钢丝绳碰撞动力学模型

合集下载

港机虚拟样机动力学仿真分析

样机模型。借助Ａａ对虚拟样机的金属结构、大车、小车、起升机构等关键部件进行了多ｄｍｓ
种工况的模拟试验。得到了港机工作过程中各主要部件的动力学数据，为实现港机的动态设计
提供了重要的参考依据。
关键词：港口桥式起重机；虚拟样机；非线性动力学；数值仿真
ＴｄＯ（
其中Ｋ刚度系数； △一碰撞物体变形量，或一者为侵入深度；Ｅ渗透深度的指数，简称刚性指一数；Ｄ一阻尼系数；６两个物体的相对速度。一用阶跃函数ｓｐ函数表示黏性阻尼模型，其阻ｔｅ尼系数的计算公式为：
分别为两物体材料的泊松比：Ｅ，Ｅ分别为两接触。
物体材料的杨氏模量。
式中Ｃ风力系数，风力系数表可查阅有关厂
手册；Ｖ一设计风速，初步设计时取２ｍ／；Ａ０ｓ一
结构部分有效迎风面积。风载荷方向的确定采用Ａｄｍｓ供的ＳＧＮ函数，其格式为ＳＧＮ（，ａ提ＩＩＸ１
Ｘ２，是个符号函数。当Ｘ）０，ＳＧＮ函数返时Ｉ回的值为Ｘ１当Ｘ，０，ＳＧＮ函数的返回值；＜时Ｉ
为一。Ｘ１
１多刚体系统动力学方程．３
运用拉格朗Ｅ方法，建立钢丝绳以外的其他ｔ部件的多刚体动力学模型。
Ｐ：６
厂．
１２风载荷．

