3-第三章 非线性方程的数值解法

到小数点后第三位小数，需要二分多少次？ 解：设 f ( x) x6 x 1，由于 f (1) f (2) 0, f ( x) 0(1 x 2)， 所以在区间 [1,2]内方程 f ( x) 0 有唯一实根。
ba 1 令 k 1 10 3 ，求得所需对分次数至少是10次。 2 2
x* xk ba k 1 2
时，停止计算。
§1 根的搜索与二分法
3 2 x 4 x 10 0 在 [1,2] 内的根的近似 例：用二分法求方程 1 2 值，要求绝对误差不超过 10 。 2 3 2 解： f ( x) x 4x 10 f ( x) 3x2 8x 0, x [1,2] 即 f ( x) 严格单调增加，又 f (1) f (2) 0 ，所以方程在[1,2]上有 唯一实根。 ba 1 2 令 2k 1 2 10 ，得到 k 6.64 ，取 k 7 ，即至少二分7次 。计算过程如下：
由 f ( x) 0 转化为 x ( x) 时，迭代函数 ( x) 不是唯一的， ( x) 不同，会产生不同的序列{xk } ，从而收敛情况也不 一样。
§2 迭代法及其迭代收敛的加速方法
几何意义： * x x ( x ) 求方程 的根 ，在几何上就是求直线 y x与曲线 y ( x) 交点 P* 的横坐标，如图所示。从图中可以看出， * ( x ) ( x ) x 当迭代函数 的导数 在根 处满足不同条件时，迭
特点：运算简单，方法可靠，对函数只要求在区间上连续 ；但收敛速度慢，不能用来求复数根及偶数重根。常用于为 其它求根方法提供较好的近似初始值。
§2 迭代法及其迭代收敛的加速方法
迭代法（逐次逼近）
基本思想：利用某种递推算式，使某个预知的近似根（初 值）逐次精确化，直到得到满足精度要求的近似根。 算法：给定方程 f ( x) 0 ，其中 f ( x) 在有根区间 [a, b] 上连 续。设 x0 是方程的一个近似根，将方程 f ( x) 0 改写为 x ( x) ，代入初值 x0 构造迭代序列 x ( x ) 1 0 x (x ) 2 1 x ( x ) k k 1
§1 根的搜索与二分法
function f=f3(x) f=x^3+4*x*x-10; a0=1;b0=2;k=0; while 1 k=k+1; x=(a0+b0)/2; if f3(x)*f3(a0)<0 b0=x; else a0=x; end if (b0-a0)/2<0.005 break; end end x=(b0+a0)/2;
c0 x s , z dz, nz 2 2 zs c z n z cos s 需要导出声线以掠射角 s 从声源出发，经过一定水平距离 x
z
cos s
到达深度 z s , xr 的计算公式，有
z s , xr zr 0
改变 s ，给定精度要求，进行求解。
1
§1 根的搜索与二分法
例：求方程 x3 3.2 x 2 1.9 x 0.8 0 的隔根区间。 解：利用逐步搜索法
max 3.2 , 1.9 , 0.8 3.2

1 max 1, 3.2 , 1.9 4.0 0.8
1 设方程的根为 ，则0.2 ( 1) 4.2 1 即根的所在区间为 4.2 0.2 和 0.2 4.2 。 取 n 8, h 0.5 计算 f ( xk ) ，隔根区间为[0.7,0.2],[1.2,1.7],[1.7,2.2]
隔根区间为 [0.5,1.0] 。
0 -0.5 -1.0
0.5
1.0

