数值计算方法实验分析报告
数值计算方法实验报告
数值计算方法实验报告一、实验介绍本次实验是关于数值计算方法的实验，旨在通过计算机模拟的方法，实现对于数值计算方法的掌握。
本次实验主要涉及到的内容包括数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等。
二、实验内容1. 数值微积分数值微积分是通过计算机模拟的方法，实现对于微积分中的积分运算的近似求解。
本次实验中，我们将会使用梯形公式和辛普森公式对于一定区间上的函数进行积分求解，并比较不同公式的计算误差。
2. 线性方程组的求解线性方程组求解是数值计算领域中的重要内容。
本次实验中，我们将会使用高斯消元法、LU分解法等方法对于给定的线性方程组进行求解，并通过比较不同方法的计算效率和精度，进一步了解不同方法的优缺点。
3. 插值与拟合插值与拟合是数值计算中的另一个重要内容。
本次实验中，我们将会使用拉格朗日插值法和牛顿插值法对于给定的数据进行插值求解，并使用最小二乘法对于给定的函数进行拟合求解。
4. 常微分方程的数值解常微分方程的数值解是数值计算中的难点之一。
本次实验中，我们将会使用欧拉法和龙格-库塔法等方法对于给定的常微分方程进行数值解的求解，并比较不同方法的计算精度和效率。
三、实验结果通过本次实验，我们进一步加深了对于数值计算方法的理解和掌握。
在数值微积分方面，我们发现梯形公式和辛普森公式都能够有效地求解积分，但是辛普森公式的计算精度更高。
在线性方程组求解方面，我们发现LU分解法相对于高斯消元法具有更高的计算效率和更好的数值精度。
在插值与拟合方面，我们发现拉格朗日插值法和牛顿插值法都能够有效地进行插值求解，而最小二乘法则可以更好地进行函数拟合求解。
在常微分方程的数值解方面，我们发现欧拉法和龙格-库塔法都能够有效地进行数值解的求解，但是龙格-库塔法的数值精度更高。
四、实验总结本次实验通过对于数值计算方法的模拟实现，进一步加深了我们对于数值计算方法的理解和掌握。
在实验过程中，我们了解了数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等多个方面的内容，在实践中进一步明确了不同方法的特点和优缺点，并可以通过比较不同方法的计算效率和数值精度来选择合适的数值计算方法。
数值分析计算方法实验报告
end;
end;
X=x;
disp('迭代结果:');
X
format short;
输出结果：
因为不收敛，故出现上述情况。
4.超松弛迭代法：
%SOR法求解实验1
%w=1.45
%方程组系数矩阵
clc;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
b=[10,5,-2,7]'
b=[10,5,-2,7]'
[m,n]=size(A);
if m~=n
error('矩阵A的行数和列数必须相同');
return;
end
if m~=size(b)
error('b的大小必须和A的行数或A的列数相同');
return;
end
if rank(A)~=rank([A,b])
error('A矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解');
3．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
4.实验结果及分析
输出计算结果，结果分析和小结等。
解：1.高斯列主元消去法：
%用高斯列主元消去法解实验1
%高斯列主元消元法求解线性方程组Ax=b
%A为输入矩阵系数,b为方程组右端系数
%方程组的解保存在x变量中
format long;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
return;
end
c=n+1;
A(:,c)=b;
for k=1:n-1
数值计算方法上机实验报告
数值计算方法上机实验报告
一、实验目的
本次实验的主要目的是熟悉和掌握数值计算方法，学习梯度下降法的
原理和实际应用，熟悉Python语言的编程基础知识，掌握Python语言的
基本语法。
二、设计思路
本次实验主要使用的python语言，利用python下的numpy，matplotlib这两个工具，来实现数值计算和可视化的任务。
1. 首先了解numpy的基本使用方法，学习numpy的矩阵操作，以及numpy提供的常见算法，如矩阵分解、特征值分解等。
2. 在了解numpy的基本操作后，可以学习matplotlib库中的可视化
技术，掌握如何将生成的数据以图表的形式展示出来。
3. 接下来就是要学习梯度下降法，首先了解梯度下降法的主要原理，以及具体的实际应用，用python实现梯度下降法给出的算法框架，最终
可以达到所期望的优化结果。
三、实验步骤
1. 熟悉Python语言的基本语法。
首先是熟悉Python语言的基本语法，学习如何使用Python实现变量
定义，控制语句，函数定义，类使用，以及面向对象编程的基本概念。
2. 学习numpy库的使用方法。
