全国竞赛(数与式专题训练二)
教育部数学竞赛试题及答案
教育部数学竞赛试题及答案试题一：代数部分1. 计算下列表达式的值：\( (x^2 - 3x + 2) / (x - 1) \)，当\( x = 2 \)。
2. 解方程：\( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)。
3. 证明：对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，\( (a + b)^2 \leq2(a^2 + b^2) \)。
试题二：几何部分1. 已知三角形ABC中，角A为30度，角B为45度，求角C的度数。
2. 圆O的半径为5，点P在圆上，OP=3，求点P到圆心O的切线长度。
3. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
试题三：概率统计部分1. 抛掷一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
2. 从1到10的整数中随机选择一个数，求这个数是奇数的概率。
3. 一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
随机选择5名学生，求至少有3名男生的概率。
试题四：数论部分1. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( n^5 - n \) 总是能被30整除。
2. 求所有小于100的正整数，它们既是完全平方数，又是完全立方数。
3. 证明：不存在两个连续的完全平方数，它们的和是一个完全立方数。
答案：试题一：1. 将 \( x = 2 \) 代入表达式，得到 \( (2^2 - 3*2 + 2) / (2 -1) = 0 \)。
2. 解方程 \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)，使用公式 \( x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)，得到 \( x = \frac{-5 \pm\sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} \)，即 \( x = -2 \)或 \( x = \frac{1}{2} \)。
3. 证明：\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \)，而 \( 2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2 \)，显然 \( 2ab \leq 2a^2 + 2b^2 \)，所以 \( (a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) \)。
高中数学竞赛二试题
高中数学竞赛二试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是有理数？A. √2B. πC. -1/3D. 02. 如果一个函数f(x)在x=a处可导，那么下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=a处一定连续B. f(x)在x=a处不一定连续C. f(x)在x=a处一定不连续D. 以上都不对3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，那么该数列的第10项是：A. 17B. 19C. 21D. 234. 在一个平面直角坐标系中，点A(1,2)和点B(4,6)，直线AB的斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么这个直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知等差数列的首项为3，公差为2，该数列的第5项是________。
7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点是________。
8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其外接圆的半径是________。
9. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，求直线l与x轴的交点坐标________。
10. 将圆x^2 + y^2 = 25沿着x轴正方向平移3个单位后，新的圆的方程是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。
12. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
13. 已知椭圆的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0)，且椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于10。
求椭圆的方程。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：对于任意实数x和y，不等式(x + y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)总是成立。
15. 证明：如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(14).doc
