对称性与周期性的关系(课堂PPT)
函数对称性与周期性的关系
函数对称性与周期性的关系首先，我们先来明确对称性的概念。
在数学中，对称性是指在其中一种变换下保持不变的性质。
常见的对称性有关于点、直线、平面、中心等不同的类型。
对于函数而言，对称性通常指的是关于坐标轴或者一些点对称的性质。
具体而言，函数f(x)在一些点a处具有对称性，意味着当x=a 时，有f(a+h)=f(a-h)，其中h为任意实数。
这表明函数在点a处的函数值关于a对称。
对于关于坐标轴对称的函数，还满足函数在坐标轴两侧的函数值相等的性质。
接下来，我们来看周期性的概念。
周期性是指函数在一定范围内的数学性质重复出现的性质。
通常用来描述函数f(x)存在一个正数T，对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，其中T称为函数的周期。
具有周期性的函数在周期内的性质是相同的，因此周期性可以用来分析函数在不同时间或者空间位置上的行为。
对称性和周期性在一定程度上是有关联的。
事实上，一个函数的周期性往往与函数的对称性密切相关。
具体而言，如果一个函数具有对称性，那么它可能是周期性的。
例如，正弦函数和余弦函数是具有周期性的函数，并且它们之间满足平移对称性。
具体来说，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都具有以2π为周期的性质，即sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x+ 2π) = cos(x)。
同时，它们的图像也具有关于y轴的对称性，即sin(-x) = -sin(x)和cos(-x) = cos(x)。
这些对称性的存在使得正弦函数和余弦函数能够在整个实数轴上不断重复。
另一个例子是带有偶函数或者奇函数性质的函数。
一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)。
相反，如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，那么它被称为奇函数。
偶函数和奇函数的图像都具有关于y轴的对称性，因此它们都是对称性的一种特殊形式。
此外，偶函数和奇函数的周期往往是偶数或者无限大。
例如，指数函数e^x是一个偶函数，并且不存在周期性。
函数的对称性、周期性以及之间的关系
函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。
自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。
命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。
高中数学讲义函数的对称性与周期性
微专题05函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于x a 轴对称（当0a 时，恰好就是偶函数）（2）f axf bxf x关于2a bx轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如f a xf b x 的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx 为所给对称轴即可。
例如：f x 关于1x 轴对称2f xf x，或得到31f x f x 均可，只是在求函数值方面，一侧是f x 更为方便（3）f xa 是偶函数，则f x afxa ，进而可得到：f x 关于xa 轴对称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f x a 中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即f xafxa ，要与以下的命题区分：若f x 是偶函数，则f x a f x a：f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f xafx a ②本结论也可通过图像变换来理解，f x a 是偶函数，则f xa 关于0x轴对称，而f x 可视为f x a 平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以f x 关于xa 对称。
3、中心对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于,0a 轴对称（当0a 时，恰好就是奇函数）（2）f axf bxf x 关于,02a b轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如f ax f b x 的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x为所给对称中心即可。
例如：f x 关于1,0中心对称2f x fx ，或得到35f x f x 均可，同样在求函数值方面，一侧是f x 更为方便（3）f x a 是奇函数，则f xafxa ，进而可得到：f x 关于,0a 轴对称。
函数对称性与周期性的关系
）的 奇偶 性 ；
