2011年 - 吉林 - 东北师大附中 - 高三 - 名校模拟(摸底二) - 理科 - 数学

东北师范大学附属中学2010—2011学年度上学期高三年级第二次摸底考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 试卷满分:150分说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分；考试时间120分钟． 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置． 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2log (1)A x y x ==-，{}22xB y y ==+，则=B A（ ）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．[)2,+∞D ． R 2．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-的值为 （ ）A ．31B ．31-C ．97D ．97-4．已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足273110a a a --=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．已知()cos ()f x x x x R =+∈，若函数()y f x ϕ=+的图象关于直线0x =对称，则ϕ的值可以是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π6．若函数3211()32f x x bx cx d =+++的图象如图所示，则函数2y x bx c =++的单调递增区间为（ ）A ． ),21[+∞ B ． ),3[+∞ C ． ]3,2[-D ． ]2,(--∞7．函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若1)(=a f ，则a 的所有可能值组成的集合为（ ）A ．{}1B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-22,1C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-22D．1,⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭8．设函数(),()f x g x 的定义域分别为,A B ，且A 是B 的真子集．若对任意的x A ∈，都有()()g x f x =，则称()g x 为()f x 在B 上的一个“延拓函数”．已知函数1()(0)2xf x x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，若()x g 为()x f 在R 上的一个“延拓函数”，且()x g 是偶函数，则函数()x g 的解析式是（ ）A ．||12x ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2log ||xC ． ||2xD ．12log ||x9．已知ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且三内角A B C 、、成等差数列 ，三边长a b c 、、成等比数列，则ABC ∆的形状为 （ ） A ．等边三角形 B ．非等边的等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形10．在数列{}n a 中，1112,lg(1)n n a a a n+==++，则n a =（ ）A ．2lg n +B ． 2(1)lg n n +-C ． 2lg n n +D ．1lg n n ++11．函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，已知其导函数 )(x f ' 的部分图象如图所示，则 )(x f 的函数解析式为（ ）A ．1()3sin ()24f x x π=+B ．1()6sin ()24f x x π=-C ．1()3sin ()24f x x π=-D ．1()6sin ()24f x x π=+12．设函数()()21xf x x x =∈+R ，区间[](),M a b a b =<其中，集合(){},N y y f x x M ==∈,则使M N =成立的实数对(,)a b 有（ ）A ．0对B ． 1对C ．2对D ．3对第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题纸中的横线上） 13．直线y x =与抛物线23y x x =-所围成图形的面积是 ．14．已知一个等差数列的前9项的算术平均数为10，前10项的算术平均数为13，则此等差数列的公差为 ． 15．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数，则m 的取值范围是 ． 16．给出下列命题： ① 函数)23sin(x y +=π是偶函数；② 若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >； ③ 函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为8x π=；④ 在三角形ABC 中，A B >的充要条件是sin sin A B >；⑤ 函数tan()4y x π=+的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭． 其中正确命题的序号是_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知函数()sin cos f x x x =+,'()f x 是()f x 的导函数．（Ⅰ） 求函数2()()'()()F x f x f x f x =+的最大值和相应的x 值；（Ⅱ）若()2'()f x f x =，求221sin cos sin cos xx x x+-的值．18．（本题满分12分）已知数列}{n a 满足：).0(,121>==a a a a 数列}{n b 满足*)(1N n a a b n n n ∈=+． （Ⅰ） 若}{n a 是等差数列，且,123=b 求a 的值及}{n a 的通项公式； （Ⅱ） 若}{n a 是等比数列，求}{n b 的前项和n S ．19．（本题满分12分） 青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场．这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽．海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越．已知海湾内海浪的高度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，记作()y f t =．下表是某日各时刻记录的浪高数据：经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+的图象．