概率为38；选项B 的概率为28＝14；选项C 的概率为26＝13；选项D的概率为13，故增加中奖机会的应为A 选项．4．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．解析：劣弧AB 的长度为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，其中长度小于1的概率为132＝23.答案：235．如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为________．解析：由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68， 而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 答案：16.32前沿热点(十七)几何概型与线性规划问题的交汇1．几何概型常常与构成该事件区域的长度、面积、体积或角度等有关，在高考中经常涉及面积区域的问题，而面积区域的确定又与线性规划有关．因此，高考命题常常在此交汇．2．因为面积经常涉及一个封闭图，解题时一定要注意各边界对应的直线(或曲线)方程，各端点的坐标，求面积时，还要注意对图形的分割等．[典例] (2012·北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4[解题指导] 先画出平面区域D ，再找出几何区域的形状，分析其几何概型所对应的量，然后解决问题．[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y )，则在区域内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4.[答案] D[名师点评] 1.本题有以下创新点：(1)考查方式的创新：由常规方式转换为以线性规划为载体考查几何概型的计算； (2)考查内容的创新：本题将几何概型与线性规划及圆求面积完美结合起来，角度独特，形式新颖，又不失综合性．2．在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点：(1)要准确判断一种概率模型是否是几何概型，为此必须了解几何概型的含义及特征； (2)运用几何概型的概率公式时，要注意验证事件是否具备等可能性．已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.316 B.38 C.34 D.32解析：选 B 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积为12×3×2－12×3×1＝32，则所求概率为322×2＝38.。
2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(II)
a b 【教学目标】1.掌握平面基本性质的三条公理及公理3的三条推论，能运用它们证明空间的共点、共线、共面问题.2.了解空间两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定和性质.3.掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）. 【知识梳理】 1.平面的基本性质 2.. 空间两条直线的位置关系3. 异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线） 画法：异面直线判定：①用定义（多用反证法）；②判定定理：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。
异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（或直角）。
θ∈Oab 600(0,π／2]；若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。
空间两直线垂直又相交垂直与异面垂直两种情况。
异面直线的公垂线及距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一） （2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分 （3）异面直线间的距离 （即公垂线段的长）注：①若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。
②若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。
4.等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 。
5.平行公理：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
【点击双基】1、若a 、b 是异面直线，则只需具备的条件是…………（ ） A.a 平面α， b 平面β，a 与b 不平行 B. a 平面α， b 平面β，，a 与b 不公共点 C.a ∥直线c ，，b 与a 不相交D.a ⊥平面α，b 是α的一条直线2、如图，直线a 、b 相交与点O 且a 、b 成600，过点O 与a 、b 都成600角的直线有（ ）A.1 条B.2条C.3条D.4条 3、(xx 年北京朝阳区模拟题)如图，正四面体S-ABC 中，D 为SC的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是…………（ ）A. 33B. 23C. 36D. 264、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么（1） 哪些棱所长的直线与直线BA 1成异面直线？ 。
2019高考数学(理)一轮复习全套学案
2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节 集 合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图111)表示的集合是( )图111A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件． 故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12， ﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节 函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图211所示，所给图像是函数图像的有( )图211A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， 所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题50几何概型(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.1．几何概型的定义事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积、体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，满足上述条件的试验称为几何概型．2.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.3．几何概型的概率公式 P (A )＝μΩμA，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示子区域A 的几何度量．高频考点一、与长度(角度)有关的几何概型【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.31B.21C.32D.43(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.【答案】(1)B (2)31【解析】(1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 上，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证【方法规律】(1)解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围.当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.(2)①第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝21.②当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.【变式探究】 (1)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径的倍的概率是( )A.43B.21C.31D.53(2)在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________. 【答案】(1)B (2)32【解析】(1)如图，作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在上运动时，弦长|AB |＞R ，∴P ＝＝21.(2)设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意得，高频考点二 与面积有关的几何概型(【例2】 (2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.m 4nB.m 2nC.n 4mD.n 2m【答案】C【解析】如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率公式可得n m ＝12π，故π＝n 4m. 【举一反三】在满足不等式组y≥0x ＋y －3≤0，的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.41 B.43 C.31 D.32【答案】B【解析】作出不等式组y≥0x ＋y －3≤0，的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是43.【方法规律】(1)与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.(2)解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.【变式探究】如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝x ＋1，x ＜01的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.61B.41C.83D.21【答案】B高频考点三 与体积有关的几何概型【例3】 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于61的概率为________.