加试模拟训练题(14)1、非等腰AABC的内切圆圆心为/，其与BC,CA,AB分别相切于点A^B^C,, AA r, BB, 分别交圆于爲,场，AAQG中的角平分线分别交dG，£G于点九，场，证明(1)乌令是G的角平分线；(2)如果P,0是AA］出含和肚屁场的两个外接圆2、对任意实数兀,y,z，试证：-―(%2 + y2 +9z2) < xy + 2xz + 3yz < +(x2 +)；2 +9z2).3、设"是正整数，我们说集合｛1, 2, •••, 2"｝的一个排列（勺內‘…心）具有性质P，是指在｛1, 2, •••, 2"—1｝当中至少有一个几使得I X； - x j+l \= n.求证，对于任何"，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.4、求方p r -q s 1= 1的整数解，其中是质数，r,s是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.加试模拟训练题(14)1、非等腰AABC的内切圆圆心为/，其与BC,CA,AB分别相切于点4,冋,G ,妙,BB{ 分别交圆于％，场，AA0C1中ZC1A1B I,ZC I B1A1的角平分线分别交于点九,％，证明(1) %令是的角平分线；(2)如果P,0是AA.A4和的两个外接圆的交点，则点/在直线PQ上。
证明(1 )因为AAQA s , AA5,A s AA4Q ,所以有呈=AA^ =业，从而有尘=£A =,即4 4是的角平分线。
C/1 AC] AB X B}A X BjA,昭B{A3A(2)设AA]令&的外心为O,连01,1\,0^,0\,则0/丄4令。
由于ZA J A3A=ZAC4 + ZC^A3 + ZQ^Aj = ZA]C]4 +|(ZC1A2B I + ZCjA.fi! ) = 90° + ZA1C/2，所以ZA2OI=^=180°- ZA,A3A = 90° - Z^QA2 = 90° - ZA2IO , 于是有ZZ42O=90°,即他与O相切于厶。
数学初中竞赛 数和式 专题训练(含答案)
数学初中竞赛 数与式 专题训练一．选择题1．已知100个整数a 1，a 2，a 3，…，a 100满足下列条件：a 1＝1，a 2＝﹣|a 1+1|，a 3＝﹣|a 2+1|，……a 100＝﹣|a 99+1|，则a 1+a 2+a 3+…+a 100＝（ ）A ．0B ．﹣50C ．100D ．﹣1002．a 为绝对值小于2019的所有整数的和，则2a 的值为（ ）A ．4036B ．4038C ．2D ．03．多项式a 3﹣b 3+c 3+3abc 有因式（ ）A ．a +b +cB ．a ﹣b +cC ．a 2+b 2+c 2﹣bc +ca ﹣abD ．bc ﹣ca +ab4．由（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝a 3﹣a 2b +ab 2+a 2b ﹣ab 2+b ＝a 3+b 3，即（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝a 3+b 3．我们把这个等式叫做立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）A ．（x +4y ）（x 2﹣4xy +16y 2）＝x 3+64y 3B ．（a +1）（a 2﹣a +1）＝a 3+1C ．（2x +y ）（4x 2﹣2xy +y 2）＝8x 3+y 3D ．（x +3）（x 2﹣6x +9）＝x 3+275．已知x ＝﹣，则x 3+12x 的算术平方根是（ ） A ．0B ．2C ．D ．2 6．如果，p ，q 是正整数，则p 的最小值是（ ） A ．15 B ．17 C ．72 D ．1447．式子|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣4|+|x ﹣8|的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，s ＝|2﹣2x |+|2﹣3x |+|2﹣5x |的值恒为一常数，则此常数值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．69．如果实数a 满足：﹣2014＜a ＜0，则|x ﹣a |+|x +2014|+|x ﹣a +2014|的最小值是（ ）A ．2014B ．a +2014C ．4028D ．a +402810．在，，0.2012，，这5个数中，有理数的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．现有一列数a 1，a 2，a 3，…，a 2008，a 2009，a 2010，其中a 2＝﹣1，a 31＝﹣7，a 2010＝9，且满足任意相邻三个数的和为相等的常数，则a 1+a 2+a 3+…+a 98+a 99+a 100的值为（ ）A ．0B ．40C ．32D ．2612．以下三个判断中，正确的判断的个数是（ ）（1）x 2+3x ﹣1＝0，则x 3﹣10x ＝﹣3（2）若b +c ﹣a ＝2+，c +a ﹣b ＝4﹣，a +b ﹣c ＝﹣2，则a 4+b 4+c 4﹣2（a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2）＝﹣11（3）若a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ，a 4＝a 3q ，则a 1+a 2+a 3+a 4＝（q ≠1） A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题13．如果（x +3）（x +a ）﹣2可以因式分解为（x +m ）（x +n ）（其中m ，n 均为整数），则a 的值是 ． 14．已知互不相等的实数a ，b ，c 满足，则t ＝ ． 15．