高二数学月考试题与答案
2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C. D. 290x y ++=290x y +-=2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）133. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（）1,,AB a AD b AA c ===BM A. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P率k 的取值范围是（ ）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C .或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CN ND=MN =A .D. 27. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（）MN二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 13.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO14.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===AC M l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u r u u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O P D O Q =l 理由．2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C .D. 290x y ++=290x y +-=【正确答案】B【分析】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.12l k =-【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为，2l24y x =-+2-因为直线过点，且与直线平行，所以，1l()2,5A 2l12l k =-则直线的点斜式方程为，即为．1l()522y x -=--290x y +-=故选：B.2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）13【正确答案】C【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，b a 22224035(2,2,1)22(1)9||||b aaa a a →→→→→→⋅⨯+-⋅=⋅=-++-故选：C3. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（ ）1,,AB a AD b AA c ===BMA. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 【正确答案】D【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为为与的交点，M 11A C 11B D 所以111111()22BM BB B M AA BD AA AD AB =+=+=+-.111112222AB AD A ca b A =-++=-++故选：D.4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出的面积进而求得四边形OAB △的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，所以，OA ==OB ==2),1,2),OA OB ==-，1cos ,2OA OB ==所以sin ,OA OB =以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P 率k 的取值范围是（）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C.或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥【正确答案】B【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.BP BA k k k ≥≥,BP BA k k 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足，BP BA k k k ≥≥即且，所以．231325k -+≥=---123134k +≤=+1354k -≤≤故选：B ．6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CNND =MN =A. D. 2【正确答案】B【分析】将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得.MN AB AC AD MN【详解】因为，所以，，2AM MB = 23AM AB=又因为，则，所以，，2CN ND = ()2AN AC AD AN -=- 1233AN AC AD =+ 所以，，122333MN AN AM AC AD AB=-=+-由空间向量的数量积可得，293cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==因此，1223MN AC AD AB =+-=.==故选：B.7. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关【正确答案】B【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解''0D E B F ⋅=【详解】建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，'(0,0,1)D (1,1,0)E a -'(1,1,1)B (0,1,0)F a -，'(1,1,1)D E a ∴=-- '(1,,1)B F a =---，''(1)(1)1()(1)(1)110D E B F a a a a ∴⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=--+=''D E B F∴⊥ 故选：B本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N 分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（ ）MN【正确答案】D【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据C AB D --120CAF ∠=︒几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离MNBC AD BC AD 转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点BC ADE C ADE 到平面的距离即可.C ADE 【详解】如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交C AB D --4CE BD ==E ⊥EF ABD 面于点，ABD F 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即AB AF ⊥CA AB ⊥CAF ∠C AB D --，120CAF ∠=︒因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，M N BC AD MNBC 的距离，AD 由题意知，，所以四边形为平行四边形，，CE BD ∥CE BD =CBDE CB DE ∥因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的DE ⊂ADE CB ⊄ADE CB ADE BC AD 距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，BC ADE C ADE 设点到平面的距离为，则，，C ADE d C ADED CAE V V --=1133ADE CAE S d S AB⋅⋅=⋅⋅ 在直角三角形中，，，所以，CAH 18012060CAH ∠=︒-︒=︒2CA =1HA=，CH EF ==3AF =AE ==直角梯形中，，ABDF FD ==AD ==，DE ==因为，，所以，，222AC AECE +=222AE DE AD +=CA AE ⊥AE DE ⊥，，122CAE S =⨯⨯=12ADE S =⨯= CAE ADE S AB d S ⋅===故选：D.方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线的斜率，可得出直线的倾斜l l 角，可判断B 选项；作出直线的图象可判断C 选项；求出直线的方向向量，可判断D 选l l 项.【详解】对于A 选项，，所以，点不在上，A 错；2210-++≠ (-l 对于B 选项，直线的斜率为，故的倾斜角为，B 对；lk =l 5π6对于C 选项，直线交轴于点，交轴于点，如下图所示：l x ()1,0-y 0,⎛ ⎝由图可知，直线不过第一象限，C 对；l对于D 选项，直线的一个方向向量为，而向量与这里不共线，Dl )1-)1-(错.故选：BC.10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c【正确答案】ACD【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A ，根据直线与平面的关系判断B ，根据空间中共面基本定理判断C ，由空间向量基本定理判断D.【详解】因为，所以，故A 正确；()()2,2,13,4,26820u v ⋅=-⋅-=-+-=αβ⊥因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,3,0a =α()1,0,2u =不能确定直线是否在平面内，故B 不正确；因为，()0,4,82(2,1,4)(4,2,0)2AP AB AC→→=--=---=-所以，，共面，即点在平面内，故C 正确；AP AB ACP ABC 若是空间的一组基底，,,a b b c c a +++则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，d →(,,)x y z 使得，()()()d x a b y b c z c a =+++++于是，()()()d x z a x y b y z c =+++++ 所以也是空间一组基底，故D 正确.,,a b c故选：ACD.11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --【正确答案】ACD【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A 选项；向量法求异面直线所成的角判断选项B ；由，求体积最大值判断C 选项；向量法求Q AMN N AMQV V --=二面角余弦值的变化情况判断选项D.【详解】平面，四边形是正方形，SA ⊥ABCD ABCD 以A 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，,,AB AD AS,,x y z由，22SA AB DE ===；()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,1,0A B C D E S N M ∴对于A ，假设存在点，使得，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SB ⊥则，又，()1,2,1NQ m =--()2,0,2SB =-，解得：，()2120NQ SB m ∴⋅=-+=0m =即点与重合时，，A 选项正确；Q D NQ SB ⊥对于B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SA 60o，()()1,2,1,0,0,2NQ m SA =--=-，方程无解；1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA ⋅∴===⋅ 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B 选项错误；∴Q NQ SA 60o对于C ，连接；,,AQ AMAN 设，()02DQ m m =≤≤，22AMQ ABCD ABM QCM ADQ mS S S S S =---=-当，即点与点重合时，取得最大值2；∴0m =Q D AMQ S △又点到平面的距离，N AMQ 112d SA ==，C 选项正确；()()maxmax 122133Q AMN N AMQ V V --∴==⨯⨯=对于D ，由上分析知：，()()1,2,1,1,1,1NQ m NM =--=-若是面的法向量，则，(),,m x y z =NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令，则，1x =()1,2,3m m m =-- 而面的法向量，AMQ ()0,0,1n =所以，令，cos ,m nm n m n ⋅==[]31,3t m =-∈则，而，cos ,m n ==11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，Q D C m t 1t 所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，cos ,m n故二面角先变小后变大，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 【正确答案】π6【分析】根据已知两点的坐标求得直线的斜率，即可求得答案.AB 【详解】由于，)(),AB故直线的斜率为，AB k ==因为直线的倾斜角范围为，[0,π)故直线的倾斜角是，AB π6故π613.