2020年八年级数学 勾股定理(基础)知识讲解
勾股定理（基础）
【学习目标】
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
【高清课堂勾股定理知识要点】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222
a b c +=．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长
可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的
目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-，()2
22c a b ab =+-．要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以
．
要点三、勾股定理的作用
1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3．与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；
（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．
【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．
【答案与解析】
解：（1）因为△ABC 中，∠C＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，
所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．
（2）因为△ABC 中，∠C＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，
所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．
【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；
（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．
【答案】
解：（1）∵
∠C＝90°，b ＝6，c ＝10，∴
2222210664a c b =-=-=，∴a ＝8．
（2）设3a k =，5c k =，
∵∠C＝90°，b ＝32，
∴222a b c +=．
即222(3)32(5)k k +=．
解得k ＝8．
∴33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．
类型二、与勾股定理有关的证明
2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4×，
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：
由图2可以得到，
整理，得，
所以．
【答案与解析】
证明：∵S
大正方形=c 2，S
大正方形=4S△
+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，
∴c2=4×ab+（b﹣a）2，
整理，得
2ab+b2﹣2ab+a2=c2，
∴c2=a2+b2．
故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．
【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）
A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2
【答案】连接AD 构造直角三角形，得
，选A ．
类型三、与勾股定理有关的线段长
【高清课堂勾股定理例3】
3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB 的长为（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D；
【解析】
解：设AB＝x ，则AF＝x ，
∵△ABE 折叠后的图形为△AFE，
∴△ABE≌△AFE．BE＝EF，
EC＝BC－BE＝8－3＝5，
在Rt△EFC 中，
由勾股定理解得FC＝4，
在Rt△ABC 中，()2
2284x x +=+，解得6x =．【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．类型四、与勾股定理有关的面积计算
4、如图，直线l 上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（）
A．6B．5C．11D．16
【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求△ABC ≌△CDE．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积．
【答案】D 【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠DEC，
在△ABC 和△CDE 中，
∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC≌△CDE
∴BC=DE
∵222AB BC AC
+=∴222
AB DE AC +=∴b 的面积为5+11=16，故选D．
【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
举一反三：
【变式】（2015•东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1=4，S 2=9，S 3=8，S 4
=10，则S=（）
A.25
B.31
C.32
D.40
【答案】解：如图，由题意得：
AB 2=S 1+S 2=13，
AC 2=S 3+S 4=18，
∴BC 2=AB 2+AC 2=31，
∴S=BC 2=31，
故选B ．
类型五、利用勾股定理解决实际问题
5、（2016春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．
【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．
【答案与解析】
解：设门高为x 尺，则竹竿长为（x +1）尺，
根据勾股定理可得：
x 2+42=（x +1）2，即x 2+16=x 2+2x +1，
解得：x=7.5，
竹竿高=7.5+1=8.5（尺）
答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．
【总结升华】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？
