初中数学中折叠问题

初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后 BG和 BH在同一条直线上，∠ CBD=度．2．如下图，一张矩形纸片沿BC折叠，极点 A 落在点 A′处，再过点 A′折叠使折痕DE∥BC，若 AB=4，AC=3，则△ ADE的面积是．3．如图，矩形纸片 ABCD 中， AB=4 ，AD=3 ，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，得折痕DG，求 AG 的长．D CA'根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可 A G B 4．把矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使得 BA 边与 BC 重合，然后再沿着 BF 折叠，使得折痕BE 也与 BC 边重合，展开后如下图，则∠ DFB 等于（）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形 ABCD的对角线 BD折叠，点 C落在点 E 的位置，已知 BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．EF DA3重合部分是以折痕为底边的等腰三角形21BC6．将一张矩形纸条ABCD按如下图折叠，若折叠角∠的形状三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△ GEF FEC=64°，则∠ 1=度；△ EFGD‘C‘A1G F D5432B E C7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的次序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B ′处，（如图②）；展平，得折痕 GC（如图③）；沿 GH 折叠，使点 C 落在 DH 上的点 C′处，（如图④）；沿 GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕 GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠ BCB ′的大小；（2）图⑥中的△ GCC′是正三角形吗？请说明原因．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为 8，将其沿 EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9．如图，将边长为 4 的正方形 ABCD沿着折痕 EF 折叠，使点 B落在边 AD的中点 G处，求四边形 BCFE的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为 1 的正方形纸片ABCD 折叠，使点 B 落在边 AD 上不与A、D重合．MN 为折痕，折叠后 B ’C’与 DN 交于 P．(1)连结 BB ’，那么 BB ’与 MN 的长度相等吗？为什么？(2)设 BM=y， AB ’=x，求 y 与 x 的函数关系式；(3)猜想当 B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B’面积最小？并考证你的猜想．二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）CD30° BF E a21A题考察的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为 180度的性质，注意△ EAB 是以折痕 AB 为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm 的纸条，沿 BC，使∠ CAB=45 °，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线 +角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽 2cm的长方形纸条成如下图的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线 +角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形 APQ14．如图 a 是长方形纸带，∠ DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则图 c 中的∠ CFE 的度数是（）AE D A E E DACFB FC B G B G FC 图c图 a 图 bD本题考察图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠ DEF= ∠EFB=20°图 b∠GFC=140°，图 c 中的∠ CFE=∠GFC-∠ EFG 15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴 EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与 CD 间的距离为 60cm，则原纸片的宽AB 是（）DCFG60cmEA FDBE C B A16．一根 30cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了雅观，希望折叠达成后纸条两头高出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长三、三角形中的折叠17．如图，把 Rt△ABC（∠ C=90°），使 A， B两点重合，得到折痕 ED，再沿 BE折叠， C点恰巧与 D点重合，则 CE：AE=18．在△ ABC中，已知 AB=2a，∠ A=30°， CD是 AB边的中线，若将△ ABC沿 CD对折起来，1折叠后两个小△ ACD与△ BCD重叠部分的面积恰巧等于折叠前△ABC的面积的4．