1.1.2 空间向量基本定理
2 空间向量的基本定理(精讲)(解析版)
1.2 空间向量的基本定理1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．【题型精讲】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D 中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）A ．AB AC AD ，，B ．11AB AA AB ，，C ．11111D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【答案】C【解析】:AB AC AD ，，共面，排除A 11AB AA AB ，，共面，排除B 111AC AC CC ，，共面，排除D 11111 D A DC D D ，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C【解析】选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑}构成空间的一组基底，则( )A ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,a ⃑不共面B ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b ⃑⃑不共面C ．b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑不共面D ．a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑不共面 【答案】A【解析】∵2b ⃑⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+(b ⃑⃑−c ⃑)，∴b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b⃑⃑共面 ∵a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+a ⃑，∴b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑共面∵a ⃑+c ⃑=(a ⃑−2c ⃑)+3c ⃑，∴a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑共面故选A考点二 基底的运用【例2】（2020·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 的中点，AB a =，AD b =，1AA c =，则AO =（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 【答案】B【解析】O 为11A C 的中点， ∴()11111111111122AO AC AA AO AA AA A B A D =+=+++=()112AB AD AA =++()12c a b =++ 1122a c b =++． 故选：B ．【玩转跟踪】1．（2020·甘肃靖远。
新教材数学人教B版选择性必修第一册课件：1.1.2 空间向量基本定理
空间向量共面问题 [例2] (链接教科书第13页例1)如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：―B1→C ，―O→D ，―OC→1 是共面向量． [证明] 设C―1→B1＝a，C―1→D1＝b，―C1→C ＝c，
∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴―B1→C ＝c－a.
，
―→ OB
，
―→ OC
共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，
y，使―O→A ＝x―O→B ＋y―O→C 成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， －3x＋y＝1，
()
C．a ，2b ，b －c 答案：C
D．c，a ＋c，a －c
2.如图，已知四面体ABCD的三条棱
―→ AB
＝b，
―→ AC
＝c，
―→ AD
＝d
，M为BC的中点，
试用基向量b ，c，d 表示向量―DM→．
解：∵M为BC的中点， ∴―DM→＝12 (―D→B ＋―D→C )＝12 [(―A→B －―A→D )＋(―A→C －―A→D )]＝12 [(b－d)＋(c－d)] ＝12 (b＋c－2d).
2.(变条件、变设问)如图所示，本例中增加条件“P 在线段 AA′上，且 AP＝2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量―M→P ．
共线向量基本定理、共面向量定理、空间向量基本定理的比较
共线向量基本定理
共面向量定理
空间向量基本定理
如果a≠0
且b∥a
⇒存在
如果a ，b 不共线，则a ，
1.2空间向量基本定理课件高二上学期数学人教A版选择性(2)
解:如图所示,设=a,=b,=c,空间四边形 OABC 各边及对角线长都为 1,
则{a,b,c}构成空间的一个基底,且|a|=|b|=|c|=1.
π
1
3
2
由题意知∠AOB=∠BOC=∠AOC= ,则 a·b=b·c=c·a= .
1
(3)通过数量积运算证明数量积为0.
(4)将向量问题回归到几何问题.
【变式训练4】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O是底
面ABCD的中心.求证:B1O⊥平面PAC.
证明:设正方体的棱长为1,
=a,=b,1 =c,
则这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底,
的三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的线性运算
进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间的一个基底{a,b,c},可以表示出所有空间向量.表示
要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
【变式训练 2】 如图,已知四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形,设=a,
(1)因为BN = BA + AN = CA − CB + AN = CA +
所以|BN|2=BN 2 =
2
=|CA|
2
1
CA + 2 CC1 -CB
1
2
2
2 1
+ |CC1 | +|CB| =1 + ×22+12=3,
4
4
2
所以|BN|= |BN| = 3.