林用起重机起吊木捆偏摆系统的动力学模型与仿真

ｓｅｄｏｇｂｎｌｌｂａｎｄｂｎａｉｌｃｔｎｐｅｆｌｕｄｅａｅｏｔｉｅｙｌｅｒｓｏｉｍｐｉａｉ．ｗｈｌｅｈｒｏｔｌｓｉｇａｇｅｉｒｌｔｄｗｔｈｒｉｎｃｅ．ｉｆｏｉｔｏｉｎａｗｎｎｌｓｅａｅｉｔｅｔｓｏｏ侬ｅｈｚｈｏｃｅｔｏｉｅｒｐｎｔｉｅｔ．Ｌａｈｍｍｙｄｆｒｎｉｌｑａｉｎｆｎｆｒｄｓｅｔｆｏｕｄａｔｒｔｅｔｏｌｙｂａｅｉｎｆｗｒｏｅａｄｉｎｒａｏｄｓｉｓｉｉｅｅｔｕｔｓｏｉｍｅｃｎｇｂｎｈｆｈｒｌｅｒｋａｅｏｕｏｏｌｅａｅｓｔｕ．Ｍｏｅｖｒｉｒｔｎｄｆｒｎｉｌｑａｉｎｒｉｌｔｄｂｉｌｋｒｅｐｒｏｅ．ｖｂａｉｉｅｅｔｕｔｓａｅｓｍｕａｅｙＳｍｕｉ．Ｒｓｌｈｗｔａｏｅｌｎｈａｅｏｅｏｉａｅｏｎｅｕｔｓｏｈｔｐｇ．ｒｔｆｄ．ｓｒｅｔ
林用起重机作为一种装卸工具，泛地适用于各林区贮起吊木捆在起重机的空间服务区内实现了３个方向的运动，广木场、车场及木材场所等作业。它利用绳索一类的柔体代小车和木捆之间采用柔性钢绳联结以及木捆存在惯性，装当不替刚体工作，使得自身结构轻便，车工作效率高。但是，装采考虑外界干扰时，木捆的摇摆可以看作是只有大车或小车单用柔体吊运也给装车作业带来了一些负面影响。林用起重机独运动时，木捆在大车或小车运行平面内做类似单摆的运在装卸过程中，、大小车运行的起、制动所产生的加（）减速度动Ｊ。为了方便，本研究在这里只考虑木捆在小车运行平面导致挠性悬挂的木捆摆动摇晃，产生了单摆运动，还会因为钢内的摆动，这时可以用如图１所示的起重机模型来分析木捆丝绳的扭矩使所吊木捆产生在水平面的来回摆动。这样就造的偏摆运动。图中、，ｚ为惯性坐标系，为小车运行方ｌ、成了起重机在到达指定位置时，要对木材进行精确定位装向，需ｙ为大车运行方向，Ｚ为木捆升降方向。木捆（吊具）含简卸，因木捆摇摆不定，有人力协助就无法立即进行木材的装化为一质杆ｍ，没用柔性钢绳（不计质量）小车相连；车简与小车工作，使工作时间加长，产效率降低，能满足林业企业化为质点；为起吊绳长；生不ｚ０为木捆在竖直方向的摆角，ｐ为对木材装卸的高效率要求，而且还可能引起安全事故。木捆在水平面内的摆角。０和妒主要影响起重机装车过程中长期以来，木捆的摆动问题一直是困扰林用起重机快速车厢宽度方向的作业。设的位置坐标为（００，的质，，）ｍ装运的一个难题。从提高林用起重机的作业效率和安全性等心坐标为（＋ｓＯ０，／ｏＯ。ｘｌｎ，－ｅｓ）ｉ方面考虑，究木捆摆角的控制方法对提高起重机的作业效研采用分析力学中的Ｌｇａｇ方程来建立起重机起吊木捆ａｒｎｅ率具有重要意义。对木捆偏摆系统的动力学特性进行准确分偏摆系统的数学模型。取系统的广义坐标为（ｚｐ）广义，，，，析是研究摆角控制的前提条件。国内外学者结合不同起重机力为（，，）系统的拉格朗日方程为Ｆ，００，的结构特点建立了针对某些类型起重机的吊重摆角动力学模ｄ［＼型” Ｊ但有关林用起重机在这方面的研究还比较少。笔者。，从林用起重机实际作业的过程出发，据林用起重机的空间式中：为系统的动能，系统的势能，根ｙ为Ｄ为能量散失函数，结构及木捆在竖直方向和水平方向摆动的特点，立起重机木ｑ为系统的广义坐标，建，Ｑ为广义力。捆偏摆系统的动力学模型。该模型能够较好地反映林用起重机＝＋木捆偏摆系统的动力学特征，满足模型的准确性要求，同时该模型易于分析、求解和计算机模拟仿真，便于工程实际应用。

天车吊钩防摆控制器设计

摘要吊物的摆动是影响吊车装卸效率的主要原因。

电子防摇作为一种主动防摇方式，它将减摇和运行控制结合起来考虑，不依赖于司机的操作经验，可以有效的提高吊车的装卸效率，减轻司机的工作强度，是实现港口、厂矿装卸自动化的趋势。

本文首先建立了桥式吊车运动系统的数学模型，并搭建了系统的仿真实验模型，设计了双闭环PID控制器来实现吊车系统的防摆和定位控制。

针对常规PID 控制器很难满足桥式吊车这类控制参数变化很大的复杂系统对控制精度的要求，设计了非线性PID控制器（即PID参数随误差的变化而变化），该控制方案可以消除系统静差，缩短系统响应时间，抗干扰能力较强。

