高一年级寒假培优数学教材
高一数学培优教材
1 = 0 的实根. 2
例 2.设集合 A = −4,3a, a 2 ，且 9 ∈ A ，求实数 a 的值．
{
}
例 3.集合的表示方法 （1）用列举法表示集合 A = x x 2 + 3 x = 4 ； （2）用列举法表示集合 B = y y = 4 − x , x、y ∈ N ；
2
{
}
{
}
（3）用列举法表示集合 C = ( x, y ) y = 4 − x , x、y ∈ N ；
1 不一定属于集合 G . x
3
【课堂练习】
1.下列各组对象不能形成集合的是（ A．高一全体女生 C．高中所有课程 2.下列表述中正确的是( A. {0} = ∅ ) C. {∅} = ∅ D. 0 ∉ N ） B．高三（1）班家长全体 D．高一（1）班中个子较高的学生
B. {1,3} = {3,1}
2
{
}
（4）用列举法表示集合 D = x
6 ∈ Z, x ∈ N ； 3− x
（5）用描述法表示 100 内被 3 除余 2 的正整数所组成的集合 P ； （6）平面直角坐标系内在 x 轴上方的点组成的集合.
1
例 4. 已知集合 A = x ax + 2 x + 1 = 0, a ∈ R, x ∈ R ．
Q = {1,2,6} ，则 P + Q 中元素的个数是
8.化简： x x =
．
m , m ∈ Z , m < 2, n ∈ N * , n ≤ 3 = n
a , b , Q = 0, a + b, b 2 ，且 P = Q ，则 a 2011 + b 2011 = b
江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第1章集合培优课1集合中的新定义问题课件苏教版必修第一册
故所有奇子集的容量之和为 + + + × + × + × + × × = .故答
案为47.
题后反思 对重新定义新模型问题，要读懂题意，用列举法分情况讨论.
跟踪训练3 已知集合 = {1,2,3,4} , ⊆ ，集合 中所有元素的乘积称为集合 的
“累积值”，且规定：当集合 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的
累积值为0，设集合 的累积值为 .
2
（1）若 = 3 ，则这样的集合 共有___个；
[解析] 若 = ，由“累积值”的定义，得 = {} 或 = {, } ，这样的集合 共有2个.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
集合中的新定义问题的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出
几个新模型来创设全新的问题情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，
联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应
1
−
6
+
5
进
3
跟踪训练2 设全集 = {1,2,3,4,5,6} ，且 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，
如： {2,4} 表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字
符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000.对于任意两个集合 ， ，我们定
题后反思 掌握新概念的特点，确定 , 中一个集合中的元素，对另一个集合进行讨论.
福建省福鼎一中高一数学 培优教材(6) 素材 新人教版.pdf
4．已知 e1, e2 是夹角为 45 的两个单位向量， a e1 2e2 , b 2e1 e2 , 则 a , b 的夹角为___________
5．如果向量 a 与 b 的夹角为 ，那么我们称 a b 为向量 a 与 b 的“向量积”， a b 是一个向量，它的长
7．设向量 a (cos 23, cos 67), b (cos 53, cos 37),则a b ___________
8．已知向量 m
(1,1) ，向量 n
与 m 的夹角为
3
，且 m n
1，则 n
=______________
（1） 求证： (a b) c （2）若 | k a b c | 1 , (k R) ，求 k 的取值范围。
例 4：已知向量 a (
3, 1)
,
b
1 (
,
3
)
，存在实数
k,
t
，使得向量
x
a
(t 2
3)b
,
y
k a
（2）求函数 f (x) | b | (a b) c 的最大值。
例 6：在 Rt△ABC 中，已知 A 90 ， BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 PQ与BC 的夹角 取 试题为高清版 下载可打印
何值时 BP CQ 的值最大？并求出这个最大值.