1
CC1
2
− CB,
(2)因为1 = + 1 = + 1 − , 1 = + 1 ,
1.2空间向量基本定理教学设计
1.2空间向量基本定理教学设计1.2空间向量基本定理教学设计主题：空间向量基本定理的教学设计一、引言在学习空间向量的基本定理之前，我们需要了解什么是空间向量及其相关概念。
空间向量是指具有大小和方向的有向线段，可以用来表示空间中的物理量。
本文将围绕空间向量的基本定理展开讲解，并设计相应的教学内容和活动，旨在帮助学生理解和掌握该定理的原理和应用。
二、教学目标通过本次教学，学生应能达到以下目标：1. 理解空间向量的概念及其基本性质；2. 掌握空间向量的加法、减法和数量乘法；3. 理解和运用空间向量基本定理。
三、教学内容与教学过程1. 空间向量的概念和性质（课堂讲解）a. 三维直角坐标系与空间向量的关系；b. 空间向量的表示方法（坐标、分解）；c. 空间向量的基本性质（相等、相反、共线等）。
2. 空间向量的运算（课堂讲解与练习）a. 空间向量的加法和减法原理；b. 空间向量数量乘法的定义和性质；c. 练习题：如何用坐标和分解法计算空间向量的加减法和数量乘法。
3. 空间向量基本定理的引入（课堂讲解）a. 空间向量基本定理的公式和意义；b. 理解空间向量基本定理的几何意义。
4. 空间向量基本定理的应用（课堂讲解与实例分析）a. 利用空间向量基本定理求解空间图形的性质和关系；b. 练习题：通过运用空间向量基本定理解决几何问题。
5. 教学活动设计a. 通过图示展示空间向量的概念和性质，引导学生观察和思考；b. 利用实际问题引入空间向量的加法、减法和数量乘法，培养学生的思维能力；c. 设计小组合作活动，让学生运用空间向量基本定理解答相关问题；d. 利用练习题、小测验等形式，检测学生对空间向量基本定理的理解和应用能力。
四、教学评价1. 课堂互动：通过课堂讨论和问题解答，检测学生对空间向量概念和运算的理解程度。
2. 实际问题解决：通过应用练习和解析实例，考察学生对空间向量基本定理的运用能力。
3. 作业评估：布置练习题和探究性问题，评估学生对空间向量基本定理的掌握情况。
学案1：1.2 空间向量基本定理
1.2 空间向量基本定理【新知初探】1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝ .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个 ，a ，b ，c 都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x ，y ，z )是否唯一？2．正交分解 (1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都是 ，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i ，j ，k }表示． (2)正交分解把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量进行正交分解．【初试身手】1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{OA →，OB →，OC →}不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面． ( ) (2)若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量． ( ) (3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．( )2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以和向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c3．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A ．AB →，AC →，AD →B ．AB →，AA 1→，AB 1→C ．D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→4．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.【合作探究】【例1】 (1)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．[规律方法]基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μ c ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． [跟进训练]1．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则一定可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，构成空间的另一个基底的向量是( ) A ．aB ．bC ．cD ．a 或b类型二 用基底表示向量【例2】 如图，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.[规律方法]基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘． [跟进训练]2．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( )A ．－23，16，16B ．23，－16，16C ．－23，16，－16D ．－23，－16，16类型三 正交分解在立体几何中的应用[探究问题]1．取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些？2．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO 1→，AO 2→，AO 3→}为基底，如何表示向量AC ′.【例3】 如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，求异面直线BD 1和AC 所成角的余弦值．[母题探究]1．[变结论]在本例条件不变的前提下，求|AC 1→|.2．[变结论]在本例条件不变的前提下，证明BD ⊥面AA 1C 1C .[规律方法]基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤 (1)设出基向量．(2)用基向量表示出直线的方向向量．(3)用|a |＝a ·a 求长度，用a ·b ＝0⇔a ⊥b ，用cos θ＝a ·b|a ||b |求夹角．(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．【课堂小结】1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间向量基本定理说明，用空间三个不共面的向量构成的向量组{a ，b ，c }可以表示空间任意一个向量，并且表示结果是唯一的．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．【学以致用】1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －bD ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b2．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面3．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．4．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，取{AB →，AD →，AA 1→}为基底，若G 为面BCC 1B 1的中心，且AG →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝________.5．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．【参考答案】【新知初探】1．空间向量基本定理 x a ＋y b ＋z c 基底思考：[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定． 2．正交分解 (1)两两垂直 1 (2)两两垂直【初试身手】1．[提示] (1)√ (2)√ (3)× 2．[答案] D3．C [由题意知，D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．] 4．1 －1 [由m 与n 共线，得1x ＝－1y ＝11，∴x ＝1，y ＝－1.]