运用增量型PID控制算法对PID控制策略进行了数字实现。

本系统实现了吊车到达目的地吊钩不在摆动的目的，使所吊重物在到达指定地点时，摆角为零。

从而避免了作业时，照成不必要的事故。

关键词：桥式吊车；防摆；非线性PIDAbstractGenerally speaking, the loading efficiency of crane is mainly influenced by swing of hanging objects. As an active method for avoiding swing, electronic anti-swing is not dependent on the driver’s experience and can combine swing-decreasing with movement-control to improve the efficiency of crane, and lighten the intensity of drivers. Therefore, it will be used widely for loading of port and factory.In this thesis, the mathematical model of the overhead crane motion system is established and the simulation model is also built . The two closed-loop PID controller is designed to achieve the control of anti-swing and orientation. Comparing with the controlling results of using conventional PID algorithm as a controller on different disturbance conditions, we can find that it is difficult to meet the accuracy requirements of the practical operation of crane system which has easily variable control parameters in the process of running. So we design the nonlinear PID whose variable parameters change with error. The results of simulation indicate that the steady-state error can be eliminated, and the response time of system can be shortened, in addition, the disturbance rejection ability of system can be strengthened. Then, we complish the digital realization of PID control strategy with increment PID control algorithm.This system has realized the crane hook is not swinging the purpose of arriving at our destination, make lifting heavy weights in got to the designated place, pendulum Angle is zero. Avoiding the homework, as into unnecessary accidents.Key Words：Overhead crane；Anti-swing；Nonlinear PID目录第1章绪论 (1)1.1 课题的背景及意义 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 本文研究主要内容 (4)第2章系统建模 (5)2.1 问题的提出 (5)2.2 建模机理 (5)2.3 系统模型的建立 (6)第3章方案论证 (10)3.1 系统方案的论证 (10)3.2 总体方案设计 (11)3.3 传感器的选型 (11)3.4 转换器的选型 (13)3.5 单片机的选型 (15)3.6 变频器的选型 (16)第4章硬件电路设计 (17)4.1 数据检测模块 (17)4.2 滤波电路模块 (19)4.3 转换电路 (20)4.4 单片机最小系统 (20)4.5 变频器调速模块 (21)4.6 键盘电路 (22)4.7 电源电路 (23)第5章软件设计 (24)5.1 系统流程图 (24)5.2 检测控制流程图 (25)5.3 变频器子程序 (25)5.4 报警程序 (26)5.5 PID控制的设计 (27)5.5.1 非线性PID设计 (28)5.5.2 仿真实验验证 (30)5.5.3 增量型PID (37)5.5.4 吊车系统数字PID的实现 (38)第6章总结 (40)参考文献 (41)致谢 (42)附录Ⅰ ............................................................................................... 错误!未定义书签。

考虑钢丝绳作用的门机起升动态仿真研究

图３无钢丝绳的象鼻梁质心在 ×，Ｙ方向加速度一间曲线图时
＾ｆ
２带钢丝绳臂架系统的动力学耦合仿真分析．
（）ＡＳ生成柔性体。ＡＳＳ软件的求解模块Ｓｌｔｎ中．１用ＮＹＳ在ＮＹｏｉｕｏ有与ＡＤＭＡＳ的接口．可以生成它专用的模态中性文件．ｆ也可以ｍｎ．读入ＡＤＭＡＳ软件生成的载荷文件．ｄ１ａ（）ｍｃ语言建立钢丝绳。在ＡＭＳ中．２用ａ０ｒＤＡ对于刚性物体和小变形物体有相应的模块处理。而对于绳索类大变形物体无法实现直接建模。本文假设将一根绳索细化成若干小段．每小段可视为一个刚体．每两个刚体之间用某种形式的联结方式连接在一起．就可以用这个组和模型近似代替绳索类物体模型（）３加载约束及驱动。ＡＭＳＤＡ中模型建好以后．以通过各种约可束限制构件之间的某些相对运动．并以此将不同构件连接起来组成一个机械系统（）４仿真结果与线程测试数据的比较与分析。本文只对带钢丝绳单元的臂架组合系统与无钢丝绳单元臂架组合系统的动态加速度位移等进行比较无钢丝绳组合臂架与有钢丝绳组合臂架位移响应比较与分析：
｛＼／
～
＿ｌ
憎ｌｍ
求解结构的自由振动特性即固有频率和振型是动态分析的基本内容．通过模态分析可以确定一个结构的固有频率和振型．而固有频率和振型是承受动态载荷结构设计中的重要参数。、

基于MATLAB的臂架型起重机起升机构动力学分析

基于MATLAB的臂架型起重机起升机构动力学分析摘要:本文对起重机械起升机构特点进行了分析,就臂架型起重机起升机构多质点动力学系统建立了动力学模型,确定了模型中的各个参数,利用MATLAB构造相应的仿真系统进行了动力学分析。

