一次函数之等腰直角三角形存在性(一)(北师版)(含答案)
一次函数与特殊三角形~存在性问题
一次函数与特殊三角形~存在性问题坚持的力量，时间的证明，难忘的经历！一次函数与特殊三角形~存在性问题—【数学压轴题】盘点思考题目：一次函数与等腰三角形~存在性问题【两定一动】一次函数与直角三角形~存在性问题【两定一动】一次函数与等腰直角三角形~存在性问题【一定两动】适用范围：初二与初三学生【考点串讲，拓展思路，体味方法】解题方法：一次函数与等腰三角形~存在性问题【两定一动】一次函数与直角三角形~存在性问题【两定一动】一次函数与等腰直角三角形~存在性问题【一定两动】【考点总结】1.一次函数与等腰三角形~存在性问题：（1）类型：两定一动&一定两动。
（2）思路：代数法&几何法。
注意：遇到'一定两动'时，尽量先画图，再结合【等腰三角形性质——等边对等角&三线合一】进行思考。
另外，这里的“等腰三角形~存在性问题”与初三数学中的“菱形~存在性问题”密切相关，大家必须掌握。
2.一次函数与直角三角形~存在性问题：（1）类型：两定一动&一定两动。
（2）思路：代数法&几何法&函数法。
注意：三种方法都可以使用，'代数法'侧重—计算量；“几何法”侧重—构图及转化能力；“函数法”—侧重公式记忆的应用及特殊情况的处理。
另外，这里的“直角三角形~存在性问题”与初三数学中的“矩形~存在性问题”密切相关，大家必须掌握。
3.一次函数与等腰直角三角形~存在性问题：（1）类型：两定一动&一定两动。
（2）思路：几何法——构造“一线三垂直~全等三角形模型”。
注意：这里的“等腰直角三角形~存在性问题”与初三数学中的“正方形~存在性问题”密切相关，大家必须掌握。
综上所述，这种【数学压轴题】需要思考，敢于挑战，发挥想象，坚持总结，重在积累，走好初中的每一步，在会的基础上提升自己的做题速度，节省时间才能在考试中发挥出真实水平。
加油，我们一起同行【从不同的出发点思考，便会发现不一样的风景】。
一次函数特殊三角形存在性
特殊三角形存在性知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果．2.存在性问题处理框架：①研究背景图形．②分析不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．④结果验证．3.不变特征举例：①等腰三角形以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置．②等腰直角三角形根据直角顶点确定分类标准，然后借助两腰相等或者45°角确定点的位置．精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(-3，4)，P是x轴上的一个动点，则当△AOP是等腰三角形时，点P的坐标为____________．2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点O 落在AB 上的点D 处，折痕交x 轴于点E ． （1）求点D 的坐标．（2）x 轴上是否存在点P ，使得△PAD 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3. 直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，且43OB OA =．点C 在第一象限，是直线y =kx -4上的一个动点，当△AOC 的面积为6时，x 轴上是否存在点P ，使△ACP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，在第一象限内是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线y=x轴、y轴分别交于点A，B，点C在点A左侧，是x轴上一点，且满足AC=OA，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在第二象限内是否存在点P，使得△PAD是等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，Q是直线x=3上的一个动点，y轴正半轴上是否存在点P，使△APQ为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】 知识点睛1.运动的结果2.坐标或表达式 精讲精练1.(5,0)，(-5,0)，(-6，0)，(256-，0)2.（1）(-3（2）存在 (，0)，(-6-0)， (0，0)，(-4，0)3.存在(8，0)，(-2，0)，(9，0)，(436，0)4.存在(7，4)，(3，7)，(72，72)5.存在3，3)，6，3+)，6.存在(0，1)，(0，3)，(0，4)。
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案).