（1）中间线 CD等于 a 时，重叠部分的面积等于；（2）有如下结论（不在“ CD等于 a”的限制条件下）：① AC边的长能够等于a；②折叠前的3 2△ABC的面积能够等于 2 a ；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．C CB'12A E 3 D BAD BB'注意“角平分线 +等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对照，找出相等的对应角和对应边19．在△ ABC 中，已知∠ A=80°，∠ C=30°，现把△ CDE 沿 DE 进行不同的折叠得△DE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（ 1）把△ CDE 沿 DE 折叠在四边形 ADEB 内，则求∠ 1+∠2 的和；（2）如图（ 2）把△ CDE 沿 DE 折叠覆盖∠ A ，则求∠ 1+∠2 的和；（3）如图（ 3）把△ CDE 沿 DE 斜向上折叠，探究∠ 1、∠ 2、∠ C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠ 1=180° -2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比 A 可求出答案；（2）连结 DG，将∠ ADG+ ∠AGD 作为一个整体，根据D 1C'三角形内角和定理来求；（3）将∠ 2 看作 180° -2∠CED，∠ 1 看作 2∠C2CDE-180°，再根据三角形内角和定理来求． E 图 (1)C'C' AA12D1G D2 C′B由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时经常会出现等腰三角形20．察看与发现：将三角形纸片ABC（AB ＞AC ）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD ，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为EF，展平纸片后得到△ AEF （如图②）．小明认为△ AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明原因．实践与运用：(1)将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠往常都与角平分线相关。

要抓住折叠前后图形之间的对应关系(2)将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与 AD 边交于点 E，与BC 边交于点 F；将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠，使点 A 、点 D 都与点 F 重合，展开纸片，此时恰巧有 MP=MN=PQ （如图④），求∠ MNF 的大小．在矩形中的折叠问题，往常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形21．直角三角形纸片ABC 中，∠ ACB=90 °， AC ≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点 A 落在直角边 BC 上，记落点为 D，设折痕与 AB 、AC 边分别交于点 E、点 F．探究：如果折叠后的△ CDF 与△ BDE 均为等腰三角形，那么纸片中∠ B 的度数是多少？写出你的计算过程，并画出切合条件的后的图形．先确定△ CDF 是等腰三角形，得出∠ CFD=∠ CDF=45 °，因为不确定△ BDE 是以那两条边为腰的等腰三角形，故需议论，①DE=DB ，②BD=BE ，③DE=BE ，然后分别利用角的关系得出答案即可22．下列图案给出了折叠一个直角边长为2 的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕 CD 交 AB 于点 D；翻开后，过点 D 随意折叠，使折痕 DE 交 BC 于点 E，如图 3；翻开后，如图 4；再沿 AE 折叠，如图 5；翻开后，折痕如图 6．则折痕 DE 和 AE 长度的和的最小值是（）本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题能够参见文章23．小华将一条 1（如图 1），沿它对称轴折叠 1 次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图 3），则图 3 中一条腰长；同上操作，若小华连续将图 1 折叠 n 次后所得到（如图n+1）一条腰长为多少？本题是一道找规律的题目，这类题型在中考取经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部散发生了变化，是按照什么规律变化的．24．如图，矩形纸片 ABCD中， AB= 6 ，BC= 10 ．第一次将纸片折叠，使点 B 与点 D重合，折痕与 BD交于点O1 1 1 1 2 ；O D 的中点为 D ，第二次将纸片折叠使点 B与点 D 重合，折痕与 BD交于点 O；D 的中点为 D ，第三次将纸片折叠使点 B 与点 D 重合，折痕与 BD交于点 O ，．按上述方设O2 1 2 2 3法，第 n 次折叠后的折痕与 BD交于点 O n，则 BO1= ，BO n =问题中波及到的折叠从有限到无限， 要理解每一次折叠中的变与不变， 充分展示运算的详尽过程。