【合作探究】类型一 基底的判断【例1】(1)C [如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面， 可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C.] (2)[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立， ∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)，即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y 使得OA →＝xOB →＋yOC →， 所以OA →，OB →，OC →不共面．所以{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． [跟进训练]1．C [由题意和空间向量的共面定理， 结合p ＋q ＝(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，得a 与p ，q 是共面向量，同理b 与p ，q 是共面向量， 所以a 与b 不能与p ，q 构成空间的一个基底；又c 与a 和b 不共面，所以c 与p ，q 构成空间的一个基底．]【例2】[解] 连接BO (图略)，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .[跟进训练]2．D [如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD →－⎝⎛⎭⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝－16，z ＝16，故选D.][探究问题]1．[提示] 若取单位正交基底{i ，j ，k }，那么|i |＝|j |＝|k |＝1.且i ·j ＝j ·k ＝i ·k ＝0，这是其他一般基底所没有的．2．[提示] AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→＝12(AB →＋AD →)＋12(AD →＋AA ′→)＋12(AB →＋AA ′→)＝AO 1→＋AO 2→＋AO 3→.【例3】[解] {AB →，AD →，AA 1→}可以作为空间的一个基底，且|AB →|＝a ，|AD →|＝a ，|AA 1→|＝b ， 〈AB →，AD →〉＝90°，〈AA 1→，AB →〉＝120°，〈AA 1→，AD →〉＝120°. 又BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →，AC →＝AB →＋AD →，∴|BD 1→|2＝|AD →|2＋|AA 1→|2＋|AB →|2＋2AD →·AA 1→－2AD →·AB →－2AA 1→·AB → ＝a 2＋b 2＋a 2＋2ab cos 120°－0－2ab cos 120°＝2a 2＋b 2， |AC →|2＝|AB →|2＋2AB →·AD →＋|AD →|2＝2a 2， ∴|BD 1→|＝2a 2＋b 2，|AC →|＝2a . ∴BD 1→·AC →＝(AD →＋AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋|AD →|2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →－|AB →|2－AB →·AD → ＝0＋a 2＋ab cos 120°＋ab cos 120°－a 2－0＝－ab .∴|cos 〈BD 1→，AC →〉|＝|BD 1→·AC →||BD 1→||AC →|＝|－ab |2a 2＋b 2·2a ＝b4a 2＋2b 2.∴异面直线BD 1和AC 所成角的余弦值为b4a 2＋2b 2.[母题探究]1．[解] 由条件可知|AB →|＝|AD →|＝a ，|AA 1→|＝b ， 且〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝120°，AB →⊥AD →.∴|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→ ＝a 2＋a 2＋b 2＋0＋4×a ×b ×cos 120°＝2a 2＋b 2－2ab . ∴|AC 1→|＝2a 2＋b 2－2ab .2．[解] 由条件知，BD →＝AD →－AB →， ∵BD →·AA 1→＝AA 1→·(AD →－AB →)＝AA 1→·AD →－AA 1→·AB → ＝a ×b ×cos 120°－a ×b ×cos 120°＝0. ∴BD ⊥AA 1.又因四边形ABCD 为正方形，【学以致用】1．C [空间基底必须不共面．A 中a ＝12[]a ＋b ＋a －b，不可为基底；B 中b ＝12[(a＋b )－(a －b )]，不可为基底；D 中32(a ＋b )－12(a －b )＝a ＋2b ，不可为基底．]2．D [由题意知，向量OA →，OB →，OC →共面，从而O ，A ，B ，C 四点共面．]3．x ＝y ＝z ＝0 [由于{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以当x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z ＝0.] 4．2 [如图，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BC 1→＝AB →＋12(BC →＋BB 1→)＝AB →＋12AD →＋12AA 1→.由条件知x ＝1，y ＝12，z ＝12，∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋12＝2.]5．[解] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ， 使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)c . ∵{a ，b ，c }是空间的一个基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．。
1.2 空间向量基本定理(共26张PPT)
解：（1） BC
1
BB1 B1C1 BB1 A1C1 A1 B1 a c b
a b a b cos BAA1 11 cos60
a c b
BC1
2
1
1
a cb c ，
，同理可得
―
→
→
―
→
―
跟踪训练 1.如图所示，在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′
＝c，P 是 CA′的中点，M 是 CD′的中点，N 是 C′D′的中点，点 Q 在 CA′上，
且 CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.
―
→
→
―
→
―
→
―
(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.
AB1 BC1
AB1 BC1
2
2
a c a b b a c b b 1，
1
2 3
6
6
．
异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 6 ．
6
课堂小结
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基
础．
2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
高中数学选修1(人教B版)课件1.1.2空间向量基本定理
如果两个向量a，b__不__共__线__，则向量c与向量a，b共面的充要 条件是，_存__在__唯__一__的__一__对__实__数__x_，__y__，使_c_＝__x_a_＋__y_b___．
知识点二 空间向量基本定理
1．空间向量基本定理
1＝μ， ∴1＝λ，
此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
0＝λ＋μ.
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
(2)A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋12BC→′ ＝A→B＋12(B→B′＋B→C)＝A→B＋12B→B′＋12(A→C－A→B) ＝b＋12a＋12(c－b)＝b＋12a＋12c－12b＝12a＋12b＋12c. A→N＝A→A′＋A′→B′＋B′→N＝A→A′＋A′→B′＋12B′→C′ ＝a＋b＋12(A′→C′－A′→B′)＝a＋b＋12(c－b) ＝a＋12b＋12c.