一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）➢课前预习1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B 是两个格点，若点C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形，则符合条件的点C 有个．2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征．②分类、画图结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．2.如图，直线y =-1x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3在直线y =-1x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为3．3 2（1）求直线y =-1x +b 的表达式及点C 的坐标；3（2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点P 是y轴正半轴上一个动点，Q是直线x=3 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点P 的坐标为．4.如图，直线y=3x+4 与y 轴交于点A，点P 是直线x=6 上的一个动点，点Q 是直线y=3x+4 上的一个动点，且点Q 在第一象限，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．5. 如图，直线 l 1：y =x +6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，直线 l 2：y = - 1 x - 3 与 x 轴交于点 A ，点 M 是线段 AB 上的一动点，2过点 M 作 y 轴的平行线交直线 l 2 于点 N ，在 y 轴上是否存在点 P ，使△MNP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢ 课前预习1. 6➢ 精讲精练1. (9，3)，(6，9)，( 9 ， 9 )2 22. （1） y = - 1 x -1，C (-6，1)3（2）(-2，3)，(-5，4)，(-4，2)3. (0，1)，(0，3)，(0，4)4. (2，10)，(3，13)，( 3 ， 17 )2 2 5. 存在，点 P 的坐标为(0， 12 )，(0， - 6 )，(0， 6 )5 5 7。
第4章一次函数-一次函数之等腰直角三角形的存在性(教案)
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了《一次函数之等腰直角三角形的存在性》，整体来看，学生的学习效果还是不错的。但在教学过程中，我也发现了一些值得思考的问题。
首先，我发现有些学生对一次函数图像与等腰直角三角形之间的关系理解不够深入。在讲解过程中，我尽量用生动的例子和形象的比喻来帮助他们理解，但显然，这部分内容对于他们来说还是有一定难度的。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生的需求，尽可能用简单易懂的方式讲解难点，让他们能够真正消化吸收。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数和等腰直角三角形的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k是斜率，b是y轴截距。等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两条腰相等且与底边成直角。在一次函数图像中，等腰直角三角形的存在性与函数的斜率有关。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何在一次函数图像中找出等腰直角三角形，以及它如何帮助我们解决实际问题。
-运用逻辑推理和分析数据的能力，解决一次函数图像中等腰直角三角形的定位问题。
举例解释：
-解释斜率为1或-1时，图像上的点与原点的连线和x轴或y轴形成的特殊角度题时，指导学生如何从问题描述中提取关键信息，构建一次函数模型，并利用等腰直角三角形的性质进行解答。
其次，在实践活动环节，学生们的参与度很高，但部分小组在讨论时显得有些拘谨，可能是因为对等腰直角三角形在实际生活中的应用不够了解。在今后的教学中，我会多设计一些与实际生活紧密相关的案例，让学生在实践中更好地理解理论知识。
【八年级压轴精选】一次函数背景下的存在性问题与最值问题，一题通关！
【八年级压轴精选】一次函数背景下的存在性问题与最值问题，一题通关！展开全文自编一题，融合多种存在性问题和最值问题，若有兴趣补充编题的请留言，八下内容，解法要避开相似。