【答案】
解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m ，AC＝12m ，
∴
22222512169AB BC AC =+=+=．∴
13AB =(m )．∴
BC＋AB＝5＋13＝18(m )．∴旗杆折断前的高度为18m ．。
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
八年级勾股定理的知识点
八年级勾股定理的知识点作为初中数学的重要知识点之一，勾股定理在八年级学生的学习中扮演着重要的角色。
勾股定理的概念和应用可以帮助学生理解和求解同类问题，并为进一步学习更高级别的数学知识奠定基础。
以下是勾股定理在初中八年级阶段的知识点。
一、勾股定理的定义勾股定理是指直角三角形中长边平方等于两短边平方和的关系。
即在一个直角三角形中，长边的平方等于其他两边平方和。
勾股定理的公式为：a² + b² = c²其中，a、b 代表短边，c 代表长边。
这个公式是勾股定理的基本表达形式。
二、三角形中的勾股定理应用勾股定理不仅仅是为了了解概念，同样也是一种有用的工具来解决各种三角形问题。
在三角形中，有两种使用勾股定理的方式：已知两个边长求第三个边长和已知三角形的三个角度和一个边长，求任意一边长。
2.1 已知两边长求第三边长当我们知道任意两边长的长度时，我们可以使用勾股定理来求解第三边长的长度。
我们可以先将已知的两边长的平方和计算得出，然后再对这个结果求平方根来得到第三边长的长度。
例如，当我们知道一个三角形的两边分别为 3 和 4，需求出第三边长，我们可以使用勾股定理进行计算：(3)² + (4)² = c²9 + 16 = c²25 = c²c = √25 = 52.2 已知三个角度和一个边长，求任意一边长在已知三个角度和一个边长的情况下，我们可以使用正弦、余弦、正切等三角函数结合勾股定理来求解三角形任意一边长。
例如，假设我们知道一个三角形的三个角分别为 60 度、30 度和 90 度，此三角形的一个边长为 5，需求出另外两边长的长度。
我们可以利用下列公式进行计算：sin(60°) = 对边 / 斜边 = c / 5c = 5 sin(60°) = 4.33(约)cos(60°) = 邻边 / 斜边 = b / 5b = 5 cos(60°) = 2.5(约)根据勾股定理，我们可以求出第三条边的长度：a² + b² = c²a² + (2.5)² = (4.33)²a² = (4.33)² - (2.5)²a² = 9 - 6.25a = √2.75 = 1.66(约)通过这种方式，我们可以使用勾股定理解决许多有关三角形的问题。
勾股定理知识点归纳总结
勾股定理知识点归纳总结“同学们，今天咱们来好好讲讲勾股定理。
”我站在讲台上对学生们说道。
勾股定理啊，那可是非常重要的一个定理。
它说的是在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
这看似简单的一句话，却有着无比广泛的应用。
咱们先从它的定义说起。
直角三角形大家都知道吧，就是有一个角是直角的三角形。
比如这个三角形 ABC，角 C 是直角，那么 AB 就是斜边，AC 和 BC 就是两条直角边。
根据勾股定理，就有 AC 的平方加上 BC 的平方等于 AB 的平方。
那这个定理有啥用呢？用处可大了去了。
比如说，我们知道了两条直角边的长度，就能算出斜边的长度。
就像盖房子的时候，工人要搭一个直角的架子，如果知道了两边的长度，用勾股定理就能算出斜边需要多长的材料。
再给大家举个例子吧。
有个小朋友叫明明，他想在院子里搭一个直角的秋千架子。
他量了一下两边的长度，一边是 3 米，另一边是 4 米，那斜边应该多长呢？我们就可以用勾股定理来算呀，3 的平方是 9，4 的平方是16，9 加 16 等于 25，那斜边就是 5 米。
这样明明就知道该准备多长的材料来搭这个秋千架子了。
勾股定理还能帮我们判断一个三角形是不是直角三角形。
如果一个三角形三条边的长度满足勾股定理，那它就是直角三角形。
同学们要记住一些常见的勾股数，比如 3、4、5，5、12、13 等等。
这些勾股数在很多题目中都会出现哦。
而且勾股定理在很多其他学科里也有应用呢。
比如在物理学中，计算力的合成、位移的合成等等都可能用到勾股定理。
大家一定要把勾股定理理解透彻，多做一些练习题，这样才能真正掌握它。
以后遇到和直角三角形相关的问题，就能轻松解决啦。
“同学们，都听明白了吗？”我看着学生们问道。
希望他们都能真正理解和掌握勾股定理，为以后的学习打下坚实的基础。
初二数学勾股定理的知识点总结
初二数学勾股定理的知识点总结初二数学勾股定理的知识点总结勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
以下是店铺为大家整理的初二数学勾股定理的知识点总结相关内容，仅供参考，希望能够帮助大家！初二数学勾股定理的知识点总结1勾股定理这个定理在中国又称为“商高定理”(相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题)，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。
(毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”)。
他们发现勾股定理的时间都比中国晚(中国是最早发现这一几何宝藏的国家)。
目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a、b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。
1.探索勾股定理⑴勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2.能得到直角三角形吗⑵如果三角形的三边长a,b,c满足，则这个三角形是直角三角形。
其中满足的三个正整数a,b,c叫勾股数3.蚂蚁怎么走最近立体图形与侧面剪开提醒大家的是：勾股定理是余弦定理的一个特例。
初二数学勾股定理的知识点总结21.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边;(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
八年级数学《勾股定理》知识点
八年级数学《勾股定理》知识点一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段1。
勾股定理的应用(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题1.6 勾股定理的应用（知识讲解）【学习目标】（1）利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。