【答案】21【解析】过M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M －ABCD 的高，显然M 在平面【方法规律】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.【变式探究】 一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________.【答案】120π【解析】依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V 0＝81×34π×13＝6π(立方米). 又空屋子的体积V ＝5×4×3＝60(立方米)， 三个捕蝇器捕捉到的空间体积V ′＝3V 0＝2π(立方米). 故苍蝇被捕捉的概率是2＝120π.1. （2018年全国I 卷文数）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A. p 1=p 2B. p 1=p 3C. p 2=p 3D. p 1=p 2+p 3 【答案】A1.(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．【答案】8π【解析】不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝21S 圆＝2π，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 正方形S 黑＝2＝8π.2．(2017·江苏)记函数f (x )＝的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．【答案】951.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.107B.85C.83D.103 【答案】B【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为4040－15＝85.2.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.m 4nB.m 2nC.n 4mD.n 2m【答案】C【解析】如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内. 由几何概型的概率公式可得n m ＝12π，故π＝n 4m.3.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.【答案】43【解析】直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于3.则k2＋1|5k －0|＜3，解之得－43＜k ＜43，故所求事件的概率P ＝4＝43.1.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log1221≤1”发生的概率为( ) A.43 B.32 C.31D.41【答案】A2.(2015·福建卷)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝x ＋1，x ＜01的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.61B.41C.83D.21【答案】B【解析】因为四边形ABCD 为矩形，B (1，0)且点C 和点D 分别在直线y ＝x ＋1和y ＝－21x ＋1上，所以C (1，2)，D (－2，2)，E (0，1)，则A (－2，0).因此S 矩形ABCD ＝6，S 阴影＝21×1·|CD |＝23.由几何概型，所求事件的概率P ＝2＝41.3.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤21”的概率，p 2为事件“xy ≤21”的概率，则( )A.p 1<p 2<21B.p 2<21<p 1C.21<p 2<p 1D.p 1<21<p 2【答案】D。
高考数学一轮复习 62 几何概型学案 理-人教版高三全册数学学案
第六十二课时几何概型课前预习案考纲要求1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.基础知识梳理1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2.特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．3.求解公式：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.思考：已知区间[5,5]M=-.事件A：在M内任取一个整数x，使得21x<；事件B：在M内任取一个实数x，使得21x<.请问，事件A与事件B有何区别？预习自测1. 在区间[20,80]内随机取一实数a，则实数a属于区间[50,75]的概率是( )．A.14B.34C.512D.7122.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )．A.15B.25C.35D.453.在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是 ( )A．1 B．0.1 C．0.01 D．0.0014.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 ( )． A.14 B.13 C.12 D.235. 如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概率是 ( )．A.34B. 334C. 34πD.334π课堂探究案 典型例题考点1：与长度、角度等相关的几何概型【典例1】(1)已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．(2)如图，四边形ABCD 为矩形，3,1AB BC ==，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【变式1】（1）有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为________．（2）如图，在△ABC 中，60B ∠=，45C ∠=，高3AD =，在BAC ∠内作射线AM 交BC 于点M ，则1BM <的概率是________．考点2：与面积、体积相关的几何概型【典例2】（1）花园小区内有一块三边长分别是5m 、5m 、6m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m 的概率是________．(2)在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．【变式2】（1）在长为16cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于225cm 与281cm 之间的概率为________．（2）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．考点3：几何概型的综合应用【典例3】（1）在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(2)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为( ) A.12 B.13 C.33 D.32（2）如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．【变式3】（1）如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( )A.165B.215C. 235D. 195（2）在不等式组240,30,0,x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域内任取一点P （x,y ），点P 落在圆221x y +=区域内的概率是________．1. 将一根长10 cm 的铁丝用剪刀剪成两段，然后再将每一段剪成等长的两段，并用这四段铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积大于6 cm 2的概率等于( ) A.15 B. 25 C. 35 D. 452.利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ,则事件“013<-a ”发生的概率为_______ .3．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m =__________.课后拓展案组全员必做题1．设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )． A.π4 B.π22- C.π6 D.4π4- 2.已知集合{}2|230A x x x =--<， 1|13x B x y g x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，在区间()3,3-上任取一实数x ，则“x A B ∈”的概率为( ) A.41 B.81 C.31 D.121 3.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ,现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于232cm 的概率为( )． A.16 B.13 C.23 D.454.在区间ππ[,]22-上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0至12之间的概率为________． 5.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．B 组提高选做题1. 分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )． A.42π- B.22π- C.44π- D. 24π-2.设事件A 表示“关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根”．（1）若a ，{1,2,3}b ∈，求事件A 发生的概率()P A ；（2）若a ，[1,3]b ∈，求事件A 发生的概率()P A ．参考答案预习自测1.C2.B3.C4.C5.D【典例1】（1）45；（2）13.【变式1】（1）34；（2）25.【典例2】（1）π16-；（2）π112-.【变式2】（1）14；（2）127.【典例3】（1）C；（2）8 3【变式3】（1）C；（2）π14.1.A2.1 33.3.组全员必做题1.D2.C3.C4.1 35.13 16组提高选做题1.B2.(1)23；（2）12.。
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12.6 几何概型
典例精析
题型一 长度问题
【例1】如图，∠AOB ＝60°，OA ＝2，OB ＝5，在线段OB 上任取一点C ，[]
试求：
(1)△AOC 为钝角三角形的概率；
(2)△AOC 为锐角三角形的概率.
