初中数学中的折叠问题

初中数学中的折叠问题关于折叠问题，我们要理解：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直均分线，折叠前后图形的形状和大小不变，地址变化，对应边和对应角相等．3、关于折叠较为复杂的问题能够实质操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和地址关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所获取的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，尔后依照轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择合适的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC， BD为折痕，折叠后 BG和 BH在同一条直线上，∠CBD=度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠ EBD = ∠ HBD则∠ CBD = 90°折叠前后的对应角相等2．以下列图，一张矩形纸片沿BC折叠，极点 A 落在点 A′处，再过点A′折叠使折痕 DE∥ BC，若 AB=4， AC=3，则△ ADE的面积是．1 沿 BC折叠，极点落在点A’处，依照对称的性质获取BC垂直均分 AA’，即 AF =2 AA’，又 DE∥BC，获取△ ABC ∽ △ ADE，再依照相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直均分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD中， AB=4，AD=3，折叠纸片D C使 AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG 的长．A'由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A’ DG，由A’D = AD = 3，AG’= AG，则A’ B A G B = 5 –3 = 2 ，在Rt △ A’BG中依照勾股定理，列方程能够求出AG的值依照对称的性质获取相等的对应边和对应角，再在直角三角形中依照勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，尔后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，张开后以下列图，则∠DFB等于（）依照对称的性质获取∠ABE=∠ CBE，∠ EBF=∠CBF，据此即可求出∠ FBC的度数，又知道∠C=90°，依照三角形外角的定义即可求出∠DFB= 112.5 °注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形 ABCD的对角线 BD折叠，点 C落在点 E 的地址，已知 BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．∵点 C 与点 E 关于直线 BD对称，∴∠ 1 =∠ 2 ∵AD∥ BC，∴∠ 1 = ∠3∴∠2 = ∠3∴FB = FD设 FD = x ，则 FB = x ， FA = 8 – x22= BF 2在 Rt △BAF 中， BA + AF∴ 62 + (8 - x)2= x225解得 x =4所以，阴影部分的面积 S= 11 × 25 × 6 = 7522 FD ×AB =244 cm△ FBD重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条 ABCD 按以下列图折叠， 若折叠角∠ FEC=64°，则∠ 1= 度；△ EFG 的形状三角形．∵四边形 CDFE 与四边形 C ’D ’FE 关于直线 EF 对称∴∠2=∠3=64 °∴∠4=180 ° -2×64°=52 °∵ AD ∥ BC∴∠1=∠4=52 °∠ 2= ∠5又∵∠2=∠3∴∠3 = ∠5∴ GE=GF∴△ EFG 是等腰三角形对折前后图形的地址变化，但形状、大小不变，注意一般状况下要画出对折前后的图形，便于搜寻对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF 7．如图，将矩形纸片ABCD按以下的序次进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延 CG折叠，使点 B 落在 EF上的点 B′处，（如图②）；展平，得折痕 GC（如图③）；沿 GH折叠，使点 C落在 DH上的点 C′处，（如图④）；沿 GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕 GC′， GH（如图 ?⑥）．（1）求图 ?②中∠ BCB′的大小；（2）图⑥中的△ GCC′是正三角形吗？请说明原由．1 （ 1）由对称的性质可知：B’ C=BC，尔后在 Rt△ B′ FC中，求得 cos ∠B’CF= 2，利用特别角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60 °；（2）第一依照题意得： GC均分∠ BCB’，即可求得∠ GCC’= 60 °，尔后由对称的性质知： GH是线段 CC’的对称轴，可得 GC’ = GC，即可得△ GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为 8，将其沿 EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′ C′ FE关于直线EF 对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图，将边长为 4 的正方形ABCD沿着折痕EF 折叠，使点 B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积设AE = x ，则BE = GE = 4 - x ，在 Rt △AEG中，依照勾股定理有： AE 2 + AG 2=GE 2即： x 2 + 4 = (4 - x)2解得 x = 1.5 ，BE=EG=4 – 1.5 = 2.5 ∵∠1 + ∠2=90 °，∠2+ ∠3=90 °∴∠1 = ∠ 3又∵∠A= ∠D=90°∴△ AEG ∽ △ DGPAE EG1.52.510 ∴ DG = GP，则 2 =GP ，解得 GP =3102PH=GH – GP=4-3 =33∵∠ 3 =∠ 4， tan ∠ 3 = tan3 FH33321∴ tan ∠ 4 = 4 ，PH = 4 ，FH= 4 ×PH= 4 × 3 = 21∴ CF=FH= 21 15∴S 梯形 BCFE = 2 ( 2 + 2) ×4=6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为 1 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在边 AD 上 不与 A 、 D 重合． MN 为折痕，折叠后 B ’C ’与 DN 交于 P ． (1) 连接 BB ’，那么 BB ’与 MN 的长度相等吗？为什么？(2) 设 BM=y ， AB ’ =x ，求 y 与 x 的函数关系式；(3)猜想当 B 点落在什么地址上时，折叠起来的梯形 MNC’ B’面积最小？并考据你的猜想．(1)BB ’ = MN过点 N 作 NH∥BC交 AB于点 H），证△ ABB’ ≌AHNM(2)MB’ = MB = y ， AM = 1 – y ， AB’ = x M在 Rt △ABB’中BB’ =2 2 2 B AB + AB' = 1 + x由于点 B 与点 B’关于 MN对称，所以 BQ = B’ Q，1 2则BQ=2 1 + x由△ BMQ∽△ BB’A 得BM×BA = BQ× BB’1 2 2 1 2∴ y = 2 1 + x × 1 + x = 2(1 + x ) A (3) 梯形 MNC′ B′的面积与梯形 MNCB的面积由 (1) 可知， HM = AB’ = x ，MH BH = BM – HM = y – x ，则 CN = y - xB ∴梯形 MNCB的面积为：1 12 (y – x + y) × 1 = 2 (2y - x)1 1 2= 2 (2 ×2(1 + x ) – x)1 12 3= 2 (x - 2 )+ 8B'B'QD△PC'NCD相等PC'NC1当 x = 2 时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值3是8二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α 的度数等于（）∵∠ α =∠1，∠ 2 =∠ 1∴∠ α =∠2∴2∠α +∠ ABE=180°，即2∠α+30°=180°，解得∠α=75°．题观察的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为 180 度的性质，注意△ EAB是以折痕 AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠ CAB=45°，则后重合部分的面积为作 CD⊥AB，∵CE∥ AB，∴∠ 1=∠ 2，依照翻折不变性，∠ 1=∠ BCA，故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠ CAB=45°，∴在 Rt△ ADC中， AC = 2 2 ，AB=2 21S△ＡＢＣ＝2 AB×CD = 2 2在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完满，关于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角均分线”的基本构造，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽 2cm的长方形纸条成以下列图的形状，那么折痕PQ的长是如图，作 QH⊥PA，垂足为 H，则 QH=2cm，由平行线的性质，得∠DPA=∠ PAQ=60°由折叠的性质，得∠DPA =∠ PAQ，∴∠ APQ=60°，又∵∠ PAQ=∠APQ=60°，∴△ APQ为等边三角形，HQ在 Rt △PQH中， sin ∠HPQ = PQ3 24 3∴2 = PQ，则 PQ= 3注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角均分线”的基本构造图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图 a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图 b，再沿 BF折叠成图 c，则图 c 中的∠ CFE的度数是（）∵AD∥ BC，∴∠ DEF=∠ EFB=20°，在图 b 中， GE = GF，∠ GFC=180° -2 ∠ EFG=140°，在图 c 中∠ CFE=∠GFC-∠ EFG=120°，此题观察图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，依照轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠ DEF=∠EFB=20°图 b∠ GFC=140°，图 c 中的∠ CFE=∠ GFC-∠ EFG 15．将一张长为70?cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后， AB与 CD间的距离为 60cm，则原纸片的宽AB是（）设 AB=xcm．右图中， AF = CE = 35 ， EF = x依照轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x（cm）．则有 2（ 35-x ） +x=60，x=10．16．一根 30cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其依照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了雅观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求 MA的长将折叠这条张开如图，依照折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm，下底等于纸条宽的 2 倍，即 6cm，两个三角形都为等腰直角三角形，斜边为纸条宽的 2 倍，即 6cm，故超出点 P 的长度为（ 30-15 ）÷ 2=7.5 ，AM=7.5+6=13.5三、三角形中的折叠17．