（2）通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．【要点梳理】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，从而达到把三角形边的问题转化为角的问题，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【典型例题】类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题1．一个25米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24米，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4米，那么梯子底端B 外移多少米？【答案】8米．【分析】梯子下滑4米，梯子的长度不变始终为25米，利用勾股定理分别求出OB 、OB ＇的长度，进而求出BB ＇的长度即可．解：如图，依题意可知AB ＝25(米)，AO ＝24(米)，∠O ＝90°，∠ BO 2＝AB 2﹣AO 2＝252-242，∠ BO ＝7(米)，移动后，A O '＝20(米)，222222()()252015B O A B A O --''''＝＝＝∠ 15B O '= (米)，∠ =1578BB B O BO ''－＝－＝(米)．答：梯子底端B 外移8米．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求B O 的长度是解题的关键．举一反三：【变式】一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】（1）12米；（2）7米【分析】（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；（2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解．解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，在Rt AOB，由勾股定理得：AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，解得AO=12米，答：这个梯子的顶端距地面有12米高；（2）由题意得，AC=7米，由（1）得AO=12米，∠CO=AO-AC=12-7=5米，△，由勾股定理得：在Rt CODOD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，解得OD=12米∠BD=OD-OB=12-5=7米，答：梯子的底端在水平方向滑动了7米．【点拨】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．类型二、应用勾股定理解决旗杆高度2．数学综合实验课上，同学们在测量学校的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开拉直后，下端刚好接触地面，测得绳子的下端离开旗杆底端8米，如图，根据以上数据，同学们就可以准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗?【答案】旗杆的高度为15m【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中的数据，用勾股定理解答即可．解：设旗杆高x 米，则绳子长为()2x +米，∠旗杆垂直于地面，∠旗杆，绳子与地面构成直角三角形，在Rt ABC 中，222AB BC AC +=，∠()22282x x +=+，解方程得：15x =，答：旗杆高度为15米．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出∠ABC 是直角三角形式解答此题的关键．举一反三：【变式】滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道OC ，撑杆AB 、BC 组成，滑道OC 固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB 、BC 的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图∠，此时点A 与点O 重合，撑杆AB 、BC 恰与滑道OC 完全重合；当悬窗完全打开时，如图∠，此时撑杆AB 与撑杆BC 恰成直角，即90B ∠=︒，测量得12cm OA =，撑杆15cm AB =，求滑道OC 的长度．【答案】滑道OC 的长度为51cm ．【分析】设OC m =cm ，可得出(15)BC m =-cm ，(12)AC m =-cm ，在在Rt ∠ABC 中，根据勾股定理可得m 的值，由此可得结论．解：设OC m =cm ，则由图∠可知(15)BC OC AB m =-=- cm ，由图∠可知(12)AC OC OA m =-=-cm ，∠90B ∠=︒，∠在Rt∠ABC 中，根据勾股定理可得，222AB BC AC +=，∠22215(15)(12)m m +-=-，解得51m =，∠滑道OC 的长度为51cm ．【点拨】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆AB 、BC 的长度始终保持不变正确表示出BC 和AC 是解题关键．类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离3．有一只喜鹊在一棵3m 高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m 的一棵大树上，大树高14m ，且巢离树顶部1m ．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m /s ，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？【答案】它至少需要5.2s 才能赶回巢中．【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．解：如图，由题意知AB =3，CD =14-1=13，BD =24．过A 作AE ∠CD 于E ．则CE =13-3=10，AE =24，∠在Rt ∠AEC 中，AC 2=CE 2+AE 2=102+242．∠AC =26，26÷5=5.2（s ）．答：它至少需要5.2s 才能赶回巢中．【点拨】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．举一反三：【变式】有一只喜鹊在一棵高3米的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24米，高为14米的一棵大树上，且巢离大树顶部为1米，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，立刻赶过去，如果它的飞行速度为每秒5米，那么它至少几秒能赶回巢中？【答案】它至少5.2秒能赶回巢中.