1、求解析式①用尺规作出直线BC和点D，②求直线BC的解析式，③求点D坐标；2、存在性问题(1)全等三角形存在性：①P为平面内一动点，且满足△ABC与△ABP全等，求点P坐标；②P为直线BC上一动点，Q为x轴上一动点，且满足△ABC与△CQP全等，求点P坐标(2)等腰三角形存在性：P为直线BC上一动点，△ABP为等腰三角形，求点P坐标；(3)直角三角形存在性：直线l过原点，且与BC平行，P为直线l上一动点，△ABP为直角三角形，求点P坐标；(4)等腰直角三角形存在性：P为第二象限内上一动点，△ABP为等腰直角三角形，求点P坐标；(5)等边三角形存在性（九年级用）P为第二象限内上一动点，△ABP为等边三角形，求点P坐标；(7)平行四边形存在性：①三定一动：P为平面内一动点，且以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P坐标；②两定两动：P为直线AB上一动点，Q为y轴上一动点，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P、Q的坐标；(8)菱形存在性：P为直线BC上一动点，Q为平面内一动点，且以A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，求点P、Q的坐标；(9)矩形存在性：直线l过原点，且与BC平行，P为直线l上一动点，Q为平面内一动点，且以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形，求点P、Q的坐标；本讲先来解析部分小题：1、求解析式①用尺规作出直线BC和点D，②求直线BC的解析式，③求点D坐标；（考查内容：尺规作图、图形折叠、待定系数法求解析式，勾股定理或等积法求线段长）①折叠想到重合，全等，可得BC为∠ABO平分线，完成基本作图作已知角的角平分线即可，由D、O重合，可知BD=BO，CD=CO，CD⊥AB，所以在AB上截取BD=BO或CD=CO，或过C作CD⊥AB 于D(此法较繁)②待定系数法求直线解析式，需知两点，已知B（0，6）只要知道点C坐标，算OC长，八年级求线段长两种方法：勾股和等积，如下：再来解析2（7），考查平行四边形存在性，解法参考我之前文章：“平四”存在性问题探究2(7)平行四边形存在性：①三定一动：P为平面内一动点，且以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P坐标；②两定两动：P为直线AB上一动点，Q为y轴上一动点，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P、Q的坐标；②码字太累，手写版本：上面方法优点：1、不会漏解，2、无需画图(5)等边三角形存在性（九年级用）P为第二象限内上一动点，△ABP为等边三角形，求点P坐标；解法参考我之前文章：一题5解。
2022中考专题07 一次函数中的构造等腰直角三角形法(解析版)
专题07 一次函数中地构造等腰直角三角形法1、如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等）,∴OE＝AD,∵k＝﹣1,∴y＝﹣x+4,∴B（0,4）,∴OB＝4,∵BE＝3,∴OE＝,∴AD＝；（2）k＝﹣时,y＝﹣x+4,∴A（3,0）,①当BM⊥AB,且BM＝AB时,过点M作MN⊥y轴,∴△BMN≌△ABO（AAS）,∴MN＝OB,BN＝OA,∴MN＝4,BN＝3,∴M（4,7）；②当AB⊥AM,且AM＝AB时,过点M作x轴垂线MK,∴△ABO≌△AMK（AAS）,∴OB＝AK,OA＝MK,∴AK＝4,MK＝3,∴M（7,3）；③当AM⊥BM,且AM＝BM时,过点M作MH⊥x轴,MG⊥y轴,∴△BMG≌△AHM（AAS）,∴BG＝AH,GM＝MH,∴GM＝MH,∴4﹣MH＝MH﹣3,∴MH＝,∴M（,）；综上所述：M（7,3）或M（4,7）或M（,）；（3）当k＞0时,AO＝,过点Q作QS⊥y轴,∴△ABO≌△BQS（AAS）,∴BS＝OA,SQ＝OB,∴Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4；当k＜0时,Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4,与k＜0矛盾,∴OQ地最小值为4．2、已如,在平面直角坐标系中,点A地坐标为（6,0）、点B地坐标为（0,8）,点C在y轴上,作直线AC．点B关于直线AC地对称点B′刚好在x轴上,连接CB′．（1）写出点B′地坐标,并求出直线AC对应地函数表达式；（2）点D在线段AC上,连接DB、DB′、BB′,当△DBB′是等腰直角三角形时,求点D坐标；（3）如图2,在（2）地条件下,点P从点B出发以每秒2个单位长度地速度向原点O运动,到达点O时停止运动,连接PD,过D作DP地垂线,交x轴于点Q,问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．解：（1）∵A地坐标为（6,0）、点B地坐标为（0,8）,∴OA＝6,OB＝8,∵∠AOB＝90°,∴AB＝10,∵B与B'关于直线AC对称,∴AC垂直平分BB',∴BC＝CB',AB'＝AB＝10,∴B'（﹣4,0）,设点C（0,m）,∴OC＝m,∴CB'＝CB＝8﹣m,∵在Rt△COB'中,∠COB'＝90°,∴m2+16＝（8﹣m）2,∴m＝3,∴C（0,3）,设直线AC地解析式为y＝kx+b（k≠0）,把A（6,0）,C（0,3）代入可得k＝﹣,b＝3,∴y＝﹣x+3；（2）∵AC垂直平分BB',∴DB＝DB',∵△BDB'是等腰直角三角形,∴∠BDB'＝90°,过点D作DE⊥x轴,DF⊥y轴,∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°,∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF,∠EOF＝90°, ∴∠EDF＝90°,∴∠EDF＝∠BDB',∴∠BDF＝∠EDB',∴△FDB≌△EDB'（AAS）,∴DF＝DE,设点D（a,a）代入y＝﹣x+3中, ∴a＝