多元函数的微分习题课-1

f
( 0,0 )
( x )2 ( y )2
( x )2 ( y )2 [ ( x )2 ( y )2 ]2
0
所以 f 在点(0,0)不可微 !
7
2. 多元函数微分法 1) 偏导的定义
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim ， x 0 x f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) f y ( x0 , y0 ) lim ． y 0 y
2
15
y f x ( x, y ) 2 x arctan y ， x
1 f xy ( x , y ) 2 x 1 2 y x 1 2 x 2x2 x2 y2 2 1 2 ． 2 2 x y x y 1
16
y 例4 设 z f ( x y , )，其中 f 有连续偏导，求 z xy . x y y 解 z x f1 2 xy f 2 ( 2 ) 2 xy f1 2 f 2 ， x x f1 1 y f 2 z xy ( 2 x f1 2 xy ) ( 2 f 2 2 ) y x x y 1 2 x f12 ) 2 x f1 2 xy( f11 x 1 y 1 2 x f 22 ) 2 f 2 2 ( f 21 x x x y 1 3 y f12 3 f 22 2 x f1 2 f 2 ． 2 x y f11 x x
x 2 cos t ( 2 x sin t x y ) ( x y ) cos t 1 ( x y )2
18
例6 设 z f ( x , y ) 由 xy yz zx 1确定，求 d z . 解 令 F ( x , y , z ) xy yz zx 1, 则
4x y
2
2 2
P130 题3
lim
ln( 1 x y ) f ( x, y) ．
的定义域，
y
y 2 4x
x2 y2 1
解 函数 f ( x , y )定义域为
O
x
D {( x , y ) | y 4 x , x y 1}， 1 因点 ( ,0) 在定义域中，而函数为 2
上式中的第一式乘 cos v , 第二式乘 sin v , 两式相加，
z 因此 uv x vux (v cos v u sin v ) e u ． x z u uv vu ( u cos v v sin v ) e ． 同理可得 y y y 23
ux e u cos v ，
小结:隐函数求偏导数的程序(方程组的情形):
(1) 弄清哪个是因变量,哪些是中间变量,哪些是
自变量;
(2) 将方程两边对自变量求导;
(3) 解由(2)得到的方程组,求出要求的偏导数.
24
可微，并且
d z f x ( x, y ) d x f y ( x, y ) d y ．
10
关于多元函数微分法: 1. 分析复合结构
显示结构
隐式结构
(画变量关系图)
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定
2. 正确使用求导法则 注意正确使用求导符号
3. 利用一阶微分形式不变性
x 0 y 0
故 f 在 (0,0) 连续;
又因 f ( x ,0) f (0, y ) 0, 所以 f x (0,0) f y (0,0) 0
6
而
f
( 0,0 )

( x ) y ) ]
当 x 0， y 0 时,
z x f ( x y ) , F ( x, y, z ) 0
解法2 方程两边求微分, 得
化简
x f d y
F2 d y
消去 d y 即可得
21
P131 题12
u 例8 设 x e cos v , y e sin v , z uv ,
u
z z ， ． 求 x y
11
几个基本概念的关系 连续性 偏导数存在 可微性
方向导数存在
偏导连续
12
二、典型例题
ln( 1 xy ) lim 例1 求极限 ． ( x , y )( 0 , 0 ) x tan y
解
令 y - x 0, 则
2 2
x 0
ln( 1 xy ) ln( 1 x ) x lim lim lim y x x tan y x 0 x tan x x 0 x tan x
Fx y z ，Fy z x ，Fz x y ，
Fy Fx yz z x 因此 z x ，z y ， Fz x y Fz x y
yz z x d z zx d x z y d y dx dy x y x y ( y z) d x (z x) d y ． x y
2) 高阶偏导
f ( x , y )的二阶偏导
f xx ( x , y ) ，f xy ( x , y ) ，f yx ( x , y ) ，f yy ( x , y ) ．
8
3) 复合函数的偏导
x u( t )，y v ( t ) (1)全导数 设函数 z f ( x , y ) ，

此法忽略了 的任意性,
极限不存在 !
由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证
自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还可看到,
本题极限实际上不存在 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.
5
x2 y2 2 2 2. 证明: , x y 0 2 3 f ( x, y ) ( x y 2 ) 2 2 2 0 , x y 0 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 提示: 利用 2 x y x 2 y 2 , 知 1 1 2 2 2 f ( x, y) ( x y ) 4 lim f ( x , y ) 0 f (0 , 0)
2
17
有二阶连续偏导数, 且 u 2 u u , . 求 x xy x y z 1 u 解 f1 f 3 ( ) x y x x t 1 2u f13 ( ) f12 x y xy x y 例5 设
f 33 f 32 f 3 2 x cos t 1 x 2 x y
y 0
x 1 时 , x 1 y
此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,第二步
未考虑分母变化的所有情况, 例如, y
1 x 1,
此时极限为 1 .
解法2 令 y k x ,
2 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y x x 时
4
解法3 令 x r cos , y r sin ,
解 由复合函数的导数公式，得
z z u z v vux uv x ， x u x v x z z u z v vu y uv y ． y u y v y u x e cos v ， x求导，得 在方程组 两端对 u y e sin v
9
4) 全微分
(1)微分的定义
z f ( x x , y y ) f ( x , y ) Ax By o( ) ．
全微分d z Ax By A d x B d y ．
记作
f ( x , y )有连续偏导，则 f ( x , y ) (2)可微的条件：
19
例7 设
有一阶导数或偏导数, 求 解法1 方程两边对 x 求导, 得
其中 f 与F分别具
d y dz xf f xf dx dx dy dz F2 F3 F1 dx dx
x f f F2 dz x f dx F2 x f x F1 f x F2 f f F2 F1 1 x f F3 F2 F3 ( x f F3 F2 0) 20
22
u u 1 e u x cos v e ( sin v v x ) ， u u 0 e u x sin v e (cos v v x ) ， 上式中的第一式乘 sin v , 第二式乘 cos v , 两式相减，
得 vx e
得
u
sin v ，
2 2 2
初等函数，故函数在该点连续，即
1 ( x , y ) ( , 0 ) 2
lim
1 2 f ( x , y ) f ( ,0) ． 2 ln 3 ln 4
14
y x 2 例3 设 z f ( x , y ) x arctan y arctan , x y 求 f xy ( x , y ). 解 f ( x , y ) [2 x arctan y x 2 1 ( y )] x x y2 x2 1 2 x 1 1 2 y 2 x y 1 2 y y x2 y y3 2 x arctan 2 2 2 x x y x y2 y 2 x arctan y ， x
思考与练习
1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确?
1 解法1 原式 lim 1 1 0 x 0 y x
y 0
解法2 令 y k x ,
解法3 令 x r cos , y r sin ,
3
分析:
解法1

1 lim 1 1 0 x 0 y x
为可微函数，则
d z z d x z d y ． d t x d t y d t (2)复合求导 设函数 z f ( u, v )，u u( x , y )，