【分析】过点A 作AF CD ⊥于点F .求出AF,EF,再根据勾股定理求出AE ，从而求出时间.解：如图所示，3AB =米，14CD =米，1DE =米，24BC =米.过点A 作AF CD ⊥于点F .在Rt AEF ∆中，24AF BC ==米，10EF CD CF DE =--=米，所以222222410676AE AF EF =+=+=.所以喜鹊离巢的距离26AE =米.喜鹊赶回巢所需的时间为265 5.2÷=（秒）.即它至少5.2秒能赶回巢中.【点拨】考核知识点：勾股定理和逆定理运用.构造直角三角形是解题关键.类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度4．如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即8BC =，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC 的长度）？【答案】这棵树在离地面6米处被折断【分析】设AC x =，利用勾股定理列方程求解即可.解：设AC x =，∠在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∠()222816x x +=-，∠6x =．答：这棵树在离地面6米处被折断【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．举一反三：【变式】我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部6尺远．问：折处离地还有多高的竹子？（1丈=10尺）【答案】8尺【分析】设原处还有x 尺高的竹子，由题意得到折后竹子竖直高度+斜倒部分的长度=18尺，再运用勾股定理列方程即可求解．解：设折处离地还有x 尺高的竹子,如图，在Rt ABC 中，AC =x 尺，则AB =一丈八- AC =(18-x )尺由勾股定理得222AC BC AB +=，所以2226(18)x x +=-，解得：8x =．答：折处离地还有8尺高的竹子．【点拨】此题考查勾股定理解决实际问题．此题中的直角三角形只知道一直角边，另两边未知往往要列方程求解．类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题5．如图，一个直径为20cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm ，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【答案】26cm【分析】设杯子的高度是x cm ，那么小木棍的高度是（x +2）cm ，因为直径为20cm 的杯子，可根据勾股定理列方程求解．解：设杯子的高度是x cm ，那么小木棍的高度是（x +2）cm ，∠杯子的直径为20cm ，∠杯子半径为10cm ，∠x 2+102＝（x +2）2，即x 2+100＝x 2+4x +4，解得：x ＝24，24+2＝26（cm ）．答：小木棍长26cm ．【点拨】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长．举一反三：【变式】如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题．【答案】水池里水的深度是15尺【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．解：设水池里水的深度是x 尺，由题意得，()22282x x +=+，解得：x ＝l5，答：水池里水的深度是15尺．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 类型六、应用勾股定理解决航海问题6．如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q ，R 处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】北偏东45°（或西北）【分析】直接得出RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向．解：由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，∠182+242=302，∠∠RPQ是直角三角形，∠∠RPQ=90°，∠“远航”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行，∠∠RPS=45°，∠“海天”号沿北偏西45°（或西北）方向航行．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．举一反三：【变式】在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？【答案】第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【分析】根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案．解：根据题意得：OA ＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB ＝12海里/时×1.5小时＝18海里，∠OB 2＋OA 2＝242＋182＝900，AB 2＝302＝900，∠OB 2＋OA 2＝AB 2，∠∠AOB ＝90°，∠艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O （如图）沿北偏东40°的方向向目标A 的前进，∠∠BOD ＝50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【点拨】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：如果三角形两边a 、b 的平方和等于第三边c 的平方，那么这个三角形是直角三角形．类型七、应用勾股定理解决河的宽度7．湖的两岸有A ，B 两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB 垂直的BC 方向上取点C ，测得30BC =米，50AC =米．求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B 到直线AC 的距离．【答案】（1）A ，B 两点间的 距离是40米；（2）点B 到直线AC 的距离是24米．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据三角形面积公式解答即可．解：（1）因为ABC 是直角三角形，所以由勾股定理，得222AC BC AB =+．因为50AC =米，30BC =，所以22250301600AB =-=．因为0AB >，所以40AB =米．