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO【正确答案】3【分析】说明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空,,OO OC OP '间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以AB O ',,PO OO AE ',PC PD O =CD ，PO CD ⊥又平面平面，平面平面，平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =PO ⊂PCD 所以平面，平面，所以，⊥PO ABCD OO '⊂ABCD PO OO '⊥又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以，ABCD O CD AB O 'OO CD '⊥以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，O ,,OO OC OP ',,x y z由，得，,,6PC PD PC PD CD ⊥==132PO CD ==所以，()()()3,3,0,3,3,0,0,0,3A B P -点为线段上靠近的三等分点，则，E PB B 22(3,3,3)33PE PB ==- 则，所以，，()2,2,1E ()1,5,1AE =-()3,3,0AO =-则，，||AE ==AO AE AO⋅== 因此点到直线的距离，E AO 3d =故314.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===ACM l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如ABC V AB B B 图1），设点，由，得，求出坐标，由(),,A x y z '(),0,0H x (,0,)A x z ',,A C M 得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程MC AM A M '==,x z z A H '中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于MN AA '⊥1,,02N a a ⎛⎫⎪⎝⎭[)0,4a ∈x 的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论．a x 【详解】中，根据余弦定理，π,4C ABC =△，得AB ==sin sin ACABB C =，由知，则，sin B =AC AB <B C <cos B =如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点B ()()4,2,0,6,0,0A C ，点的投影在轴上，即，由(),,A x y z 'A '(),0,0H x x ()(),0,,5,1,0A x z M '，根据两点间距离公式，MC AM A M '==．=22(5)1x z -+= 图1 图2如图2，在翻折过程中，作于点，则，AMN A MN '△≌△AE MN ⊥E A E MN '⊥并且平面，,,AE A E E AE A E ='⊂' A AE '所以平面平面，MN ⊥,A AE AA ''⊂A AE '所以，即，其中．MN AA '⊥0MN AA '⋅=()4,2,AA x z '=--又动点在线段上，设，所以，且．N AB 1,,02N a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭15,1,02MN a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ [)0,4a ∈由，得，0MN AA '⋅= ()()132245210,52,255x a a x a ⎛⎫⎛⎤----==+∈ ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦又因为，对应的的取值为，即，22(5)1x z -+=z 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦40,5A H ⎛⎤'∈ ⎥⎝⎦由已知斜线与平面所成角是，1A MBCMN A MH '∠所以．sin A H A MH A M ⎛∠=∈ ⎝'''故斜线与平面1A MBCMN 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 【正确答案】（1）； 380x y +-=（2）或y x =40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；l （2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为，代入点P ，即可求得0x y m ++=参数m【小问1详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为360x y -+=3l 13-l ，即；()1223y x -=--380x y +-=【小问2详解】当截距为0时，直线的方程为；l y x =当截距不为0时，直线设为，代入解得，故直线的方程为l 0x y m ++=(2,2)P 4m =-l .40x y +-=综上，直线的方程为或l y x =40x y +-=16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +【正确答案】（1）；1-（2）且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，AB CBR λ∈AB CB λ= 进而求出m 、n ，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得cos ,AB BC <>，讨论的情况，即可求范围.2(3)2(1)180m n -+--<,AB BC π<>=m n +【小问1详解】由题设，，又，，三点共线，(3,2,6)AB m =-- (2,1,3)CB n =--A B C 所以存在使，即，可得，R λ∈AB CB λ=322(1)63m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩210m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以.1m n +=-【小问2详解】由，(2,1,3)BC n =--由（1）知：当时，有；,AB BC π<>=1m n +=-而，的夹角是钝cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅<>==AB BC角，所以，可得；2(3)2(1)182()260m n m n -+--=+-<m n +13<综上，且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u ru u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===【正确答案】（1）见解析 （2【分析】（1）设为的中点,连接,，利用中位线的性质证明四边形是平F PA BF EF EFBC 行四边形，则可得平面.//CE ABP （2）点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，A BCE (0,1,2)n =利用点到平面的距离公式即可.【小问1详解】设为的中点，连接,，F PA BF EF是的中点，，E PD 1//,2EF AD EF AD ∴=,且，2,//AD BC AD BC =∴ 12BC AD=，//,EF BC EF BC ∴=四边形是平行四边形，，∴EFBC //CE BF ∴又平面平面,BF ⊂ ,ABP CE ⊂/ABP 平面.//CE ∴ABP 【小问2详解】由于侧棱平面，面，AP ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ，，则以点为坐标原点,以,,所在的直线,AP AB AP AD ∴⊥⊥AB AD ⊥ A AD AB AP 为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,x y z，，2AD = 112BC AD ∴==，，，，(0,0,2)P ∴(0,2,0)B (1,2,0)C (1,0,1)E ，，，(1,0,0)BC ∴= (0,2,1)CE =- (0,2,2)PB =-设平面的法向量,BCE (,,)n x y z =则有，即，00n BC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y z =⎧⎨-+=⎩令,则，1y =(0,1,2)n =点到平面的距离.∴PBCE ||||||||||||PB n PB n d PB n PB n ⋅⋅=⋅===⋅18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ【正确答案】（1）证明见解析（2（3）存在，14λ=【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；PA AD ⊥PA AB ⊥（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.14λ=【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以.A D MB MC AD BC ∥因为，所以，所以.BM BC ⊥BM AD ⊥PA AD ⊥又，，平面，PA AB ⊥AB AD A ⋂=,AB AD ⊂ABCD 所以平面.PA ⊥ABCD 【小问2详解】因为，，，所以，，两两垂直.PA AB ⊥PA AD ⊥90DAB ∠=︒AP AB AD 以为坐标原点，所在直线分别为轴，A ,,AB AD AP ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，A xyz -依题意有，，，，，，A (0,0,0)()2,0,0B ()2,2,0C D (0,1,0)()0,0,2P ()1,1,1E 则，，，.(2,2,2)PC =- (1,0,1)DE = (2,1,0)BD =-(2,0,2)BP =- 设平面的法向量，PBD ()111,,n x y z =则有()()()()11111111112,1,0,,202,0,2,,220BD n x y z x y BP n x y z x z ⎧⋅=-⋅=-+=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩令，得，，所以是平面的一个法向量.12y =11x =11z =()1,2,1n = PBD 因为，cos ,DE n DE n DE n⋅〈〉====⋅所以直线与平面DE PBD 【小问3详解】假设存在，使二面角λG AD P --即使二面角G AD P --由（2）得，，(2,2,2)(01)PG PC λλλλλ==-≤≤所以，，.(2,2,22)G λλλ-(0,1,0)AD = (2,2,22)AG λλλ=-易得平面的一个法向量为.PAD ()11,0,0n =设平面的法向量，ADG ()2222,,n x y z =，()()()()()2222222222220,1,0,,02,2,22,,22220AD n x y z y AG n x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=-⋅=++-=⎪⎩ 解得，令，得，20y =2z λ=21x λ=-则是平面的一个法向量.()21,0,n λλ=-ADG由图形可以看出二面角，G AD P --故二面角G AD P --则有，1cos ,n，解得，.=112λ=-214λ=又因为，所以.01λ≤≤14λ=故存在，使二面角14λ=G AD P --19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y ；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O PD O Q =l 理由．【正确答案】（1）145（2）1-（3）存在，和1y =y x=【分析】（1）代入和的公式，即可求解；(,)d A B (,)e A B （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式(),N x y (,)1d M N =N ，结合余弦值，即可求解；(),e A B （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，(),D O P 0k =0k ≠(),d O P 即可判断直线方程.【小问1详解】，348614(,)125555d A B +=--+-==，cos(,)cos ,OA OB A B OA OB OA OB⋅=〈〉===；()(),1cos ,1e A B A B =-=-=【小问2详解】设，由题意得：，(,)N x y (,)|2||1|1d M N x y =-+-=即，而表示的图形是正方形，|2||1|1x y -+-=|2||1|1x y -+-=ABCD 其中、、、．()2,0A ()3,1B ()2,2C ()1,1D 即点在正方形的边上运动，，，N ABCD (2,1)OM =(,)ON x y = 可知：当取到最小值时，最大，相应的cos(,)cos ,M N OM ON =<> ,OM ON <>有最大值．(,)e M N 因此，点有如下两种可能：N ①点为点，则，可得；N A (2,0)ON =cos(,)cos ,M N OM ON =<>==②点在线段上运动时，此时与同向，取，N CD ON (1,1)DC =(1,1)ON = 则cos(,)cos ,M N OM ON =<>==的最大值为．>(,)e M N 1【小问3详解】易知，则min (,)D O P (,1)P x kx k -+(,)()|||1|d O P h x x kx k ==+-+当时，，则，，满足题意；0k =(,)()|||1|d O P h x x ==+min (,)1d O P =min (,)1D O P =当时，，0k ≠1(,)()1k d O P h x x kx k x k x k -==+-+=+⋅-由分段函数性质可知，min 1(,)min (0),k d O P h h k ⎛⎫-⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又且时等号成(0)|1|h k =-≥11k k h k k --⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1k =立．综上，满足条件的直线有且只有两条，和．:1l y =y x =关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题.min min (,)(,)d O P D O Q =。
山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
