流体动力学基本方程
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流体动力学基本方程
流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。
对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。
系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。
流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。
主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。
1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。
2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。
3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。
4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。
流体动力学基本原理的内容及成立条件
流体动力学基本原理的内容及成立条件一、流体动力学的基本概念流体动力学是研究流体在运动中所表现出来的各种力学现象的科学。
它是研究流体的物理性质、运动规律和应用的基础。
流体包括气体和液体，其特点是没有固定的形状，在受到外力作用时能够变形。
二、流体动力学基本方程1.连续性方程连续性方程描述了质量守恒原理，即在任意给定时刻，单位时间内通过任意给定截面积内的质量保持不变。
2.动量守恒方程动量守恒方程描述了牛顿第二定律，即物体受到外力作用时会发生加速度变化。
3.能量守恒方程能量守恒方程描述了能量守恒原理，即系统内总能量保持不变。
三、成立条件为了使上述基本方程成立，需要满足以下条件：1.连续性假设：假设流体是连续不断的介质，在微观尺度下不存在空隙或孔隙。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
2.牛顿第二定律适用：流体的运动速度相对于光速较慢，所以牛顿第二定律可以适用于流体运动。
3.稳态假设：假设流体的物理状态在空间和时间上是恒定不变的。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
4.不可压缩性假设：假设流体密度不随时间和位置而变化。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
5.粘性效应：粘性是流体内部分子之间相互作用力导致的，它会影响流体的运动规律。
当流体处于高速运动状态时，粘性效应可以忽略不计；但当流体处于低速运动状态时，粘性效应就会显著影响流体运动规律。
四、结论综上所述，流体动力学基本原理包括连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
为了使这些基本方程成立，需要满足一定条件，如连续性假设、牛顿第二定律适用、稳态假设、不可压缩性假设以及粘性效应等。
这些基本原理和条件对于研究流体的物理性质、运动规律和应用具有重要意义。
流体动力学积分形式的基本方程
τ0
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
第六章流体动力学积分形式基本方程
的热量以及外力所作的功的总和等于单位时间内控制体内能量的增加。
其数学表达式为
AqdA
qR d
A pn wdA
F wd
w
A
n e
w2 2
dA
t
e
w2 2
d
（6.8）
（6.8）式称为积分形式的能量方程。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
二、能量方程的简化
知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和
等于单位时间内控制体内动量的增加。
一、静止控制体的动量方程
作用于控制体上的力为
Fd
作用于控制面上的力为
A pndA
单位时间内控制体内动量的增量为
t
wd
单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
A w nwdA
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
1 2 ，A1 A2 ， gd 0 ， p1
F
Ab
pndA
，这里Ab为弯管壁面
w1
面积，代入（6.5）式得
y
p2
w2
Fy
Fx
o
x
图6.2 流体流过等截面弯管
p1A1i p2 A2 i cos jsin F w12 A1i w22 A2 i cos jsin
又由连续性方程（6.3）可知
面的总能量的代数和为零。重力场中U gz 称为单位质量的位能。
对于细小流管，其截面上参数可认为是均匀的，于是由（6.9）式可得到
e w2 p U const
（6.10）
2
（6.10）式可理解为定常绝热理想流体质量力有势条件下，沿流线单 位质量流体的总能量保持不变。这就是伯努利方程。
第3章流体力学连续性方程微分形式
第三节 流体动力学基本方程式
X方向
( ux ) dxdydz x
同理可得：
在dt时间内因密度变化而减少的 质量为：
3
y方向：
z方向：
( u y ) y dxdydz ( u z ) dxdydz z
dxdydz ( ) dxdydz t t dxdydz
0 t
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时
u x u y u z 0 x y z
Const
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ， 与流出的流体体积（质量）之差等于零。 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程
三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分
二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
2
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右 左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz
X方向
( ux ) dxdydz x
同理可得：
在dt时间内因密度变化而减少的 质量为：
3
y方向：
z方向：
( u y ) y dxdydz ( u z ) dxdydz z
dxdydz ( ) dxdydz t t dxdydz
0 t
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时
u x u y u z 0 x y z
Const
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ， 与流出的流体体积（质量）之差等于零。 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程
三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分
二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
2
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右 左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz
流体动力学基本方程
u
（ 2 p2 p1 )
2 g ( 1 ) h
皮托管测速计
§4.3 实际流体流束的伯努利方程
实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转 化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体流束的伯努利方程为
整理： 1 p du x fx x dt
1 p du y fy y dt
同理：
1 p du z fZ z dt
1 p fx x 1 p fy y f 1 p Z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
du x 1 p f x x dt du y 1 p fy y dt 1 p du z fZ z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 1 2 2 2 2 d u x u y uz d ( u ) 2 2
du y 1 p p p du x du z f x dx f y dy f z dz dx dy dz dx dy dz x y z dt dt dt
u x u y u z 0 x y z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
u x u y u z 0 x y z
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程
或 D w 0
Dt
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（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
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IV.本构方程 数学预备： 记，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系到旋转后的坐标 系，二阶张量的张量元满足变换： ， 其中变换矩阵。 逆变换：。 本构方程的导出 1应力张量分解： ——偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记 为）的差异。记作；是对称二阶张量。 2线性假设（Newton粘性定律的推广，对于剪切流动，） 偏应力产生于速度场的不均匀性。 线性假设：假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关 系： 。 是四阶张量，满足变换关系。 是由81个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与 速度梯度张量各张量元之间的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都 满足二阶张量定义，于是有 可知。数学上定义，由81个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称 之为四阶张量。 3各向同性流体及其四阶张量的表达式 3－1各向同性流体：若在原坐标系和旋转后的坐标系中偏应力张量分别 表示为和，若则应当有，于是要求。 ************************************************************************
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
——质量守恒方程积分形式。 上式亦表明，内单位时间内的质量减少=上的质量通量。 由奥高公式得 ，于是有。 考虑到的任意性，故有 ，即
——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）——流体微团密度随时间的变化率；定常流动；不可压缩流动；均质
流体的不可压缩流动。 2）由（为微团的质量）知（为该微团时刻体积），从而知=流体微团体 积随时间的相对变化率，即体膨胀率。 3）不可压缩流体，故有 。 由奥高公式有，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有。
流体动力学基本方程
例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受 力由（边界条件+控制方程组）决定。本章任务建立控制方程组，确定 边界条件的近似描述和数学表达。 I质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出 物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。质量守恒假设对 于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换 可忽略不计。在此假设下，对物质体有。根据输运定理，设时刻该系统 所占控制体为，对应控制面，则有
本构方程（广义牛顿公式）的适用范围： 1）大多数液体； 2）非高温、非高频振动的气体； 非牛顿流体：油漆、橡胶、蜂蜜、血液、沥青等。
例1写出纯剪切流动偏应力张量各分量 例2吴书p203，23
1） 平板上的切应力，平板所受总阻力。 2） 处流体内摩擦力为0。 例3 吴书p203，22 柱坐标系下应力张量的表达式见p190。 除外，应力张量其他非对角元均为零。 管壁处的切应力，单位长圆管对流体的阻力。
不可压缩流动满足的或是对速度场的一个约束。 例1、1）定常流场中取一段流管，则由易知：
；如为均质不可压缩流动，则。 2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）
则有， 即，其中代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。
例2、均质不可压缩流体（密度为）从圆管（半径为）入口端以速度流 入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即。 通常称这种流动为圆管的入口流。试求当管内流动发展为抛物型剖面时 的最大速度。 解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：， 由于管 壁无渗透故上式可写为：，可得。
上式表明：单位体积流体微团动能变化率＝作用于该微团上的体力的功 率＋作用于该微团上的合面力的功率。 III－3热流量方程： 面力的功率包含两项，其中合面力的功率转化为系统的宏观运动动能， 另一部分转化为系统的内能。 尽管系统内部的应力是内力，但是粘性应力必然导致机械能的耗散。如 果系统要维持定常状态，必须有外力对系统做功，补充其机械能损耗。 参考本章后面的例题。
与圆管共轴的半径为的单位长流体柱表面的总摩擦力。
V流体力学基本方程组 V-1 完备的微分形式流体力学基本方程组 内能，具体函数形式由热力学理论给出。对于完全气体。 V-2 N-S方程 将代入动量方程即得：，其中。 当流场温度变化不大时，近似为常数，故有 ， 其中 。 最后得到
。 又，若流体不可压缩，方程化为N—S方程：。 又，若流体粘性可略，方程化为理想流体Euler方程：。 V-3耗散函数 耗散函数——单位时间内粘性导致的单位体积流体机械能转化成的内 能。 其中为压缩功，而为粘性力的功，它将导致机械能转化成内能。 定义耗散函数，它等于单位时间内由于粘性应力做功导致的机械能转化 成的内能。它可以化成如下形式： 。 可见，恒大于或等于零。这说明粘性力做功总是使机械能转化成内能， 这个过程不可逆。
考虑一个特例来理解流体粘性的各向同性：水池中插入并移动平板引起 的两个纯剪切流动的粘性应力大小与平板放置方向无关。只要加上一个 速度梯度，就对应一个粘性应力，粘性系数与速度梯度的方向无关。
