八年级数学下册 1.4 角平分线的性质导学案(无答案)湘教版
1.4角平分线的性质
科
目 集体研讨主持人 教案序号 集体研讨与个案补充 课题 课型 新 课时
形式 个 人 备 课
导学活动过程 教学目标：
1、了解平分角的仪器的制作方法。
2、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．
3、会用尺规作一个已知角的平分线．
4、掌握角的平分线的性质及其应用。
教学重点：
利用尺规作已知角的平分线，角的平分线的性质及其运用。
教学难点：
作角的平分线的方法；运用角平分线的性质解决相关的实际问题。
教学过程
一．创设情境，引入新课。
1、引导学生回顾上节课的主要内容。
2、三角形中有哪些重要线段？你能作出这些线段吗？
3、多媒体展示如下问题，请学生思考。
如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
4、学生互相讨论，教师巡视班级，观察监督学生的活动情况，也可参与到学生的讨论中去。
5、师生共同分析讨论，探究问题的解答。
分析：要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
形
式
个 人 备 课 集体研讨与个案补充
导
学
活
动
过
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全
等就可以了．
看看条件够不够．
ABADBCDCACAC
所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．
二、探究角平分线的作法和性质。
1、教师总结指出：由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法。
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
议一议：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
总结：
形
式
个 人 备 课 集体研讨与个案补充 1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
练一练：
任意画一平角∠AOB，作它的平分线．
结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
探索活动
1．在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角A对折，使得这个角的两边重合。2、在折痕（即平分线）上任意找一点C，
3、 过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足。4、将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
形
式
个 人 备 课 集体研讨与个案补充 按以下步骤折纸
下面用我们学过的知识证明发现：
如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。
求证：OE=OD。
三、随堂练习
课本练习．
平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB•也垂直．
四．课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．
五．课后作业
反
思
(新课标)最新湘教版八年级数学下册《角平分线的性质》课时训练及答案解析
美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！为自己加油！ 湘教版2017—2018学年八年级数学下学期
1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
要点感知 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到__________的距离相等.
预习练习 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，则点D到AC的距离是( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
知识点 角平分线的性质
1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )
A.1 B.2 C.3
D.4
美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！为自己加油！ 3.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有( )
A.3对 B.2对 C.1对 D.没有
4.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB∶AC=3∶2，则△ABD与△ACD的面积之比为__________.
5.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是__________.
教育最新K12八年级数学下册 1.4 角平分线第1课时导学案(无答案)(新版)北师大版
小学+初中+高中
小学+初中+高中 角平分线
课题 角平分线（一） 授课教师
学习
目标 1、记住角平分线的性质定理和判定定理。
2、能够利用角平分线的性质定理和判定定理解决相关问题。
学习
重难点 学习重点：线段的垂直平分线的性质、判定定理的证明。
学习难点：尺规做已知线段的垂直平分线。
学法
指导 讲练结合法 多媒体演示法 探究法 尝试指导法
学 习 过 程
独
立
尝
试 学 案 导 案
一、知识回顾、引入新课
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE
证明：
∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)
∴PD=PE 认真阅读课本第28-29页：
①记住线段的角平分线的性质、判定定理。
②看懂例题的解题过程。
③尝试完成随堂练习。
21EDCPOBA小学+初中+高中
小学+初中+高中 合作探究 已知：在△AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在么AOB的角平分线上。
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)
自我挑战 在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长。
堂清试题 1、如图△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD= 。
2、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，
则∠B＝ 。
3、如图△ABC中，∠C＝90°，D为BC上的一点，且DA＝DB，DC＝AC．则∠B＝ 。
初中数学湘教版八年级下册1.4角平分线的性质
1.4 角平分线的性质
教学目标
1．角的平分线的性质
2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
教学重难点
重点：角平分线的性质及其应用．
难点：灵活应用两个性质解决问题．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．
Ⅱ．导入新课
角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
折出如图所示的折痕PD、PE．
画一画
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．
结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．
由已知事项推出的事项：PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？(出示投影)
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL)．于是可得∠PDE=∠POD．
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．
2020--2021学年湘教版八年级数学下册 1.4.1 角平分线的性质与判定
1.4.1 角平分线的性质与判定
1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
2．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，连接AB.下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
3．如图，已知BD是∠ABC的平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为( D )
A．6 B．5
C．4 D．3 3
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，DC＝13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )
A．6 B．4
C．3 D．1
5．在正方形网格中，∠AOB和点P，Q，M，N的位置如图所示，到∠AOB的两边的距离相等的点是( )
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
6.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( )
A．24 B．30 C．36 D．42
7.【教材改编题】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，则△ADC的面积为( )
A．3 B．10
C．12 D．15
8．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的结论是( )
A．①②③ B．②③
2020—2021学年湘教版八年级数学下册 1.4.2 三角形的角平分线
1.4.2 三角形的角平分线
1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A．点M B．点N C．点P D．点Q
2．如图，在CD上找一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( )
A．线段CD的中点
B．过点O作CD的垂线段所得的垂足
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
3．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中( )
A．全部正确 B．仅①和②正确
C．仅①正确 D．仅①和③正确
4．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰在∠B，∠DAC，∠ECA的平分线的交点处，上述结论中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，O为△ABC的三条角平分线的交点，OF⊥AB，OD⊥BC
OE⊥AC，垂足分别为F，D，E，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边
AB，BC，AC的距离分别为( )
A．2 cm，2 cm，2 cm B．3 cm，3 cm，3 cm
C．4 cm，4 cm，4 cm D．2 cm，3 cm，5 cm
6．【中考·大庆】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝( )
A．30° B．35° C．45° D．60°
7.【中考·滨州】如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：
湘教版八年级数学下册1.4 角平分线的性质(优秀教学设计)
1．4 角平分线的性质
1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)
2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)
一、情境导入
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等
【类型一】 利用角平分线的性质求线段长
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．
解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长为DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案为7cm. 方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
【类型二】 利用角平分线的性质求面积
如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.若AB＝18cm，BC＝12cm，DE＝2.4cm，求△ABC的面积．
解析：根据角平分线的性质得到DE＝DF，再将△ABC分成△BCD和△ADB两个三角形，分别求出它们的面积再求和．
解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BF，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝12BC·DF＋12AB·DE＝12(BC＋AB)·DE＝12×30×2.4＝36(cm2)．
方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和．
【类型三】 利用角平分线的性质进行证明
如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD，求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.