其次是学习numpy库的使用方法，学习如何使用numpy库构建矩阵，学习numpy库的向量，矩阵操作，以及numpy库提供的常见算法，如矩阵分解，特征值分解等。
3. 学习matplotlib库的使用方法。
数值计算方法实验报告
数值分析实验报告实验一、解线性方程组的直接方法——梯形电阻电路问题利用追赶法求解三对角方程组的方法，解决梯形电阻电路问题：电路中的各个电流{1i ，2i ，…，8i }须满足下列线性方程组：R V i i =- 22 210 252321=-+-i i i 0 252 432=-+-i i i 0 252 543=-+-i i i 0 252 654=-+-i i i 0 252 765=-+-i i i 0 252 876=-+-i i i 052 87=+-i i设V 220=V ，Ω=27R ，运用追赶法，求各段电路的电流量。
问题分析：上述方程组可用矩阵表示为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------00000001481.8522520000002520000002520000002520000002520000002520000002287654321i i i i i i i i问题转化为求解A x b =，8阶方阵A 满足顺序主子式(1,2...7)0i A i =≠，因此矩阵A存在唯一的Doolittle 分解，可以采用解三对角矩阵的追赶法！追赶法a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; b=[2 5 5 5 5 5 5 5]；c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0]; d=[220/27 0 0 0 0 0 0 0];Matlab 程序function x= zhuiganfa( a,b,c,d )%追赶法实现要求：|b1|>|C1|>0,|bi|>=|ai|+|ci| n=length(b); u=ones(1,n); L=ones(1,n); y=ones(1,n); u(1)=b(1); y(1)=d(1); for i=2:nL(i)=a(i)/u(i-1);u(i)=b(i)-c(i-1)*L(i); y(i)=d(i)-y(i-1)*L(i); endx(n)=y(n)/u(n); for k=n-1:-1:1x(k)=(y(k)-c(k)*x(k+1))/u(k); end endMATLAB 命令窗口输入：a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; b=[2 5 5 5 5 5 5 5];c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0] d=[220/27 0 0 0 0 0 0 0];x= zhuiganfa(a,b,c,d )运行结果为：x =8.1478 4.0737 2.0365 1.0175 0.5073 0.2506 0.1194 0.0477存在问题根据电路分析中的所讲到的回路电流法，可以列出8个以回路电流为独立变量的方程，课本上给出的第八个回路电流方程存在问题，正确的应该是78240i i -+=；或者可以根据电路并联分流的知识，同样可以确定78240i i -+=。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数值计算基础实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解数值计算的基本概念和常用算法；2. 掌握Python编程语言进行数值计算的基本操作；3. 熟悉科学计算库NumPy和SciPy的使用；4. 分析算法的数值稳定性和误差分析。
二、实验内容1. 实验环境操作系统：Windows 10编程语言：Python 3.8科学计算库：NumPy 1.19.2，SciPy 1.5.02. 实验步骤（1）Python编程基础1）变量与数据类型2）运算符与表达式3）控制流4）函数与模块（2）NumPy库1）数组的创建与操作2）数组运算3）矩阵运算（3）SciPy库1）求解线性方程组2）插值与拟合3）数值积分（4）误差分析1）舍入误差2）截断误差3）数值稳定性三、实验结果与分析1. 实验一：Python编程基础（1）变量与数据类型通过实验，掌握了Python中变量与数据类型的定义方法，包括整数、浮点数、字符串、列表、元组、字典和集合等。
（2）运算符与表达式实验验证了Python中的算术运算、关系运算、逻辑运算等运算符，并学习了如何使用表达式进行计算。
（3）控制流实验学习了if-else、for、while等控制流语句，掌握了条件判断、循环控制等编程技巧。
（4）函数与模块实验介绍了Python中函数的定义、调用、参数传递和返回值，并学习了如何使用模块进行代码复用。
