22简单抽屉原理与最不利原则(二)强化--田芳宇
简单点的抽屉原理yyf
13、班上有 50 名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本 或两本以上的书。
14、有若干堆分币，每堆分币中没有币值相同的分币。任意挑选多少堆分币，才能保证一定有两 堆分币的组成是相同的？
7
龙文教育·教务管理部
解：∵26÷25=1(个)„„1(个)，有一个抽屉被抽出了两个数
∴从 1，3，5，„„，99 中任选 26 个数，其中必有两个数的和是 100。
练习 6：从前 25 个自然数中任意取出 7 个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不
超过小数的 1.5 倍。
3
龙文教育·教务管理部
中小学 1 对 1 课外辅导专家
2、某班有 16 名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任 意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?
3、上体育课时，21 名男、女学生排成 3 行 7 列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长
4 龙文教育·教务管理部
中小学 1 对 1 课外辅导专家
方形，使得站在这个长方形 4 个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果 不能，请举出实例．
6、从 1，2，3，…，99，100 这 100 个数中任意选出 51 个数．证明： (1)在这 51 个数中，一定有两个数互质； (2)在这 51 个数中，一定有两个数的差等于 50； (3)在这 51 个数中，一定存在 9 个数，它们的最大公约数大于 1．
7、从 1，2，3，…，49，50 这 50 个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7 整除， 则最多能取出多少个数?
重点、难点
难点 【内容概述】
抽屉原理 1 将多于 n 件物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件。 抽屉原理 2 将多于 m×n 件物品任意放到到 n 个抽屉中， 那么至少有一个抽屉中的物品不少于 （m+1） 件。 理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数 的倍数多，至于多多少，这倒无妨。 （2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有 些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。 （3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能 有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。 （4）将 a 件物品放入 n 个抽屉中，如果 a÷n=m„„b，其中 b 是自然数，那么由抽屉原理 2 就可 得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。
抽屉原理精解
第一抽屉原理原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
[证明](反证法)：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能。
原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
[证明](反证法)：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn 个物体,与题设不符，故不可能。
第二抽屉原理把(mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。
[证明](反证法)：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
抽屉原理，又叫狄利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决．那么，什么是抽屉原理呢？我们先从一个最简单的例子谈起．将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果呢？要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放．这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果．虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果．如果我们将上面问题做一下变动，例如不是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个苹果放到七只抽屉里，我们不难发现，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍然一定会有一只抽屉里至少有两个苹果。