************************************************************************* 3－2对于各向同性流体，可以证明（参见吴书p75）四阶张量可表示为 ，其中是标量，即 。 3－3偏应力张量是对称张量，于是，于是。 另外，由上式还可知。 4分解，于是 如果流体只有旋转运动而没有变形运动，那么偏应力张量＝0。偏应力 与变形运动相关联。 5将的表达式带入上式，得 最后得到： 其中代表无体积变化的纯剪切运动，代表各向同性膨胀运动。 6Stokes假设 对于不可压缩流体，＝0。对于可压缩流体表示流体发生膨胀或收缩时 引起的法向应力，被称为第二粘性系数或膨胀粘性系数。 Stokes假设：系统处于准热力学平衡状态时，可近似认为。 7的意义 考虑纯剪切运动，，粘性应力，可知为动力学粘性系数。 8的意义 设流体满足Stokes假设，可以证明
。 方程中各项意义分析： 代表单位体积流体能量变化率； 代表作用在单位体积流体微团上的体力的功率； 代表作用在单位体积流体微团表面的面力的合力的功率； 代表单位时间内单位体积流体微团通过热传导和辐射吸收从外界获得的 能量。 III－2动能方程 将动量方程 两边同时点积得： 。
其中，故有动能定理 。
II-2地转参照系下的动量方程 就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作 惯性系。但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。
在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球 相对于地心有自转运动。我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将 来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。 地球上运动质点的绝对速度，其中代表质点相对于地球表面的运动速 度，牵连速度（牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速 度），为地球自转角速度。 绝对加速度：， 其中代表相对加速度，牵连加速度，科氏加速度。 动量方程： 其中，。 因为真实力与参照系无关，故 一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为，于是有
II动量方程
流体团所受合外力 = 该流体团的质量 其加速度
II-1方程的导出 1直角坐标系下推导微分形式的动量定理 时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团时刻 所占控制体，其边界。 受力分析： 体力合力流体团所受面力的合力。 2积分形式的动量定理的导出 考虑体系，该流体团时刻所占控制体，其边界。由动量定理有 利用输运定理可得。 于是得到积分形式动量定理： 该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。
作用于球形微团上的法应力的平均值。 So, it’s a measure of the local intensity of the “squeezing” of the fluid. 证明：The average value of the normal component of the stress on a surface element at position over all directions of the normal to the element is 证明： . Since , 或者在球坐标系下， Hence， characterizing the fluid pressure in a moving fluid which is analogous to the static fluid pressure in the sense that it’s a measure of the local intensity of the ‘squeezing’ of the fluid. （关于与热力学压强的关系，建议学生查庄礼贤《流体力学》对应章 节。） 9关于偏应力张量 A general relative motion near any point may be represented as the superposition of two simple shearing motion, each of which gives rise to a tangential stress determined by and the corresponding velocity gradient, together with a rigid rotation and an isotropic expansion, neither of which has an effect ( in a fluid of isotropic structure ) on the non-isotropic part of the stress’ tensor and may of cause be regarded as the only possible linear tensorial relation, involving one scalar parameter, between and a symmetrical tensor whose diagonal elements have zero sum . (以上8和9)引自Batchlor,1994)
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
——质量守恒方程积分形式。 上式亦表明，内单位时间内的质量减少=上的质量通量。 由奥高公式得 ，于是有。 考虑到的任意性，故有 ，即
——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）——流体微团密度随时间的变化率；定常流动；不可压缩流动；均质
流体的不可压缩流动。 2）由（为微团的质量）知（为该微团时刻体积），从而知=流体微团体 积随时间的相对变化率，即体膨胀率。 3）不可压缩流体，故有 。 由奥高公式有，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有。
流体动力学基本方程
例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受 力由（边界条件+控制方程组）决定。本章任务建立控制方程组，确定 边界条件的近似描述和数学表达。 I质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出 物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。质量守恒假设对 于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换 可忽略不计。在此假设下，对物质体有。根据输运定理，设时刻该系统 所占控制体为，对应控制面，则有
本构方程（广义牛顿公式）的适用范围： 1）大多数液体； 2）非高温、非高频振动的气体； 非牛顿流体：油漆、橡胶、蜂蜜、血液、沥青等。
例1写出纯剪切流动偏应力张量各分量 例2吴书p203，23
1） 平板上的切应力，平板所受总阻力。 2） 处流体内摩擦力为0。 例3 吴书p203，22 柱坐标系下应力张量的表达式见p190。 除外，应力张量其他非对角元均为零。 管壁处的切应力，单位长圆管对流体的阻力。
不可压缩流动满足的或是对速度场的一个约束。 例1、1）定常流场中取一段流管，则由易知：
