离散数学(第五版)清华大学出版社第2章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第2章习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域.(1) 令F(x):x是鸟G(x):x会飞翔.命题符号化为∀x(F(x)→G(x)).(2)令F(x):x为人.G(x):x爱吃糖命题符号化为¬∀x(F(x)→G(x))或者∃x(F(x)∧¬G(x))(3)令F(x):x为人.G(x):x爱看小说.命题符号化为∃x(F(x)∧G(x)).(4) F(x):x为人.G(x):x爱看电视.命题符号化为¬∃x(F(x)∧¬G(x)).分析1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。
（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。
2° 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为27∀x(F(x)∧G(x))即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。
将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。
”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。
若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。
”这显然改变了原命题的意义。
3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。
2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为∀xF(x)其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。
（2）在(a),(b),(c)中均符号化为∃xG(x)其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。
（3）在(a),(b),(c)中均符号化为∃xH(x)其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。
分析1°命题的真值与个体域有关。
2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题“人都呼吸”。
在个体域为人类集合时，应符号化为∀xF(x)这里，F(x):x呼吸，没有引入特性谓词。
在个体域为全总个体域时，应符号化为∀x(F(x)→G(x))这里，F(x):x为人，且F(x)为特性谓词。
G(x):x呼吸。
282．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。
（1）令：F(x):x是大学生，G(x):x是文科生，H(x):x是理科生，命题符号化为∀x(F(x)→(G(x)∨H(x))（2）令F(x):x是人，G(y):y是化，H(x):x喜欢，命题符号化为∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y)))（3）令F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题符号化为¬∃x(F(x)∧¬G(x)),或另一种等值的形式为∀x(F(x)→G(x)（4）令F(x):x在北京工作，G(x):x是北京人，命题符号化为¬∀x(F(x)→G(x)),或∃x(F(x)∧¬G(x)),（5）令F(x):x是金属，G(y):y是液体，H(x,y):x溶解在y中，命题符号化为∀x(F(x)→∃y(G(y)∧H(x,y))).（6）令F(x):x与y是对顶角，H(x,y):x与y相等，命题符号化为∀x∀y(F(x,y)→H(x,y)).分析（2），（5），（6）中要使用2无谓词，用它们来描述事物之间的关系。
2.4 1）对所有的x，存在着y，使得x⋅y=0，在(a),(b)中为真命题，在(c),(d)中为假命题。
（2）存在着x对所有的y，都有x,⋅y=0，在(a),(b)中为真命题，在(c),(d)中为假命题。
29（3）对所有x，存在着y，使得x⋅y=1，在(a),(b)(c)中均为假命题，而在(d)中为真命题。
（4）存在着x，对所有的y，都有x⋅y=1，在(a),(b)(c)(d)中都是假命题。
（5）对所有的x，存在着y，使得x⋅y=x在(a),(b)(c)(d)中都是真命题。
（6）存在x，对所有的y，都有x⋅y=x，在(a),(b)中为真命题，在(c)(d)中为假命题。
（7）对于所有的x和y，存在着z，使得x−y=z，在(a),(b)中为真命题，在(c)(d)中为假命题。