将1、2、3……、20这20个自然数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作x ，另一个记作y ，代入代数式（|x ﹣y |+x +y ）中进行计算，求出其结果，10组数代入后可求得10个值，则这10个值的和的最小值是 ．16．若对于某一特定范围内的x 的任一允许值，P ＝|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣9x |+|1﹣10x |为定值，则这个定值是 ．17．甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说一个数a 的相反数是它本身，乙说一个数b 的倒数也是它本身，则a ﹣b ＝ ．18．已知a 2+4a +1＝0，且，则m ＝ ．19．对于任意实数a 、b 、c 、d ，定义有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“△”为：（a ，b ）△（c ，d ）＝（ac +bd ，ad +bc ）．如果对于任意实数u 、v ，都有（u ，v ）△（x ，y ）＝（u ，v ），那么（x ，y ）为 ．20．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得也是一个正整数，则k ＝ ．（结果用含p 的代数式表示）三．解答题21．a ，b ，c 是三角形三边长，且a 2﹣16b 2﹣c 2+6ab +10bc ＝0，求证：a +c ＝2b ．22．阅读材料：把代数式x 2﹣6x ﹣7因式分解，可以如下分解： x 2﹣6x ﹣7＝x 2﹣6x +9﹣9﹣7＝（x ﹣3）2﹣16＝（x ﹣3+4）（x ﹣3﹣4）＝（x +1）（x ﹣7）（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x 2﹣8x +7因式分解；（2）拓展：把代数式x 2+2xy ﹣3y 2因式分解：当＝ 时，代数式x 2+2xy ﹣3y 2＝0．23．阅读下列材料：我们知道|x |的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即|x |＝|x ﹣0|，也就是说，|x |表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为|x 1﹣x 2|表示在数轴上数x 1与数x 2对应的点之间的距离；例1．解方程|x |＝2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x |＝2的解为x ＝±2．例2．解不等式|x ﹣1|＞2．在数轴上找出|x ﹣1|＝2的解（如图1），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x ＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．例3．解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和﹣2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和﹣2对应的点的距离为3（如图2），满足方程的x对应的点在1的右边或﹣2的左边．若x对应的点在1的右边，可得x＝2；若x对应的点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，因此方程|x﹣1|+|x+2|＝5的解是x＝2或x＝﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|＝4的解为；（2）解不等式：|x﹣3|≥5；（3）解不等式：|x﹣3|+|x+4|≥9．24．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．（1）若小明依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是；若将1，2，3，4这4个整数任意的一个一个的输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是，最小值是；（2）若随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10，求k的最小值．25．（1）一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值，就称这个正整数为“好整数”，如4＝，2007＝，2008＝，4，2007，2008都是“好整数”，记“好整数”的集合为M，正整数的集合为N+，求证：M＝N+．（2）记a＝12+22+32+…+20122+20132，求证：a可以写成2012个不同的正整数的平方和．参考答案一．选择题1．解：∵a 1＝1，a 2＝﹣|a 1+1|，a 3＝﹣|a 2+1|，……a 100＝﹣|a 99+1|，∴a 2＝﹣2，a 3＝﹣1，a 4＝0，a 5＝﹣1，a 6＝0，a 7＝﹣1，……，a 100＝0，∴从a 3开始2个一循环，∴a 1+a 2+a 3+…+a 100＝（1﹣2）+（﹣1+0）×49＝﹣50．故选：B ．2．解：∵绝对值小于2019的所有整数有0，±1，2，±3，…，±2016，±2017，±2018， ∴a ＝2018+2017+2016+…+1+0+（﹣1）+（﹣2）+…+（﹣2017）+（﹣2018）＝[2018+（﹣2018）]+[2017+（﹣2017）]+…+[2+（﹣2）]+[1+（﹣1）]+0＝0∴2a ＝0故选：D ．3．解：原式＝（a ﹣b ）3+3ab （a ﹣b ）+c 3+3abc＝[（a ﹣b ）3+c 3]+3ab （a ﹣b +c ）＝（a ﹣b +c ）[（a ﹣b ）2﹣c （a ﹣b ）+c 2]+3ab （a ﹣b +c ）＝（a ﹣b +c ）（a 2+b 2+c 2+ab +bc ﹣ca ）．