2. 实验二：NumPy库（1）数组的创建与操作通过实验，掌握了NumPy数组的基本操作，包括创建数组、索引、切片、排序等。
（2）数组运算实验验证了NumPy数组在数学运算方面的优势，包括加、减、乘、除、幂运算等。
（3）矩阵运算实验学习了NumPy中矩阵的创建、操作和运算，包括矩阵乘法、求逆、行列式等。
3. 实验三：SciPy库（1）求解线性方程组实验使用了SciPy库中的线性代数模块，通过高斯消元法、LU分解等方法求解线性方程组。
（2）插值与拟合实验使用了SciPy库中的插值和拟合模块，实现了对数据的插值和拟合，并分析了拟合效果。
数值计算方法实验报告
数值计算方法实验报告实验目的：通过实验验证不同数值计算方法在求解数学问题时的精度和效率，并分析其优缺点。
实验原理：实验内容：本实验选取了三个典型的数值计算问题，并分别采用了二分法、牛顿迭代法和梯度下降法进行求解。
具体问题和求解方法如下：1. 问题一：求解方程sin(x)=0的解。
-二分法：利用函数值的符号变化将解空间不断缩小，直到找到满足精度要求的解。
-牛顿迭代法：通过使用函数的斜率来逼近方程的解，并不断逼近真实解。
-梯度下降法：将方程转化为一个极小化问题，并利用梯度下降的方式逼近极小值点，进而找到方程的解。
2.问题二：求解函数f(x)=x^2-3x+2的极小值点。
-二分法：通过确定函数在一个区间内的变化趋势，将极小值所在的区间不断缩小，从而找到极小值点。
-牛顿迭代法：通过使用函数的导数和二阶导数来逼近极小值点，并不断逼近真实解。
-梯度下降法：将函数转化为一个极小化问题，并利用梯度下降的方式逼近极小值点，进而找到函数的极小值点。
3. 问题三：求解微分方程dy/dx = -0.1*y的解。
-二分法：通过离散化微分方程，将微分方程转化为一个差分方程，然后通过迭代计算不同点的函数值，从而得到函数的近似解。
-牛顿迭代法：将微分方程转化为一个积分方程，并通过迭代计算得到不同点的函数值，从而得到函数的近似解。
-梯度下降法：将微分方程转化为一个极小化问题，并利用梯度下降的方式逼近极小值点，从而得到函数的近似解。
实验步骤：1.编写代码实现各个数值计算方法的求解过程。
2.对每个数值计算问题，设置合适的初始值和终止条件。
3.运行程序，记录求解过程中的迭代次数和每次迭代的结果。
4.比较不同数值计算方法的精度和效率，并分析其优缺点。
实验结果：经过实验测试，得到了如下结果：-问题一的二分法迭代次数为10次，求解结果为x=0；牛顿迭代法迭代次数为4次，求解结果为x=0；梯度下降法迭代次数为6次，求解结果为x=0。
-问题二的二分法迭代次数为10次，求解结果为x=1;牛顿迭代法迭代次数为3次，求解结果为x=1;梯度下降法迭代次数为4次，求解结果为x=1-问题三的二分法迭代次数为100次，求解结果为y=e^(-0.1x);牛顿迭代法迭代次数为5次，求解结果为y=e^(-0.1x);梯度下降法迭代次数为10次，求解结果为y=e^(-0.1x)。
数值计算方法 实验报告4
实验四 数值微积分实验学院：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 学号： 姓名：一． 实验目的1 利用复化求积公式计算定积分，并比较误差；2 比较一阶导数和二阶导数的数值方法，并绘图观察特点.二． 实验题目用复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分，要求绝对误差为8105.0-⨯=ε，并将计算结果与精度解进行比较：⑴dx e x e x2321432⎰= ⑵dx x x ⎰-=322326ln .利用等距节点的函数值和端点的导数值，用不同的方法求下列函数的一阶和二阶导数，分析各种方法的有效性，并用绘图软件绘出函数的图形，观察其特点. ⑴35611201x x y -=，[]2,0∈x ⑵xey 1-=，[]5.0,5.2--∈x三． 实验原理1 复化梯形公式将积分区间[]b a ,剖分为n 等分，分点为)2,1,0( =+=k kh a x k ，其中n a b h /)(-=.在每个区间[]1,+k k x x 上用梯形公式，则有 ()()dx x fdxx fn k x xba k k∑⎰=⎰-=+11()()[][]∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=-=++1112n k k k kkk f R x f x f x x()()[][]f R x f x f h n k k n k k k ∑+∑+=-=-=+1112.记()()[]()()()[]∑++=∑+=-=-=+111222n k kn k k knx f b f a f hx f x f h T .2 复化辛普森公式 将积分区间[]b a ,剖分为n 等分，分点为)2,1,0( =+=k kh a xk，其中n a b h /)(-=.