点 O 是 ABC 的垂心。
（5）O 为 ABC 所在平面内的一点，则 O 为 ABC 的垂心的充要条件是： OA OB OB OC OC OA
人教版高中数学高一培优讲义第1讲集合
第1讲集合理清双基1、集合的有关概念（1）、集合的含义与表示：研究对象的全体称为集合。
对象为集合的元素。
通常用大写字母A 、B 、C 、D 表示。
元素与集合的关系∈与∉（2）、集合元素的特征（三要素）：①确定性：②互异性：③无序性：【例】1.设R b a ∈,，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则=-a b ________.（3）、集合的分类：①有限集②无限集③空集：∅（4）、集合的表示方法:①自然语言②列举法③描述法④venne 法【例】2.分析下列集合间的关系}1{2+==x y y A }1{2+==x y x B }1),{(2+==x y y x C }1{2+==x t t D 3.集合}{抛物线=A }{直线=B ，则B A 的元素个数下列说法正确的是（）一个（B ）二个（C ）一个、二个或没有（D ）以上都不正确变式：集合})0(),{(2≠++==a c bx ax y y x A })0(|),{(≠+==k b kx y y x B ，则B A 的元素个数为（）说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
2.集合间的关系（1）子集：（2）相等关系：（3）真子集：说明：任何一个集合是它本身的子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
【例】4.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系正确的是（）A.NM = B.NM ≠⊂ C.NM ≠⊃ D.以上都不对5.已知集合}.121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围是()A ．43≤≤-m B ．43<<-m C ．42≤<m D ．4≤m 3.集合的基本运算（1）交集（2）并集（3）补集全集【例】6.已知集合}1{2+==x y y M ，}9{2x y x N -==，则=N M ________4、集合运算中常用结论（1）等价关系B A A B A ⊆⇔= AB A B A ⊆⇔=【例】7.已知集合}{},1{a x x B x x A ≥=≤=，且R B A = ，则实数a 的取值范围为____（2）反演律（德摩根定律）)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =【例】8.设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合S 与T 都是U 的子集，满足}2{=T S ，}4{)(=T S C U ，}5,1{)()(=T C S C U U 则有()A ．TS ∈∈3,3B ．TC S U ∈∈3,3C ．TS C U ∈∈3,3D ．TC S C U U ∈∈3,39.由)(+∈N n n 个元素组成的集合A 的子集个数：A 的子集有n2个，非空子集有)12(-n 个，真子集有)12(-n 个，非空真子集有)22(-n 个【考点分析】考点一集合的基本概念【例1】1.已知集合},,|),{(},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈+∈∈==则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．102.集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的，判断321-是不是集合A 中的元素.3.数集A 满足条件：若A a ∈，则)1(11≠∈-+a A a a ．若A ∈31，求集合中的其他元素.4.已知},,2|{R k N x k x x P ∈∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________.5.已知集合}023|{2=+-=x ax x A .（1）若A 是单元素集合，求集合A ；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．►归纳提升解答集合的概念问题应关注两点(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性。
高一学科竞赛(培优)课程计划
中国奥赛网2019年冬令营课程设置一、合肥竞赛、自主招生、高考培优课程设置
数学竞赛提高班
物理竞赛提高班
化学竞赛提高班
生物竞赛提高班
自主招生班
高考培优理科提高班
高考培优理科冲刺班
高考培优文科冲刺班
电脑制作活动冲刺班
二、南京冬令营竞赛专题精讲+刷题班课程设置数学
物理
化学
三、上课时间、地点
（一）时间：元月27号报到，28日上课，2月2日结束；电脑营1号结束。
（二）地点：培优营：安徽大学老校区（黄山路校区）；竞赛冲刺营：南京。
四、费用标准
（一）学科竞赛营、高考培优营学费1980元/每生；
（二）电脑制作营学费3980元/每生；
（三）南京竞赛冲刺营：2380元/每生；
（四）食宿费用：合肥：80元/每生每天（伙食、住宿各40元）；南京：160元/天（住宿酒店100元，伙食60元）。
（五）食宿标准：住宿校内招待所、留学生公寓，每间4人；学生食堂统一用餐。
南京酒店上课，住宿标间，酒店桌餐。
高一数学培优计划
三角函数的图象和性质——何树红
6月23日
Y=Asin（wx+φ）的图象——何树红
6月25日
平面向量的概念、运算、坐标表示——叶鑫
6月30日
平面向量的数量积—Байду номын сангаас叶鑫
7月2日
两角和与差的正弦、余弦、正切——张海生
7月7日期末考
7月9日期末考
直线的交点坐标与距离公式—叶鑫
5月21日
圆的方程—张海生
5月26日
直线、圆的位置关系——张海生
5月28日
算法——程金艳
6月2日
随机抽样、用样本估计总体——程金艳
6月4日
两个变量间的线性关系——奚峻
6月9日
概率、古典概型——奚峻
6月11日
几何概型——庄清清
6月16日
任意角的三角函数，诱导公式——庄清清
高一数学培优计划
时间（周二）
内容及辅导老师
时间（周四）
内容及辅导老师
3月17日
3月19日
集合——何树红
3月24日
函数的表示——何树红
3月26日
函数的单调性——叶鑫
3月31日
函数的奇偶性——叶鑫
4月2日
指数运算及指数函数——张海生
4月7日
对数运算及对数函数——张海生
4月9日
幂函数——程金艳
4月14日
方程的根与函数的零点——程金艳
4月16日
三视图、直观图—奚峻
4月21日
柱、锥、台的表面积和体积—奚峻
4月23日
点、线、面的位置关系——庄清清
4月28日期中考
4月30日期中考
5月5日
直线、平面平行的性质与判定—庄清清
高中数学专项培优1课件新人教A版必修第一册
(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在
限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则，这一存在量
词命题为假．
(3)已知含量词的命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义
的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，合理选取主元，确定解题思
(－5，1)
________．
解析：由题意及x∈B是x∈A成立的一个充分而不必要条件，得B ⊊ A，
−2 < 3 + m
即ቊ
解得，－5<m<1.