2.5 1）取解释I1为：个体域D=R（实数集合），F(x):x为有理数，G(x):x能表示成分数，在I1下，∀x(F(x)→G(x))的含义为“对于叙何实数x而言，若x为有理数，则x能表示成分数”，简言之为“有理数都能表示成分数。
”在此蕴含式中，当前件F(x)为真时，后件G(x)也为真，不会出现前件为真，后件为假的情况，所以在I1下，∀x(F(x)→G(x))为真命题。
在在I1下，∀x(F(x)∧G(x))的含义为“对于任何实数x,x既为有理数，又能表示成分数。
”取x= 2，则F( 2)∧g( 2)显然为假，所以，在I1下，∀x(F(x)∧G(x))为假命题. (2) 取解释I2为:个体域D=N(自然数集合), F(x):x为奇数, G(x):x为偶数,在I2下,∃x(F(x)∧G(x))的含义为“存在自然数x,x发既为奇数，又为偶数。
”取x=2，则F(2)为假，于是F(2)→G(2)为真，这表明∃x(F(x)→G(x)为真命题。
分析本题说明∀x(F(x)→G(x))⇔∀x(F(x)∧G(x)),30∃x(F(x)∧G(x))⇔∃x(F(x)→G(x)),这里，A⇔B表示A与B不等值，以后遇到⇔，含义相同。
在一阶逻辑中，将命题符号化时，当引入特性谓词（如题中的F(x))之后，全称量词∀后往往使用联结词→而不使用∧，而存在量词∃后往往使用∧，而不使用→，如果用错了，会将真命题变成假命题，或者将假命题变成真命题。
2．6 在解释R下各式分别化为（1）∀x(−x<0);（2）∀x∀y(x−y≥x);（3）∀x∀y∀z(x<y)→(x−z<y−z));（4）∀x∃y(x<x−2y).易知，在解释R下，（1），（2）为假；，（3）（4）为真。
2．7 给定解释I为：个体域D=N（自然数集合），F(x):x为奇数，G(x):x为偶数。
（1）在解释I下，公式被解释为“如果所有的自然数不是奇数就是偶数，则所有自然数全为奇数，或所有自然数全为偶数。
”因为蕴含式的前件为真，后件为假，所以真值为假。
（2）在I下，公式解释为“如果存在着自然数为奇数，并且存在着自然为偶数，则存在着自然数既是奇数，又是偶数。
”由于蕴含式的前件为真，后件为假，后以真值为假。
分析本题说明全称量词对析取不满足分配律，存在量词对合取不满足分配律。
2.8 令A=∀x∀y(F(x)∧G(y)→L(x,y)),在A中，无自由出现的个体变项，所以A为闭式。
给定解释I1：个体域D=N（整数集合），F(x):x为正数，G(x):x为负数，L(x,y):x>y，在I1下，A的含义为31“对于任意的整数x和y，如果x为正整数，y为负整数，则x>y。
”这是真命题。
设解释I2：个体域D=R（R整数集合），F(x):x为有理数，G(y):y为无理数，L(x,y):x≤y，在I2下，A的含义为“对于任意的实数x和y，如果x为有理数，y为元理数，则x≥y。
”这是假命题。
分析闭式在任何解释下不是真就是假，不可能给出解释I, 使得闭式在I下真值不确定，这一点是闭式的一个重要特征。
而非封闭的公式就没有这个特征。
2.9 取A1=L(f(x,y),g(x,y))和A2=∀x(f(x,y),x)，则A1和A2都是非土产的公式，在A1中，x, y都是自由出现的，在A2中，y是自出现的。
取解释I 为，个体域D=N （N 为自然数集合），f(x,y,)=x+y,g(x,y)=x⋅yL(x,y)为x=y。
在I下，A1为x+y=x⋅y为假，所以在I下，A1真值不确定，即在I下A2的真值也是命题。
在I下，A2为∀x(x+y=x),当y=0时，它为真；y≠0时为假，在I下A2的真值也不确定。
分析非闭式与闭式的显著区别是，前者可能在某些解释下，真值不确定，而后者对于任何解释真值都确定，即不是真就是假。
当然非闭式也可以是逻辑有效式（如F(x)→F(x)），也可能为矛盾式（如F(x)∧¬F(x))，也可能不存在其值不确定的解释。
2．10 （1）¬∀xA(x)⇔¬(A(a)∧A(b)∧A(c)) （消去量词等值式）⇔¬A(a)∨¬A(b)∨¬A(c) （德·摩根律）⇔∃x¬A(x) （消去量词等值式）（2）¬∃xA(x)⇔¬(A(a)∨A(b)∨A(c)) （消去量词等值式）32⇔¬A(a)∧¬A(b)∧¬A(c) （德·摩根律）⇔∃x¬A(x) （消去量词等值式）2．11 （1）令F(x):x为人。
G(x):x长着绿色头发。
本命题直接符号化验为¬∃x(F(x)∧G(x))]而¬∃x(F(x)∧G(x))⇔∀x¬(F(x)∧G(x)) （量词否定等值式）⇔∀x(¬F(x)∨¬G(x)) （德·摩根律）⇔∀x(F(x)→¬G(x)) （蕴含等值式）最后一步得到的公式满足要求（使用全称量词），将它翻译成自然语言，即为“所有的人都不长绿色头发”。
可见得“没有人长着绿色头发。
”与“所有人都不长绿色头发。
”是同一命题的两种不同的叙述方法。
（2）令F(x):x是北京人G(x):x去过香山。