湘教版数学八年级下册(新) 教案：1.4《角平分线的性质》(一)
1 初中 八
年级 数学 学科 主备人： 年 月
课题 角平分线的性质
本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第7课时，为本学期总第7课时
教学目标 知识与技能：让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理
过程与方法：经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．
情感态度与价值观：激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
重点 领会角的平分线的两个互逆定理
难点 两个互逆定理的实际应用
教学方法 课型 教具
教学过程：
一、创设情境、引入课题
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
二、互动学习、验证定理
角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论？
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，试问：PD与PE相等吗？
（学生自己证明、归纳）
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
角平分线性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
提出问题：那么到角的两边距离相等的点
是否在角的平分线上呢？
已知：如图，P是∠AOB内部任意一点，
作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?(提示：运用三角形全等的判定公理的推论来证明)
通过证明得出OC为∠AOB的角平分线。
即点P在∠AOB的平分线上。
于是我们得出了角平分线的判定定理。
角平分线判定定理：
角的内部到角的两边距离相等的点
在这个角的平分线上。
例1，如图∠BAD=∠BCD=90°,∠1=∠2.求证：(1)点B在∠ADC的平分个案修改
最新湘教版八年级下册数学同步练习1.4 第1课时 角平分线的性质定理
最新八年级下册数学精品教学资料设计
最新八年级下册数学精品教学资料设计 1 1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质定理
要点感知 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到__________的距离相等.
预习练习 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，则点D到AC的距离是( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
知识点 角平分线的性质
1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有( )
A.3对 B.2对 C.1对 D.没有
4.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB∶AC=3∶2，则△ABD与△ACD的面积之比为__________.
5.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是__________.
2022年湘教版八年级下《角平分线的性质定理》同步练习(附答案)
1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质定理
要点感知 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到__________的距离相等.
预习练习 AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，那么点D到AC的距离是( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
知识点 角平分线的性质
1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=8，BD=5，那么点D到AB的距离等于( )
2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，假设PA=2，那么PQ的最小值为( )
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有( )
4.：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB∶AC=3∶2，那么△ABD与△ACD的面积之比为__________.
5.如图，BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，垂足分别为E，F，G，那么DE，DF，DG的关系是__________.
第5题图 第6题图
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，那么AC=__________.
7.如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD,CE交于点O且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC.
8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
求证：∠B=∠C.
9.如图，△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别为S1、S2，那么S1∶S2等于( )
八年级数学下册1.4角平分线的性质角平分线问题的求解策略素材湘教版(new)
角平分线问题的求解策略
几何问题中，若出现角平分线这一条件,可联想角平分线的特性,利用如下求解策略。
一、利用角平分线的定义产生两个角间的数量关系
例1 如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系?
解：∵AD平分∠CAB
∴∠1=∠2=21∠CAB
又∵AE平分∠CAF,
∴∠3=∠4=21∠CAF
∵∠CAB=∠CAF=180°，
∴∠1+∠3=21（∠CAB+∠CAF）=9018021，
所以，AD⊥AE，即：∠DAE=90
二、利用角平分线的对称性，翻折构造全等三角形
例2 如图，△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD
证明：延长AC至E，使AE=AB，连结DE，
易证△ADB≌△ADE,
∴∠B=∠E
又∵∠ACD=∠E+∠CDE,∠ACD=2∠B
∴∠ACD=2∠E，∴∠E=∠CDE,
∴CD=CD
∴AB=AE=AC+CE=AC+CD
三、过角平分线上一点，可以作一边的平行线来构造等腰三角形
例3 如图，△ABC中，点O是∠BAC与 ∠ABC的平分线的交点,过O作与BC平
行的直线分别交AB、AC于D、E。已知
△ABC的周长为2004，BC的边长为704,求△ADE的周长。
分析：求△ADE的周长,即需求出AD+DE+AE的和。根据题意，要整体转化方可求出，首先O是△ABC中∠BAC和∠ABC的角平分线的交点,则O必在∠ACB的角平分线上，即OC平分∠ACB，而DE∥BC，恰好能构造出等腰三角形ODB和等腰三角形OEC，则DB=OD，EC=OE，则AD=DE=AE=（AD+DB）+（CE+AE）=AB+AC，此题便可获解。
解：连接OC
∵O是∠ABC和∠BAC角平分线的交点
∴OC平分∠ACB(三角形角平分线交于一点)
∴∠OCE=∠OCB
又∴DE∥BC
∴∠EOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等）
∴∠OCE=∠EOC