故选：B ．4．解：∵立方公式（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝a 3+b 3∵A ．（x +4y ）（x 2﹣4xy +16y 2）＝．（x +4y ）[x 2﹣4y •x +（4y ）2]＝x 3+64y 3＝x 3+（4y ）3；∴符合以上公式，故A 正确；∵B ．（a +1）（a 2﹣a +1）＝（a +1）（a 2﹣1×a +13）＝a 3+13；∴符合以上公式，故B 正确； ∵C ．（2x +y ）（4x 2﹣2xy +y 2）＝（2x +y ）[（2x ）2﹣2x •y +y 2）]＝（2x ）3+y 3；∴符合以上公式，故C 正确；∵D ．（x +3）（x 2﹣6x +9）＝（x +3）（x 2﹣2×3×x +9）＝x 3+27∴不符合以上公式，故D 正确；故选：D ．5．解：设＝a ，＝b ，则a 3＝+1，b 3＝﹣1．又∵4＝（+1）（﹣1）＝a3b3，∴x＝a2b﹣ab2，x2＝a4b2﹣2a3b3+a2b4，故原式＝x（x2+12）＝（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12）＝（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12）＝（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4）＝ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab）＝a3b3（a3﹣b3）＝（+1）（﹣1）（+1﹣+1）＝4×2＝8．则其算术平方根是：2．故选：D．6．解：由题意得， p＜q＜p，如果p＝15，则此时13.325＜q＜13.33，q没有正整数值；如果p＝17，则此时14.875＜q＜15.111，q可取15；如果p＝72，则此时63＜q＜64，q没有正整数值；如果p＝144，则此时126＜q＜128，q可取127；综上可得p的最小值为17．故选：B．7．解：当x≤2时，原式＝（2﹣x）+（4﹣x）+（4﹣x）+（8﹣x）＝18﹣4x，∵﹣4＜0，∴此时|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|≥10；当2＜x≤4时，原式＝（x﹣2）+（4﹣x）+（4﹣x）+（8﹣x）＝14﹣2x，∵﹣2＜0，∴此时6≤|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|＜10；当4＜x≤8时，原式＝（x﹣2）+（x﹣4）+（x﹣4）+（8﹣x）＝2x﹣2，∵2＞0，∴此时6＜|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|≤14；当x＞8时，原式＝（x﹣2）+（x﹣4）+（x﹣4）+（x﹣8）＝4x﹣18，∵4＞0，∴此时|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|＞14．综上可知：|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|的最小值为6．故选：C．8．解：∵s为定值，∴s的表达式化简后x的系数为0，由于2+3＝5，∴x的取值范围是：2﹣3x≥0且2﹣5x≤0，即≤x≤，∴P＝2﹣3x+2﹣3x﹣（2﹣5x）＝4﹣2＝2．故选：B．9．解：∵﹣2014＜a＜0，∴a﹣2014＜﹣2014＜a，当x＜a﹣2014时，|x﹣a|+|x+2014|+|x﹣a+2014|，＝﹣（x﹣a）﹣（x+2014）﹣（﹣a+2014），＝2a﹣4028﹣3x＞2014﹣a＞2014；当a﹣2014≤x＜﹣2014时，|x﹣a|+|x+2014|+|x﹣a+2014|，＝﹣（x﹣a）﹣（x+2014）+（x﹣a+2014），＝﹣x∈（2014，2014﹣a]；当﹣2014≤x＜a时，|x﹣a|+|x+2014|+|x﹣a+2014|，＝﹣（x﹣a）+（x+2014）+（x﹣a+2014），＝x+4028∈[2014，4028+a]；当a≤x时，|x﹣a|+|x+2014|+|x﹣a+2014|，＝（x﹣a）+（x+2014）+（x﹣a+2014），＝3x﹣2a+4028≥4028+a＞2014．综上|x﹣a|+|x+2014|+|x﹣a+2014|的最小值为2014．故选：A．10．解：是分数，是有理数；是无限不循环小数，是无理数；0.2012是分数，是有理数；＝（﹣）＝（﹣）＝（﹣1﹣）＝﹣，是有理数；对于，假设n+4＝m2（m为正整数）是完全平方数，则n+2＝m2﹣2，不是完全平方数，故是无理数．故选：B．11．解：∵a1+a2+a3＝a2+a3+a4，∴a1＝a4，同理可得a 1＝a4＝a7＝…＝a100＝a31＝﹣7，a 2＝a5＝a8＝…＝a98＝﹣1，a 3＝a6＝a9＝…＝a99＝a2010＝9，由各数出现的规律可知，从a1开始到a100的数列中，﹣7出现了34次，﹣1出现了33次，9出现了33次，则a1+a2+a3+…+a98+a99+a100＝（﹣7）×34+（﹣1）×33+9×33 ＝26．故选：D．12．解：（1）x3﹣10x＝x（x2﹣10）＝x（1﹣3x﹣10）＝﹣3（x2+3x）＝﹣3，故（1）正确；（2）a4+b4+c4﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）＝（a2﹣b2﹣c2）2﹣4b2c2＝（a2﹣b2﹣c2+2bc）（a2﹣b2﹣c2﹣2bc）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a+b+c）（a﹣b﹣c）又知b+c﹣a＝2+，c+a﹣b＝4﹣，a+b﹣c＝﹣2，可得a+b+c＝4+，故a4+b4+c4﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）＝﹣11，故（2）正确；（3）当q＝1时，a1+a2+a3+a4＝4a1，当q≠1时，a1+a2+a3+a4＝，故（3）正确，正确的有3个，故选D．