即A ，B 两点间的 距离是40米．（2）过点B 作BD AC ⊥于点D ． 因为1122ABC S AB BC AC BD =⋅=⋅△， 所以AB BC AC BD ⋅=⋅． 所以30402450AB BC BD AC ⋅⨯===（米）， 即点B 到直线AC 的距离是24米．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．举一反三：【变式】著名的赵爽弦图（如图∠，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为2c ，也可以表示为214()2ab a b ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则222+=a b c ．（1）图∠为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图∠推导勾股定理．（2）如图∠，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB AC =，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A 、H 、B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，且CH AB ⊥，测得 1.2CH =千米，0.9HB =千米，求新路CH 比原路CA 少多少千米？（3）在第（2）问中若AB AC ≠时，CH AB ⊥，4AC =，5BC =，6AB =，设AH x =，求x 的值．【答案】（1）见分析；（2）新路CH 比原路CA 少0.05千米；（3） 2.25x =．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）设CA x =，则AH 0.9x =-，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；（3）在Rt∠ACH 和Rt∠BCH 中，由勾股定理得求出CH 2=CA 2-AH 2=CB 2-BH 2，列出方程求解即可得到结果．解：（1）梯形ABCD 的面积为()()()21122b a b a a b ++=+， 也可以表示为2111222ab ab c ++， ∠()2211112222a b ab ab c +=++， 整理得：222a b c +=；（2）∠CA x =，∠AH 0.9x =-，在Rt∠ACH 中，222CA CH AH =+，即()2221.20.9x x =+-，解得x=1.25，即CA=1.25，CA -CH=1.25-1.2=0.05（千米），答：新路CH 比原路CA 少0.05千米；（3）设AH x =，则BH 6x =-，在Rt∠ACH 中，222CH CA AH =-，在Rt∠BCH 中，222CH CB BH =-，∠2222CA AH CB BH -=-，即()2222456x x -=--，解得： 2.25x =．【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法， 类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题8．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm ，10cm ，6cm ，点A 和点B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A 爬到点B 的最短路程是多少？【答案】73cm【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB ，则问题是求AB 的长，根据已知数据得出AC 、BC 的长，再利用勾股定理求出AB 的长，即可完成解答.解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB 的长.在Rt ABC ∆中，55cm BC =，10+6+10+6+10+6=48cm AC =.由勾股定理，得222=5329AB AC BC +=.所以73cm AB =.因此，蚂蚁从点A 爬到点B 的最短路程是73cm.【点拨】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键.举一反三：【变式】如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒ABCD ，竖放时笔的顶端E 比铅笔盒的宽AB 还要长2cm ，斜着放入时笔的顶端F 与铅笔盒的边缘AB 距离为6cm ，求铅笔盒的宽AB 的长度．【答案】铅笔盒的宽AB 的长度为8cm ．【分析】设铅笔盒的宽AB 的长度为cm x ，则笔长(2)cm x +，然后根据勾股定理列方程解答即可．解：设铅笔盒的宽AB 的长度为cm x ，则笔长(2)cm x +，由题意得2226(2)x x +=+，解得8x =．答：铅笔盒的宽AB 的长度为8cm ．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意、根据勾股定理列出方程是解答本题的关键．类型九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题9．我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km /h ．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A 正前方30m 的C 处，2秒后又行驶到与车速检测点A 相距50m 的B 处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？【答案】超速了，超速了12km /h【分析】由勾股定理可求得小汽车行驶的距离，再除以小汽车行驶的时间即为小汽车行驶的车速，再与限速比较即可．解：.由已知得50m,30m AB AC ==∠在直角三角形ABC 中AB 2＝AC 2＋BC 2∠BC 2＝AB 2－AC 2＝222503040-=，40m BC ∴= 又4020m /s 22BC == 20m /s 72km/h 60km/h =>∠72－60＝12km /h∠这辆小汽车超速了，超速了12km /h ．【点拨】本题考查了勾股定理，其中1 米/秒=3.6 千米/时的速度换算是易错点． 举一反三：【变式】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 的正前方50米处的C 点，过了6秒后，测得小汽车所在的B 点与车速检测仪A 之间的距离为130米．（1）求BC 间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【答案】（1）120米；（2）超速，理由见分析【分析】（1）根据勾股定理求出BC 的长；（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．