命题直接符号化为∃x(F(x)∧¬G(x))]而∃x(F(x)∧¬G(x))⇔¬¬∃x(F(x)∧¬G(x)) （双重否定律）⇔¬∀x¬(F(x)∧¬G(x)) （理词否定等值式）⇔¬∀x(¬F(x)∨G(x)) （德·摩根律）⇔¬∀x(F(x)→G(x))（蕴含等值式）33最后得到的公式满足要求（只含全称量词），将它翻译成自然语言，即为“并不是北京人都去过香山。
”可见，“有的北京人没过过香山。
”与“并不是北京人都去过香山。
”是同一命题不同的叙述方法。
2.12 （1）∀xF(x)→∃yG(y)⇔(F(a)∧F(b)∧F(c)→(G(b)∨G(c)).（2）∀xF(x)∧∃yG(y)⇔∀xF(x)∧∃yG(y) （量词辖域收缩扩张等值式）⇔(F(a)∧F(b)∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨(c)).（3）∃x∀yH(x,y)⇔∃x(H(x,a)∧H(x,b)∧H(x,c)⇔(H(a,a)∧H(a,b)∧H(x,c)∨(H(b,a)∧H(b,b)∧H(b,c)∨(H(c,a)∧H(c,b)∧H(c,c)分析在有穷个体域内消去量词时，应将量词的辖域尽量缩小，例如，在（2）中，首先将量词辖域缩小了（因为∃yG(y)中不含x，所以，可以缩小）。
离散数学课后习题答案(第二章)
(3) 寻求下列各式的真假值。 A） (∀x)( P( x) ∨ Q( x)) ，其中 P( x) : x = 1, Q( x) : x = 2 ，且论域是 {1, 2} B） (∀x)( P → Q( x)) ∨ R( a) ， 其中 P : 2 > 1, Q( x) : x ≤ 3, R( x) : x > 5 而 a : 5 ， 论域是 {−2,3, 6} 解：a) (x)(P(x)∨Q(x))⇔(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))， 但 P(1)为 T，Q(1)为 F，P(2)为 F，Q(2)为 T, 所以(x)(P(x)∨Q(x))⇔(T∨F)∧(F∨T) ⇔T。 b) (x)(P→Q(x))∨R(a)⇔ ((P→Q(−2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a) 因为 P 为 T，Q(−2)为 T，Q(3)为 T，Q(6)为 F，R(5)为 F， 所以(x)(P→Q(x))∨R(a)⇔((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F⇔ F (4) 对下列谓词公式中的约束变元进行换名。 A） ∀x∃y ( P ( x, z ) → Q ( y ) � S ( x, y ) B） (∀xP( x) → ( R( x) ∨ Q( x))) ∧ ∃xR( x)) → ∃zS ( x, z) 解：a)(u)(v)(P(u，z)→Q(v))S(x，y) b)(u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧(v)R(v))→(z)S(x,z) (5) 对下列谓词公式中的自由变元进行代入。 A） (∃yA( x, y ) → ∀xB ( x, z )) ∧ ∃x∀zC ( x, y , z ) B） (∀yP( x, y ) ∧ ∃zQ( x, z )) ∨ ∀xR( x, y) 解：a)((y)A(u，y)→(x)B(x，v))∧(x)(z)C(x，t，z) b)((y)P(u，y)∧(z)Q(u，z))∨(x)R(x，t) 习题 2-5 （1）考虑以下赋值，论域：
离散数学(第五版)清华大学出版社第
（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。
真值表法
表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。
p∨q∨rp→(p∨q∨r)
p q r
0 0 0 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
⇔0↔q（矛盾律）
⇔(p→q)∧(q→0)（等价等值式）
⇔(¬0∨q)∧(¬q∨0)（蕴含等值式）
⇔(1∨q)∧¬q（同一律）
⇔1∧¬q（零律）
6
⇔¬q（同一律）
到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论p取0或1值，只要q取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。
1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命可编辑范本
题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。
⇔¬((¬p∧q)∧(¬p∨q)∧(¬q∨p)∧(¬q∨q))⇔¬(1∧p∨q)∧(¬q∨p)∧1⇔¬((p→q)∧(q→p))
可编辑范本
⇔¬(p↔q).