（Ⅰ） 根据以上数据，求函数cos y A t b ω=+的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； （Ⅱ）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内从上午8∶00至晚上20∶00之间，哪段时间可对冲浪爱好者开放？20．（本题满分12分）已知函数()(0)af x x b x x=++≠，其中R b a ∈,．（Ⅰ） 若曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为310x y -+=，求函数)(x f 的解析；（Ⅱ） 对任意的,a b R ∈，求函数)(x f 的单调区间．21．（本题满分12分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列．（Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ） 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21n n b a =，求证:对任意正整数n ，总有n T < 2； （Ⅲ） 正数数列{}n c 中，())(,*11N n c a n n n ∈=++，求数列{}n c 中的最大项．22．（本题满分12分）已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． （Ⅰ） 求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（Ⅱ） 若存在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是常数，e ＝2．71828⋅⋅⋅）使不等式2()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ） 证明对一切(0,),x ∈+∞都有12ln x x e ex>-成立．参考答案一、选择题 BADBCA BCAADD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题纸中的横线上） （13）43（14） 6 （15）13m ≤≤ （16） ① ④ ⑤ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）解：（Ⅰ） ()sin cos f x x x =+ ∴()'cos sin f x x x =-， ……………2分故()()()()2sin cos cos sin sin cos F x x x x x x x =+-++cos 2sin 21214x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ……………4分其最大值为21+，此时,8x k k Z ππ=+∈． ………………6分（Ⅱ） 若()()x f x f '2=，则()x x x x sin cos 2sin cos -=+， 得31tan =x ，……8分2222221sin cos 2sin 12tan 11cos sin cos cos sin cos 1tan 6x x x x x x x x x x x +++===---．……10分 （18）解：（Ⅰ）{}n a 是等差数列，121,(0),1(1)(1)n a a a a a n a ==>∴=+--．--- 1分 又33412,12,(21)(32)12b a a a a =∴=--=即, ……………４分 解得526a a ==-或， ……………５分0, 2.n a a a n >∴== 从而． ……………６分（Ⅱ）{}n a 是等比数列，1121,(0),n n a a a a a a -==>∴=， 则211n n n n b a a a -+==．…7分21.n nb a b +=∴数列{}n b 是首项为a ，公比为2a 的等比数列， ……………８分当1n a S n ==时，； ……………10分当1a ≠时，22122(1)11n n n a a a aS a a +--==--． （19）解: （Ⅰ） 由表中数据，知周期12T =，26T ππω== 由0,15t y ==⋅，得15A b +=⋅； 由3,10t y ==⋅，得10b =⋅，∴05,1A b =⋅=，∴振幅为12,1cos 126y t π∴=+ …………６分 （Ⅱ）由题知，当1y >时才可对冲浪者开放， 1cos 11,cos 0266t t ππ∴+>>, 22,262k t k k Z πππππ∴-<<+∈,即123123k t k -<<+,k Z ∈ ．∵024t ≤≤,故可令①中的k 分别为0,1,2． 得03,915,2124t t t ≤<<<<≤．∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00． …………12分（20）解:（Ⅰ）21)('x ax f -=,由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-，由切点(2,(2))P f 在直线310x y -+=上可得27b -+=，解得9b =,所以函数()f x 的解析式为98)(+-=xx x f ． …………６分 （Ⅱ）21)('x a x f -=，当0a ≤时，显然)('x f >0（x≠0）,这时()f x 单调递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）；当0a >时，令)('x f =0，解得x = )('x f )(x f所以)(x f 的递增区间为（-∞,-a ）和（a ,+∞），递减区间为（-a ,0）和（0, a ）．…………12分（21）（Ⅰ）解：由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立 ∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①--②得21122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 又n=1时，21112S a a =+， 解得1a =1∴n a n =．（*N n ∈） …………4分 （Ⅱ）证明：112T =<，当2n ≥时，()22211111111212231n T n n n =+++<++++⋅⋅-21211131212111<-=--++-+-+=n n n…………8分 （Ⅲ）解：由已知 221212=⇒==c c a ，54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得 12234,...c c c c c <>>>猜想 2n ≥ 时，{}n c 是递减数列．令()()22ln 1ln 1,ln xxx xx x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时，∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数．． 由()11ln ln 11++==++n n c c a n n nn 知．．∴2n ≥ 时, {}n c ln 是递减数列．即{}n c 是递减数列，又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c ． 。