关键词:起重机起升机构MATLAB 机械动力学仿真1 引言起升机构是起重机械的最基本机构,目前,对臂架起重机起升机构的动力学研究还不充分,在研究中或仅考虑系统特性,或仅考虑机械系统的振动,对动力学方面的研究还不够,与实际存在一定差距,本文将起升机构简化为三质量二自由度系统,对起升过程进行了动力学分析.2 起升机构动力学模型的建立2.1 起升机构在起重机中,用以提升或下降货物的机构称为起升机构,一般称为卷扬式。

起升机构是起重机中最重要、最基本的机构。

电动机驱动的起升机构由电动机、联轴器、制动器、减速器、卷筒、钢丝绳、滑轮和吊具组成。

以轮胎式起重机伸缩臂起升机构为例,建立三质量二自由度模型,为了便于分析问题,突出主要矛盾而做如下假定:1)在起动、制动过程中时间相对较短,该过程中起重钢丝绳的长度变化,所以假定起动、制动过程中钢丝绳的长度不变;2)钢丝绳缠绕在卷筒上,假定钢丝绳在滑轮槽中不打滑;3)在起动的过程中采用预备档,假定在传动机构中各齿轮间不存在间隙冲击;4)假定动力装置运转速度只与其机械特性有关,臂架等结构振动不影响电动机运转速度;5)忽略了起升机构中各转动构件扭转对电动机机械特性的反馈影响;6)忽略地面、支腿、车架以及其他机构的挠度;7)本研究仅考虑起升平面内的振动,扭摆横向振动暂不考虑。

由1)、2)可得钢丝绳刚度为常数,在系统模型简化时由3)可将传动机构等效为一质量,从4)、5)可知起升机构等效驱动力矩由电机机械特性确定,由6)知系统各质量的运动由系统弹性件的变形所决定。

基于上述假设,将吊臂质量等效在吊臂上部的端点处、吊重及吊具质量取在吊重上,为二质量的振动系统;将驱动装置、起升卷筒及两者间的传动装置等效在卷筒轴上。

第7章起重机械动力学

Q
最大动载荷
讨论系统视为刚性系统，即忽略钢丝绳的弹性，钢丝绳上的动载荷值为
FG
m2 Fs (m1 m2 )
振动载荷 Fv 随着剩余加速度力 Fs 的增大而增大。
选用大功率的电动机，将会加大启动载荷，是不利的
结论系统被视为弹性系统比视为刚性系统时，最大计算动载荷要大一倍。因此，在重要场合，必须进行弹性动力学计算。（P129）
7.2 起升机构动力学
一、起升机构各种工况下的受力分析
起升机构典型工况：
（1）重物悬吊于空中时，启动与制动过程；（2）置于地面的重物被突然提升离地的启动过程；（3）吊在空中的重物突然脱开、坠地，使整机卸载。
1.悬吊于空中时启动与制动（P128）
当重物被悬吊于空中后作短暂停留，然后提升。
启动前，钢丝绳已被拉紧，并承受吊重的静载Q。当作用于钢丝绳上端的驱动力大于静载Q时，吊重即被起吊上升。
2.重物突然提升离地（ P 129）
在起重现场，由于视线不好或操作不慎等原因，常会以较
高速度突然提起重物，产生一个很大的冲击载荷
初始条件 t 0 x(0) Q（悬吊于空中时，钢丝绳的静变形）
k
但 x(0) 0
则
x
v
n2
sin
n2t
k
m2 Fs (m1 m2
)
(1
cos
n2t)
Q k
n2 n1
m1 m2 k m1m2
则钢丝绳上的力
F
kx
kv n2
sin n2t
m2 Fs (m1 m2 )
(1
cos n2t)
Q
则
Fmax
Fv max
Q