高二数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写济楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第二章~第三章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）A. B.C.D.3.已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（ ）A.B.C.3D.44.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.5.已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ）A.2B.4C.6D.86.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围103x --=π6π32π35π6()222:11x C y a a-=>C y =y x=±y =y x =()222:1016x y C b b +=>221125x y +=b =()0,1-22220x y x my +--+=m ()3,∞-+()3,2-()()3,22,∞--⋃+()2,2-M 22:1916x y C -=12,F F C 1122MF F F MF +-=()()2,3,3,2A B ---()1,1P l AB l k是（ ）A.B.C.D.7.当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ）A.C.D.8.已知椭圆，若椭圆上的点到直线的最短距离，则长半轴长的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与直线平行，则的值可以是（）A.0B.2C.D.410.已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（ ）A.的离心率为B.C.的值可以为3D.若的面积为，则11.已知点及圆，点是圆上的动点，则（ ）A.过原点与点的直线被圆截得的弦长为B.过点作圆的切线，则切线方程为C.当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为D.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦α2cos2sin24cos x y ααα+=π2π4π()2222:10x y E a b a b +=>>E 50x y ++=a (]0,2((⎤⎦()240a x y a -++=()()222420a x a a y -+++-=a 2-,A B 22:143x y C +=C 12,F F C O C 12228AF BF +=AB 12AF F V 3212154AF AF ⋅=()4,4P 22:40C x y x +-=Q C O P C P C 3440x y -+=Q PC Q PC 240x y ---=P C ,A B AB 240x y +-=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.13.已知圆与两直线都相切，且圆经过点，则圆的半径为__________.14.把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线及点.（1）若与垂直的直线过点，求与的值；（2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.16.（本小题满分15分）已知双曲线的顶点为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积.17.（本小题满分15分）已知圆经过点，且与圆相切于原点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值.18.（本小题满分17分）已知椭圆的上顶点与左，右焦点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线22164x y m m +=--m C 220,220x y x y -+=++=C ()1,1C ABC V A BC ,D E BC AD ,BAC AE BC ∠⊥,A E y AD 40,y AD -+==AC3-C AB x :210l x ay a -+-=()2,2A -l 320x my -+=A m a A ()1,1B -l l ()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P C C A C ,H O OHA V 1C ()2,0-222:480C x y x y +-+=O 1C :20(,l ax by a b a b ++-=)1C ,A B AB l 2C ,C D CD ()2222:10x y C a b a b+=>>45-C C ,A B 6AB =M C ,A B分别与直线交于点为坐标原点，求.19.（本小题满分17分）已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.,MA MB :5l x =,,P Q O OP OQ ⋅,A B P (0PAPBλλ=>1)λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()()()2,0,,2A B a b a -≠-(),A B λ221240x y x +-+=,,a b λQ (),A B OQ O 0,b λ==,a μ(),A B μ参考答案1.A 直线，所以其倾斜角为.故选A.2.D 由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选D.3.C 因为椭圆与㮁圆有相同的焦点.所以，解得或（舍去）.故选C.4.C 由题意可知解得或.故选C.5.B 因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，所以，故，由于，所以.故选B6.A 直线过定点，且直线与线段相交，由图象知，或，则紏率的取值范围是.故选A 7.D 方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为.故选D.103x --=π6214a +=23a =22213x C y -=y x =()22221016x y C b b +=>221125x y +=216125b -=-3b =3b =-222(1)20,(2)420,m m ⎧-++>⎨-+-⨯>⎩32m -<<-2m >M 22:1916x y C -=12,F F C 212MF MF a -=112222MF F F MF c a +-=-3,4,5a b c ====1122221064MF F F MF c a +-=-=-= l ()312131,1,4,21314PA PA P k k ----==-==--- AB ∴34k …4k -…k (]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭2cos2sin24cos x a y a a +=()2cos2sin22,x a y a α-+=()2,02d ==22(2)4x y -+=2cos2sin24cos x y ααα+=22(2)4x y -+=4π8.C 设直线与，则的方程为，由整理，得，因为上的点到直线的最短，所以，整理得，由椭圆的离心，可知，所以，所以，则，所以.故选C.9.AB 因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选.10.AD 对于A ，椭圆中，，离心率为，A 正确；对于B.由对称性可得，所以，B 错误；对于C ，设且，则，故，所以C 错误；对于D ，不妨设在第一象限，，则，是，则，则，故，故D 正确.故选AD.11.ACD 圆的标准方程为，圆的半径，对于，直线的方程为0，点到直线，所以直线被圆截得的弦长为正确；对于，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为，即，，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的切线错误；对于C ，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线，即为与直线距离为2的图的切线，直线的斜率为2，设该切线方程为，则正确；对于D ，设，，可得切线的方程分别为l 50x y ++=l 30x y ++=22221,30,x y ab x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222222690a b x a x a a b +++-=E 50x y ++=()()422222Δ36490a a baa b =-+-…2290a b +-…E 22112b a -=2212b a =221902a a +-…26a …0a <…222424a a a a ---=-++20a -=2244a a ++=2a =2-2a =-AB 22:143x y C +=2,1a b c ===12c a =21BF AF =222124AF BF AF AF a +=+==(),,B m n n <<0n ≠22143m n +=)2OB ===()24,AB OB =∈A ()00,A x y 12013222AF F S c y =⋅⋅=V 032y =31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭21335,4222AF AF ==-=12154AF AF ⋅=C ()22(2) 4.2,0x y C -+=C 2r =A OP x y -=C OP OP C A =B C P ()44y k x -=-440kx y k --+=234k =3440x y -+=4,x B =Q PC Q PC PC C PC 20x y t -+=2,4t =-±(11,A x y ()22,B x y ,PA PB，将代入两方程得，所以者在直线上，所以直线的方程为，即，D 正确.故选ACD.12.且且也给分） 由题意得，且6—，所以且，所以实数的取值范围是.易知直线与关于轴对称或关于对称，又当圆心在上时，该圆不存在，所以圆的圆心在轴上，设圆的方程为，由题意可知，，整理得，解得或，当时，，当时，.14.（2分）（3分） 直线的方程与直线联立得，因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，由，得直线的斜率为0，由，得，所以直线的方程为，与联立得.设直线与轴交于点，点关于直线的对称点为，则点在直线上，所以.联立解得代入，得，所以直线在轴上的截距为15.解：（1）因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，()()11122220,20x x y y x x x x y y x x +-+=+-+=()4,4P ()()11122244240,44240x y x x y x +-+=+-+=()()1122,,,A x y B x y ()44240x y x +-+=AB ()44240x y x +-+=240x y +-=()()4,55,6{|46m m ⋃<<5},46m m ≠<<5m ≠60,40m m ->->4m m ≠-46m <<5m ≠m ()()4,55,6⋃220x y -+=220x y ++=x 2x =-2x =-C x C 222()x a y r -+==22730a a -+=12a =3a =12a =r =3a =r =(1,1)AE 0x =AD 40y -+=()0,4A AC -AC 34y x =-+AE BC ⊥BC AD =AD 3AE =BC 1y =34y x =-+()1,1C AB x (),0F t F AD (),G a b G AC b a t =-402b -+=122,a tb ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩34y x =-+t =AB x 320x my -+=()2,2A -6220m --+=2m =-3220x y ++=l所以.（2）解法一，若点与点到直线的距离相等，则直线与的斜率相等或的中点在上，又直钱的斜率为的中点坐标为，所以或.解得或.当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.解法二：因为点与点到直线的距离相等，.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16.解：（1）因为双曲线的顶点为，且过点，所以，且，解得的标准方程为.（2）由双曲线方程，得渐近线方程为，，又，所以所以.123,32a a ==A()1,1B -l AB l AB l AB ()211,21AB --=---11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11a =-1121022a a --+-=1a =-1a =1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+A ()1,1B -l =1a =±1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P a =2254161a b -=a b ==C 221188x y -=221188x y -=230x y ±=,OH HA OA ⊥=OH =11542213OHA S OH HA =⨯⨯==V17.解：（1）因为圆与图相切，且点在圆的外部，所以圆与圆外切，则三点共线，图化为.所以圆心，故圆心在直线上.设圆的标准方程为，又圆过原点，则，圆经过点，则，解得，故圆的标准方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心坐标为，由直线化为，所以直线恒过点，易知点在圆的内部，设点到直线的距离为，则，要使取得最小值，则取得最大值，所以，此时.所以，则直线的方程为，即.又圆心到直线的距离，所以.18.解：（1）椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，由题意可知，即，1C 2C ()2,0-2C 1C 2C 12,,C O C 222:480C x y x y +-+=22(2)(4)20x y -++=()22,4C -1C 2y x =-1C 222()(2)x t y t r -++=1C ()0,0O 225r r =1C ()2,0-222(2)(02)5t t t --++=1t =-1C 22(1)(2)5x y ++-=1C ()1,2-:20l ax by a b ++-=()()210a x b y ++-=L ()2,1P -P 1C 1C l d AB ==AB d 1PC l ⊥121112PC k -==-+1t k =-l ()12y x -=-+10x y ++=2C 10x y ++=d 'CD ==C ()0,b ()(),0,,0c c -45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭2245b c =又，所以，即的离心率.