通过上面的分析，我们可以将上面问题中包含的基本原理写成下面的一般形式．抽屉原理（一）：把多于几个的元素按任一确定的方式分成几个集合，那么一定至少有一个集合中，至少含有两个元素．应用抽屉原理来解题，首先要审题，即分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，来设计抽屉，在应用抽屉原理解题时，正确地设计抽屉是解题的关键．例1 有红、黄、绿三种颜色的小球各四颗混放在一只盒子里，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，一次至少要取几颗？A、3B、4C、5D、6分析：将三种不同的颜色看作三个抽屉，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，即要求至少有两颗小球出自同一抽屉，因此一次至少要取4颗小球．例2 某班有30名学生，班里建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问小书库中至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学一次能至少借到两本书？A、28B、29C、30D、31分析：将30名同学看作30个“抽屉”，而将书看作“苹果”，根据抽屉原理，“苹果”数目要比“抽屉”数目大，才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的“苹果”，因此，小书库中至少要有31本书，才能保证至少有一位同学一次能借到两本或两本以上的图书。
抽屉原理及其简单应用
抽屉原理及其简单应用第一篇：抽屉原理及其简单应用抽屉原理及其应用摘要: 本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理,介绍了抽屉原理及其常见形式，并结合实例探讨了这一原理在高等数学和初等数论中的应用。
关键词: 组合数学；抽屉原理；抽屉构造1．引言抽屉原理也叫鸽笼原理, 它是德国数学家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet)首先提出来的, 因此也称作狄利克雷原理.它是数学中一个基本的原理，在数论和组合论中有着广泛的应用。
在数学的学习研究中，我们也可以把它看作是一种重要的非常规解题方法，应用它能解决许多涉及存在性的数学问题。
2．抽屉原理的基本形式与构造2.1基本形式陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式: 原理Ⅰ 把多于n个的元素按任一确定的方式分成n个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
原理Ⅱ 把m个元素任意放到n(m>n)个集合里，则至少有一个集合里至少有k个元素，其中⎧m , 当n能整除m时,⎪⎪nk=⎨⎡m⎤⎪+1 , 当n不能整除m 时.⎢⎥⎪⎩⎣n⎦原理Ⅲ 把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素。
2.2基本构造利用抽屉原理解题过程中首先要注意指明什么是元素，什么是抽屉，元素进入抽屉的规则是什么，以及在同一个盒子中，所有元素具有的性质。
构造抽屉是用抽屉原理解题的关键。
有的题目运用一次抽屉原理就能解决，有的则需反复用多次；有些问题明显能用抽屉原理解决，但对于较复杂的问题则需经过一番剖析转化才能用抽屉原理解决。
3.利用抽屉原理解题的常用方法3.1利用划分数组构造抽屉例1 在前12个自然数中任取七个数，那么, 一定存在两个数, 其中的一个数是另一个数的整数倍。
分析：若能把前12个自然数划分成六个集合, 即构成六个抽屉，使每个抽屉内的数或只有一个, 或任意的两个数, 其中的一个是另一个的整数倍，这样, 就可以由抽屉原理来推出结论。
抽屉原理的学习方法
抽屉原理的学习方法大家知道，两个抽屉要放置三只苹果，那么一定有两只苹果放在同一个抽屉里，更一般地说，只要被放置的苹果数比抽屉数目大，就一定会有两只或更多只的苹果放进同一个抽屉，可不要小看这一简单事实，它包含着一个重要而又十分基本的原则――抽屉原则.1．抽屉原则有几种最常见的形式:原则1 如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体： ____原则本身十分浅显，为了加深对它的认识，我们还是运用反证法给予证明；如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原则虽简单，巧妙地运用原则却可十分便利地解决一些看上去相当复杂、甚至感到无从下手的问题，比如说，我们可以断言在我国至少有两个人出生的时间相差不超过4秒钟，这是个惊人的结论，该是经过很多人的艰苦劳动，统计所得的吧！不，只须我们稍动手算一下：不妨假设人的寿命不超过4万天（约110岁，超过这个年龄数的人为数甚少），则10亿人口安排在8亿6千4百万个“抽屉”里，根据原则1，即知结论成立.下面我们再举一个例子：例1 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原则1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同。