圈套式空间抓取装置抓取策略及动力学研究

ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＧｒａｐｐｌｅＳｔｒａｔｅｇｙａｎｄＤｙｎａｍｉｃＭｏｄｅｌｏｆＳｎａｒｅＳｐａｃｅＧｒａｐｐｌｅＤｅｖｉｃｅ
ＬＩＬｏｎｇ１，ＤＥＮＧＺｈｏｎｇ－ｑｕａｎＩ，ＬＩＢｉｎｇ２，ＷＵＸｉａｎｇ
ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓ．ＫｅｙＷｏｒｄｓｔＳｐａｃｅＧｒａｐｐｌｅ；ＳｎａｒｅＳｐａｃｅＧｒａｐｐｌｅＤｅｖｉｃｅ；ＧｒａｐｐｌｅＳｔｒａｔｅｇｙ；ＤｙｎａｍｉｃＭｏｄｅｌ
ｌｏｗｉｍｐａｃｔ，ｈｉｇｈｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｒｉｇｉｄｉｔｙ．ｎｄａｉｔｉｓｓｕｉｔｂｌａｅｔｏｂｅｕｓｅｄ础ｔｈｅｅｎｄｅｆｆｅｃｔｏｒｆｌｏａｒｅｇｓｐａｃｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｔｏｇｒａｐｐｌｅｌａｒｅｇ
力学过程进行分析，利用牛顿一欧拉混合坐标法建立了数学模型，数值仿真试验结果证明动力学过程推导合理，模型建
立正确。
关键词：空间抓取；圈套式空间抓取装置；抓取策略；动力学模型
中圈分类号：ＴＨ１６；Ｖ４２３．７文献标识码：Ａ文章编号：１００１ — ３９９７（２０１３）０１ — ０１０４ — ０３

大型抓斗卸船机起升系统钢丝绳工作特性研究

Ｓｔａｓｉｓｏｙｔｍ，ｔｅｌａｉｇｓｅｔｕａｄｍｏｅｒｉｓｓａｌｈｄｆｒｒｐｆｉｇａｄｓｔｈｎ．ｒｎｍｓｉｎｓｓｅｈｏｄｎｐｃｒｍｎｄｌｅｆｔｔｂｉｅｏｏｅｌｔｎｗｉｃｉｇａｒｅｓｉｎＢｙｅｔｂｉｈｎｈｉｉｌｍｅｔｓａｌｉｇｔｅｆｔｅｅｎｄｌｆｔｅｏｅ，ｔｅｓｔｃｄｎｍｉｓｐｏｅｔｓｕｄｒｔｅｍａｉｍｓｎｅｍｏｅｅｌｐｓｈｔｉｙａｃｒｐｒｉｎｅｈｘｍｕｏｓｒａｅｌａｉｇａｄｔｅｄｎｍｉｅｐｎｅｕｄｒｓｔｈｎｏｄｔｎａｅｔｅｎｌｚｄＦｉａｌｉｉｂｅｖｄｏｄｎｎｈｙａｃｒｓｏｓｎｅｗｉｉｇｃｎｉｉｒｈｎａａｙｅ．ｎｌｃｏｙ，ｔｓｏｓｒｅ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｕｎｅｈｏｌａｅｒｉｇｃｎｉｏｓｏａｉｂｅｓｅｄａｄｌａｉｇｏｈｐｕｌａｅ ’ ｄｒｔｅｃｍｐｉｔｄｗｏｋｎｏｄｔｎｎｖｒａｌｐｅｎｏｄｎｆｓｉ－ｎｏｄｒＳｃｉｔａｓｓｉｎｓｓｅｓａｒｌｔｖｌ—ａｇｙａｉａｉｇｏｅｈｒｗｉｈｖｂａｉｎａｄｆｔｇｅ，ｉｒｄｃｄｒｎｍｉｓｏｙｔｍ，ｅａｉｅｙｌｒｅｄｎｍｃｌｄｎ，ｔｇｔｅｔｉｒｔｎａｉｕｏｏｓｐｏｕｅ
中图分类号：５；Ｈ２２Ｕ６３Ｔ１文献标识码：Ａ文章编号：１７ —５８（０１０６２５１２１）２—０５１７—０５