（2）由，得，即，所以椭圆的方程为.设，则，即，又，则，因为直线分别与直线交于点，所以，所以.19.（1）解：因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，所以，因为为常数，所以，且，所以.（2）解：由（1）知，设，由，所以，，監理得，即，所以，222a b c =+2295a c =225,9c ca a ==C e =6AB =26a =3,2a c b ===C 22194x y +=()00,M x y 2200194x y +=22003649x y -=()()3,0,3,0A B -()()0000:3,:333y yMA y x MB y x x x =+=-+-,MA MB :5L x =,P Q 0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-22222222222222||(2)4416||()()22(122)24PA x y x y x xPB x a y b x y ax by a b a x by a b +++++===-+-+--++--+-+22||||PA PB 2λ2240,0a b b -+==2a ≠-2,0,a b λ====()()2,0,2,0A B -(),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--…42890x x --…()()22190x x +-…209x ……由，得，即的取值范围是.（3）证明：若，则以一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.由点关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称OQ ==209r ……13OQ ……OQ []1,30b =(),A B 2222(2)2()x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()()2,0,,0A B a -2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-,a μ(),A B μ。
高二数学上学期第一次月考试题含解析
智才艺州攀枝花市创界学校第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共13小题，每一小题4分，一共52分.题1—10为单项选择题，题11-13为多项选择题，多项选择题错选得0分，漏选得2分.〕 1.椭圆229225x ky +=的一个焦点是()4,0，那么k =〔〕A.5B.25C.-5D.-25【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化为HY 方程，根据焦点坐标求得c ，由此列方程求得k 的值.【详解】椭圆的HY方程为22122525x y k+=，由于椭圆焦点为()4,0，故焦点在x 轴上，且4c =.所以2225254k=+，解得25k =. 应选：B【点睛】本小题主要考察根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于根底题. 2.双曲线22412mx y -=的一条渐近线的方程为20y -=，那么m =〔〕A.3C.4D.16【答案】A 【解析】 【分析】写出双曲线的HY 方程，根据渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线22412mx y -=20y -=，即双曲线221213m x y -=的一条渐近线的方程为y x =， 所以124,3m m==. 应选：A【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线方程求双曲线HY 方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a ，b .3.“x R ∃∈，2440x x -+≤〞的否认是〔〕A.x R ∀∈，2440x x -+>B.x R ∀∈，2440x x -+≥C.x R ∃∈，2440x x -+>D.x R ∃∈，2440x x -+≥【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】A 选项正确. 应选：A 【点睛】. 4.〕 A.2230x x -->，B.π不是无限不循环小数C.直线与平面相交D.在线段AB 上任取一点【答案】B 【解析】【分析】 ACDB.【详解】ACD 均不能判断真假，B. 应选：B 【点睛】.5.平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，假设12PF PF -为大于零的常数，那么动点P 的轨迹为〔〕A.双曲线B.射线C.线段D.双曲线的一支或者射线 【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义，对动点P 的轨迹进展判断，由此确定正确选项. 【详解】两个定点的间隔为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线；不存在1212PF PF F F ->的情况.综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或者射线. 应选：D【点睛】本小题主要考察双曲线定义的辨析，属于根底题. 6.〕A.x R ∀∈，2210x x -+>B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=D.x R ∀∈，12x x+≥ 【答案】C 【解析】 【分析】 .【详解】A.x R ∀∈，2210x x -+>，当21,210x x x =-+=B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <，当,tan 14x x π== C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=，满足题意； D.x R ∀∈，12x x +≥，当10,2x x x<+≤-. 应选：C 【点睛】.7.假设方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么实数a 的取值范围是〔〕A.6a <B.6a <且0a≠ C.2a > D.2a >或者3a <-【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程形式得2060a a ⎧≠⎨-<⎩，即可得解.【详解】方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么2060a a ⎧≠⎨-<⎩，解得：6a <且0a ≠.应选：B【点睛】此题考察双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于纯熟掌握双曲线方程的形式.8.1F ，2F 是椭圆(222:13x y C a a+=>的两个焦点，P 是C 上一点.假设1260F PF ∠=︒，那么12F PF △的面积为〔〕B. D.与a 有关【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质结合余弦定理求得124F P PF ⋅=，利用三角形面积公式即可得解.【详解】根据椭圆几何性质可得：122F P PF a +=，12F PF △中，由余弦定理：222121212F F F P PF F P PF =+-⋅，即()221212123F F F P PF F P PF =+-⋅()22124343a a F P PF -=-⋅，解得：124F P PF ⋅=12F PF △的面积为121sin 602F P PF ⋅⋅︒=. 应选：A【点睛】此题考察椭圆的几何性质的应用，结合余弦定理和面积公式求三角形面积，关键在于纯熟掌握椭圆根本性质和三角形相关定理公式.9.1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点，直线23b y =与该椭圆交于B ，C ，假设2BF C △是直角三角形，那么该椭圆的离心率为〔〕B.【答案】D 【解析】 【分析】联立直线和椭圆求出交点坐标22,,,3333b b B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别讨论直角情况即可得解.【详解】联立直线和椭圆方程：2222123x y a b b y ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩ 所以直线23b y =与椭圆()222210x y a b a b+=>>的交点坐标22,33b b B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为椭圆焦点在x 轴，所以角B 不可能为直角，当角Cc =，即e =；当角2F 为直角时，220F B F C ⋅=，即22,,03333b b c c ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22254099a b c -+=，2222544099a a c c --+=225c a =，5e =.应选：D【点睛】此题考察根据直线与椭圆位置关系，结合三角形形状求解离心率，关键在于准确求出直线与椭圆的交点坐标，根据垂直关系建立等量关系求椭圆离心率.10.双曲线221916x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，且1245cos F PF ∠=，那么12F PF △内切圆的面积为〔〕A.211πB.83π C.649π D.176121π【答案】C 【解析】 【分析】 根据1245cos F PF ∠=求出三角形的边长和面积，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得到面积. 【详解】由题：1245cos F PF ∠=，那么123sin 5F PF ∠=，P 为右支上一点， 12F PF △中由余弦定理：()()22212111146265F F F P F P F P F P =++-⋅+⨯解得110F P =，12F PF △的面积121310164825F PF S =⨯⨯⨯=△，设其内切圆半径为r ，()101016482r ++=，解得：83r = 那么12F PF △内切圆的面积为286439ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭【点睛】此题考察根据双曲线的几何性质求解焦点三角形的面积和内切圆的半径，根据等面积法求解半径得到圆的面积. 11.〕A.假设a ba c ⋅=⋅，那么bc =B.正数,a b ，假设2a b+≠a bC.0x N +∃∈，使200x x ≤D.正数,x y ，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件【答案】BCD 【解析】 【分析】 考虑0a=可断定A.【详解】A 选项：假设0a =，任意向量,b c ，0a b a c ⋅=⋅=，不能推出b c =B ,a b ，假设ab =，那么2a b+= C 选项：当01x =D 选项：正数,x y ，lg lg 0x y +=等价于lg 0xy =，等价于1xy =，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件应选：BCD 【点睛】.12.〔多项选择题〕双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，那么双曲线1C 的离心率可能为〔〕C.2D.3【答案】CD 【解析】 【分析】根据渐近线的平分关系求出斜率，根据斜率为b a =b a =.【详解】双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，根据双曲线对称性可得：双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为30°和60°，其斜率为b a =b a =，所以其离心率为2或者3. 应选：CD【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线关系求离心率，关键在于对题目所给条件进展等价转化，利用双曲线根本量之间的关系求解.13.〔多项选择题〕以下说法正确的选项是〔〕 A.方程2xxy x +=表示两条直线B.椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，那么4m =C.曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D.双曲线2222x y a b λ-=的渐近线方程为b y x a=±【答案】ACD 【解析】 【分析】B 选项漏掉考虑焦点在y 轴的情况，ACD 说法正确. 【详解】方程2xxy x +=即()10x x y +-=，表示0x =，10x y +-=两条直线，所以A 正确；椭圆221102x ym m+=--的焦距为4，那么()1024m m---=或者()2104m m---=，解得4m=或者8m=，所以B选项错误；曲线22259x yxy+=上任意点(),P x y，满足22259x yxy+=，(),P x y关于坐标原点对称点(),P x y'--也满足()()()()22259x yx y--+=--，即(),P x y'--在22259x yxy+=上，所以曲线22259x yxy+=关于坐标原点对称，所以C选项正确；双曲线2222x ya bλ-=即0λ≠，其渐近线方程为by xa=±正确，所以D选项正确.应选：ACD【点睛】此题考察曲线方程及简单性质辨析，涉及认识曲线方程，研究对称性，根据椭圆性质求参数的取值，求双曲线的渐近线.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.〕14.方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么实数a的取值范围是_______.【答案】()()5,66,7【解析】【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组可得507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即可求解.【详解】由题方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得()()5,66,7a ∈故答案为：()()5,66,7【点睛】此题考察根据曲线方程表示椭圆求参数的取值范围，关键在于纯熟掌握椭圆的HY方程特征，此题容易漏掉考虑a =6的情况不合题意.15.