2,∴D（2,2）；（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE, ∵DF＝DE＝2,∠PDF＝∠QDE,∴△PDF≌△QDE（AAS）,∴PF＝QE,①当DQ＝DA时,∵DE⊥x轴,∴QE＝AE＝4,∴PF＝QE＝4,∴BP＝BF﹣PF＝2,∴点P运动时间为1秒；②当AQ＝AD时,∵A（6,0）、D（2,2）,∴AD＝2,∴AQ＝2,∴PF＝QE＝2﹣4,∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2,∴点P地运动时间为5﹣秒；③当QD＝QA时,设QE＝n,则QD＝QA＝4﹣n,在Rt△DEQ中,∠DEQ＝90°,∴4+n2＝（4﹣n）2,∴n＝1.5,∴PF＝QE＝1.5,∴BP＝BF+PF＝7.5,∴点P地运动时间为3.75秒,∵0≤t≤4,∴t＝3.75,综上所述：点P地运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．3、定义：在平面直角坐标系中,对于任意P（x1,y1）,Q（x2,y2）,若点M（x,y）满足x＝3（x1+x2）,y＝3（y1+y2）,则称点M是点P,Q地“美妙点”．例如：点P（1,2）,Q（﹣2,1）,当点M（x,y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3,y＝3×（2+1）＝9时,则点M（﹣3,9）是点P,Q地“美妙点”．（1）已知点A（﹣1,3）,B（3,3）,C（2,﹣2）,请说明其中一点是另外两点地“美妙点”；（2）如图,已知点D是直线y＝+2上地一点．点E（3,0）,点M（x,y）是点D、E地“美妙点”．①求y与x地函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F,当①MEF为直角三角形时,求点D地坐标．解：（1）①3×（﹣1+2）＝3,3×（3﹣2）＝3,①点B是A、C地“美妙点”；（2）设点D（m,m+2）,①①M是点D、E地“美妙点”．①x＝3（3+m）＝9+3m,y＝3（0+m+2）＝m+6,故m＝x﹣3,①y＝（x﹣3）+6＝x+3；①由①得,点M（9+3m,m+6）,如图1,当①MEF为直角时,则点M（3,4）,①9+3m＝3,解得：m＝﹣2；①点D（﹣2,）；当①MFE是直角时,如图2,则9+3m＝m,解得：m＝﹣,①点D（﹣,）；当①EMF是直角时,不存在,综上,点D（﹣2,）或（﹣,）．4、如图,过点A（1,3）地一次函数y＝kx+6（k≠0）地图象分别与x轴,y轴相交于B,C两点．（1）求k地值；（2）直线l与y轴相交于点D（0,2）,与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2地两部分,求直线l地函数表达式；（①）连接AD,若①ADE是以AE为腰地等腰三角形,求满足条件地点E地坐标．解：（1）将点A地坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴,y轴相交于B,C两点,则点B、C地坐标分别为：（2,0）、（0,6）；（i）S①BCO＝OB×CO＝2×6＝6,直线l把①BOC分成面积比为1：2地两部分,则S①CDE＝2或4,而S①CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4,则x E＝1或2,故点E（1,3）或（2,0）,将点E地坐标代入直线l表达式并解得：直线l地表达式为：y＝±x+2；（①）设点E（m,﹣3m+6）,而点A、D地坐标分别为：（1,3）、（0,2）,则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2,AD2＝2,ED2＝m2+（4﹣3m）2,当AE＝AD时,（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2,解得：m＝或；当AE＝ED时,同理可得：m＝；综上,点E地坐标为：（,）或（,）或（,）．5、建立模型：如图1,等腰Rt①ABC中,①ABC＝90°,CB＝BA,直线ED经过点B,过A作AD①ED于D,过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜地线段AB和直角①ABC转化为横平竖直地线段和直角,所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2,点A（0,4）,点B（3,0）,①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°,且点C在第一象限,求点C地坐标；①若AB为直角边,求点C地坐标；（2）如图3,长方形MFNO,O为坐标原点,F地坐标为（8,6）,M、N分别在坐标轴上,P是线段NF上动点,设PN＝n,已知点G在第一象限,且是直线y＝2x一6上地一点,若①MPG是以G为直角顶点地等腰直角三角形,请直接写出点G地坐标．解：（1）①过点C作CD①x轴于点D,①①BDC＝90°＝①AOB,①①BCD+①DCB＝90°,①①ABC＝90°,①①ABO+①DBC＝90°,①①ABO＝BCD,①AB＝BC,①①AOB①①BDC（AAS）,DC＝OB＝3,BD＝OA＝4,故点C（7,3）；①若AB为直角边,则除了①地情况以外,另外一个点C（C′）与①中地C关于点B对称,故点C′（﹣1,﹣3）；故点C地坐标为：（7,3）或（﹣1,﹣3）；（2）如图2,当①MGP＝90°时,MG＝PG,过点P作PE①OM于E,过点G作GH①PE于H,①点E与点M重合,①GF＝AB＝4设G点坐标为（x,2x﹣6）,6﹣（2x﹣6）＝4,得x＝4,易得G点坐标（4,2）；如图3,当①MGP＝90°时,MG＝PG时,同理得G点坐标（,）,综上可知,满足条件地点G地坐标分别为（4,2）或（,）．