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第26卷第10期 V ol.26 No.10 工程力学 2009年 10 月 Oct. 2009 ENGINEERING MECHANICS197———————————————收稿日期：2008-06-16；修改日期：2008-12-09作者简介：*方子帆(1963―)，男，湖北黄冈人，教授，博士，博导，副院长，从事车辆系统动力学与控制研究(E-mail: fzf@)；吴建华(1983―)，男，湖北大冶人，硕士，从事机械振动与控制研究(E-mail: wujianhua83@)；何孔德(1973―)，男，湖北宜昌人，副教授，硕士，从事机械振动与控制研究(E-mail: hekongde@)；张明松(1965―)，男，湖北荆州人，副教授，学士，从事结构设计与机械振动研究(E-mail: zms@).文章编号：1000-4750(2009)10-0197-06钢丝绳碰撞动力学模型*方子帆，吴建华，何孔德，张明松(三峡大学机械与材料学院，湖北，宜昌 443002)摘要：以钢丝绳及其连接结构为对象，对其碰撞动力学模型进行研究。

将钢丝绳离散为单元模型，利用相对坐标关系建立其动力学模型，并将其连接结构以集中质量模型作为钢丝绳端部约束条件引入到钢丝绳动力学模型中，建立钢丝绳及其连接结构的动力学模型。

将钢丝绳的碰撞接触力引入到钢丝绳及其连接结构的动力学模型中，建立这类结构的碰撞动力学模型。

在RecurDyn 环境中建立了具有横向和垂挂空间姿态的钢丝绳及其连接结构的动力学仿真模型，并进行仿真研究。

研究结果表明这些模型可以用作刚柔混合结构的动力学分析，同时能够实现这类结构的可视化动态仿真。

关键词：钢丝绳；碰撞；动力学模型；相对坐标法；RecurDyn 中图分类号：O313; TH113.2 文献标识码：ATHE IMPACT DYNAMIC MODEL OF STEEL CABLES*FANG Zi-fan , WU Jian-hua , HE Kong-de , ZHANG Ming-song(College of Mechanical and Material Engineering, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China)Abstract: A dynamic model of steel cable is established by a discrete elements method considering relative coordinate relationship. Its connective structures are modeled as lumped mass and incorporated into the steel cable dynamic model as end constraints. Introducing the steel cables contact-impact force into the established dynamic model of steel cable with their connective structure, the impact dynamic model of steel cables with their connective structure is established finally. An example is presented, which is steel cables consisting of a transversely placed and a vertically placed steel cable with their connective structures. The impact dynamic simulation model is established in RecurDyn. The results show that the proposed impact dynamic model can be applied in the dynamic analysis of structural systems consisting flexible bodies and rigid bodies. Key words: steel cable; impact; dynamic model; relative coordinate method; RecurDyn由于钢丝绳的材料非线性和几何非线性问题，通常采用基于Lagrange 相对坐标系模型和基于Cartesian 坐标的绝对坐标系模型建立这类结构的动力学模型。

以Song J O [1]、Simo J C [2]、Avello A [3]等为代表的学者将柔性体的大位移及弹性变形用相对惯性坐标系的单元结点坐标描述，推导出变形体的应变、位移关系。

Wu 与Haug 等[4]使用向量变分方法并结合虚功原理，采用相对坐标再叠加弹性体的模态坐标，建立了柔性多体系统的相对坐标动力学建模方法。

Chen 与Shabana [5]用绝对坐标法建立了柔性多体系统的动力学模型。

于清与洪嘉振[6]对上述两种建模方法进行了评述，认为相对坐标方法具有动力学方程广义坐标和约束方程少、计算效率高的优点，但程式化较绝对坐标方法差。

本文以198 工程力学钢丝绳及其连接结构为研究对象，试图利用相对坐标法建立其碰撞动力学模型，并进行应用研究。

1 钢丝绳及其连接结构动力学模型1.1 钢丝绳动力学模型将钢丝绳离散成一系列梁单元，钢丝绳的绝对结点变形是沿着钢丝绳拓扑图的一条排序链的相对变形的累加，所以用相对位移作为广义坐标向量来描述钢丝绳的运动，建立钢丝绳的动力学模型。

