江西省崇仁县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题文

2017-2018学年高二上学期第一次月考文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（ ） A ．只有一次投中 B ．两次都投中 C. 两次都不中 D ．至少投中一次2.已知角α的终边上一点(4,3)P -，则cos α=（ ） A ．35-B ．35C ．45D ．45- 3.某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，现将300名职工从1到300进行编号，已知从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若348a a +=， 848S =，则{}n a 的公差为（ ） A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 5.已知空间两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，以下能推出“αβ⊥”的是（ ） A ．m n ⊥，//m α，//n β B ．//m n ，m α⊥，n β⊥ C. //m n ，m α⊥，n β⊂ D ． m n ⊥，m α⊥，n αβ=I 6. 圆心为)2,2(-且过原点的圆的标准方程是（ ）A ．4)2()2(22=-++y xB ．4)2()2(22=++-y xC ．8)2()2(22=-++y xD ．8)2()2(22=++-y x7. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别是,,a b c ，已知4b c ==，3cos 4B =，则a 等于( )A. 2B. 3C. 4D. 5 8．袋中有形状、大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中随机一次摸出2个球，则这2个球中至少有1个白球的概率为（）A．16B．13C.23D．569. 执行如图的程序框图，则输出S的值为（）11.设实数,x y满足约束条件30x yy⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y=-的最小值为( )A. 5- B. 1- C. 1 D. 312.已知各项均为正数的等比数列{}n a满足10986a a a+=，若存在两项,m na a使得14a=，则21m n+的最大值为（）A．3+ B．12910D．115二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字3是这三个不同数字的中位数的概率是．14．若样本121,1,,1nx x x+++L，的平均数为10，方差为2，则对于样本122,2,,2nx x x+++L，其平均数和方差的和为．15.圆22(1)(2)1x y -++=上的点到直线3440x y -+=的距离的最小值为 ． 16.某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程为260y x =-+．不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知2c d += ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）抚州市某学校在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x （单位：年，*x N ∈）和所支出的维护费用y （单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若规定当维护费用y 超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值.（参考公式：最小二乘估计线性回归方程y bx a =+中系数计算公式：）^121()()()niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为*1,12,N n S a S n n n ∈+=+． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设31log n n b a +=，求数列}{n n b a +的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）国庆期间，高速公路堵车现象经常发生.某调查公司为了了解车速，在临川收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h ）分成六段[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]后，得到如图的频率分布直方图.（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从这40辆车速在[60,70)的小型汽车中任意 抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在[65,70)的概率．20．（本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P ‒ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA = AB = 2，BC = 4， E 是PD 的中点，（1）求证：//PB 平面EAC ； （2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （3）求多面体PB AEC 的体积．21．（本小题满分12分）随着互联网的发展，移动支付（又称手机支付）越来越普遍，某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有n 个人，把这n 个人按照年龄分成5组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第一组的频数为20.PBEDCA（1）求n 和x 的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；（2）从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数； （3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.22．（本小题满分12分）已知圆O ：224x y +=和圆C ：22(4)1x y +-=． （1）判断圆O 和圆C 的位置关系；（2）过圆C 的圆心C 作圆O 的切线l ，求切线l 的方程；（3）过圆C 的圆心C 作动直线m 交圆O 于A ，B 两点．试问：在以AB 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点M （2，0）？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由．一．选择题：BDCACD BDACAD 二．填空题：13. 2114. 13 15. 2 16. 100 三．解答题： 17. 