如图，把 Rt △ ABC（∠ C=90°），使 A，B 两点重合，获取折痕E D，再沿 BE折叠， C 点恰好与 D点重合，则CE： AE=18．在△ ABC中，已知 AB=2a，∠ A=30°， CD是 AB边的中线，若将△ABC沿 CD对折起来，折叠后两个小△ ACD与△ BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积1的4．（ 1）中间线 CD等于 a 时，重叠部分的面积等于；（ 2）有以下结论（不在“CD等于 a”的限制条件下）：①AC边的长能够等于a；②折叠前的△ ABC的面积能够等于 ?3a2；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与2中线 CD平行且相等．其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．1(1) ∵CD = 2 AB CB'∴∠ACB = 90°∵ AB = 2a ，BC = a ，∴ AC = 3aAD B1 3 2∴S△ABC = 2×AC×BC = 2a1 323 2∴重叠部分的面积为：4×2 a = 8a(2)若 AC = a ，如右图180° - 30 °∵ AD = a ，∴∠ 2 == 75 ° 2 ∠BDC = 180° - 75 °= 105 °C12A E 3 D BB'∴∠ B'DC = 105 °∴∠3 = 105 °- 75 °= 30 °∴∠1 = ∠3∴AC∥ B'D∴四边形 AB'DC是平行四边形∴重叠部分△ CDE的面积等于△ＡＢＣ的面积的3 2若折叠前△ ABC的面积等于2 a过点 C 作 CH⊥AB于点 H，则1 3 22×AB×CH = 2 a143CH = 2 aCH 又 tan ∠ 1 = AH3∴ AH = 2aB2 C42E13A BD H1∴ BH = 2aCH则 tan ∠ B = BH，得∠ B = 60 °∴△ CBD是等边三角形∴∠2 = ∠4∴∠3 =∠4，AD∥CB2又 CB2 = BC = BD = a，∴ CB2= AD∴四边形 ADCB是平行四边形21B3则重叠部分△ CDE的面积是△ ABC面积的4(3) 如右图，由对称的性质得，∠3= ∠4， 2C3DA = DB31 4 AD B∴∠1 = ∠2又∵∠3+∠4=∠1+∠2∴∠4 =∠1∴AB3∥CD注意“角均分线 +等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的比较，找出相等的对应角和对应边19．在△ ABC中，已知∠ A=80°，∠ C=30°，现把△ CDE沿 DE进行不相同的折叠得△C′ DE，对折叠后产生的夹角进行研究：（1）如图（ 1）把△ CDE沿 DE折叠在四边形 ADEB内，则求∠ 1+∠ 2 的和；（2）如图（ 2）把△ CDE沿 DE折叠覆盖∠ A，则求∠ 1+∠ 2 的和；（3）如图（ 3）把△ CDE沿 DE斜向上折叠，研究∠ 1、∠ 2、∠ C的关系．（1）依照折叠前后的图象全等可知，∠ 1=180° -2 ∠ CDE，∠ 2=180°-2 ∠CED，再依照三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接 DG，将∠ ADG+∠AGD作为一个整体，依照三角形内角和定理来求；（3）将∠ 2 看作 180° -2 ∠ CED，∠ 1 看作 2∠CDE-180°，再依照三角形内角和定理来求．解：（ 1）如图 (1)∠ 1+∠ 2=180° - 2 ∠ CDE +180° - 2A∠ CED D1C'C2EB图 (1)=360° - 2 （∠ CDE+∠CED）=360° -2 （ 180°-∠C）=2∠C=60°；（2）如图 (2)连接 DG，∠1+∠ 2=180° - ∠ C′ - （∠ ADG +∠AGD）=180° -30 °- （ 180°-80 °）=50°；（3）如图 (3)∠2- ∠ 1=180° - 2 ∠CED -（2∠CDE -=360° - 2 （∠ CDE + ∠ CED）=360° - 2 （180°-∠C）=2∠C所以：∠ 2 -∠ 1=2∠C．C'A1D 2GCE B图 (2)C' A 180°）1D2C E B图 (3)由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时经常会出现等腰三角形20．观察与发现：将三角形纸片ABC（ AB＞ AC）沿过点 A 的直线折叠，使得AC落在 AB边上，折痕为AD，张开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后获取△ AEF（如图②）．小明认为△ AEF是等腰三角形，你赞成吗？请说明原由．实践与运用：(1)将矩形纸片 ABCD沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC边上的点 F 处，折痕为BE（如图③）；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE上的点 D’处，折痕为 EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠ α的大小．在第一次折叠中可获取∠EAD = ∠ FAD在第二次折叠中可获取EF是 AD的垂直均分线，则AD⊥EF∴∠ AEF = ∠AFE∴△ AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠ FEB，∠ DEG = ∠ BEG而∠ BEG = 45° + ∠α由于∠ AEB + ∠ BEG + ∠DEG = 180°所以 45 ° + 2 （ 45° +∠α） = 180 °∠α = 22.5 °由于角均分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠平时都与角均分线有关。