3+m<4
考点五 全称量词命题与存在量词命题
1．解题策略：
(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对
限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证
角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等
腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则Δ≥0，反之亦然，
故C正确；当集合A＝B时，应为充要条件，故D不正确．
(3)已知集合A＝{x|－2<x<4}，非空集合B＝{x|－2<x<3＋m}，若
x∈B是x∈A成立 的一个充分不必要条件 ，则实数m的取值范围是
专项培优 1
章末复习课
知识网络 · 形成体系
考点聚焦 · 分类突破
考点一 集合的基本概念
1．与集合中的元素有关问题的求解策略：
(1)确定集合中元素具有的属性，即是数集还是点集．
(2)看元素是否具有相应的限制条件．
(3)根据限制条件确定参数的值或元素的个数时，注意对元素互异性
【新教材】2019统编版高中数学A版必修第二册教学计划含教学进度表培优补差等(高一下学期数学教学计划)
【新教材】2019统编人教版高中数学A版必修第二册教学计划高一下学期数学教师教育教学工作计划（含教学进度表培优补差等）XX高级中学高一数学组XXX2019统编人教版高中数学A版必修第二册教学计划高一数学是高中数学的重要组成部分，通过本学期的教学，要使学生学会适应日常生活，参加生产和进一步学习所必须的基础知识与基本技能，进一步培养运算能力、思维能力和空间观念：能够运用所学的知识解决简单的实际问题，培养学生的数学创新意识、良好个性品质及初步的辩证唯物主义的观点。
一、学情分析：根据分班考试的情况来分析学生的数学成绩并不理想，总体的水平一般，尖子生少、低分的学生较多，而且学习欠缺勤奋，学习的自觉性不高。
高一年级学生往往沿用初中的学习方法，死记硬背，这样既没读懂弄透，又使其自学能力和实际应用能力得不到很好的训练，要重视对学生的读法指导。
高一年级学生往往对课程增多、课堂学习容量加大不适应，顾此失彼，精力分散，使听课效率下降，要重视听法的指导。
学习离不开思维，善思则学得活，效率高，不善思则学得死，效果差。
高一年级学生常常固守小学算术中的思维定势，思路狭窄、呆滞，不利于后继学习，要重视对学生进行思法指导。
学生在解题时，在书写上往往存在着条理不清、逻辑混乱的问题，要重视对学生进行写法指导。
学生是否掌握良好的记忆方法与其学业成绩的好坏相关，高一学生由于正处在初级的逻辑思维阶段，识记知识时机械记忆的成份较多，理解记忆的成份较少，这就不能适应高一教学的新要求，要重视对学生进行记法指导。
学生大多存在学习粗心,作业马虎,对数学学习缺乏兴趣和信心的整体弱点，学习习惯差。
在知识结构上：学生在小学已学过的概率的运算，相应的较为简单的应用题，对图形、图形的面积、体积，数据的收集与整理上有了初步的认识，无论是代数的知识，图形的知识都有待于进一步系统化、理论化，这就是高中的内容，本学期将要学习有关统计与概率的认识，对图形的进一步认识；在数学的思维上：学生正处于形象思维向逻辑抽象思维的转变期，这期间，结合教学，让学生适当思考部分有利于思维的题目，无疑是对学生终身有用的；另一方面关注一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，培养学生数学思维的活跃性和敏感性。
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三、函数思想方法的应用
【要点】
1．函数的思想，是指运用运动变化的观点，分析和研究数量关系，通过建立或构造函数关系式，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．
2．方程的思想，是指根据数学问题中变量间的特殊关系，有意识地构造方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法．
3．函数和方程是密切相关的，可以互相转化。
比如研究函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点问题，就是研究方程f(x)=g(x)的实数解的问题；解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点．
4．函数应用题的解题步骤简述如下：
（1）审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论；
（2）建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,；
（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；
（4）作答：对结果进行验证或评估，作出解释或回答。
解应用题可归结为“过三关”：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
【例题】
1．方程x 2=2x 的解的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 2．已知
155=-a c b ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） A ．ac b 42> B ．ac b 42≥ C ．ac b 42< D ．ac b 42≤
3．已知关于x 的方程 2x －(2 m －8)x +2m －16 = 0的两个实根 1x 、2x 满足 1x ＜2
3＜2x ，则实数m 的取值范围_______________．
4．关于x 的方程|x 2－4x +3|－a =0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是______．
5．若不等式x 4x 2--≥
3
4x+11-a 的解集为{x|-4≤x≤-2}，求实数a 的值．
6．已知直线y=3-x 和坐标轴交于A 、B 两点，若抛物线y=-x 2+mx-1和线段AB 有两个不同的交点，求实数m 的范围．
7．设不等式2x －1>m （x 2－1）对满足|m|≤2的一切实数m 的取值都成立．求x 的取值范围．
8．设f （x ）＝lg 3
421a x x ++，如果当x ∈（-∞,1]时f （x ）有意义，求实数a 的取值范围．
9．若方程lg （－x 2＋3x －m ）＝lg （3－x ）在x ∈（0,3）内有唯一解，求实数m 的取值范围．
10．已知函数f (x )=log m 3
3+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；
(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由．。