6、如图1,直线l：y＝x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B．已知点C（﹣2,0）．（1）求出点A,点B地坐标．（2）P是直线AB上一动点,且①BOP和①COP地面积相等,求点P坐标．（3）如图2,平移直线l,分别交x轴,y轴于交于点A1B1,过点C作平行于y轴地直线m,在直线m上是否存在点Q,使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在,请直接写出所有符合条件地点Q地坐标．解：（1）设y＝0,则x+2＝0,解得：x＝﹣4,设x＝0,则y＝2,①点A地坐标为（﹣4,0）,点B地坐标地坐标为（0,2）；（2）①点C（﹣2,0）,点B（0,2）,①OC＝2,OB＝2,①P是直线AB上一动点,①设P（m,m+2）,①①BOP和①COP地面积相等,①×2|m|＝2×（|m|+2）,解得：m＝±4,当m＝﹣4时,点P与点A重合,①点P坐标为（4,4）；（3）存在；理由：如图1,①当点B1是直角顶点时,①B1Q＝B1A1,①①A1B1O+①QB1H＝90°,①A1B1O+①OA1B1＝90°,①①OA1B1＝①QB1H,在①A1OB1和①B1HQ中,,①①A1OB1①①B1HQ（AAS）,①B1H＝A1O,OB1＝HQ＝2,①B1（0,﹣2）或（0,2）,当点B1（0,﹣2）时,Q（﹣2,2）,当点B1（0,2）时,①B（0,2）,①点B1（0,2）（不合题意舍去）,①直线AB向下平移4个单位,①点Q也向上平移4个单位,①Q（﹣2,2）,①当点A1是直角顶点时,A1B1＝A1Q,①直线AB地解析式为y＝x+2,由平移知,直线A1B1地解析式为y＝x+b,①A1（﹣2b,0）,B1（0,b）,①A1B12＝4b2+b2＝5b2,①A1B1①A1Q,①直线A1Q地解析式为y＝﹣2x﹣4b①Q（﹣2,4﹣4b）,①A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20,①20b2﹣40b+20＝5b2,①b＝2或b＝,①Q（﹣2,﹣4）或（﹣2,）；①当Q是直角顶点时,过Q作QH①y轴于H,①A1Q＝B1Q,①①QA1C1+①A1QC＝90°,①A1QC+①CQB1＝90°,①①QA1C＝①CQB1,①m①y轴,①①CQB1＝①QB1H,①①QA1C＝①QB1H在①A1QC与①B1QH中,,①①A1QC①①B1QH（AAS）,①CQ＝QH＝2,B1H＝A1C,①Q（﹣2,2）或（﹣2,﹣2）,即：满足条件地点Q为（﹣2,2）或（﹣2,﹣2）或（﹣2,12）或（﹣2,）．7、如图1,等腰直角三角形ABC中,①ACB＝90°,CB＝CA,直线DE经过点C,过A作AD①DE于点D,过B作BE①DE于点E,则①BEC①①CDA,我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）地图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2,当k＝﹣1时,若点B到经过原点地直线l地距离BE地长为3,求点A到直线l地距离AD地长；（2）如图3,当k＝﹣时,点M在第一象限内,若①ABM是等腰直角三角形,求点M地坐标；（3）当k地取值变化时,点A随之在x轴上运动,将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接OQ,求OQ长地最小值．解：（1）由题意可知：①BEO①①AOD（K型全等）,①OE＝AD,①k＝﹣1,①y＝﹣x+4,①B（0,4）,①OB＝4,①BE＝3,①OE＝,①AD＝；（2）k＝﹣时,y＝﹣x+4,①A（3,0）,①当BM①AB,且BM＝AB时,过点M作MN①y轴,①①BMN①①ABO（AAS）,①MN＝OB,BN＝OA,①MN＝4,BN＝3,①M（4,7）；①当AB①AM,且AM＝AB时,过点M作x轴垂线MK,①①ABO①①AMK（AAS）,①OB＝AK,OA＝MK,①AK＝4,MK＝3,①M（7,3）；①当AM①BM,且AM＝BM时,过点M作MH①x轴,MG①y轴,①①BMG①①AHM（AAS）,①BG＝AH,GM＝MH,①GM＝MH,①4﹣MH＝MH﹣3,①MH＝,①M（,）；综上所述：M（7,3）或M（4,7）或M（,）；（3）当k＞0时,AO＝,过点Q作QS①y轴,①①ABO①①BQS（AAS）,①BS＝OA,SQ＝OB,①Q（4,4﹣）,①OQ＝,①当k＝1时,QO最小值为4；当k＜0时,Q（4,4﹣）,①OQ＝,①当k＝1时,QO最小值为4,与k＜0矛盾,①OQ地最小值为4．8、【模型建立】（1）如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CA＝CB,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2,直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,求直线l2地函数表达式．