二．填空题（共8小题）13．解：∵（x+3）（x+a）﹣2可以因式分解为（x+m）（x+n），∴（x+3）（x+a）﹣2＝（x+m）（x+n），展开得：a+3＝m+n 3a﹣2＝mn，进一步得到：mn＝3m+3n﹣11，整理得（m﹣3）（3﹣n）＝2，∵其中m，n均为整数，∴m﹣3＝±1或±2，∴m＝4，n＝1 a＝2 或m＝5 n＝2 a＝4或m＝2 n＝5 a＝4或m＝1 n＝4 a＝2，∴a的值是2或4，故答案为2或4．14．解：设a+＝t，则b＝，代入b+＝t，得： +＝t，整理得：ct2﹣（ac+1）t+（a﹣c）＝0 ①又由c+＝t，可得ac+1＝at②，把②代入①式得ct2﹣at2+（a﹣c）＝0，即（c﹣a）（t2﹣1）＝0，又∵c≠a，∴t2﹣1＝0，∴t＝±1．验证可知：b＝，c＝时，t＝1；b＝﹣，c＝﹣时，t＝﹣1．∴t＝±1．故答案为：±1．15．解：①若x≥y，则代数式中绝对值符号可直接去掉，∴代数式等于x，②若y＞x则绝对值内符号相反，∴代数式等于y，由此一来，只要20个自然数里面最小的十个数字从1到10任意俩个数字不同组，这样最终求得十个数之和最大值就是十个数字从1到10的和，1+2+3+…+10＝55．故答案为：55．16．解：∵P为定值，∴P的表达式化简后x的系数为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x的取值范围是：1﹣7x≥0且1﹣8x≤0，即≤x≤；所以P＝（1﹣2x）+（1﹣3x）+…+（1﹣7x）﹣（1﹣8x）﹣（1﹣9x）﹣（1﹣10x）＝6﹣3＝3．故答案为：3．17．解：∵一个数a的相反数是它本身，∴a＝0，∵一个数b的倒数也是它本身，∴b＝±1，∴a﹣b＝0﹣1＝﹣1，或a﹣b＝0﹣（﹣1）＝0+1＝1，∴a﹣b＝±1．故答案为：±1．18．解：∵a2+4a+1＝0，∴a2＝﹣4a﹣1，＝＝＝＝＝5，∴（16+m）（﹣4a﹣1）+8a+2＝5（m﹣12）（﹣4a﹣1），原式可化为（16+m）（﹣4a﹣1）﹣5（m﹣12）（﹣4a﹣1）＝﹣8a﹣2，即[（16+m）﹣5（m﹣12）]（﹣4a﹣1）＝﹣8a﹣2，∵a≠0，∴（16+m）﹣5（m﹣12）＝2，解得m＝．故答案为．19．解：∵（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc），∴（u，v）△（x，y）＝（ux+vy，uy+vx），∵（u，v）△（x，y）＝（u，v），∴，∵对于任意实数u、v，该方程组都成立，∴x＝1，y＝0，故答案为x＝1，y＝0．20．解：设＝n，k2﹣pk﹣n2＝0，k＝，从而p2+4n2是平方数，设为m2，p2+4n2＝m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2∵p是质数，p≥3，∴，解得：∴，∴k1＝，k2＝（负值舍去）故答案为：三．解答题（共5小题）21．解：∵a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝0，∴a2+6ab+9b2﹣（c2﹣10bc+25b2）＝0，∴（a+3b）2﹣（c﹣5b）2＝0，∴（a+3b+c﹣5b）（a+3b﹣c+5b）＝0，即（a+c﹣2b）（a+8b﹣c）＝0，∵a，b，c是三角形三边长，∴a+b﹣c＞0，∴a+8b﹣c＞0，∴a+c﹣2b＝0，∴a+c＝2b．22．解：（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16﹣16+7＝（x﹣4）2﹣32＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）（2）x2+2xy﹣3y2＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2＝（x+y）2﹣4y2＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）＝（x+3y）（x﹣y），当＝﹣3或1时，x2+2xy﹣3y2的值为0．23．解：（1）∵在数轴上到﹣3对应的点的距离等于4的点对应的数为1或﹣7，∴方程|x+3|＝4的解为x＝1或x＝﹣7．（2）在数轴上找出|x﹣3|＝5的解．∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为﹣2或8，∴方程|x﹣3|＝5的解为x＝﹣2或x＝8，∴不等式|x﹣3|≥5的解集为x≤﹣2或x≥8．（3）在数轴上找出|x﹣3|+|x+4|＝9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和﹣4对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上3和﹣4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或﹣4的左边．若x对应的点在3的右边，可得x＝4；若x对应的点在﹣4的左边，可得x＝﹣5，∴方程|x﹣3|+|x+4|＝9的解是x＝4或x＝﹣5，∴不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为x≥4或x≤﹣5．24．