假设“0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <〞m 的取值范围是________. 【答案】0m >【解析】【分析】 根据0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，实数m 的取值范围，即()min tan x m <. 【详解】0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，即()min tan x m <， tan y x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，()min tan 0x = 即0m >.故答案为：0m >【点睛】.16.2F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，P 是椭圆上的动点，(A 为定点，那么1PA PF +的最小值为_______.【答案】6【解析】【分析】 将问题进展转化12288PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，根据动点到两个定点间隔之差的最值求解. 【详解】()22,0F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，()12,0F -是椭圆2211612x y +=的左焦点，128PF PF +=(A 在椭圆内部，1222888826PA PF PA PF PA PF AF +=+-=+-≥-=-=，当P 为2F A 的延长线与椭圆交点时获得最小值.故答案为：6【点睛】此题考察椭圆上的点到椭圆内一点和焦点的间隔之和最值问题，关键在于利用椭圆的几何性质进展等价转化，结合平面几何知识求解.17.点A ，B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤上的动点，O 为坐标原点，且AOB 的面积为定值4.那么线段AB 中点M 的轨迹方程为_________. 【答案】22144-=y x ，0y > 【解析】【分析】设出中点坐标，根据面积关系建立等量关系化简即可得到轨迹方程.【详解】由题：()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤互相垂直，()()112212,,,,0,0A x x B x x x x -><，设线段AB 中点(),M x y ， AOB 的面积为定值4，即)12142x -=，即124x x =- 121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，两式平方得：222121222212122424x x x x x x x x x y ⎧++=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 两式相减得：22124x y x x -==- 即22144-=y x ，0y >故答案为：22144-=y x ，0y > 【点睛】此题考察求轨迹方程，关键在于根据给定的条件建立等量关系，此类题目容易漏掉考虑取值范围的限制.三、解答题〔本大题一一共6小题，总分值是82分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕18.集合{}2(3)0A x x a x a =+-+=，{}0B x x =>.假设A B =∅.务实数a 的取值范围.【答案】(](),19,a ∈-∞+∞【解析】【分析】 将问题转化考虑A B =∅a 的取值范围，即可得到假设A B =∅a 的取值范围. 【详解】考虑A B =∅2(3)0x a x a +-+=没有正根， ①()2340a a ∆=--<得()1,9a ∈； ②()2340a a ∆=--=得1a =，或者9a =， 当9a =时{}{}26903A x x x =++==-符合题意，当1a =时{}{}22101A x x x =-+==，不合题意，所以9a =； ③()23403020a a a a ⎧∆=-->⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎩无解； 综受骗A B =∅(]1,9a ∈，所以假设A B =∅(](),19,a ∈-∞+∞【点睛】.19.对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，且长轴长与短轴长之比为4:3.求该椭圆的HY 方程. 【答案】221169x y +=或者221169y x += 【解析】【分析】根据椭圆的长轴短轴长度之比设椭圆的HY 方程，根据椭圆经过的点求解参数即可得解.【详解】由题：对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，长轴长与短轴长之比为4:3，当焦点在x 轴上，设椭圆的HY 方程为221169x y m m+=，m >0，椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 14414412516259m m+=⨯⨯，解得：m =1， 所以椭圆的HY 方程为221169x y += 同理可得当焦点在y 轴上，椭圆的HY 方程为221169y x +=， 所以椭圆的HY 方程为221169x y +=或者221169y x += 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据长轴短轴长度关系设方程，根据椭圆上的点的坐标求解，易错点在于漏掉考虑焦点所在位置.20.“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞.〔1〕务实数m 的取值集合A ；〔2〕设不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕{}32A m m =-≤≤；〔2〕()(),23,a ∈-∞-+∞【解析】【分析】〔1〕将问题转化为()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，即可求解；〔2〕分类讨论求解A B ⊆即可得到参数的取值范围.【详解】〔1“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞是.即()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，所以[]3,2m ∈- 即{}32A m m =-≤≤；〔2〕不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件， 当23a =不合题意； 当23<a 时，112a a -<-，()1,12B a a =--，13122a a -<-⎧⎨->⎩，得2a <-； 当23a >时，112a a ->-，()12,1B a a =--，12123a a ->⎧⎨-<-⎩，得3a >； 所以()(),23,a ∈-∞-+∞【点睛】此题考察根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.21.设1F ，2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左，右焦点，假设P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF ⋅的最大值为1.求椭圆E 的方程. 【答案】2214x y += 【解析】【分析】设出焦点坐标，表示出12PF PF ⋅利用函数关系求出最大值，即可得到21b =.【详解】由题：()1F ，)2F 分别是椭圆222:14x y E b +=的左，右焦点，设(),P x y 施椭圆上的动点，即[]222221,0,4,44x y x b b+=∈<， ()22222221124444x b x b x b b ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，当2x =4时，获得最大值， 即21b =， 所以椭圆的方程为2214x y +=. 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据椭圆上的点的坐HY 确计算，结合取值范围求解最值.22.平面直角坐标系中两个不同的定点()1,0F a -，()2,0,0F a a >，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠，求动点P 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.【答案】见解析.【解析】【分析】 根据斜率关系化简得22221x y a ma-=，分类讨论得解． 【详解】设(),P x y ，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠， 即y y m x a x a ，222y mx ma =-，22221x y a ma-=， 当1m =-轨迹是圆，不含点()1,0F a -，()2,0,0F a a >；当0m >，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为顶点的双曲线，不含顶点()1,0F a -，()2,0F a ； 当10m -<<，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为长轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ； 当1m <-，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为短轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ．【点睛】此题考察曲线轨迹的辨析，关键在于根据题意建立等量关系，根据曲线轨迹方程分类讨论得解.23.椭圆221:1169x y C +=和双曲线222:1169x y C -=，点A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 在双曲线2C 上，直线OP 与椭圆1C 交于点Q 〔不与点A ，B 重合〕，设直线AP ，BP ，AQ ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k .〔1〕求证：12916k k ⋅=； 〔2〕求证：1234k k k k +++的值是定值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕设(),P x y ，表示出斜率即可求得斜率之积；〔2〕设直线:OP y kx =，0k≠，依次求解P ，Q 坐标，表示出斜率之和化简即可得解. 【详解】〔1〕由题：()()()4,0,4,0,,A B P x y -满足221169x y -=，229116x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 21229441616y y y k k x x x ⋅=⋅==+--； 〔2〕根据曲线的对称性不妨设直线:OP y kx =，0k ≠， 联立221169y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221169x k x +=，22144916x k =+，不妨取Q ⎛⎫，同理可得：P ⎛⎫ 所以1234k k k k +++的值是定值.【点睛】此题考察椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率求解斜率之积和斜率之和证明结论.。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
陕西高二高中数学月考试卷带答案解析
陕西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．2.在中，，那么三边之比∶∶等于（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶∶2D．2∶∶13.从甲处望乙处的仰角为，从乙处望甲处的俯角为，则与的关系为A．B．C．D．4.在中，，则（）A．B．C．D．等于（）5.在等差数列中，已知，则S21A．100B．105C．200D．06.在等比数列中，，则公比为（）A．1B．1或－1C．或D．2或－2 7.在中，若，则的外接圆半径为（）A．B．C．D．8.在中，已知，则的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形9.在中，已知角B=300，AB=，AC=2．则的面积为（）A．B．或C．D．或10.在数列中，且满足．则（）A．B．10C．D．2011.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°二、填空题1.设一个等差数列，由三个数组成，三个数之和为9 ，三个数的平方和为35，则公差= ．2.已知数列的前n项和，求数列的通项公式．3.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成600的视角，从B岛望C岛和A岛成300的视角，则B、C间的距离是___________________海里．4.在△ABC中，若，，则．5.已知数列中，，则数列通项公式=______________．三、解答题1.已知等差数列满足，，求数列的前项和2.如图，在塔底B测得山顶C的仰角为600，在山顶C测得塔顶A的俯角为450，已知塔高为AB=20m，求山高CD．3.在中，分别是角A、B、C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若，求的面积．4.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前n项和陕西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,所以数列各项被开方数为等差数列，公差为3，因此通项公式为【考点】数列通项公式2.在中，，那么三边之比∶∶等于（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶∶2D．2∶∶1【答案】C【解析】【考点】正弦定理解三角形3.从甲处望乙处的仰角为，从乙处望甲处的俯角为，则与的关系为A．B．C．D．【答案】B【解析】从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故【考点】仰角、俯角的概念4.在中，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】余弦定理解三角形等于（）5.在等差数列中，已知，则S21A．100B．105C．200D．