读者填上每步所用的基本的等值式。1.9（1）
离散数学课后习题答案(最新)
习题参考解答习题1.11、（3）P：银行利率降低Q：股价没有上升P∧Q（5）P：他今天乘火车去了北京Q：他随旅行团去了九寨沟PQ（7）P：不识庐山真面目Q：身在此山中Q→P，或～P→～Q（9）P：一个整数能被6整除Q：一个整数能被3整除R：一个整数能被2整除T：一个整数的各位数字之和能被3整除P→Q∧R ，Q→T2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F（6）T （7）F （8）悖论习题 1.31（3）)()()()()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q P →∨→⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨∨⌝⇔∨→（4）()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右2、不， 不， 能习题 1.41(3) (())~((~))(~)()~(~(~))(~~)(~)P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、主合取范式)()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(())()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝=∧∨⌝∧∨⌝=∨⌝∧∨⌝=→∧→ ————主析取范式(2) ()()(~)(~)(~(~))(~(~))(~~)(~)(~~)P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨ 2、()~()(~)(~)(~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价3、解：根据给定的条件有下述命题公式：（A →（C ∇D ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ）⇔（～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ）） ∧（～C ∨～D ）⇔（～A ∧～B ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～C ）∨ （～A ∧～C ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ∧～C ）∨（～A ∧～B ∧～D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～D ）∨ （～C ∧D ∧～C ∧～D ）（由题意和矛盾律）⇔（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～B ∧～A ）∨ （～A ∧～C ∧B ）∨ （～A ∧～C ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ） ⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ） ∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ） 三种方案：A 和D 、 B 和D 、 A 和C习题 1.51、 （1）需证()(())P Q P P Q →→→∧为永真式()(())~(~)(~())~~(~)(()(~))~(~)(~)()P Q P P Q P Q P P Q P P P Q P Q TP Q P Q T P Q P P Q →→→∧=∨∨∨∧∨=∨∨∧∨=∨∨∨=∴→⇒→∧（3）需证S R P P →∧⌝∧为永真式SR P P T S F S R F S R P P ⇒∧⌝∧∴⇔→⇔→∧⇔→∧⌝∧3A B A B ⇒∴→ 、为永真式。
离散数学第五版课后答案
离散数学第五版课后答案【篇一：离散数学课后答案(四)】txt>4.1习题参考答案-------------------------------------------------------------------------------- 1、根据结合律的定义在自然数集n中任取 a,b,c 三数，察看 (a。
b)。
c=a。
(b。
c) 是否成立？可以发现只有 b、c 满足结合律。
晓津观点：b)满足结合律，分析如下： a) 若有a,b,c∈n，则(a*b)*c =(a-b)-c a*(b*c) =a-(b-c)在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。
b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。
a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。
此运算是可结合的。
c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。
d)运用同样的分析可知其不是可结合的。
-------------------------------------------------------------------------------- 2、d)是不封闭的。
--------------------------------------------------------------------------------其不满足交换律、满足结合律、不满足幂等律、无零元、无单位元晓津补充证明如下：(1)a*b=pa+qb+r 而b*a=pb+qa+r 当p,q取值不等时，二式不相等。