解：（1）根据题意可以得出：|1﹣2|＝|﹣1|＝1，|1﹣3|＝|﹣2|＝2，|2﹣4|＝|﹣2|＝2，对于1，2，3，4，按如下次序|||1﹣3|﹣4|﹣2|＝0，|||1﹣3|﹣2|﹣4|＝4，故全部输入完毕后显示的结果的最大值是4，最小值是0；故答案为：2，4，0；（2）∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10，∴设b为较大数字，当a＝1时，|b﹣|a﹣2||＝|b﹣1|＝10，解得：b＝11，故此时任意输入后得到的最小数为：|2﹣|11﹣1||＝8，设b为较大数字，当b＞a＞2时，|b﹣|a﹣2||＝|b﹣a+2|＝10，则b﹣a+2＝10，即b﹣a＝8，则a﹣b＝﹣8，故此时任意输入后得到的最小数为：|a﹣|b﹣2||＝|a﹣b+2|＝6，综上所述：k的最小值为6．25．（1）证明：因为每个“好整数”都是正整数，所以M⊆N+；另一方面，对每个n∈N+，都有n＝，所以n是“好整数”，即n∈M，所以N+⊆M，因此M＝N+；（2）证明：只需从12至20132中去掉两个，根据勾股定理，换上一个大于20132的数，∵20002＝42×5002，32+42＝52，∴32×5002+42×5002＝52×5002，即15002+20002＝25002，因此从a中去掉15002和20002，添加25002，即将a写成了2012个不同的正整数的平方和．。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(88).doc
加试模拟训练题(88)1.以0为圆心的圆通过/4BC的两个顶点A、C,且与4B、BC 两边分别相交于K、N两点,AABC和/KBN的两外接圆交于B、M 两点.证明：ZOMB为直角.2. 设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1 =0至少有一个实根，对所有这种数对(a, b),求出的最小可能值.3 一条平行于x轴的直线,如果它与函数y=x"+px'+qx" + rx+s的图像相交于互异的四点A、B、C、D,而线段AB、AC与AD可以构成某个三角形的三条边，那么就称此直线为“三角形的”.证明；平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中，要么全都是三角形的，要么没有一条是三角形的.4.已知实函数/(x, y)满足/(%,0) = 1, ①z) = f(z,xy) + z.求/(x, y)的表达式・蒿圭字2网加试模拟训练题(88)1.以O为圆心的圆通过/4BC的两个顶点4、C,且与4B、BC两边分别相交于K、N两点，AABC和ZJKB/V的两外接圆交于B、M两点.证明：ZOMB为直角.分析对于与圆有关的问题，常可利用圆幕定理，若能找到B/M上一点，使该点与点P对于圆O等幕即可.证明：由BM、KN、4C三线共点P,知PMPB=PN-PK=PO2~r2. (1) 由ZPMN=ZBKN=ZCAN,得P、M、N、C 共圆, 故BM-BP=BN-BC=BO2~r2.⑵⑴一⑵得，PM-PB~BM-BP= PO2- BO2,即(PM~BM)(PM+BM)= PO2-BO2,就是PM2-BM2= PO2- BO2,于是0/W丄PB.2.设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根，对所有这种数对(a, b),求出a'+b'的最小可能值.【题说】第十五届(1973年)国际数学奥林匹克题3.本题由瑞典提供.【解】设实数x使x4+ax3+bx2+ax+l=0从而方程y2+ay+(b-2)=0有一宴根，宪对值为I I >2. 0ftta a-4(b-2)>O.并且此式即C则平方整理得2 I a I工2+b从而由ftW»3b = -|f a=±扌时，a^ + b a WHk<M&|«8t«= * 2^程x4+ax3+bx2+ax+l 的实根).3 一条平行于x轴的直线,如果它与函数y=x*+px'+qx' + rx+s的图像相交于互异的四点A、B、C、D,而线段AB、AC与AD可以构成某个三角形的三条边，那么就称此直线为“三角形的”.证明；平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中，要么全都是三角形的，要么没有一条是三角形的.【题说】1980年四国国际数学竞赛题5.本题由芬兰提供.【证】设有一条直线是三角形的，不妨设它就是x轴，并且交点A在最左面(如果B在最左, A为左起第二个，则BA、BC、BD也成三角形，其它情况令x = —t就可以化成这两种)，A就是原点.这时B、C、D的横坐标是三次方程x3+px2+qx+r = 0的三个根，它们可以作为三角形的三条边的充分必要条件是P<0, q>0, rVO及p3>4pq-8r.任一条平行于x轴的直线y = y°与y = x" + px3 + qx'+rx + s的四个交点的横坐标记为x o<xi<x2<x3,则正数a=Xj —x0, b = x2—Xo, C=x3—Xo及0 满足方程y0= (x + Xo)4+p (x+Xo)3 + q (x + Xo)2+r (x + Xo) +s从而a、b、c是方程+P)«3-»- (“： +3p«i +q) K+(4#+3px： 42^ 4r) =0的根.由于(41, +p) 1 -4(4r( 4- p) (&： +3fw. +q)+8(4K： +3p«J +r)= p3 —4pq+8r>0所以a、b、c可以作为三角形的边长.即直线y=y。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(36)
加试模拟训练题（36）1、设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,证明:点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆．2、对一切非负整数x、y,函数f(x,y)满足(1)f(0,y)＝y＋1；(2)f(x＋1,0)＝f(x,1)； (3)(x＋1,y＋1)＝f(x,f(x＋1,y))试确定f(4,1981)．3、在第一行中写有19个不超过88的自然数,第二行写有88个不超过19的自然数,我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段．证明:可以从上述两行数中各选出一段来,使得这两段数的和相等．4、证明:不定方程x2+y2+z2+3(x+y+z)+5=0没有有理数解。