0【答案】B【解析】由等差数列性质可知【考点】6.在等比数列中，，则公比为（）A．1B．1或－1C．或D．2或－2【答案】B【解析】【考点】等比数列通项公式7.在中，若，则的外接圆半径为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，外接圆半径为【考点】正弦定理解三角形8.在中，已知，则的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】C【解析】，三角形为等腰三角形【考点】三角函数基本公式9.在中，已知角B=300，AB=，AC=2．则的面积为（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】由正弦定理得或，所以或，由面积公式可知或【考点】正弦定理及三角形面积公式10.在数列中，且满足．则（）A．B．10C．D．20【答案】A【解析】由可知数列为等差数列，由可得【考点】等差数列11.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°【答案】B【解析】长为7的边对应的角满足，，所以最大角与最小角之和为120°【考点】余弦定理解三角形二、填空题1.设一个等差数列，由三个数组成，三个数之和为9 ，三个数的平方和为35，则公差= ．【答案】【解析】设等差数列三个数为，解方程组得，所以公差为【考点】等差数列2.已知数列的前n项和，求数列的通项公式．【答案】【解析】当时，当时综上可知【考点】数列通项公式3.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成600的视角，从B岛望C岛和A岛成300的视角，则B、C间的距离是___________________海里．【答案】【解析】依题意，作图如下：∵∠CAB=60°，∠ABC=30°，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角，又|AB|=10海里，∴|BC|=|AB|sin60°=10×=海里，【考点】正弦定理的应用4.在△ABC中，若，，则．【答案】【解析】由余弦定理可得【考点】余弦定理5.已知数列中，，则数列通项公式=______________．【答案】【解析】为等比数列，公比为3，首项为，所以通项公式为【考点】构造法求数列通项公式三、解答题1.已知等差数列满足，，求数列的前项和【答案】【解析】将已知条件转化为用等差数列的首项和公差表示，通过解方程组求得基本量的值，从而求得数列的前项和试题解析：设的公差为，则即因此【考点】等差数列及求和2.如图，在塔底B测得山顶C的仰角为600，在山顶C测得塔顶A的俯角为450，已知塔高为AB=20m，求山高CD．【答案】【解析】先根据三角形内角和求得∠BAC，进而根据正弦定理求得BC，最后在Rt△BCD中，根据CD=BC•sin∠CBD求得答案试题解析：在中，AB=20，B=300，C=150，由正弦定理得：，在中，故山高m．【考点】解三角形的实际应用3.在中，分别是角A、B、C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）变形已知式子代入结合角的范围可得；（2）由余弦定理可得，代入数据配方整体可得ac，代入面积公式可得试题解析：（1）由已知得（2）将代入中，得，【考点】余弦定理；正弦定理4.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）设的公差为d，的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得、的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和试题解析：：（Ⅰ）设的公差为d，的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以（Ⅱ）①②①-②得则【考点】1．等差数列等比数列的通项公式；2．错位相减法数列的求和。
湖北云学名校联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间：2024年10月15日15：00-17：00 时长：120分钟满分：150分是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i32i 12i 1i 1i1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1C. 0或1D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可. 【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB=⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅ 169912129=++−−+19=.所以PQ =.故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误； 对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ==，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2. 故选：D.二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213APk −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−±.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．【答案】BCD 【解析】【分析】以{},,OA OB OC为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅=.对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+−2133AB AC +()()2133OB OA OC OA =−+−2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA =时，DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ，又AB OB OA =−，所以13DH AB OC − .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确；对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+−12152336OA OA OB OC OA =+−++− 111336OA OB OC =−++，所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅ 2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅1119660336=−×+×+×=，所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥，故C 正确；对D ：设OH OA λ=，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =−()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− .所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OAλλ =−−⋅()2233OA OA OB OA OCλλλ−⋅−⋅296λλ−，()01λ≤≤.当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8． 【答案】ACD 【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假. 【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >. 此时圆C ：()()2245x y a −+−=.因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP=又CP =⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==，cos ACP ∠==41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角， 所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确； 对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MP NPBP=⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=−+=.又1sin 2PACS PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBCS BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠.所以22sin PAC PBC S S PA PB APC⋅=⋅⋅∠ 28sin APC ∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______． 【答案】49 【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点， 圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =， 则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max 27PA AO r=+=+=, 所以22max749PA==； 故()()2243x y −++的最大值是49. 故答案为：49.13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = ，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， ()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C >，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =..14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED ，EG ，因为H 为AAAA 上的靠近D 的三分点，所以13DH AD =， 因为E 为AAAA 的中点，所以点E 到AAAA 的距离为点B 到AAAA 的距离的一半， 所以16DEH BAD S S = ， 又G 为CCAA 上靠近D 的三分点，所以点G 到平面ABD 的距离为点C 到平面ABD 的距离的13， 所以111119663182G DEH G BAD C BAD V V V −−−==×=×=， 1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGD S S S S S S =−=−= 四边形， 所以2211933323E BFGD E BCD A BCD V V V −−−==×=×=， 所以多面体EFGHBD 的体积为17322G DEH E BFGD V V −−+=+=. 故答案为：72. 【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】 样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=. 所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x ×+×=. 【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线0x y −+=上， 所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=， 又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=， .又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=， 在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=，整理得21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=. 17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠， 因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA A C ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC =， 为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ， 设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅=== 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】 设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = = , 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+=可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=， 由220,230x y y +−= −=可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°. 所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =−− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB 上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= ++−+=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。
高二10月月考(数学)试题含答案