2
x
§1 根的搜索与二分法
逐步搜索法：首先确定方程 f ( x) 0 的实根所在区间 [a, b] ba 再按照选定的步长 h （n为正整数），逐点计算 n xk a kh(k 0,1,2,, n) 处的函数值 f ( xk ) ，当 f ( xk )与 f ( xk 1 ) 异号时，则 [ xk , xk 1 ] 即为方程的一个隔根区间。 对于 m 次代数方程
（2）根据计算得到的函数值进行判断，如果
* x 方程的根为
ab f 的符号，如果其与 ；否则判断 2 a b a , f (a )异号，则隔根区间变为 ；如果其与 f (b) 异号，则 2 ab , b ； 隔根区间变为 2
xk
f ( xk )
-4.2 -137.72
… …
-0.7 -2.44
-0.2 0.28
0.2 1.06
0.7 0.91
1.2 0.20
1.7 -0.31
2.2 0.14
… …
4.2 26.42
§1 根的搜索与二分法
二分法
基本思想：通过计算隔根区间的中点，逐步缩小隔根区间， 从而得到方程的近似根序列 {xn} 。 过程：设 f ( x) 为连续函数，方程 f ( x) 0 的隔根区间为 [a, b] ，则函数值 f (a), f (b) 异号。 ab ab f （1）将区间 [a, b]二分得到中点 2 ，计算函数值 2 ；
[1.3125,1.375]
[1.34375,1.375] [1.359375,1.375] [1.359375,1.3671875]
* x 所以最后得
1 (1.359375 1.3671875 ) 1.363 2
§1 根的搜索与二分法
6 x x 1 0 在 [1,2]内的根，要求精确 例：用二分法求方程
超越方程：
cos x ln x 2 e x 0
第三章 非线性方程的数值解法
对于代数方程，根的数目与方程的次数相同，不高于4 次的代数方程已有求根公式，高于4次的代数方程没有精确 的求根公式；超越方程则复杂得多，如果有解，可能是一个 或多个，或无穷多个，没有精确的求解公式。因此，需要研 究如何采用一定的数值算法求得满足一定精度要求的近似根。
第三章 非线性方程的数值解法
科学技术研究与工程实践中，经常会遇到求解非线性方 程的问题，一般归纳为求解方程
f ( x) 0
其中 f ( x) 是一元非线性实函数。根据 f ( x) 是代数多项式还 是超越函数（指数函数、对数函数、三角函数等），方程分 别称为代数方程或超越方程。
n n 1 次代数方程： an x an 1 x a1 x a0 0 n
代过程的收敛情况也有所不同。所以迭代过程的收敛依赖 于迭代函数 ( x) 的构造，为使迭代法有效，必须保证其收 敛性。
ab 2
ab f 0，则 2
§1 根的搜索与二分法
（3）把新的隔根区间记为 [a1, b1 ] ，继续按照上述规则对隔根 区间 [a1, b1 ] 进行二分。满足精度要求则停止。 通过不断的二分，就得到一系列隔根区间
[a, b] [a1, b1 ] [ak , bk ]
第三章 非线性方程的数值解法
声线轨迹 0 10 20 30 40
深 度 /m
50 60 70 80 90 100
0
500
1000
1500
2000 2500 3000 水 平 距 离 /m
3500
4000
4500
5000
§1 根的搜索与二分法
根的搜索
定义（隔根区间）：如果在区间 [a, b] 内只有方程 f ( x) 0 的一个根，则称区间 [a, b] 为隔根区间。 隔根区间的确定 描图法 逐步搜索法
第三章 非线性方程的数值解法
应用举例：本征声线求解
本征声线：从声源出发经过一定的传播路径到达接收点的声 线，接收点处的声场是所有本征声线能量叠加的结果。 折射定律(Snell)：
cos 0 cos 常数 c0 c z
第三章 非线性方程的数值解法
对于给定的海洋环境，每条声线的轨迹由声线的起始掠射角 唯一决定。设声源位于 0, zs 处，接收点位于 xr , zr 处，声 线轨迹方程：
方程 f ( x) 0 的解 x 。实际计算中，只要二分的次数足够多 ak bk x ，可取最后区间中点 k 作为方程根的近似值，即 2
*
x* xk
ak bk 2
§1 根的搜索与二分法
bk ak b a k 1 误差： x xk 2 2
*
如果事先给定精度要求为 ，则满足
§1 根的搜索与二分法
描图法：画出 y f ( x) 的简图，由曲线与 x 轴的交点位置 确定出隔根区间。或者将方程等价变形为 g1 ( x) g2 ( x) ，画 出函数 y g1 ( x) 和 y g2 ( x) 的简图，从两条曲线交点的横坐 y 标位置确定隔根区间。 y 3x 1 1.0 例：求方程 3x 1 cos x 0 y cos x 的隔根区间。 0.5 解：由图可知，方程仅有一个实根，
f ( x) xm a1xm1 a2 xm2 am1x am 0
其根的绝对值的上下界有如下结论： （1）如果 maxa1 , a2 ,, am ，则方程的根的绝对值小于 1； 1 max 1, a1 , a2 ,, am 1 ，则方程根的绝对值大 （2）如果 am 1 于 。
§2 迭代法及其迭代收敛的加速方法
( x) 这种求方程近似根的方法称为迭代法（或简单迭代法）， 称为迭代函数。如果由迭代法产生的迭代序列 {xk } 极限存在 xk x *，则称 {xk } 收敛，否则称{xk }发散。 x* 称为迭 ，即lim k 代函数 ( x)的不动点，或是方程 x ( x) 的解。