图1是由两个梁单元组成的系统，在图1(b)中，结点1i −和i 分别被假定为结点i 和1i +的内侧结点。

--X Y Z 是惯性坐标系，--k k k x y z (,k i j =)是固联在结点k 上的结点参考坐标系，k r 是结点k 的位移矢量。

(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−是固联在结点i 上的结点参考坐标系，第一个下脚标1i −表示第二个小脚标i 的内侧结点号。

在未变形状态时，坐标系(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−和(1)(1)(1)--i i i x y z −−−的方向一致。

在惯性坐标系--X Y Z 上测量绝对结点位移，而在结点的内侧结点参考坐标系上测量相对结点位移。

(a) 两个梁单元(b) 梁单元的图形描述图1 梁单元的结点位置关系Fig.1 The relation of node position for the beam elements用(1)i i −′u 和(1)i i −′Θ分别描述一个结点的相对结点位置和方向的广义坐标。

结点i 在--X Y Z 的结点位置和方向由结点1i −和相对结点位移表示为：0(1)(1)(1)(1)()i i i i i i i r r −−−−′′=++A s u (1)1(1)(1)(1)()i i i i i i i i −−−−′=A A D ΘC (2)其中：T (1)(1)1(1)2(1)3[]i i i i i i i i θθθ−−−−′′′′=Θ (3)式(1)和式(2)中：k A (1,k i i =−)表示结点k 的参考坐标系相对惯性坐标系的转换矩阵；(1)i i −C 表示坐标系--i i i x y z 相对于(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−的转换矩阵；0(1)i i −′s 表示梁未变形时相对坐标系(1)(1)(1)--i i i x y z −−−的位置矢量；(1)i i −′u 表示结点i 相对结点1i −坐标系的变形矢量；(1)i i −D 是由于坐标系(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−相对结点1i −坐标系的转动转换矩阵，通过欧拉角描述：(1)1(1)12(1)23(1)3()()()i i i i i i i i θθθ−−−−′′′=D D D D (4) 式(1)的变分为：0T TT (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()i i i i i i i i i i i i i r r δδδ−−−−−−−′′′′′=−++A A s u A u (5)式(5)中符号“~”表示由自身的矢量元素组成的斜对称矩阵，且(1)i i −A 满足：T (1)(1)i i i i −−=A A A (6)结点i 和1i −的虚转动关系为： T T (1)(1)(1)(1)(1)i i i i i i i i δπδπδ−−−−−′′′=+A A H Θ (7) (1)2(1)(1)1(1)1(1)2(1)1(1)1(1)210sin()0cos()sin()cos()0sin()cos()cos()i i i i i i i i i i i i i i i i θθθθθθθ−−−−−−−−′⎡⎤⎢⎥′′′=−⎢⎥⎢⎥′′′⎣⎦H (8) 合并式(5)和式(7)得到以下一对相邻单元的递归虚位移方程：(1)1(1)(1)2(1)i i i i i i i i Z B Z B q δδδ−−−−=+ (9)0T T T T T T (1)(1)(1)T (1)(1)(1)(1)1T(1)T (1)(1)2T (1)(1)[]()00000k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i Z r q I B I I B H δδδπδδδ−−−−−−−−−−−−⎧′′=⎪⎪⎡⎤′′=⎣⎦⎪⎪⎡⎤′′−+⎡⎤⎪=⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎡⎤⎪⎡⎤=⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎣⎦⎩u Θs u A A A A (10) 式(10)中(1)1i i B −和(1)2i i B −仅是结点1i −和i 的相对位移(1)i i q −的函数。

整个系统在绝对结点坐标系和相对结点坐标系下的虚位移关系可以沿着系统拓扑图的一条排序链通过反复运用式(9)获得：Z B q δδ= (11)由虚功原理得到结点1i −和i 组成的梁单元i 的动力学方程为：yz xz i z i −1y i −1 x i −1r i −1r iiz (i −1)ix (i −1)iy (i −1)iy ii −1x ii − 1 i −1i +1 i ……向后排序向前排序工程力学 199i i i i i qq +=M K Q (12) 式(12)中：i M 为单元i 的质量；i K 为单元i 的刚度；i Q 为单元i 上的广义力。