【解析】如图，由平面几何知识知：
当AD ⊥OB 时，OD ＝1；当OA ⊥AE 时，OE ＝4，BE ＝1.
(1)当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，△AOC 为钝角三角形.
记“△AOC 为钝角三角形”为事件M ，则P(M)＝OD ＋EB OB ＝1＋15
＝0.4，即△AOC 为钝角三角形的概率为0.4.
(2)当且仅当点C 在线段DE 上时，△AOC 为锐角三角形.
记“△AOC 为锐角三角”为事件N ，则P(N)＝DE OB ＝35
＝0.6，即△AOC 为锐角三角形的概率为0.6.
【点拨】我们把每一个事件解为从某个特定的区域内随机地取一点，
该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个事件发生则解为恰好在上述区域内的某个指定的区域内的点，这样的概率模型就可以用几何概型求解.
【变式训练1】点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为.
【解析】如图[]
[]
可设＝1，则根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是2
.
3
题型二面积问题
【例2】两个CB对讲机(CB即CitizenBand民用波段的英文缩写)持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：00时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？
【解析】设x和y分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x≤30,0≤y≤40.
他们所有可能的距离的据构成有序点对(x，y)，这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序对构成的集合即为基本事件组
对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如下图)，因此构成该事件的点由满足不等式x2＋y2≤25的对组成，
此不等式等价于x2＋y2≤625，右图中的方形区
域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方
形区域的面积为1 200平方公里，而事件的面积
为(14)×π×(25)2＝625π4
， 于是有P ＝625×π41 200＝625π4 800
≈0.41. 【点拨】解决此类问题，应先根据题意确定该实验为几何概型，然后求出事件A 和基本事件的几何度量，借助几何概型
的概率公式求出.
【变式训练2】如图，以正方形ABCD 的边长为直径
作半圆，重叠部分为花瓣.现在向该正方形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率.
【解析】飞镖落在正方形区域内的机会是均等的，符合几何概型条件.记飞镖落在花瓣内为事件A ，设正方形边长为2r ，则 P(A)＝S 花瓣SABCD ＝12πr2×4－(2r)2(2r)2＝π－22
. 所以，飞镖落在花瓣内的概率为π－22
.
题型三 体积问题[]
【例3】 在线段[0,1]上任意投三个点，设O 至三
点的三线段长为x 、y 、z ，研究方法表明：x ，y ，z
能构成三角形只要点(x ，y ，z)落在棱长为1的正方体T 的内部由△ADC ，△ADB ，△BDC ，△AOC ，△AOB ，△BOC 所围成的区域G 中(如图)，则x ，y ，z 能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大？
【解析】V(T)＝1，V(G)＝13－3×13×12×13＝12
， 所以P ＝V(G)V(T)＝12
. 由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大.
【点拨】因为任意投的三点x ，y ，z 是随机的，所以使得能构成三角形只与能构成三角形的区域及基本事件的区域有关.
【变式训练3】已知正方体ABCD —A1B1C1D1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD —A1B1C1D1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( ) A.π4 B.π8 C.π6 D.π12
【解析】设正方体的棱长为a ，则点M 在球O 内的概率P ＝V 球V 正方体
＝43π(a 2)3a3＝π6
，选C. 总结提高
1.几何概型是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果
不是有限个.其特点是在一个区域内均匀分布，概率大小与随机事件所在区域的形状和位置无关，只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点，其测度为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件. 如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，其测度为1，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.[]
2.若试验的全部结果是一个包含无限个点的区域(长度，面积，体积)，一个基本事件是区域中的一个点.此时用点度量事件A包含的基本事件的多少就毫无意义.“等可能性”可以解成“对任意两个区域，当它们的测度(长度，面积，体积，…)相等时，事件A对应点落在这两区域上的概率相等，而与形状和位置都无关”.
3.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型解决.[]。