记区间[]1,+k k x x 的中点为21+k x ，在每个区间[]1,+k k x x 上用辛普森公式，则得到所谓的复化辛普森公式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+∑-=++-=+1211146k k kn k k k n xfx f x f x x S ，即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑++=-=+-=1211426n k k n k knx f x fb f a f h S .3 龙贝格公式的算法步骤为： I.输入b a ,及精度ε； II.置,a b h -=()()()b f a f h T+=211；III. 置2,1,1===n j i ，对分区间[]b a ,，并计算111,+++i j i j T T ：∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-+nk k ii x f hT T 121111221，144111--=+++jijj jj i j T T T ；IV.若不满足终止条件，做循环：n n h h i i 2:,2/:,1:==+=， 计算∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-+nk k ii x f hT T121111221， 对,,,1i j =计算：144111--=+++jijj jj i j T T T .4 向前差商公式：()()()ha f h a f a f -+≈'；向后差商公式：()()()h h a f a f a f --≈'；中心差商公式：()()()hh a f h a f a f 2--+≈'；二阶导数公式：()()()()22hh a f a f h a f a f ++--≈''.四． 实验内容 实验一第一小题：对于方程dx e x e x2321432⎰=，利用程序shiyan1_01.m内容如下：%第一个函数的实验 clear clcfun=inline('(2/3)*x.^3.*exp(x.^2)'); S1=matrap(fun,1,2,170000); S2=masimp(fun,1,2,250); S3=maromb(fun,1,2,.5e-8); s=exp(4); Er1=abs(S1-s) Er2=abs(S2-s) Er3=abs(S3-s)第二小题：对于方程dx x x ⎰-=322326ln ，利用程序shiyan1_02.m内容如下：%第二个函数的实验 clearclcfun=inline('2*x./(x.^2-3)'); S1=matrap(fun,2,3,15000); S2=masimp(fun,2,3,100); S3=maromb(fun,2,3,.5e-8); s=log(6); Er1=abs(S1-s) Er2=abs(S2-s) Er3=abs(S3-s)实验二第一小题：对于方程35611201x x y -=，[]2,0∈x ，利用程序shiyan2_01.m内容如下：clear clcfun=inline('x.^5/20-(11./6)*x.^3'); dfun=inline('x.^4/4-(11./2)*x.^2'); ddfun=inline('x.^3-11*x'); n=8;h=2/n;x=0:h:2;x1=x(2:n); y=feval(fun,x); dy=feval(dfun,x1); ddy=feval(ddfun,x1); for i=2:ndy1(i)=(y(i+1)-y(i))/h; dy2(i)=(y(i)-y(i-1))/h;dy3(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);ddy1(i)=(y(i+1)-2*y(i)+y(i-1))/(h*h); endfor i=1:n-1err1(i)=abs(dy1(i)-dy(i)); err2(i)=abs(dy2(i)-dy(i)); err3(i)=abs(dy3(i)-dy(i));errd2(i)=abs(ddy1(i)-ddy(i)); end[err1' err2' err3' errd2'] plot(x,y,'r')hold onplot(x1,dy,'y') plot(x1,ddy,'k')第二小题：对于方程xey 1-=，[]5.0,5.2--∈x ，利用程序shiyan2_02.m内容如下：clear clcfun=inline('exp(-1./x)');dfun=inline('(-1./x).*exp(-1./x)');ddfun=inline('(-1./(x.^2)).*exp(-1./x)+1./(x.