因此*运算不满足交换律。
(2)设a,b,c∈r则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r 而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r 二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。
离散数学课后习题答案二
习题3.71. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解 }6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
表3.18 航班信息航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛 09:10 Nadir 32234底特律09:44解 略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><d c b a ，，，时你能得到什么？解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？ 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir 航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。
解对航班信息二维表进行投影运算5,3,2π后得到的二维表航班 登机口 起飞时间 112 34 08:10 221 22 08:17 122 33 08:22 323 34 08:30 199 13 08:47 222 22 09:10 3223409:44对航班信息二维表进行选择运算Nadir 航空公司＝ 后得到的二维表航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Nadir 199 13 底特律 08:47 Nadir 32234底特律09:446. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解 略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
离散数学答案版(全)
1.2.4
0 0 1 1 条件联结词→
P
0 1 0 1
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1） P↑P ﹁（P∧P） ﹁P； （2） （P↑Q）↑（P↑Q） ﹁（P↑Q） P∧Q； （3） （P↑P）↑（Q↑Q） ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1）P↓P ﹁（P∨Q） ﹁P； （2） （P↓Q）↓（P↓Q） ﹁（P↓Q） P∨Q； （3） （P↓P）↓（Q↓Q） ﹁P↓﹁Q ﹁（﹁P∨﹁Q） P∧Q。
石材加工 红提采摘 2 金刚石磨头
1.5
对偶与范式
1.5.1 对偶 定义 在仅含有联结词 Ø、∧、∨的命题公式 A 中，将联结词∧换成∨，将 ∨换成∧，如果 A 中含有特殊变元 0 或 1，就将 0 换成 1，1 换成 0，所得的命题 公式 A*称为 A 的对偶式。 例：公式（ P∨Q）∧（P∨ Q） 的对偶式为： （ P∧Q）∨（P∧ Q） 定理 设 A 和 A*互为对偶式，P1，P2，…，Pn 是出现在 A 和 A*中的所有原子
P
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
离散数学(第五版)清华大学出版社第
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命可编辑范本题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学课后习题答案 (2)
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
离散数学导论(第5版)-第二篇 集合论
• 同一律： • A∪＝A • A∩E＝A • 零一律： • A∪E＝E • A∩＝ • 互补律： • A∪～A＝E • A∩～A＝ • 双补律： • ～（～A）＝A
7
• E与 的互补： • ～E＝ • ～＝E • 等幂律： • A∪A＝A • A∩A＝A • 吸收律： • A∪（A∩B）＝A • A∩（A∪B）＝A • 狄·莫根定律： • ～（A∪B）＝～A∩～B • ～（A∩B）＝～A∪～B
第二篇 集合论
•
本篇由集合论初步、关系、函数、有限集与
无限集等与集合论相关等四部分内容组成，它们间
是一个内容关联的整体。
1
第1章 集合论初步
•
集合论是数学的基础，也是离散数学的基
础。故学好集合论十分重要，在本章学习中要掌
握：
•
• 集合中的一个基本概念
•
• 集合中的两种关系
•
• 集合中的三种特殊集合
•
• 集合中的三种表示方法
•
• 集合中的五种运算
•
• 集合中的21个常用公式
2
§1.1 集合论基本概念
• （1） 一个主要的概念——集合的基本概念：一些不 同确定的对象全体称集合，而这些对象称集合的元素。
•
（2）集合中的两个关系
•
• 集合间的比较关系：A＝B，A≠B，AB，
AB。
•
• 集合与元素间的隶属关系：aA，aA。
8
§1.3 幂集
• • 幂集定义：集合A的所有子集所组成的集合，
可记为（A）。
•
• 幂集性质：|A|＝n 则| (A) |＝2 n
9
第2章 关系
• 关系研究集合内元素间的关联及集合间元素关联，主要有：