解：（1）在Rt∠ABC 中，∠AC=50m ，AB=130m ，且AB 为斜边，根据勾股定理得：BC=120（m ）；（2）这辆小汽车超速了．理由：∠120÷6=20（m/s ），平均速度为：20m/s ，20m/s=72km/h ，72＞70，∠这辆小汽车超速了．【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC 的长是解题关键． 类型十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题10．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ，已知点C 为海港，并且点C 与直线B 上的两点A ，B 的距离分别为300km AC =，400km BC =，又500km AB =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）求ACB ∠的度数；（2）海港C 受台风影响吗？为什么？【答案】（1）90°；（2）受台风影响，理由见分析（1）利用勾股定理的逆定理得出∠ABC 是直角三角形，进而得出∠ACB 的度数； （2）利用三角形面积得出CD 的长，进而得出海港C 是否受台风影响．解：（1）∠AC =300km ，BC =400km ，AB =500km ，∠AC 2+BC 2=AB 2，∠∠ABC 是直角三角形，∠ACB =90°；（2）海港C 受台风影响，理由：过点C 作CD ∠AB ，∠∠ABC 是直角三角形，∠AC ×BC =CD ×AB ，∠300×400=500×CD ，∠CD =240（km ），∠以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域，∠海港C 受台风影响．【点拨】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有C 处需要爆破．已知点C 与公路上的停靠站AB 、的距离分别为300m 和400m ，且AC BC ，为了安全起见，如果爆破点C 周围半径250m 的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路AB 段是否需要暂时封闭，为什么？【答案】爆破公路AB 段有危险，需要暂时封锁．过点C 作CD∠AB 于点D ，根据勾股定理求出AB 的长，再由面积公式求得CD 的长，并比较，即可得出公路AB 上是否有危险．解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ．在Rt ABC 中，由勾股定理，得：22222300400250000AB AC BC ，所以500AB m = 由1122ABC S AB CD AC BC =⋅=⋅，得500300400CD ，解得240CD m ， 因为240250<，所以爆破公路AB 段有危险，需要暂时封锁．【点拨】本题考查了勾股定理的应用和三角形的面积，解题的关键是利用直角三角形的面积列出方程求出CD 的长．类型十一、应用勾股定理解决选扯距离相离问题11．如图，烟台市正政府决定在相距50km 的A 、B 两村之间的公路旁E 点，修建一个大樱桃批发市场，且使C 、D 两村到E 点的距离相等，已知DA ∠AB 于A ，CB ∠AB 于B ，DA ＝30km ，CB ＝20km ，那么大樱桃批发市场E 应建什么位置才能符合要求？【答案】大樱桃批发市场E 应建在离A 站20千米的地方【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出2DE 和2CE ，列等式求解即可．解：设大樱桃批发市场E 应建在离A 站x 千米的地方，则()50BE x =-千米．在直角ADE 中，根据勾股定理得：222AD AE DE +=，∠22230x DE +=，在直角CBE △中，根据勾股定理得：222CB BE CE +=，∠()222205x CE +-=．又∠C 、D 两村到E 点的距离相等，∠DE CE =，∠22DE CE =，所以()2222302050x x +=+-，解得20x ．∠大樱桃批发市场E 应建在离A 站20千米的地方．【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．举一反三：【变式】如图，小明家在一条东西走向的公路MN 北侧200米的点A 处，小红家位于小明家北500米（500AC =米）、东1200米（1200BC =米）点B 处．（1）求小明家离小红家的距离AB ；（2）现要在公路MN 上的点P 处建一个快递驿站，使PA PB +最小，请确定点P 的位置，并求PA PB +的最小值．【答案】（1）1300AB =米；（2）见分析，1500米【分析】（1）如图，连接AB ，根据勾股定理即可得到结论；（2）如图，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A 'B 交MN 于点P ．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A 'B ，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接AB ，由题意知AC =500，BC =1200，∠ACB =90°，在Rt∠ABC中，∠∠ACB=90°，∠AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，∠AB＞0∠AB=1300米；（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，由题意知AD=200米，A'C∠MN，∠A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，在Rt∠A'BC中，∠∠ACB=90°，∠A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，∠A'B＞0，∠A'B=1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．【点拨】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。
代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
八年级数学勾股定理单钩和双钩知识点
八年级数学勾股定理单钩和双钩知识点勾股定理是数学中非常重要的一条定理，也是我们学习数学的重要一步。
在数学中，掌握数学定理的知识点是很重要的，所以我们来探讨关于勾股定理单钩和双钩的知识点。
一、勾股定理
勾股定理是一个古老的几何定理，其基础概念为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方的和。
这个定理用代数符号表示，即
a²+b²=c²，其中a、b是直角边，c是斜边。