；如为均质不可压缩流动，则。 2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）
则有， 即，其中代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。
例2、均质不可压缩流体（密度为）从圆管（半径为）入口端以速度流 入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即。 通常称这种流动为圆管的入口流。试求当管内流动发展为抛物型剖面时 的最大速度。 解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：， 由于管 壁无渗透故上式可写为：，可得。
上式表明：单位体积流体微团动能变化率＝作用于该微团上的体力的功 率＋作用于该微团上的合面力的功率。 III－3热流量方程： 面力的功率包含两项，其中合面力的功率转化为系统的宏观运动动能， 另一部分转化为系统的内能。 尽管系统内部的应力是内力，但是粘性应力必然导致机械能的耗散。如 果系统要维持定常状态，必须有外力对系统做功，补充其机械能损耗。 参考本章后面的例题。
与圆管共轴的半径为的单位长流体柱表面的总摩擦力。
V流体力学基本方程组 V-1 完备的微分形式流体力学基本方程组 内能，具体函数形式由热力学理论给出。对于完全气体。 V-2 N-S方程 将代入动量方程即得：，其中。 当流场温度变化不大时，近似为常数，故有 ， 其中 。 最后得到
。 又，若流体不可压缩，方程化为N—S方程：。 又，若流体粘性可略，方程化为理想流体Euler方程：。 V-3耗散函数 耗散函数——单位时间内粘性导致的单位体积流体机械能转化成的内 能。 其中为压缩功，而为粘性力的功，它将导致机械能转化成内能。 定义耗散函数，它等于单位时间内由于粘性应力做功导致的机械能转化 成的内能。它可以化成如下形式： 。 可见，恒大于或等于零。这说明粘性力做功总是使机械能转化成内能， 这个过程不可逆。
考虑一个特例来理解流体粘性的各向同性：水池中插入并移动平板引起 的两个纯剪切流动的粘性应力大小与平板放置方向无关。只要加上一个 速度梯度，就对应一个粘性应力，粘性系数与速度梯度的方向无关。
************************************************************************* 3－2对于各向同性流体，可以证明（参见吴书p75）四阶张量可表示为 ，其中是标量，即 。 3－3偏应力张量是对称张量，于是，于是。 另外，由上式还可知。 4分解，于是 如果流体只有旋转运动而没有变形运动，那么偏应力张量＝0。偏应力 与变形运动相关联。 5将的表达式带入上式，得 最后得到： 其中代表无体积变化的纯剪切运动，代表各向同性膨胀运动。 6Stokes假设 对于不可压缩流体，＝0。对于可压缩流体表示流体发生膨胀或收缩时 引起的法向应力，被称为第二粘性系数或膨胀粘性系数。 Stokes假设：系统处于准热力学平衡状态时，可近似认为。 7的意义 考虑纯剪切运动，，粘性应力，可知为动力学粘性系数。 8的意义 设流体满足Stokes假设，可以证明
。 方程中各项意义分析： 代表单位体积流体能量变化率； 代表作用在单位体积流体微团上的体力的功率； 代表作用在单位体积流体微团表面的面力的合力的功率； 代表单位时间内单位体积流体微团通过热传导和辐射吸收从外界获得的 能量。 III－2动能方程 将动量方程 两边同时点积得： 。
其中，故有动能定理 。
II-2地转参照系下的动量方程 就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作 惯性系。但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。
在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球 相对于地心有自转运动。我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将 来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。 地球上运动质点的绝对速度，其中代表质点相对于地球表面的运动速 度，牵连速度（牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速 度），为地球自转角速度。 绝对加速度：， 其中代表相对加速度，牵连加速度，科氏加速度。 动量方程： 其中，。 因为真实力与参照系无关，故 一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为，于是有
II动量方程
流体团所受合外力 = 该流体团的质量 其加速度
II-1方程的导出 1直角坐标系下推导微分形式的动量定理 时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团时刻 所占控制体，其边界。 受力分析： 体力合力流体团所受面力的合力。 2积分形式的动量定理的导出 考虑体系，该流体团时刻所占控制体，其边界。由动量定理有 利用输运定理可得。 于是得到积分形式动量定理： 该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。
作用于球形微团上的法应力的平均值。 So, it’s a measure of the local intensity of the “squeezing” of the fluid. 证明：The average value of the normal component of the stress on a surface element at position over all directions of the normal to the element is 证明： . Since , 或者在球坐标系下， Hence， characterizing the fluid pressure in a moving fluid which is analogous to the static fluid pressure in the sense that it’s a measure of the local intensity of the ‘squeezing’ of the fluid. （关于与热力学压强的关系，建议学生查庄礼贤《流体力学》对应章 节。） 9关于偏应力张量 A general relative motion near any point may be represented as the superposition of two simple shearing motion, each of which gives rise to a tangential stress determined by and the corresponding velocity gradient, together with a rigid rotation and an isotropic expansion, neither of which has an effect ( in a fluid of isotropic structure ) on the non-isotropic part of the stress’ tensor and may of cause be regarded as the only possible linear tensorial relation, involving one scalar parameter, between and a symmetrical tensor whose diagonal elements have zero sum . (以上8和9)引自Batchlor,1994)