在找规律时要把最终的结果写成同样的形式，察看其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系25．如图，直角三角形纸片 ABC 中， AB=3 ，AC=4， D 为斜边 BC 中点，第 1 次将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与AD 交于点 P 1；设 P 1D 的中点为 D 1，第 2 次将纸片折叠，使点 A 与点12；设 P 2D 1 的中点为 D 2，第 3 次将纸片折叠， 使点 A 与点 D 2 重合，D重合，折痕与 AD 交于点 P折痕与 AD 交于点 P 3n-1D n-2的中点为 D n-1，第 n 次纸片折叠，使 A 与点D n-1重合，折； ；设 P痕与 AD 交于点 P n （n ＞ 2），则 AP 6 长（ ）本题考察了翻折变换的知识，解答本题重点是写出前面几个相关线段长度的表达式，进而得出一般规律，注意培养自己的概括总结能力26．阅读理解如图 1，△ ABC 中，沿∠ BAC 的平分线 ABB 1A 1C 的平分线1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠A 1B 2 折叠，剪掉重复部分； ；将余下部分沿∠B n A nC 的平分线 A n B n+1 折叠，点 B n 与点 C 重合，不论折叠多少次，只需最后一次恰巧重合，∠ BAC 是△ ABC 的好角．小丽展示了确定∠ BAC 是△ ABC 的好角的两种情形． 情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角∠ BAC的平分线 AB 1 折叠，点 B 1折叠，剪掉重复部与点 C 重合；情形二：如图 3，沿∠ BAC 的平分线 AB 分；将余下部分沿∠ B 1 11 2 1A C 的平分线 AB 折叠，此时点 B 与点C 重合．探究发现（1）△ ABC 中，∠ B=2∠ C ，经过两次，∠ BAC 是不是△ ABC 的好角？ （填“是”或“不是”）．（ 2）小丽经过三次折叠发现了∠ BAC 是△ ABC 的好角，请探究∠ B 与∠ C （不妨设∠ B ＞∠ C ）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠∠ BAC 是△ ABC 的好角，则∠ B 与∠ C （不妨设 ∠B ＞∠ C ）之间的等量关系为 ． ∠B = n ∠C应用提升（ 3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15°、 60°、105°，发现 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角．请你达成，如果一个三角形的最小角是 4°，试求出三角形此外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．AAAA 1A 2A 1A nCBB 1B 2B3BnBn+1BB 1B 2C注意折叠过程中的对应角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和的运用，理解三角形中如果有一个角是好角之后，另两个角之间的关系，通过这样的问题培养概括总结能力27．我们知道：随意的三角形纸片可通过如图①所示的方法折叠得到一个矩形．（1）实践：将图②中的正方形纸片通过适合的方法折叠成一个矩形（在图②中绘图说明）．（2）探究：随意的四边形纸片是否都能通过适合的方法折叠成一个矩形？若能，直接在图③中绘图说明；若不能，则四边形起码应具备什么条件才行？并绘图说明．（要求：绘图应体现折叠过程，用虚线表示折痕，用箭头表示方向，后图形中既无空隙又无重叠部分）折叠即对称628．如图，双曲线y =x （x＞0）经过四边形OABC的极点A、C，∠ABC=90°， OC平分 OA与 x 轴正半轴的夹角， AB∥x 轴，将△ ABC沿AC翻折后得到△ AB'C，B' 点落在 OA上，则四边形 OABC的面积是多少？yAB B'理解折叠中的对应边就行29．已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠ AOB=90 °， OA=2 ，OCxDOB=4 ．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D．（1）若折叠后使点 B 与点 A 重合，求点 C 的坐标；（2）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B′，设 OB ′=x，OC=y ，试写出 y 对于 x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（3）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B″，且使 B ″D∥OB，求此时点C 的坐标．y yB B1CD DC3 2O B' Ax O B''AxyBDCxO A四、圆中的折叠30．如图，正方形 ABCD的边长为 2，⊙ O的直径为 AD，将正方形的 BC边沿 EC折叠，点 B 落在圆上的 F 点，求 BE的长用对称关系结构勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法31．如图，将半径为8 的⊙ O 沿 AB 折叠，弧 AB 恰巧经过与 AB 垂直的半径 OC 的中点 D，则折痕 AB 长为（）CCDDOO A BA B E注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解32．如图，将弧BC沿弦 BC折叠交直径 AB于点 D，若 AD=5， DB=7，则 BC的长是多少？本题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相像三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△ CAD 是等腰三角形，是解答本题的重点33．已知如图：⊙ O 的半径为 8cm，把弧 AmB 沿 AB 折叠使弧 AmB 经过圆心 O，再把弧 AOB 沿CD 折叠，使弧 COD 经过 AB 的中点 E，则折线 CD 的长为（ 4 7 ）作 CD 对于 C’D’的对称线段 C’D’，连结 OE 并延伸交 CD 于点 F，交 C′ D′于点 F′，交弧AmB 于点 G，根据对称的性质得出 OF′=6，再由勾股定理得出 C’F’= 2 7 ．初中数学中折叠问题。