高二10月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．已知向量()2,a m =，()3,6b =，若a b ⊥，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-2.（5分）2．如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形OAB ，斜边长1OB =，那么原平面图形的面积是（ ）A ．2BCD ．123.（5分）3．下列命题中正确的个数是（ ）①四边形是平面图形；①四条线段顺次首尾相连，它们可能确定4个平面； ①若直线//a b ，直线b α⊂，则//a α；①如果直线l 不垂直于平面α，则α内就没有直线与l 垂直. A ．0B ．1C ．2D ．34.（5分）4．已知直线1:10l kx y -+=与2:(4)10l kx k y +-+=平行，则k 的值是（ ） A ．5B ．0或5C ．0D ．0或15.（5分）5．已知角a 的终边过点()3,4-，则sin 2a 的值为（ ）A ．725B ．2425C ．725-D ．2425-6.（5分）6．若a ，b ，c ，m ，n 为空间直线，α，β为平面，则下列说法错误的是（ ）A ．//a b ，b c ⊥，则a c ⊥B ．m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m nD ．a ，b 是异面直线，则a ，b 在α内的射影为两条相交直线7.（5分）7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1,BC CC 的中点，则点C 到平面AEF 的距离为（ ）A B C ．34 D ．238.（5分）8．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB PA =，则平面ABP 与平面CDP 夹角的余弦值为（ ）A ．13B C D 9.（5分）9．ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--．若//p q ，则角C 的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π10.（5分）10．在直三棱柱111ABC A B C -中，若ABC 为等边三角形，且1BB ，则1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A ．38B ．14C D ．5811.（5分）11．已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若ƒ(-a )+ƒ(a )≤2ƒ(1)，则实数a 的取值范围是 A ．[-1，0)B ．[0，1]C ．[-1,1]D ．[-2,2]12.（5分）12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -满足12AB AA =，点E 在线段1DD 上移动，F 点在线段1BB 上移动，并且满足1DE FB =.则下列结论中正确的是（ ）A ．直线1AC 与直线EF 可能异面B ．直线EF 与直线AC 所成角随着E 点位置的变化而变化 C ．三角形AEF 可能是钝角三角形D ．四棱锥A CEF -的体积保持不变二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．在等差数列{}n a 中，8100S =，16392S =，求24S =____________ 14.（5分）14．已知直线50x -=，则其倾斜角为____________．15.（5分）15．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________.16.（5分）16．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点，则下列结论中，正确结论的序号是_______________(把所有正确结论序号都填上).①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；①B 1D 1//平面EFG ；①四面体ACB 1D 1的体积等于12a 3；①BD 1①平面ACB 1；①二面角D 1－AC －D 平面角的正切值为.三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（本小题10分）（1）以(1,1)A ，(3,2)B ，(5,4)C 为顶点的ABC ，求边AB 上的高所在的直线方程（2）若点P 在直线350x y +-=上，且P 到直线10x y --=P 的坐标18.（12分）18．（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60度．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值.19.（12分）19．（本小题12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（①）求数列{}n a 的通项公式；（①）若12n n b -=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .20.（12分）20．（本小题12分）如图，边长为2的正方形ACDE 所在平面与平面ABC垂直，AD 与CE 的交点为M ，AC BC ⊥，且AC BC =，（1）求证：AM ⊥平面EBC ；（2）求直线AD 与平面ABE 所成线面角．21.（12分）21．（本小题12分）如图，在四边形ABCD 中，π3DAB ∠=，:2:3AD AB =，BD =AB BC ⊥．（1）求sin ABD ∠的值； （2）若2π3BCD ∠=，求CD 的长．22.（12分）22．（本小题12分）如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD △折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）求二面角1A BD C --所成角的余弦值．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）B 2.（5分）B 3.（5分）B 4.（5分）C5.（5分）D/6.（5分）D7.（5分）D8.（5分）B9.（5分）B10.（5分）D/11.（5分）C12.（5分）D二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分） 13．87614.（5分） 14．56π15.（5分） 15．9216.（5分） 16．①④三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分） 17．解：（1）2140x y +-=. （2）(1,2)P 或(2,1)-． 18.（12分）18.解：（1）因为PO ⊥平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ，所以PBO ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，60PBO ∠=︒，PO OB ⊥，在直角三角形AOB 中，sin301OB AB =︒=，因为PO OB ⊥，所以tan 60PO OB =︒=ABCD 的面积为所以四棱锥P ABCD -的体积为123⨯，（2）取AB 的中点F ，连接，,EF DF 因为E 是PB 的中点，所以EF ∥PA ， 所以FED ∠是异面直线DE 与PA 所成的角（或它的补角），在直角三角形AOB中，cos30AO AB OP =︒=，所以在等腰直角三角形APO中，PA =EF =, 在等边三角形ABD 和等边三角形PBD 中,DE DF ==12cos EFFED DE ∠===所以异面直线DE 与PA所成角的余弦值为4，19．19.（12分）解：（①）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，由1a ，2a，5a 成等比数列，可得2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，解得2d =或0d =（舍），所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-. （①）由（①）得()1212n n n a b n -⋅=-⨯所以()0121123252212n nT n -=⨯+⨯+⨯++-⨯，可得()()12121232232212n n nT n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得()01212222222212n n nT n --=+⨯+⨯++⨯--⨯()()()()1212122121422212332212n n n n n n n n -⨯-=+⨯--⨯=-+⨯--⨯=-+-⨯-所以()3232n nT n =+-⨯.20.（12分）20.（1）证明：由ACDE 是正方形，则AM EC ⊥，面ACDE ⊥面ABC ，面ACDE面ABC AC =，AC BC ⊥，BC ⊂面ABC ，BC ∴⊥平面ACDE ，又AM ⊂平面ACDE ，AM BC ∴⊥，而EC BC C =，AM ∴⊥平面EBC ．（2）过C 作CFAB ⊥于F ，而ACDE 是正方形，即AE AC ⊥，面ACDE ⊥面ABC ，面ACDE 面ABC AC =，AE ⊂面ACDE ，∴AE ⊥面ABC ，CF ⊂面ACE ，则AE CF ⊥，又AEAB A =，∴CF ⊥面ABE ，即C 到面ABE的距离为CF =//CD AE ，易知//CD 面ABE ，∴D 到面ABE的距离h CF ==设直线AD 与平面ABE 所成线面角θ，故1sin 2h AD θ===， ∴直线AD 与平面ABE 所成线面角为6π． 21.（12分）21．解：（1）因为:2:3AD BD =， 所以可设2AD k =，3AB k =，0k>．又BD =π3DAB ∠=，所以由余弦定理，得()()222π32232cos3k k k k =+-⨯⨯，解得1k =, 所以2AD =，3AB =，2sin sin AD DABABD BD∠∠===．（2）因为AB BC ⊥，所以cos sin DBC ABD ∠=∠=所以sin DBC ∠=sin sin BD CD BCD DBC =∠∠，所以CD ==22.（12分）（文）22．（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=︒， DE ∴⊥平面ABCD ，DE AC ∴⊥．ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，因为,BD DE ⊂平面BDE ,BD DE D ⋂=,AC ∴⊥平面BDE .（2）证明：设AC BD O =，取BE 中点G ，连接FG ，OG ，OG 为BDE 的中位线1//2OG DE ∴//AF DE ，2DE AF =，//AF OG ∴，∴四边形AFGO 是平行四边形，//FG AO ∴．FG ⊂平面BEF ，AO ⊂/平面BEF ，//AO ∴平面BEF ，即//AC 平面BEF ．3（）平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面.ADEF 因为//9022AF DE ADE DE DA AF ∠=︒===，，，DEF ∴的面积为122DEFSED AD =⨯⨯=，∴四面体BDEF 的体积1433DEFV S AB =⋅⨯=又因为O 是BD 中点，所以1223BOEF BDEF V V == 2.3BOEF V ∴=（理）22．（1）证明：四边形ABCD 是矩形，BC CD ∴⊥，1A O ⊥平面BCD ，且BC ⊂平面BCD ，1BC A O ∴⊥，1CDAO O =，BC ∴⊥平面1A CD ， 1A D ⊂平面1A CD ，1BC A D ∴⊥；（2）证明：翻折前，由于四边形ABCD 为矩形，则AB AD ⊥， 翻折后，对应地，有11A D A B ⊥，由（1）知，BC ⊥平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD ，1A D BC ∴⊥， 1A B BC B ⋂=，1A D ∴⊥平面1A BC ，1A D ⊂平面1A BD ，∴平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）过点O 在平面ABCD 内作OE BD ⊥，垂足为点E ，连接1A E ，因为1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AO BD ⊥， OE BD ⊥，1AO OE O ⋂=，BD ∴⊥平面1A OE ， 1A E ⊂平面1A OE ，故1BD A E ⊥，所以，二面角1A BD C --所成角的平面角为1A EO ∠，由（2）知，1A D ⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，11A D AC ∴⊥，16A D AD BC ===，10CD AB ==，18AC ∴=， 111245AC A D AO CD ⋅∴==，在1Rt A BD 中，16A D =，110A B =，BD ==1A O ⊥平面ABCD ，OE ⊂平面ABCD ，1A O OE ⊥，所以，111A B A D A E BD ⋅===，EO =，所以，119cos 25EO A EO A E ∠==， 因此，二面角1A BD C --的余弦值为925.。
高二月考数学试题
高二月考数学试题 总分150分一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．关于频率分布直方图，下列有关说法正确的是 （ D ） A ．直方图的高表示取某数的频率。
B ．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率。
C ．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值。
D ．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值。
2．下列说法错误．．的是 ( C ) A ．命题“若0232=+-x x 则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ”。
B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件。
C ．若p q 且为假命题，则p ．q 均为假命题。
D ．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥。