或线__性__组__合__．
[基础自测]
1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( ) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 答案：A
2．给出的下列几个命题： ①向量a，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝ xa＋yb； ②零向量的方向是任意的； ③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. 其中真命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3
如果三个向量a，b，c__不__共__面__，那么对空间任一向量p， 存__在__唯__一__的__有__序__实__数__组__(_x_，__y_，__z_)，使____p_＝__xa_＋___yb_＋__z_c_____．
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第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
1 |共线向量基本定理与共面向量定理 1.共线向量基本定理 如果a≠0,且① b∥a ,则② 存在唯一的实数λ ,使得b=λa. 2.平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对 (x,y),使得③ c=xa+yb . 3.共面向量定理 如果两个向量a,b④ 不共线 ,则向量a,b,c共面的充要条件是⑤ 存在唯一的实 数对(x,y),使c=xa+yb .
= AO +OP + 1 ( PO +OC )
2
=-a+c+ 1 (-c+b)
2
=-a+ 1 b+ 1 c,
22
EF
=
1 2
CB
=
1 2
OA
=
1 2
a.
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
设O、A、B、C是不共面的四点,若对空间中任一点P,都存在唯一的有序实数组(x, y,z),使 OP=x OA+y OB+z OC,则当且仅当x+y+z=1时,P、A、B、C四点共面.
如图,C=b, OP=c,E, F分别是PC和PB的中点,试用{a,b,c}表示 BF, BE, AE, EF.
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
1 |共线、共面向量
1.非零向量a与b共线的条件是什么? 提示:存在唯一实数λ,使a=λb. 2.空间中任意两个向量一定共面吗?任意三个向量呢? 提示:一定;不一定. 3.空间中任意两个非零向量a,b共面,能否推出a=λb(λ∈R)? 提示:不能.
(2)由(1)知向量 MA, MB , MC 共面,而它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,
∴点M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内.
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
2 |空间向量基本定理
1.构成空间向量的基底唯一吗?是否共面? 提示:不唯一;不共面. 2.怎样理解空间向量基本定理? 提示:(1)空间向量基本定理表明,用空间中已知三个不共面的向量a,b,c可以线性表 示出空间中的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的. (2)空间向量的基底是不唯一的,空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的 一组基底.
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
1.空间中任意两个向量总是共面的,空间中任意三个向量可能共面,也可能不共面. 2.共线向量基本定理及其推论是证明向量共线(平行)问题的重要依据.定理中的条 件a≠0不可遗漏. 判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ,使a=λb成立,同时要充分运用空 间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a=λb,从而得出a∥b. 3.向量p与a,b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的,若a与b共线,则不 成立. (1)证明向量共面,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用定义,通过线面平行 或直线在平面内进行证明. (2)向量共面时,向量所在的直线不一定共面,只有这些向量都过同一点时向量所在 的直线才共面(向量的起点、终点共面).
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行 四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一组基底可以表示出空间中所有向量且表示要彻底,表示的 结果中只能含有基向量,不能含有其他的向量.
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 选择性必修第一册 人教B版
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
1.1.2 空间向量基本定理
1.了解共线向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法. 2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论,并能应用其证明空间 向量的共线、共面问题. 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.
线性表达式 .
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. ( ✕ ) 2.若向量e1,e2不共线,则对空间中任意向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R). ( ✕ ) 3.对于空间中的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是共面的. ( √ ) 4.若{a,b,c}是空间向量的一组基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则x,y,z满足的 条件是x=y=z=0. ( √ )
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
解析 连接BO,
则
BF
=
1 2
BP
=
1 2
(
BO
+OP
)=
1 2
(OP
-OB
)=
1 2
(c-b-a)=-
1 2
a-
1 2
b+
1 c,
2
BE
=
BC
+CE
=-a+
1 2
CP
=-a+ 1 (CO+OP )
2
=-a- 1 b+ 1 c,
22
AE = AP + PE
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
2 |空间向量基本定理
1.空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a,b,c⑥ 不共面 ,那么对空间中的任意一个向量p, ⑦ 存在唯一的有序实数组(x,y,z) ,使得⑧ p=xa+yb+zc . 2.基底 如果空间中的三个向量a,b,c⑨ 不共面 ,则它们的线性组合xa+yb+zc能生成所 有的空间向量,这时a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组 基底 ,其 中a,b,c都称为 基向量 ;表达式xa+yb+zc称为向量a,b,c的 线性组合 或
2
2
MN =MC +CE +EB +BN =-1 CA +CE -AF -1 FB ,
2
2
以上两式相加得 CE=2 MN ,所以 CE ∥ MN ,即 CE 与 MN 共线.
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足
1
OM
=
1 3
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别为AC,BF的 中点,判断CE 与MN 是否共线.
解析 因为M,N分别为AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
所以 MN = MA+ AF + FN = 1 CA+ AF + 1 FB ,
OA+
1 3
OB+
3 OC .
(1)判断 MA, MB , MC 三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解析 (1)∵OA+OB+OC =3OM ,
∴OA-OM =(OM -OB )+(OM -OC )= BM +CM ,
∴ MA= BM +CM =-MB - MC ,
∴向量 MA, MB , MC 共面.