【解析】（1）3554321=++++=x ，5.75985.776=++++=y ……………4分10)35()34()33()32()31()(22222412=-+-+-+-+-=-∑=i ix x7)5.79)(35()5.78)(34()5.75.7)(33()5.77)(32()5.76)(31())((51=--+--+--+--+--=--∑=y y x x ii i7.0107)())((ˆ121==---=∑∑==ni ini iix x y yx x b………………7分4.537.05.7ˆˆ=⨯-=-=x b y a ………………8分 故线性回归方程为4.57.0ˆ+=x y. ………………9分 （2）当维护费用y 超过13.1万元时，即0.7 5.413.1x +> 11x ∴>∴从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年.答：该批空调使用年限的最大值为11年. ………………12分 18．解：由题意得)2(12,1211≥+=+=-+n S a S a n n n n两式相减得)2(32)(2111≥=⇒=-=-+-+n a a a S S a a n n n n n n n ，………………3分 所以当2≥n 时，}{n a 是以3为公比的等比数列.因为3,3121212112==+=+=a a a S a 所以，31=+nn a a ，对任意正整数成立，}{n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以得13-=n n a .……7分（2）n a b nn n ===+3log log 313，………………8分 所以n b a n n n +=+-13，………………9分)1...321()33...333()3()13(...)33()23()13(122112210n n n n T n n n n n +-++++++++++=++-++++++++=----13(1)132n n n -+=+-31(1)22n n n -+=+2312n n n ++-=………………12分 19.解：(1)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为77.5………2分 由题图可知，中位数应该在7580:之间，设为m ，则0.0150.0250.0450.06(75)0.5m ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得：77.5m = 即中位数的估计值为77.5……………………………………………………6分 (2)这40辆车中，车速在[60,70) 的共有5(0.010.02)406⨯+⨯= (辆)， 其中车速在[65,70) 的有50.02404⨯⨯=(辆)，记为,,,A B C D车速在[60,65) 的有50.01402⨯⨯= (辆)，记为,a b ……………………8分 从车速在[60,70) 的这6辆汽车中任意抽取2辆的可能结果有15种不同的结果， 其中抽出的2辆车车速都在[65,70) 的结果有6种………………10分因为抽到每种结果都是等可能的，所以从这40辆车速在[60,70)的汽车中任意抽取2辆， 抽出的2辆车车速都在[65,70) 的概率为62155P ==…………………………………12分 20.解：（1）连接BD 交AC 于点G,连接EG ，因为E 为PD 的中点，G 为BD 的中点， 所以//PB EG ,又因为EG EAC ⊂平面,PB EAC ⊄平面， 所以//PB EAC 平面.………………4分（2）ABCD PA 平面⊥ ，ABC CD 平面⊂，CD PA ⊥∴.是矩形ABCD , CD AD ⊥∴. 而A AD PA =⋂, ,PA AD ⊂平面PADPAD CD 平面⊥∴. PDC CD 平面⊂PDC PAD ∴⊥平面平面. ………………8分 （3）PB EACP ABCD E ADC V V V ---=-,因为E 为PD 的中点，PA ABCD ⊥平面,所以点E 到平面ADC 的距离是12PA ,即1132E ADC ADC V S PA -∆=⋅14P ABCD V -=, 所以PB EAC P ABCD E ADC V V V ---=-34P ABCD V -=3142243=⨯⨯⨯⨯4= (12)分21.解：（1）由题意可知，201000.02010n ==⨯，………………1分由()100.0200.0360.0100.0041x ++++=，解得0.030x =，………………3分 由频率分布直方图可估计这组数据的众数为30；………………4分（2）第1，3，4组频率之比为0.020：0.030：0.010=2：3：1 则从第1组抽取的人数为2626⨯=,从第3组抽取的人数为3636⨯=， 从第4组抽取的人数为1616⨯=；………………6分 （2）设第1组抽取的2人为12,A A ，第3组抽取的3人为123,,B B B ，第4组抽取的1人为C ，则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：()()()()()()()()()()()12111213121222321213,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B A B A C B B B B ，，()()()()12323,,,,,,,B C B B B C B C ，共有15个基本事件.………………9分其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有()()()()12121323,,,,,,,A A B B B B B B 共4个基本事件，………………11分所以抽取的2人来自同一个组的概率415P =.………………12分 22.解：（ 1）因为圆O 的圆心O （0，0），半径r 1=2，圆C 的圆心C （0，4），半径r 2=1， 所以圆O 和圆C 的圆心距12||43OC r r =>+=，所以圆O 与圆C 相离．……………2分（2）设切线l 的方程为：4y kx =+，即40kx y -+=，所以O 到l 的距离2d ==，解得k =4分所以切线l 40y -+=40y +-=………………5分（3）ⅰ）当直线m 的斜率不存在时，直线m 经过圆O 的圆心O ， 此时直线m 与圆O 的交点为A （0，2），B （0，﹣2）， AB 即为圆O 的直径，而点M （2，0）在圆O 上， 即圆O 也是满足题意的圆………………6分 ⅱ）当直线m 的斜率存在时，设直线m ：4ykx =+，由2244x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消去y 整理，得22(1)8120k x kx +++=， 由226448(1)0k k ∆=-+>，得k >k <．………………7分设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12212281121k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩…①………………8分 由①得22121212122164(4)(4)4()161k y y kx kx k x x k x x k-=++=+++=+，…② 121244y y kx kx +=+++1228()81k x x k=++=+，…③………………9分 若存在以AB 为直径的圆P 经过点M （2，0），则MA MB ⊥，所以0MA MB =u u u r u u u rg ， 因此1212(2)(2)0x x x y y --+=,即1212122()40x x x x y y -+++=，………………10分则2222121616440111k k k k k-+++=+++，所以16320k +=，即2k =-，满足题意． 此时以AB 为直径的圆的方程为2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=，即22168120555x y x y +--+=，亦即2255168120x y x y +--+=．………………11分综上，在以AB 为直径的所有圆中，存在圆P ：2255168120x y x y +--+=或224x y +=，使得圆P 经过点(2,0)M 。