3．若函数f （x ）=2x 2－1的图象两点（1，1）及（1+Δx ，1+Δy ），则xy∆∆等于（ C ） A ．4 B ．4x C ．4+2Δx D ．4+2Δx 2 3．已知点A(1, -2, 11)，B(4, 2, 3)，C(6, -1, 4)，则△ABC 的形状是 （ C ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形4．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 （ D ） A 855 B 455833 D 4335．曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 （ A ） A ．y =－3x +2 B ．y =3x －4 C ．y =－4x +3 D ．y =4x －5 5．已知四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，给出下列命题：①AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅；②2222|AB AC AD ||AB ||AC ||AD |++=++；则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的是 （ A ） A ．①真②真 B ．①假②真 C ．①假②假 D ．①假②真6．已知动点P （x ,y ）到点（1，2）的距离等于到直线3x+4y-11=0的距离，则P 点的轨迹是 （ A ）A ．直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆7．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 （ B ） A ．2 B ．4 C ．2- D ． 4-8．过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有 （ C ）A.1条B.2条C. 3条D. 0条 9．双曲线的渐近线方程为3y x 4=±，则双曲线的离心率为 （ D ） A ．53 B ．54 C 515 D ．5534或10．下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是（D ）游戏1 游戏2 游戏33个黑球和一个白球 一个黑球和一个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 A. 游戏1和游戏3 B. 游戏1 C. 游戏2 D. 游戏3二．填空题（本大共6小题，每小题6分，共36分）11．写出命题：“R x ∃∈，使23+x =0”的否定3R,x +20x ∀∈≠使。
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潮阳实验学校2015－ 2016 学年度第一学期第一次月考高二数学本试卷分选择题和非选择题两部分,全卷满分150 分，考试时间120 分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对。
2.答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，作图题可先用铅笔在答题．．．．．．卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区．域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.考试结束，务必将答题卡上交，试卷和草稿纸请自己带走。
一．选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{ x|x2－ 2x＝ 0} ， B＝ {0 ， 1， 2} ，则 A∩B＝ ()A． {0}B．{0，1}C．{0 ， 2}D．{0，1，2}2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A ．y e x B．y x C．y ln x D．y x3．下列推理错误的是()A ． A∈ l， A∈ α， B∈ l， B∈ α? l? αB ．A∈ α， A∈ β， B∈ α， B∈ β? α∩ β＝ ABC．l?α， A∈ l? A?αD． A∈ l， l? α? A∈α4. 已知圆的半径为cm ，圆心角为120所对的弧长是 ()A ．cmB ．22cm22cm C． D ．cm 3333 5．根据如下样本数据：x345678y 4.0 2.5－ 0.50.5－2.0－ 3.0得到的回归方程为^) y＝ bx＋ a，则 (A． a>0， b>0 B ．a>0 ， b<0C． a<0， b>0D． a<0 ，b<0 6．tan 690的值为 ()33 C ．3D ．3A ．B ．337．执行如图 2 的程序框图，如果输入的N 的值是 6，那么输出的p 的值是 ()A ．15B ． 105C ． 120D ．720否开始输入 Nk 1, p 1p p kk N ?输出 p结束是k k2图 28. 已知 m ， n 表示两条不同直线， α表示平面．下列说法正确的是()A ．若 m ∥ α， n ∥ α，则 m ∥ nB ．若 m ⊥ α， n? α ，则 m ⊥ nC ．若 m ⊥ α， m ⊥n ，则 n ∥ αD ．若 m ∥ α， m ⊥ n ，则 n ⊥ α9．已知 a (3,4) ， b(2,1) ，则 a 在b 方向上的投影为 ()A ． 2B ．5 2C ．2 5D ． 510．若将函数 f ( x) sin 2x cos2 x 的图像向右平移 个单位， 所得图像关于 y 轴对称，则的最小正值是（）A ．B ．C ．338D ．84411.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时， 属醉酒驾车． 某地对涉嫌酒后驾车的 28800 人进行血液检测， 根据检测结果绘制的频率分布直方图如图 1 所示．则这 28800 人中属于醉酒驾车的人数约为（）A ． 4320B ． 2880C ． 8640D ． 576012. 已知函数 f ( x) 是定义域为 R 且周期为3 的奇函数， 当 x(0, 3) 时， f ( x) ln( x 2 x 1) ，2则函数 f ( x) 在区间 [0，6] 上的零点个数是（）A ．3B ．5C ．7D ．9二．填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分 20 分13．在等比数列{ a n}中，若a2a33a1，则 a4．y114．若x、y满足x y10 ，则z3x y 的最小值为.x y1015．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积是 _____________.正视图侧视图16．定义域为 R 的函数f ( x)满足f ( x2) 3 f (x) ，当 x[ 0,2] 时， f ( x) x2 2 x ，当x[4,2] 时，1 ( 3俯视图f ( x)t ) 恒成立，则实数t的取值范围是_________18t三.解答题：本大题共 6小题，满分 70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分10 分）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b， c ，且cos A C3．23（ 1）求cos B的值；（ 2）若a3，b 2 2 ，求 c 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，正方形 OABC的边长为 2（ 1）在其四边或内部取点P(x, y) ，且 x, y Z ，求事件：“ | OP | 1”的概率；（ 2）在其内部取点P( x, y) ，且 x, y R ，求事件：“POA ，PAB ，PBC ，PCO 的面积均大于2”的概率。
y3C BO A x19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥O－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， OA⊥底面 ABCD ，OA＝ 2，M为 OA 的中点。
（1）求四棱锥 O－ABCD 的体积；（2）求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小。
20.（本小题满分12 分）设数列 a n满足 a1a2a3a n2n， n N* 2222n 1．（ 1）求数列a n的通项公式；（ 2）设b na n，求数列b n的前 n 项和 S n。
a n 1 a n 1 121.（本小题满分12 分）已知在多面体ABCDE 中， AB平面 ACD，DE//AB， AC AD CD DE 2，AB 1， F 是 CD 的中点，AB（1）求证：CD平面ABF；（2）求多面体ABCDE的体积。
C FD22．（本小题满分 12 分）E 已知函数 f (x) x 2 1x2kx ．（ 1）若k 2，求方程f (x)0 的解；（ 2）若关于x的方程f (x)0 在0,2 上有两个解 x1 , x211．，求 k 的取值范围，并证明4x1x2潮阳实验学校 2015－2016学年度第一学期第一次月考高二数学参考答案及评分参考一．选择题： CBCDBABBCCAD二．填空题： 13.3 14. 1 15. 33 )16. [ 1,0) [3,2三 .解答题：17.（本小题满分 12 分）解：（1）在△ ABC 中， AB C．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1 分所以 cosAC cos 2B ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2 分2sinB3 ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 分23所以 cos B 1 2sin 2 B1 ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分23（ 2）因为 a 3， b 22 ， cos B 1，3由余弦定理 b 2 a 2 c 2 2ac cos B ， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 8 分得 c 2 2c 10 ．解得 c1 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,10 分18.（本小题满分 12 分）解： 1） P(x, y) 共有 9 种情形：(0,0) ， (0,1) ， ( 0,2) ， (1,0) ， (1,1) ， (1,2) ， (2,0) ， (2,1) ， (2,2) ⋯⋯2 分满足 |OP | 1，即x 2 y 2 1共有 6种( 0,2) ， (1,1) ， (1,2) ， (2,0) ， (2,1) ， (2,2) 。
⋯⋯4 分因此所求的概率是：6 2⋯⋯6分932）设 P 到 OA 的距离为 d ，则S POA1 2 d 2， d2⋯⋯8分233所以 P 到 OA AB BC CO 的距离均大于2 ⋯⋯9 分3(2 22)213因此所所求的概率是：,, 12分2 2919. （本小题满分 12 分）解 :(1)由已知可求得，正方形 ABCD 的面积 S ＝4，18所以，四棱锥 O－ABCD 的体积 V＝3×4×2＝3.(2)连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME ， DE ，则∠ EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角 (或其补角 )，由已知，可得 DE ＝2， EM ＝3，MD ＝5，∵( 2)2＋ ( 3)2＝( 5)2，∴△ DEM 为直角三角形，∴tan∠ EMD ＝DE26＝＝ . EM3320.（本小题满分 12 分）解：（ 1）因为a1a2a3a n2n ， n*，①2222n 1N所以当 n1时，a 2 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1当 n 2 时， a1a2a3an 12 n 1 ，②,,,,,, 2222n 2a n 2．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①－②得，2n 1所以 a n2n．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,因为 a12 ，适合上式，所以 a2n n N *． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n（ 2）由（ 1）得a n2n．所以 b na n2n,,,,,,,,,,,,,,a n 1 a n 112n 1 2n 1111．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2n12n11⋯⋯ 5分⋯⋯8 分⋯⋯10 分,,12 分1分2分4分5分6分8分10分所以 S n b 1 b 2b n1 11 11 1 1 13 3 77 152n 1 2n 1 111．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2n 1 121.（本小题满分 12 分）证明由AB平面 ACD ， CD平面 ACDAB CDAC AD CD DE 2，F 是 CD 的中点，所以 AF CDCCD 平面 ABF2）由题意可得多面体的体积分解为V BACDVB CDE因为AB 平面 ACD ，V B ACD1S ACD AB3因为AC AD CDDE 2， AB 1S ACD1 2 2 3 32 2VB ACD1 S ACDAB13 1 3333因为 DE// AB ，AB 平面 ACD所以 DE 平面 ACD 由AF平面 ACD ，所以AFDE ，由 AF CDAF平面 CDE ，由 DE // AB则三棱锥 BCDE 的高为 AFSCDE12 22， AF32VB CDE123 S CDE AF33多面体的体积 V BACDVB CDE322．（本小题满分 12 分）解：（ 1）当 x 2 10 即 x 1,或 x 1时2x22x 1 0, x13, x1 3舍去当 x 22 21 0 即 1x 1 时A12 分B⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分DF⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分E⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分1 2x 0, x1x 131⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分综上所述，2或 x 22（ 2）一法：当 0 x1时， kx 1 ，①当 1 x 2 时， 2x 2 kx 10 ，②若 k0 则①无解，②的解为 x20 不合题意。