加试模拟训练题（36）1、设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,证明:点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆．【题说】第22届(1993年)美国数学奥林匹克题2．【证】以E为相似中心作相似变换,相似比为1／2,此变换把E关于AB、BC、CD、DA的对称点变为E在AB、BC、CD、DA上的射影P、Q、R、S(如图),只须证明PQRS是圆内接四边形．由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及ERDS都是圆内接四边形(每个四边形都有一组对角为直角),由E、P、B、Q共圆,∠EPQ＝∠EBQ,由EQCR共圆,有∠ERQ＝∠ECQ,于是∠EPQ＋∠ERQ＝∠EBQ＋∠ECQ＝90º同理可得∠EPS＋∠ERS＝90º从而,有∠SPQ＋∠QRS＝180º,故PQRS是圆内接四边形．2、对一切非负整数x、y,函数f(x,y)满足(1)f(0,y)＝y＋1； (1)(2)f(x＋1,0)＝f(x,1)； (2)(3)(x＋1,y＋1)＝f(x,f(x＋1,y))． (3)试确定f(4,1981)．【题说】第二十二届(1981年)国际数学奥林匹克题6．【解】令x＝0,由(2)与(1)得f(1,0)＝f(0,1)＝2．在(3)中令x＝0,y＝n－1,并利用(1)及前式,有f(1,n)＝f(0,f(1,n－1))＝f(1,n－1)＋1＝n＋f(1,0)＝n＋2 (4)由(3)、(4)得 f(2,n)＝f(1,f(2,n－1))＝f(2,n－1)＋2＝2n＋f(2,0)又 f(2,0)＝f(1,1)＝1＋2＝3所以 f(2,n)＝2n＋3 (5)由(3)、(5)得f(3,n)＋3＝f(2,f(3,n－1))＋3＝2f(3,n－1)＋6＝2[f(3,n－1)＋3]＝…＝2n＋3所以 f(3,n)＝2n＋3－3 (6)由(3)、(6)得f(4,n)＋3＝f(3,f(4,n－1))＋3＝2f(4,n －1)＋3＝…＝ (共有n 个2)由于 f(4,0)＋3＝f(3,1)＋3＝24所以 f(4,n)＝3＋ (n ＋3个2)故 f(4,1981)＝－3＋ (1984个2)3、 在第一行中写有19个不超过88的自然数,第二行写有88个不超过19的自然数,我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段．证明:可以从上述两行数中各选出一段来,使得这两段数的和相等．【题说】 第二十二届(1988年)全苏数学奥林匹克八年级题4．【证】 设a 1,a 2,…,a 19为第一行数；b 1,b 2,…,b 88是第二行数．记A(i)＝a 1＋…＋a i ,B(i)＝b 1＋…＋b i假定 A(19)≥B(88)(对于A(19)＜B(88)的情形可类似处理)对于每个i,记n i ＝min{n ；A(n)≥B(i),1≤n ≤19} 根据假设,这样的n i 是存在的．我们来考察88个差数A(n i )－B(i)．显然它们的值为整数,且都在0至87之间,这是因为如果这88个差数互不相同,则它们之中必有一个为0,于是我们的命题获证．否则,这88个差数中至少有某两个相等,不妨设i 1＝l,i 2＝k,l ＜k使得A(n l )－B(l)＝A(n k )－B(k),于是就有A(n l )－A(n k )＝B(l)－B(k)显然,题意中的19、88可以换成任意自然数．4、证明:不定方程x 2+y 2+z 2+3(x +y +z )+5=0没有有理数解。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(64)
加试模拟训练题（64）1．锐角△ABC 中,O ,G ,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外,重心到三边距离和为d 重,垂心到三边距离和为d 垂.求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重.2. a 1,a 2,…,a n 是正整数1,2,…,n 的任一排列．设f （n ）是下述排列的个数,它们满足条件:（1）a 1=1（2）|a i -a i+1|≤2,i=1,2,…,n-1试问f （1996）能否被3整除．B C O I A O G H O G H G O G H 1231122333. P 在坐标平面的格点上移动,当P 的坐标为(a,b)时,若a ＋b 除以4所得的余数分别为0,1,2,3时,点P 分别向右、上、左、下移动一个单位．从某个格点P 0出发,按上述规则移动10次,P 走到(0,10)点．求P 0的一切可能位置．4.设a,b 为正整数,对任意的自然数n 有n n a n b n ++,则a=b 。