原则2 如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉，则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体.证明同原则1相仿.若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原则1可看作原则2的物例（m=1）例2 正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同. 证明把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原则二，至少有三个面涂上相同的颜色。
四年级秋季班第五讲-简单抽屉原理、最不利原则教学内容
四年级秋季班第五讲-简单抽屉原理、最不利原则第五讲简单抽屉原理、最不利原则知识框架一、对抽屉原理两个版本的认识原理要点：（1）物品数比抽屉数多1。
只有物品数比抽屉数多时抽屉原理才会成立。
（2）物品是“任意放”到抽屉中。
（3）其中“物品不少于2件”的抽屉是一定存在的，但是不确定是哪一个。
（4）原理的结论是：“至少有一个抽屉中的物品数不少于2件”，也可以这么说，“至少有2件物品在同一个抽屉中”。
原理讲解：抽屉原理1：将n+1个物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
只要有一个抽屉中的物品数不少于2件，抽屉原理1 就是成立的。
当我们可以往抽屉中任意放物品时，最不利的情形就是“平均分”，这样所有抽屉中的物品数都不会太多。
n+1个物品平均地放入n个抽屉，每个抽屉放一个，由于物品数比抽屉数多，就会余出一个物品。
最后，余出的这个物品放入某个抽屉，这个抽屉中就有了2个物品。
此外，其它情形，只要有一个抽屉是空的，那么就一定会有另外的抽屉中有2个或2个以上的物品。
例子：4只鸽子飞回三个鸟笼，有几种方法？每种方法中，都会有一个鸟笼中的鸽子数不少于2。
在有些地方抽屉原理又叫做“鸽笼原理”。
原理要点：（1）物品数比抽屉数多，抽屉原理1的情形包含于这个原理中；（2）解决的是抽屉的存在性；（3）在解题时，遇到“有一个抽屉中的物品数不少于A件”，其中A>2时，应使用抽屉原理2。
（4）原理的结论也可以理解为：“总有不少于m÷n件（或[m÷n]+1件）物品在同一个抽屉中。
”相同的即为“抽屉”。
原理讲解：最不利的情形就是“平均分”，这样每个抽屉中的物品数都不太多都是[m÷n]个。
若m÷n有余数，那么多出来的余数个物品也按照最不利的情形来分配，这样就能保证抽屉中的物品尽量地少。
也就是说这余数个物品也平均地往抽屉中放，这样有的抽屉会再放入一个物品，而有的就分不到，那么至少会有一个抽屉中的物品数不少于[m÷n]+1个。
小学奥数教案——抽屉原理（解析版）
小学奥数教案——抽屉原理（解析版）第一篇：小学奥数教案——抽屉原理(解析版)教案抽屉原理一本讲学习目标初步抽屉原理的方法和心得。
二概念解析把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到：抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。
如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。
比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。
应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。
三例题讲解例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
抽屉原理和最不利原则
抽屉原理和最不利原则一、抽屉原理抽屉原理（也被称为鸽笼原理）是数学中一种基本原理，它是由鸽笼和抽屉的类比而得名。
根据抽屉原理，如果n+1个物体被放置到n个容器之中，那么至少有一个容器内含有两个或者更多的物体。
换句话说，抽屉原理表明，当物体数量超过容器数量时，至少有一个容器将会装有多个物体。
这个原理可以应用于各种场景，例如，如果有11个学生坐在一排座位上，而只有10个座位，那么至少有一个学生将会没有座位坐。
抽屉原理在数学和计算机科学中有广泛的应用。
例如，在计算机科学中，抽屉原理可以用来证明哈希函数的碰撞概率、证明图的着色问题等等。
最不利原则是指在做决策时，应该假设每一项决策都是以对自己最不利的方式进行的。
也就是说，在进行决策时，应该考虑最不利的情况，并希望能够在最不利的情况下找到最好的解决方案。
最不利原则在决策分析和优化问题中具有重要作用。
通过考虑最不利的情况，可以防止决策者产生过于乐观或者主观的判断，从而更好地制定决策方案。
最不利原则可以应用于各种领域，例如商业决策、政治决策和战略决策等。
在商业决策中，经营者应该考虑到市场环境变化和竞争对手的行动，以保持企业的竞争力。
在政治决策中，政府领导者应该考虑到各种社会和经济因素，以制定合理的政策。
在战略决策中，军事指挥官应该考虑到敌方的最强势和最危险的行动，以便做出战略部署。
最不利原则帮助我们克服幻觉和假设，从而更加客观地进行决策。
通过考虑最不利的情况，我们能够更好地准备好应对各种风险和挑战，并找到最佳的解决方案。
总结：抽屉原理和最不利原则都是数学领域中的重要原则，它们在不同的背景下有着不同的应用。
抽屉原理通过简单的类比，帮助我们理解当物体数量超过容器数量时，必然会有一些容器装有多个物体的情况。