） ＝ ０ 在 闭 区 间
［ 一２ ０ ０ ５ ， ２ ０ ０ ５ ］ 上 的根 的 个 数 ， 并 证 明 你 的
解 （ １ ） 根据结论 １ ， 可 得 ）为 周 期 函
结论 ３ 如果 定义 在 Ｒ 上 的 函数 ）的
图象 关 于点 （ ｏ， ０）对 称 ， 又 关 于 直 线 ＝ ｂ对
称（ ｏ ＞６ ）， 则 函数 ‘ 厂 （ ）是 以 Ｔ＝４ （ 。一ｂ ）为
数， 且 Ｔ ＝２ （ ７—２ ）＝１ ０ 是 它 的 一个 周 期 ， 又
由于 在 区 间 ［ ０， ７ ］上 只有 １ ）＝ ３ ）＝０， 而
Ｉ 厂 （ 一３ ）＝ 一３ ＋１ Ｏ） ＝ ７ ） ≠ ０， 即 一３ ）
高中数学教 与 学
２ ０ １ ０聋
函 数对 称 性 与周 期 性的 关 系
孟素红
（ 江苏省扬 州市新 华 中学 ， ２ ２ ５ ０ ０ ９ ）
我们知道 ， 正弦函数 Ｙ＝ｓ ｉ ｎ 和余 弦函
数 Ｙ ＝Ｃ Ｏ ￥ 的 图象 ， 既关 于点 成 中心 对 称 ， 又 关 于 直 线 成轴 对 称 ， 同 时 它 们 又具 有 周 期 性 ，
０］上 有 ４ ０ ０ 个 解 ，所 以 函 数 ， ，＝ ［ 一２ ０ ０ ５ ， ２ ０ ０ ５ ］上 有 ８ ０ ２个 解 ． ）的 表 达 ） 在
例ｌ 已知 奇 函数－ 厂 （ ） 定 义在 Ｒ上 ， 其 图 象 关 于 直线 ＝１ 对称 ， 当 Ｅ ［ ０ ， １ ］ 时
＝
， （ ） ， 故有， （ ＋ ４ （ Ｄ一６ ） ）：一
） ．
＋ ２ （ ａ—
ｆ （ 一 ７ ）＝ 一 ９ ）＝０ ， 知， （ ）＝０ 在［ ０ ， １ Ｏ ］
简谐运动的周期性和对称性PPT教学课件
（如某些蔬菜、水果多含钾、钠、钙、 镁等盐类，多属于碱性食物。）
1. 食物的酸碱性与化学上所指的溶液的酸碱 性是不同的概念。食物的酸碱性指的是代 谢产物的性质，而溶液的酸碱性直接指溶 液的性质。
A．质点振动频率为4 Hz
图11－2
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．在5 s末，速度为零，加速度最大
D．在t＝0 s到t＝1 s内，加速度与速度反向
【精讲精析】 由振动图象可知 T＝4 s，f＝T1＝0.25 Hz， 故 A 选项错误．一个周期内，简谐运动的质点经过的 路程为 4A＝8 cm,10 s 为 2.5 个周期，质点经过的路程 为 s＝4A×2＋2A＝10A＝20 cm，B 选项正确．在 5 s 末，质点位移最大约 2 cm，此时回复力最大，所以加 速度最大，但速度为零，故 C 选项正确．在 0 s 到 1 s 时间内，质点由平衡位置向正向最大位移处移动，所 以速度与加速度反向，故 D 选项正确．故选 BCD.
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专题1 简谐运动的周期性和对称性 1．周期性 做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后， 能回复到原来的状态，因此在处理实际问题中， 要注意到多解的可能性． 2．对称性 (1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两 位置具有相等的速率．
从而可知T/4＝4 s，周期T＝16 s，第三次再过P
点，设由P向左到A再返回到P，历时为一个周期
T减去P、B间往返的2 s ，则需时t＝16 s－2 s＝ 1若4沿s.图中②的方向第一次过 P 点，则有 3－tOP ＝2＋tPO＋tOP＝T′/2，而 tOP＝tPO 由以上两式可得 tOP＝tPO＝13 s，T′＝136 s 则质点第三次过 P 点历时
函数的周期性与对称性
【例2】 f (x)满足f (x) f (6 x), f (x) f (2 x),若f (a) f (2000),
a 5,9且f (x)在5,9上是单调函数。求a的值。
【解析】
f (x) f (6 x); f (x)关于点（3,0）对称 又 f (x) f (2 x); f (x)关于x 1对称 T 8; f (2000) f (0) 又 f (a) f (2000); f (a) f (0) 又 f (x) f (6 x); f (0) f (6) f (0) f (6); f (a) f (6) a 6
【例题解析】 例 1.若定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x 1) f (x) ，当
x (0,1) 时， f (x) 2x 求 f (5.5) 的值
解：由f x 1 f x 0得f x 1 f x f x 2 f x 11 f x 1 f x f x 是周期为2的周期函数 f 5.5 f 5.5 6 f 0.5 f 0.5
f (a x) f (a x)
f (x) f (2a x)
(a,0)
推广： f (a x) f (b x) f (x)本身关于（ a b ,0)对称 2
2. y f (x) 与 y f (2a x) 关于 (a,0)点对称
推广： y f (a x) 与 y f (b x) 关于 (b a ,0) 点对称 2
推广：
y f a x与y f b x 关于直线x b a 对称.