加试模拟训练题（64）1．锐角△ABC 中,O ,G ,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外,重心到三边距离和为d 重,垂心到三边距离和为d 垂.求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重.分析:这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1,三个内角记为A ,B , C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ,∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C , 同样可得BH 2·CH 3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②∴BCHBH sin =2, ∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C .同样可得HH 2,HH 3.∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③欲证结论,观察①、②、③,须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.2. a 1,a 2,…,a n 是正整数1,2,…,n 的任一排列．设f （n ）是下述排列的个数,它们满足条件:（1）a 1=1（2）|a i -a i+1|≤2,i=1,2,…,n-1试问f （1996）能否被3整除．【题说】第二十八届（1996年）加拿大数学奥林匹克题3．【解】我们把满足条件（1）、（2）的排列a 1,a 2,…,a n 称作n 项正则排列．对于n 个数的正则排列,由于a 1=1,故a 2=2或3．（1）若a 2=2,则a 2,a 3,…,a n （的各项减去1后）是n-1项的正则排列,其个数为f （n-1）．（2）若a 2=3,a 3=2,则必有a 4=4,故a 4,a 5,…,a n （的各项减去3后）是n-3项的正则排列,其个数为f （n-3）．（3）若a 2=3,a 4≥4．设a k+1是该排列中第一个出现的偶数,则前k 个数应是1,3,5,…,（2k-1）,a k+1是2k 或（2k-2）．因此,a k 与a k+1是相邻整数．由条件（2）,这排列在a k+1后面的各数,要么都小于它,要么都大于它．因为2在a k+1之后,故a k+2,…,a n 均比a k+1小．这只有一种可能,即先依递增次序排出所有≤n 的正奇数,再接着依递减次序排出≤n 的正偶数．综上所述,有递推关系f （n ）=f （n-1）+f （n-3）+1,n ≥4容易算出:f （1）=1,f （2）=1,f （3）=2,f （4）=4,等等模3的余数依次是B C O IA O G H O G H G O G H 1231122331,1,2,1,0,0,2,0,1,1,2,1,…以8为周期．因为1996≡4（mod 8）所以f （1996）≡f （4）≡1（mod 8）故f （1996）不能被3整除．3. P 在坐标平面的格点上移动,当P 的坐标为(a,b)时,若a ＋b 除以4所得的余数分别为0,1,2,3时,点P 分别向右、上、左、下移动一个单位．从某个格点P 0出发,按上述规则移动10次,P 走到(0,10)点．求P 0的一切可能位置．【题说】1994年日本数学奥林匹克预选赛题4．【解】对于P ＝(a,b)．记a ＋b 除以4的余数为m(P),点移动的情况如下表所示设从P 0出发,经n 次移动后移动到P n 处．由上表知,当i ≥1时,m(P i )＝1或2,且P i ＋2＝P i ＋(－1,1)．所以P 10＝P 8＋(－1,1)＝…＝P 2＋4(－1,1)即P 2＝P 10－4(－1,1)＝(4,6)P 1＝(4,5)由上表即知P 0＝(3,5)或(5,5)．4.设a,b 为正整数,对任意的自然数n 有n n a n b n ++,则a=b 。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(26).doc
加试模拟训练题(26)1、设锐角△/应'的//平分线交〃7于Z,交外接圆于也自点Z分别向/方和作垂线ZK和成垂足分别为芯和必求证: 的面积等于四边形血湖的面积.2.设x,y,ze (0, + co),且xyz = l,证明—，—+—，—+—Z—>2 (l + y)(l + z) (l + x)(l + z) (l + x)(l+y) 4%33、若四位数n = abed的各位数码a,b,c,d中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长, 则称"为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数.4、如果一个正整数〃在二进制下表示的各数字之和可以被3整除，那么我们称“为“好的”, 则前2005个“好的”正整数之和是多少？加试模拟训练题(26)1、设锐角网的平分线交网于Z,交外接圆于川自点Z分别向03和/C作垂线ZK和LM,垂足分别为"和必求证：的面积等于四边形』砌的面积.【题说】第二十八届(1987年)国际数学奥林匹克题2.本题由原苏联提供.【证】作△宛T的高物，则刀、K、H、L、彤五点共圆.连结依HM、HN、列和泌，便有/KHB= ZBAL= ZNAC= ZHBNZMHC= AMAN= ZNAB= ZNCH 故知KH//BN, HM//NC.从而有Sr\knn=5A tv/,Sr\nuc= Sr\nu_\山此即得5A,<«'=S/XAKNU易知△ABLs AANC,所以以上二式相加可—。
AB* AC=AN* ALAL Ji tz1 1S SBC =&ABX ACsinA=-^ALX.ANsmA=2 xf (血 X cos~) X AVX sj&1 A=2 X ANsi 吃=2 S/\,IA.\= S-IA.MI 2,设 x,y,ze (0, + oo),且 xyz = l ,证明r 3 v 3 733 ------ : --------- + -------- = -------- + --------- - ------- >-. (1998 年第 39 届 IM0 预选试题) (1+ y)(l + z) (1 + x)(l + z) (1 + x)(l + y) 4分析可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明，也可以将所证不等式进行 等价转化。