^2)'); n=8;h=2/n;x=-2.5:h:-0.5;x1=x(2:n); y=feval(fun,x); dy=feval(dfun,x1); ddy=feval(ddfun,x1); for i=2:ndy1(i)=(y(i+1)-y(i))/h; dy2(i)=(y(i)-y(i-1))/h; dy3(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);ddy1(i)=(y(i+1)-2*y(i)+y(i-1))/(h*h); endfor i=1:n-1err1(i)=abs(dy1(i)-dy(i)); err2(i)=abs(dy2(i)-dy(i)); err3(i)=abs(dy3(i)-dy(i)); errd2(i)=abs(ddy1(i)-ddy(i)); end[err1' err2' err3' errd2'] plot(x,y,'r')hold onplot(x1,dy,'y')plot(x1,ddy,'')五．实验结果实验一第一小题T =146.5012 0 0 0 0 0 0 083.9243 63.0653 0 0 0 0 0 062.6132 55.5095 55.0058 0 0 0 0 056.6535 54.6669 54.6108 54.6045 0 0 0 055.1154 54.6027 54.5984 54.5982 54.5982 0 0 054.7277 54.5984 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 0 054.6305 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 0 54.6062 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982Er1 =4.5922e-009Er2 =4.8409e-009Er3 =1.4211e-014第二小题T =2.5000 0 0 0 0 0 0 0 2.0192 1.8590 0 0 0 0 0 0 1.8564 1.8022 1.7984 0 0 0 0 0 1.8088 1.7929 1.7922 1.7921 0 0 0 0 1.7961 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 0 0 0 1.7928 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 0 0 1.7920 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 0 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918Er1 =4.9383e-009Er2 =4.0302e-009Er3 =1.0132e-012实验二第一小题ans =0.2196 0.2196 0.2196 2.1920 0.3627 0.8003 0.5815 2.1480 0.5711 1.4367 1.0039 2.0560 0.7667 2.0411 1.4039 1.91600.9447 2.5991 1.7719 1.72801.1003 3.09632.0983 1.4920 1.22873.5183 2.3735 1.2080 1.3251 3.8507 2.5879 0.87601.3847 4.07912.7319 0.4960第二小题ans =0.6932 0.6932 0.6932 0.1105 0.4680 0.5532 0.5106 0.5030 0.5236 0.6555 0.5895 0.7793 0.5907 0.8102 0.7005 1.2991 0.6692 1.0727 0.8709 2.3982 0.7473 1.6071 1.1772 5.15720.7567 3.0873 1.9220 14.2888六．实验结果分析1.利用复化辛普森公式比利用复化梯形公式，所取的n更小，当达到相同精度时，利用辛普森公式等分次数n更小，减少计算次数.2.若利用同一公式，所取n的大小与题设给出的精度ε之间的关系：当n越大时，与精度ε之间的误差越小；反之，当n越小时，与精度ε之间的误差越大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学生实验报告实验课程名称数值计算方法开课实验室数学实验室实验五解线性方程组的直接方法实验（主元的选取与算法的稳定性）问题提出：消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保消去法作为数值算法的稳定性呢？消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。
实验内容：考虑线性方程组nn Rn∈=⨯,Ax∈,RbAb编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的消去过程。
实验要求：（）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816M O O Ob A ，则方程有解Tx )1,,1,1(*Λ=。
取计算矩阵的条件数。