2
奇 函 数 f (x) 可 以 看 出 关 于 (0,0) 点 对 称 ， 可 以 表 示 为 f (x) f (x) ， 即
f (0 x) f (0 x) ,那么如果函数 f (x) 关于 (a,0)点对称，能写成什么形式呢？
第七讲函数之周期性与对称性
第七讲函数之周期性与对称性函数的周期性与对称性一．定义：假定T 为非零常数，关于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立那么f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，那么()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 假定函数()()f x a f x a +=-，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、假定函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，那么()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),那么f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 假定函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,那么f(x)为周期函数且2〔b-a 〕是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，那么函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，那么函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、假定偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
高考数学一轮复习函数的奇偶性对称性与周期性课件
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
()
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.
()
(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. ( )
(5)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
和f(-1),所得出结果一定不可能的是
()
A.4和6 B.3和1
C.2和4
D.1和2
【解析】选D.因为f(x)=asin x+bx+c,所以f(1)+f(-1)=2c,又因为c∈Z,所以
f(1)与f(-1)之和应为偶数.
A.f(x)=x-1
B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-x
D.f(x)=2x+2-x
【解析】选D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.其余A、B、C选项均不
满足f(-x)=f(x).
2.(必修1P49练习AT1改编)下列函数中为偶函数的是
()
A.y=x2sin x
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
【知识点辨析】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( )
图象特点 关于_y_轴__对称
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再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)
所以f(x)的周期为T=2b-2a.
(3) (4)
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一对称轴一对称中心型
例：已知函数f(x)的图象关于x=a和(b,0)对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
由题意知：f(a-x)=f(a+x)
(1)
f(b-x)=-f(b+x)
(2)
在（1）式中令x=x&#(a+x)
(1)
f(b-x)=f(b+x)
(2)
在（1）式中令x=x+a得f(-x)=f(2a+x)
(3)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=f(2b+x)
(4)
由（3）、（4）知：f(2a+x)=f(2b+x)
再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)
所以f(x)的周期为T=2b-2a.
函数对称性与周期性的联系
高三数学组
张文根
1
很多同学在研究函数的性质问题时，经常会感觉 函数的性质不够解题。而问题的实质是我们没发 现函数的隐含性质。
如：一个函数如果具备两种对称性， 则这个函数一定是一个周期函数
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两对称轴型
例：已知函数f(x)的图象关于x=a和x=b轴对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
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两对称中心型
例：已知函数f(x)的图象关于(a,0)和(b,0)对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
由题意知：f(a-x)=-f(a+x)
(1)
f(b-x)=-f(b+x)
(2)
在（1）式中令x=x+a得f(-x)=-f(2a+x)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)
由（3）、（4）知：-f(2a+x)=-f(2b+x)
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通过本节课的学习，你知道函数的对称性和周期性间的 关系了吗？ 一个函数如果具备两种对称性，则这个函数一定是 一个周期函数。
1、函数f(x)图象关于x=a和x=b对称(a<b),则f(x)的 周期为2(b-a)
2、函数f(x)图象关于(a,0)和(b,0)对称(a<b),则f(x) 的周期为2(b-a) 3、函数f(x)图象关于x=a和(b,0)对称(a<b),则f(x)的 周期为4(b-a)
(3)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)
(4)
由（3）、（4）知：f(2a+x)=-f(2b+x)
再令上式中x=x-2a得：-f(x)=f(x+2b-2a)
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在-f(x)=f(x+2b-2a)中，令x=x+2b-2a得： f(x+2b-2a+2b-2a)=-f(x+2b-2a)=f(x) 所以f(x)的周期为T=4b-4a.