【模型迁移】如图3,直线l经过坐标原点O,且与x轴正半轴地夹角为30°,点A在直线l上,点P为x轴上一动点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,过点B地直线BC交x轴于点C,∠OCB＝30°,点B到x轴地距离为2,求点P地坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°,∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE,且CA＝BC,∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2,在l2上取D点,使AD＝AB,过D点作DE⊥OA,垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B,∴A（﹣3,0）,B（0,4）,∴OA＝3,OB＝4,由（1）得△BOA≌△AED,∴DE＝OA＝3,AE＝OB＝4,∴OE＝7,∴D（﹣7,3）设l2地解析式为y＝kx+b,得解得∴直线l2地函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴,如图3,过点B作BE⊥OC,∵BE＝2,∠BCO＝30°,BE⊥OC∴BC＝4,∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,∴AP＝BP,∠APB＝30°,∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC,∴∠OAP＝∠BPC,且∠OAC＝∠PCB＝30°,AP＝BP, ∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4,∴点P（4,0）若点P在x轴负半轴,如图4,过点B作BE⊥OC,∵BE＝2,∠BCO＝30°,BE⊥OC∴BC＝4,∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,∴AP＝BP,∠APB＝30°,∵∠APE+∠BPE＝30°,∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC, ∴∠APE＝∠PBC,∵∠AOE＝∠BCO＝30°,∴∠AOP＝∠BCP＝150°,且∠APE＝∠PBC,PA＝PB∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4,∴点P（﹣4,0）综上所述：点P坐标为（4,0）或（﹣4,0）9、如图1,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点,动点C（m,0）在线段OA上,将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求m和b地数量关系；（2）当m＝1时,如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′,当直线B′C′经过点D时,求点B′地坐标及△BCD平移地距离；（3）在（2）地条件下,直线AB上是否存在一点P,以P、C、D为顶点地三角形是等腰直角三角形？若存在,写出满足条件地P点坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+b与y轴相交于B点,∴B（0,b）∴OB＝b,∵点C（m,0）∴OC＝m∵∠BCO+∠ECD＝90°,∠BCO+∠OBC＝90°,∴∠OBC＝∠ECD．在△OBC和△ECD中,∴△OBC≌△ECD（AAS）∴BO＝CE＝b,DE＝OC＝m,∴点D（b+m,m）∴m＝﹣（b+m）+b∴b＝3m（2）∵m＝1,∴b＝3,点C（1,0）,点D（4,1）∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3设直线BC解析式为：y＝ax+3,且过（1,0）∴0＝a+3∴a＝﹣3∴直线BC地解析式为y＝﹣3x+3,设直线B′C′地解析式为y＝﹣3x+c,把D（4,1）代入得到c＝13, ∴直线B′C′地解析式为y＝﹣3x+13,当y＝3时,x＝当y＝0时,x＝∴B′（,3）,C'（,0）∴CC′＝,∴△BCD平移地距离是个单位．（3）当∠PCD＝90°,PC＝CD时,点P与点B重合,∴点P（0,3）如图,当∠CPD＝90°,PC＝PD时,∵BC＝CD,∠BCD＝90°,∠CPD＝90°∴BP＝PD∴点P是BD地中点,且点B（0,3）,点D（4,1）∴点P（2,2）综上所述,点P为（0,3）或（2,2）时,以P、C、D为顶点地三角形是等腰直角三角形．10、如图,已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x地图象交于点A,且与x轴交于点B．（1）求△AOB地面积：（2）在y轴上找一点C,使AC+BC最小,求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒地速度运动,点Q从B点出发向A点以同样地速度运动,两个点同时停止,当△BPQ为等腰三角形时,求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x地图象交于点A,且与x轴交于点B．