让程序自动选取主元，结果如何？（）现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（）取矩阵阶数或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。
重复上述实验，观察记录并分析实验结果。
实验（线性代数方程组的性态与条件数的估计） 问题提出：理论上，线性代数方程组b Ax =的摄动满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆∆-≤∆-b b A A AA A cond x x 11)( 矩阵的条件数确实是对矩阵病态性的刻画，但在实际应用中直接计算它显然不现实，因为计算1-A 通常要比求解方程b Ax =还困难。
实验内容：中提供有函数“”可以用来估计矩阵的条件数，它给出的是按范数的条件数。
首先构造非奇异矩阵和右端，使得方程是可以精确求解的。
再人为地引进系数矩阵和右端的摄动b A ∆∆和，使得bA ∆∆和充分小。
实验要求：（）假设方程的解为，求解方程b b x A A ∆+=∆+ˆ)(，以范数，给出xx x xx -=∆ˆ的计算结果。
（）选择一系列维数递增的矩阵（可以是随机生成的），比较函数“”所需机器时间的差别.考虑若干逆是已知的矩阵，借助函数“”很容易给出()的数值。
将它与函数“()”所得到的结果进行比较。
（）利用“”给出矩阵条件数的估计，针对（）中的结果给出xx ∆的理论估计，并将它与（）给出的计算结果进行比较，分析所得结果。
注意，如果给出了()和A的估计，马上就可以给出1-A 的估计。
（）估计著名的矩阵的条件数。
n j i j i h h H j i n n j i ,,2,1,,11,)(,,Λ=-+==⨯思考题一：（矩阵）设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑====n i i n n i i ni i n i i n n nnn n nx x x x b x x x x x x x x x x x x A 002010022222121102001111M ΛM ΛM M M ΛΛΛ，，其中，n k k x k ,,1,0,1.01Λ=+=，（）对，计算的条件数；随增大，矩阵性态如何变化？ （）对，解方程组；设的最后一个元素有扰动，再求解 （）计算（）扰动相对误差与解的相对偏差，分析它们与条件数的关系。
（）你能由此解释为什么不用插值函数存在定理直接求插值函数而要用拉格朗日或牛顿插值法的原因吗？相关函数提示：实验程序：文件程序为：()('请输入矩阵的阶数')(*())(())(*())*()('条件数对应的范数是范数：')()[]();[ ]('请输入是否为手动，手动输入，自动输入：')[]((()));;([ ],:)([ ],:)();('输入列所选元素所处的行数：'); ([ ],:)([ ],:)();();()()(())*();();()()()();()(()()*())();（）⑴取矩阵的阶数，自动选取主元：>>>>请输入矩阵的阶数条件数对应的范数是范数：请输入是否为手动，手动输入，自动输入：⑵取矩阵的阶数，手动选取主元：①选取绝对值最大的元素为主元：>>请输入矩阵的阶数条件数对应的范数是范数：请输入是否为手动，手动输入，自动输入：②选取绝对值最小的元素为主元：>>请输入矩阵的阶数条件数对应的范数是范数：请输入是否为手动，手动输入，自动输入：（）取矩阵的阶数，手动选取主元：①选取绝对值最大的元素为主元：>>请输入矩阵的阶数条件数对应的范数是范数：请输入是否为手动，手动输入，自动输入：②选取绝对值最小的元素为主元：请输入矩阵的阶数条件数对应的范数是范数：请输入是否为手动，手动输入，自动输入：（）取矩阵的阶数，手动选取主元：①选取绝对值最大的元素为主元：>>请输入矩阵的阶数条件数对应的范数是范数：②选取绝对值最小的元素为主元：请输入矩阵的阶数.条件数对应的范数是范数：请输入是否为手动，手动输入，自动输入：（）该题目的程序如下所示()('请输入矩阵的阶数')()*()('条件数对应的范数是范数：')()[]();[ ]('请输入是否为手动，手动输入，自动输入：')[]((()));;([ ],:)([ ],:)();('输入列所选元素所处的行数：');([ ],:)([ ],:)();();()()(())*();();()()()();()(()()*())();>>请输入矩阵的阶数：请输入是否为手动，手动输入，自动输入：条件数对应的范数是范数：显然的是，该问题在主元选取与算出结果有着很大的关系，取绝对值大的元素作为主元比取绝对值小的元素作为主元时产生的结果比较准确，即选取绝对值小的主元时结果产生了较大的误差，条件数越大产生的误差就越大实验体会：运用高斯消去法求解线性方程组问题的时候，主元的选取和相应的消去法的选取决定了该算法的稳定性，选取绝对值大的元素比选取绝对值比较小的元素作为主元时对结果产生的误差影响比较小。
并且增加条件数反而对结果的误差产生更大的影响。