二、单钩定义
单钩是指一个由数学单位网格组成的图形，它可以使用4个元素，分别为钩头、钩尾、右腿和左腿。
单钩的形状可以看作是一个勾股定理的三边形，其中两直角边长度为1，斜边长度为√2。
三、单钩勾股定理
我们可以将一个单钩看作是勾股定理的一部分，一个右腿表示一个直角边，一个左腿表示另一个直角边，而斜边就是单钩的对角线。
根据勾股定理，我们可以计算单钩的对角线长度，即√(1²+1²)=√2。
四、双钩定义
双钩是指由多个单钩组成的一个图形，这些单钩构成了一个L形。
双钩可以用不同的符号表示，如λ (lambda)或Y，其中每个单钩的长度相等。
五、双钩勾股定理
双钩的勾股定理是将其分成两个直角三角形，并计算其斜边长度。
由于每个单钩的斜边长度为√2，我们可以使用双钩中的单钩数量和形状来计算其斜边长度。
六、结论
勾股定理是数学中非常重要的一条定理，可以用来解决直角三角形中的各种问题。
单钩和双钩是勾股定理的一种变形，可以展现勾股定理的不同形式。
掌握勾股定理的定义和应用可以帮助我们更好地理解数学，在数学中取得更好的成绩。
初二数学经典讲义勾股定理(基础)知识讲解
勾股定理全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】要点一、勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2 b2 c2）2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1. 原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c ，满足a2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 c ；（2）验证c2与a2 b2是否具有相等关系，若a2 b2 c2，则△ ABC是以∠ C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3. 勾股数222满足不定方程x y z 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：① 3、4、5；②5、12、13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤9、40、41. 如果（a、b、c ）是勾股数，当t 为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1. 较小的直角边为连续奇数；2. 较长的直角边与对应斜边相差1.23.假设三个数分别为a、b、c ，且a b c ，那么存在a2 b c成立. （例如④中存在72＝24＋25、9 2＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6 和8，求第三边的长．【答案与解析】解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得x26282．所以x 628236 64 100 10 ．当x 为直角边时，由勾股定理，得x2 62 82．所以x 826264 36 28 2 7 ．所以这个三角形的第三边为10或2 7 ．【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在△ ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ ABC的周长．【答案】解：在Rt△ ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得BD 2 AB2 AD2 152 122 81．∴ BD 81 9 ．同理CD2 AC 2 AD2 132 122 25．∴ CD 25 5 ．①当∠ ACB >90°时， BC ＝BD － CD ＝9－ 5＝4．∴ △ ABC 的周长为： AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ ACB <90°时， BC ＝BD ＋ CD ＝9＋ 5＝14．∴ △ ABC 的周长为： AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝ 42． 综上所述：△ABC 的周长为 32 或 42．2、如图所示，△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ CB ，M 为 AB 上一点． 求证：2 2 2 AM 2 BM 2 2CM 2 ．222(AD 2 DM 2)【总结升华】 欲证明线段平方关系问题， 首先联想勾股定理， 从图中寻找或作垂线构造包含 所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：变式】已知，△ ABC 中， AB ＝AC ， D 为 BC 上任一点，求证： AB 2 AD 2 BD CD .【思路点拨】 欲证的等式中出现了 AM 2 、 作 CD ⊥ AB ．【答案与解析】证明：过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ． ∵ AC ＝BC ， CD ⊥AB ，∴ AD ＝ BD ．∵ ∠ACB ＝ 90°，∴ CD ＝ AD ＝ DB ．BM 2、 CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要 22 AM 2 BM 2 2 AD DM 2AD DM AD 2 2AD DMDM 2 AD 2 2AD DM DM 2(CD 2 DM 2)在 Rt △ CDM 中， CD 22 DM 2 CM AM 2BM 2CM【答案】解：如图，作 AM ⊥BC 于 M ，∵ AB ＝AC ，∴ BM ＝ CM, 则在 Rt △ABM 中：AB 2 AM 2 BM 2 ⋯⋯①在 Rt △ ADM 中：222AD 2 AM 2 DM 2⋯⋯②由①－②得： AB 2 AD 2 BM 2 DM 2 BM DM BM DM＝ （MC ＋DM ）?BD ＝ CD ·BD 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝20，BC ＝32，D 是 BC 上的一点，且 AD ⊥AC ， 求 BD 的长．【思路点拨】 由于 BD 所在的△ ABD 不是直角三角形，不易直接求出 BD 的长，且△ ACD 尽管是直角三角形，但 AD 的长是未知的，因而不能确定CD 的长.过点 A 作AE ⊥BC 于 E ，这时可 以从 Rt △ ABE 与 Rt △ ADE 、 Rt △ADC 中，运用勾股定理可求得 AE 、 DE 的长，从而求出 BD 的长．【答案与解析】 解：过点 A 作 AE ⊥ BC 于 E ．∵ AB ＝ AC ， 11∴ BE ＝ EC ＝ BC ＝ 32 16．