∴点B（7,0）,﹣x+7＝x∴x＝3,∴点A（3,4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1,作点B关于y轴地对称点H（﹣7,0）,连接AH,交y轴于点C,∴此时AC+BC最小值为AH,∵点A（3,4）,点H（﹣7,0）,∴AH＝＝2,∴AC+BC最小值为2,设直线AH解析式为：y＝kx+b,且过点A（3,4）,点H（﹣7,0）, ∴,解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2,过点Q作QE⊥OB,∵以同样地速度运动,∴BQ＝OP,∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D,∴点D（0,7）,∴OD＝OB＝7,且∠DOB＝90°,∴∠DBO＝45°,且QE⊥OB,∴∠QBE＝∠EQB＝45°,∴QE＝BE,∴QB＝QE＝EB,若PB＝QB,且OP＝BQ,∴OP＝PB＝＝BQ,∴BE＝EQ＝,∴OE＝7﹣,∴点Q（7﹣,）,若QP＝QB,且QE⊥OB,∴PE＝BE,∵OB＝7＝OP+PE+BE,∴7＝BE+2BE,∴BE＝＝QE,∴OE＝∴点Q（,）,如图3,若BP＝PQ,过点P作PF⊥BQ,∴BF＝FQ＝BQ,∵∠ABO＝45°,PF⊥AB,∴∠FPB＝∠ABO＝45°,∴PF＝BF,∴PB＝BF,∴7﹣BQ＝∴BQ＝,∴BE＝QE＝,∴点Q坐标为（7﹣,）．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中,其中O为原点,点A、B分别在x轴、y轴上,D为射线OB上任意一点．（1）如图1,若点D坐标为（0,2）,连接AD交OC于点E,则△AOE地面积为；（2）如图2,将△AOD沿AD翻折得△AED,若点E在直线y＝x图象上,求出E点坐标；（3）如图3,将△AOD沿AD翻折得△AED,DE和射线BC交于点F,连接AF,若∠DAO＝75°,平面内是否存在点Q,使得△AFQ是以AF为直角边地等腰直角三角形,若存在,请求出所有点Q坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中,∴点A坐标（4,0）,点C（4,4）,∴直线OC解析式为：y＝x,∵点D坐标为（0,2）,点A坐标（4,0）,∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2,∴解得：∴点E坐标（,）∴△AOE地面积＝×4×＝,故答案为：；（2）如图2,过点E作EH⊥OA,∵将△AOD沿AD翻折得△AED,∴AO＝AE＝4,设点E（a,a）,∴OH＝a,EH＝a,∴AH＝4﹣a,∵AE2＝EH2+AH2,∴16＝a2+（4﹣a）2,∴a＝0（舍去）,a＝,∴点E（,）（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED,∴∠DAO＝∠DAE＝75°,OA＝AE,∠DOA＝∠DEA＝90°, ∴∠OAE＝150°,AE＝AC,∠ACF＝∠AED＝90°,∴∠CAE＝60°,∵AE＝AC,AF＝AF,∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）∴∠CAF＝∠EAF＝30°,且AC＝4,∴CF＝,∵△AFQ是以AF为直角边地等腰直角三角形,∴若∠AFQ＝90°,AF＝FQ,如图3,过点Q作QN⊥BF,∴∠NQF+∠QFN＝90°,且∠QFN+∠AFC＝90°,∴∠NQF＝∠AFC,且∠ACF＝∠QNF＝90°,QF＝AF, ∴△QNF≌△FCA（AAS）∴QN＝CF＝,AC＝NF＝4,∴点Q（,4+）同理可求：Q'（8+,4﹣）,若∠FAQ＝90°,AF＝AQ时,同样方法可求,Q''（0,）,Q'''（8,﹣）。
专题55一次函数中的构造等腰直角三角形(解析版)
专题55 一次函数中的构造等腰直角三角形1、如图1，等腰直角三角形A3C中，ZAC5=90°, CB=CA,直线经过点C,过A作AO_LED于点D,过B作BE工ED于点E.求证：4 BECW4CDA；解：(1)由题意可知：△ BEOgAAOD (K型全等)，:.OE=AD9・: k= - 1,，y= - x+4,：.B(0, 4),；・OB=4,・：BE=3,・•・OE=H:・AD=54 1 4(2) k=-77时，v= -77.1+4,3 3•"⑶ o),①当且时，过点"作加人」丫轴，:•△BMNWMBO (AAS),:・MN=OB, BN=OA,：.MN=49 BN=3,：.M (4, 7):②当且AM=A3 时，过点M作x轴垂线MK,：.^ABO^/^AMK (AAS),:.OB=AK, OA=MK t，AK=4, MK=3,：.M(7, 3)：③当且AM=3M 时，过点M作轴，MG_Ly轴,:•△BMGQAAHM (AAS),；・BG=AH, GM=MH,:・GM=MH,,MH=二,7 7 综上所述：M（7, 3）或M （4, 7）或M （左彳）乙乙4 (3)当Q0 时，4?=子.k过点。
作3。
轴，:•△ABO94BQS (AAS),:・BS=OA, SQ=OB,4：.Q(4, 4-丁)，k，当k=l时，。
最小值为4：4当&VO 时，Q（4, 4-丁），k，当k=l时，。
最小值为明与k<0矛盾, ，。
的最小值为4.2、己如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6, 0）、点8的坐标为（0, 8）,点。
在y轴上，作直线AC.点3关于直线AC的对称点方刚好在x轴上，连接。
夕.（1）写出点夕的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式:（2）点。
在线段AC上，连接。
5、DB\ BB',当△。
89是等腰直角三角形时，求点。