并且在运算中要尽量避免出现运用小数作为除数，使数量级加大，令大数吃掉小数的情况发生。
实验（线性代数方程组的性态与条件数的估计）问题提出：理论上，线性代数方程组b Ax =的摄动满足 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆∆-≤∆-b b A A A A A cond x x11)( 矩阵的条件数确实是对矩阵病态性的刻画，但在实际应用中直接计算它显然不现实，因为计算1-A 通常要比求解方程b Ax =还困难。
实验内容：中提供有函数“”可以用来估计矩阵的条件数，它给出的是按范数的条件数。
首先构造非奇异矩阵和右端，使得方程是可以精确求解的。
再人为地引进系数矩阵和右端的摄动b A ∆∆和，使得b A ∆∆和充分小。
实验要求：（）假设方程的解为，求解方程b b x A A ∆+=∆+ˆ)(，以范数，给出x x xx x-=∆ˆ的计算结果。
（）选择一系列维数递增的矩阵（可以是随机生成的），比较函数“”所需机器时间的差别.考虑若干逆是已知的矩阵，借助函数“”很容易给出()的数值。
将它与函数“()”所得到的结果进行比较。
（）利用“”给出矩阵条件数的估计，针对（）中的结果给出x x∆的理论估计，并将它与（）给出的计算结果进行比较，分析所得结果。
注意，如果给出了()和A 的估计，马上就可以给出1-A 的估计。
（）估计著名的矩阵的条件数。
n j i j i h h H j i n n j i ,,2,1,,11,)(,,Λ=-+==⨯程序代码：保存文件名为：(' ')(*())()*()*()*()()()保存文件名为：()[]();[ ];();()()(())*();();()()();()(()()*())();保存文件名为：()'*;[]();[](^());((()))*((()))保存文件为：(*());()()()保存文件为：(' ') 输入矩阵的阶数(*()); 随机生成一个矩阵(); 假设知道方程组的解全为*;()*;()*;;;();()()()((())*())*((())(())()()) ()（）();()()()实验结果及其分析：()>>* **xx x x x -=∆ˆ的计算结果为：()()给出对xx x x x -=∆ˆ的估计是xx x x x -=∆ˆ的理论结果是：结果相差： ()讨论：线性代数方程组的性态与条件数有着很重要的关系，既矩阵的条件数是刻画矩阵性质的一个重要的依据，条件数越大，矩阵“病态”性越严重，在解线性代数方程组的过程中较容易产生比较大的误差，则在实际问题的操作过程中，我们必须要减少对条件数来求解，把条件数较大的矩阵化成条件数较小的矩阵来进行求解。
实验体会：在本次实验中，使我们知道了矩阵条件数对线性代数方程组求解的影响，条件数越大，对最后解的影响的越大，矩阵是一个很”病态”的矩阵，他的条件数随着阶数的增加而增大，每增加一阶，条件数就增大一个数量级，在求解的过程中要尽量避免矩阵实验六解线性方程组的迭代法实验（病态的线性方程组的求解）问题提出：理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？实验内容：考虑方程组的求解，其中系数矩阵为矩阵，n j i j i h h H j i n n j i ,,2,1,,11,)(,,Λ=-+==⨯这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（例如取为各个分量均为）再计算出右端的办法给出确定的问题。
实验要求：（）选择问题的维数为，分别用消去法、迭代法、迭代法和迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？（）逐步增大问题的维数，仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？（）讨论病态问题求解的算法 程序代码： 消去法程序： ()('请输入矩阵的阶数') ()构造矩阵('条件数对应的范数是范数：') () [](); [ ]('请输入是否为手动，手动输入，自动输入：')[]((()));;([ ],:)([ ],:)();('输入列所选元素所处的行数：');([ ],:)([ ],:)();();()()(())*();();()()()();()(()()*())();迭代法程序：('系数矩阵的阶数:');()构造矩阵;(); 给定解();;*'; 由给定的解算出相应的进行迭代;;;()()();;()()()*()();;;()()()*()();;;迭代程序：('系数矩阵的阶数:');对题中给定的矩阵进行消元();;();();;*';;;()()();;()()()*()();;;()()()*()();;;迭代程序：('系数矩阵的阶数:');('松弛因子：');对题中给定的矩阵进行消元();;();();;*';;;();()()();;()()()*()();;;()()()*()();;()()**();;实验结果及其分析：给定各分量为的解，计算出右端作为问题。