22 在 Rt △ ABE 中， AB ＝20，BE ＝16，2 2 2 2 2∴ AE 2 AB 2 BE 2 202 162 144 ，AE ＝ 12，在 Rt △ADE 中，设 DE ＝ x ，则 AD 2 AE 2 DE 2 144 x 2 ，∵ AD ⊥ AC ，2 2 2 2 2 2∴ AD 2 AC 2 CD 2 ，而 144 x 2 202 (16 x)2 ．解得： x ＝ 9．∴ BD ＝BE － DE ＝16－9＝7．【总结升华】 勾股定理的作用是： 已知直角三角形的两边可以求第三边， 所以求直角三角形 的边长时应该联想到勾股定理．举一反三：【变式】如图所示，已知△ ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于 D ，BD ＝ 6 2， AE ⊥ BC 于 E ，求 AE 的长．S 1、 S 2、S 3表示，则不难证明 S 1 S 2 S 3 ．S 1、 S 2、S 3表示，那么 S 1、 S 2、 S 3 之间有什么关系 ?( 不必证明 )(2) 如图③，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、 S 2、S 3表示，请你确定 S 1、 S 2、 S 3 之间的关系并加以证明．解：连接 AD ．∵ DF 是线段 AB 的垂直平分线，∴ AD ＝BD ＝ 6 2 ，∴ ∠ BAD ＝∠ B ＝ 22.5又∵∠ ADE ＝∠ B ＋∠ BAD ＝45°， AE ⊥BC ，∴ ∠DAE ＝ 45°，∴ AE ＝ DE由勾股定理得： AE 2 DE 2 AD 2 ，2AE 2 (6 2) 2， AE 62 26． 4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用(1)S 1 S 2 S 3 ； (2) S 1 S 2 S 3 ．证明如下：显然， S 1 3c 2，S 23 a 2，S 3 3b 2， 444所以 S 2 S 3 3 (a 2 b 2) 3 c 2 S 1．2 3 4 4 1 【总结升华】 本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、5、如果Δ ABC 的三边分别为 a 、b 、c ，且满足 a 2 b 2 c 2 50 断Δ ABC 的形状 .【答案与解析】解：由 a 2 b 22 c 50 6a 8b 10c ，得 ： 2 a 6a9 2 b 2 8b 16 2 c 10c 25 0 ∴ (a 3)2 2 (b 4)2(c 5)2 0 ∵ (a3)2 0，(b 4)20，(c 5)2 0 ∴a3, b 4, c 5. 2 2 2∵ 3242 52, 2 2 2∴a b c .由勾股定理的逆定理得：△ ABC 是直角三角形 .【总结升华】 勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 用到.答案与解析】解：设 Rt △ ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 的长分别为 a 、 b、 c ，则 a 2 b 2 2 c ． 正五边形等．6a 8b 10c ，判 , 在证明中经常要类型三、勾股定理的实际应用的顶点 B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少 ?【思路点拨】 将长方体表面展开， 由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行， 且长方体木块底面 是正方形，故它爬行的路径有两种情况．答案与解析】解：如图②③所示．在图②中，由勾股定理，得 AB 2 32 112 130 ．在图③中，由勾股定理，得 AB 2 62 82 100 ． 因为 130>100，所以图③中的 AB 的长度最短，为 10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线 长为10cm ．【总结升华】 解本题的关键是正确画出立体图形的展开图， 把立体图形上的折线转化为平面 图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【高清课堂 勾股定理全章复习 例 10 】【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为 20，底面半径为 5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底 面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B .（ π取3）答案】 25；提示：蚂蚁爬的最短路线长 202 (5 )2 25. 、如图①， 一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点 A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．。
勾股定理基本知识
勾股定理基本知识哎，你知道吗？数学里头有个超级牛的定理，叫做勾股定理。
这不仅仅是个公式，简直就是数学界的“武林秘籍”，让人一看就忍不住想大喊一声“哇塞”！想象一下，你手里有个直角三角形，就是三条边，其中一个角是90度的那种。
这时候，勾股定理就闪亮登场了，它告诉你：直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
换句话说，如果你知道其中两边的长度，就能算出第三边的长度，是不是很神奇？咱们先聊聊“勾”和“股”这两个词。
听起来是不是有点像武侠小说里的招式？其实啊，“勾”就是直角三角形的短的那条直角边，“股”就是长的那条直角边。
而斜边呢，就像是武侠小说里的大侠，高高在上，俯视着其他两条边。
记得小时候，数学老师拿着粉笔在黑板上画了一个直角三角形，然后一脸神秘地说：“同学们，这就是传说中的勾股定理！”那时候，我们一个个都瞪大了眼睛，生怕错过任何一个细节。
老师接着写道：“a²+ b²= c²”，那时候，我觉得这简直就是天书啊！不过，随着学习的深入，我渐渐发现，勾股定理其实挺接地气的。
比如说，你家里要装修，需要量一下墙角到墙角的距离，但是中间有个障碍物挡着，怎么办？这时候，你就可以用勾股定理来算一下，保证准确无误。
还有啊，如果你在户外探险，需要知道两座山峰之间的距离，但是你又不想爬上去，怎么办？这时候，你可以找个平坦的地方，用勾股定理算一下，就能知道个大概了。
是不是觉得数学也挺有用的？勾股定理不仅实用，还蕴含着深刻的哲理。
它告诉我们，事物之间都是有联系的，就像这三条边一样，虽然它们看起来是独立的，但实际上却紧密相连。
这就像我们的人生，有时候你觉得一件事情和另一件事情毫无关系，但仔细一想，却发现它们之间有着千丝万缕的联系。
而且啊，勾股定理还教会了我们一个道理，那就是“知难而进”。
你看，这个定理虽然看起来简单，但是要想真正掌握它，却需要付出很多努力。
就像我们在学习、工作和生活中遇到的困难一样，只有勇敢地面对它们，才能不断进步，不断成长。