坐标:（3）如图2,在（2）的条件下，点尸从点3出发以每秒2个单位长度的速度向原点。
2019-2020学年度北师大版八年级上册一次函数与等腰三角形存在性专题( 解析版)
2019-2020一次函数与等腰三角形存在性专题（含解析）一、单选题1．一次函数分别交轴、轴于，两点，在轴上取一点，使为等腰三角形，则这样的点最多有几个（）A.5B.4C.3D.22．如图，直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为（）A.2B.4C.6D.83．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝x上．若以A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．34．在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)，点B(4，0)，若点C在一次函数122y x=-+的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（）A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题5．如图，一次函数1y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，点M 在x 轴上，要使ABM ∆是以AB 为腰的等腰三角形，那么点M 的坐标是_____．6．如图，已知直线334y x =-+与坐标轴相交于A 、B 两点，动点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，当点P 的运动时间是__________秒时，PAB ∆是等腰三角形．三、解答题7．已知正比例函数y ＝kx 经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，点A 的横坐标为3，且△AOH 的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x 轴上能否找到一点M ，使△AOM 是等腰三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B 。
（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P 在x 轴上，且BOP 1S AOB 2∆=∆ 求点P 的坐标。
（3）在y 轴是否存在点M ，使三角形MAB 是等腰三角形，若存在。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：什么是存在性问题？
问题2：一次函数背景下解决存在性问题的思考方向是什么？
问题3：等腰直角三角形存在性根据什么分类？如何确定点的位置？
一次函数之等腰直角三角形存在性（一）（北师
版）
一、单选题(共5道，每道20分)
1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是第四象限内一点，且△ABP 为等腰直角三角形，则点P的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题
2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D是线段OA的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP是等腰直角三角形，则点P的坐标为( )
A. B.
C.(2，8)，(8，2)，(4，4)
D.(2，5)，(5，3)，(4，4)
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题
3.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，其中点．点P 是平面内一点，若△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题
4.如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点
G，△AOG的面积为△ABC面积的．
（1）过点C作CE⊥AD于E，延长CE交AB交于F，则点F的坐标为( )
A.(0，2)
B.(0，4)
C.(2，0)
D.(4，0)
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合
5.（上接试题4）（2）在（1）的条件下，点P是平面内一点，若△CFP是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )
A.(4，4)，(-2，2)
B.(6，8)，(8，6)，(4，4)
C.(6，8)，(8，6)，(-2，2)
D.(6，8)，(8，6)，(4，4)，(-6，4)，(-4，-8)，(-2，2)
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：回顾本套试题，主要训练的什么内容？
问题2：等腰直角三角形存在性的特征是什么？分类标准是什么？对应的操作如何进行？问题3：对比等腰三角形存在性和等腰直角三角形存在性，它们有什么相同和不同？请分条描述．
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