最不利原则则在决策分析和优化问题中起着重要的作用，通过考虑最不利的情况，可以制定出最佳的决策方案。
这两个原则都帮助我们在面对不同的问题和情境时，能够更加准确地进行分析和决策。
第1讲抽屉原理和最不利原理
第1讲抽屉原理和最不利原理生活中常见这样的例子:把5只苹果放入4个果盘，那么一定有某个果盘中至少放有2只苹果，13名同学中至少有2人出生于同一个月……像这样，如果把n+k(k≥1)件物品放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉中有2件或2件以上的物品，这就是抽屉原理1;进一步，如果把m×n+k(k≥1)件物品放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉中有m+1件物品，这就是抽屉原理2。
实际上，这里的抽屉就是指这些物品可以分成几类，运用抽屉原理解决问题的关键就在于正确分类。
最不利原则主要说明的是一种从极端情况(最坏情况)入手，分析问题的一种思考方法。
例1今年燕山小学招收的一年级新生有230名，年龄在6岁至7岁之间，能否保证有20名或20名以上的小朋友在同一个月出生?为什么?试一试1在一条长100米的小路一旁植树101棵，证明:不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。
例2有19个同学参加了三个课外活动小组，它们分别是数学组、美术组、电脑组，每人可参加一个组、两个组或三个组活动。
问:这些同学中至少有几个同学参加了相同的组?有22个同学参加了三个课外活动课程，它们分别是足球课、网球课、排球课，每人可参加一个课程、两个课程或三个课程活动。
问:这些同学中至少有几个同学参加了相同的课程?例3把125本书分给五(2)班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人?试一试3把98本书分给五(3)班学生，如果其中至少有1人分到至少3本书，那么，这个班最多有多少人?例4一副扑克牌，共54张，问至少从中摸出多少张牌才能保证:(1)至少有5张牌的花色相同;(2)四种花色的牌都有;(3)至少有3张牌是红桃。
一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?课内练习1.某班有学生54人，他们的年龄都相同，那么，至少有多少人在同一周出生?至少有多少人在同一月出生?2.木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球?3.11名学生到老师家借书，老师家书房中有A,B,C,D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。
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【课前练兵】 班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保 证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？
甜甜大讲堂 最不利原则 ——最倒霉的，差一点就满足的
【例1】(难度系数 ) 在一个盒子里装着形状相同的三种口味的果冻，分别是苹果口味、 巧克力口味和香芋口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒 子里拿果冻。请问： （1）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有香芋口味的 ？ （2）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口 味？
【例4】(难度系数 ) 口袋中有三种颜色的筷子各10根，问： ⑴至少取多少根才能保证三种颜色都取到？ ⑵至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？ ⑶至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？
【例5】(难度系数
)
将1只白手套、2只黑手套、3只红手套、8只黄手套和9只绿手套放入 一个布袋里，请问： ⑴一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色相同的两双手套 ？ ⑵一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色不同的两双手套 ？(两只手套颜色相同即为一双)
甜甜大讲堂 板块：组合 小花回忆录
简单抽屉原理与最不利原则（二）
抽屉原理（鸽巢原理，狄利克雷原则）
将n件物品放入m个抽屉中，如果n÷m＝a…b，其中b＞0，那么 一定有一个抽屉中至少有a＋1件物品。
将n件物品放入m个抽屉中，如果n÷m＝a，那么一定有一个抽屉
中至少有a件物品。
抽屉关键字：“至少保证” 抽屉五步：找苹果 找抽屉 做除法 用原理 得结论 难点：寻找抽屉和苹果 小技巧：怎样找苹果和抽屉 方法一：先做翻译员 至少有一个⋯⋯不少于⋯⋯ 抽屉 苹果
1
【例2】(难度系数 ) 一副扑克牌54张，至少从中摸出多少张牌才能保证： ⑴至少有5张牌的花色相同； ⑵四种花色的牌都有； ⑶至少有3张牌是红桃； ⑷至少有2张梅花和3张红桃。
【例3】(难度系数 ) 一个布袋里有大小相同的颜色不同的一些球，其中红色的有10个， 白色的有9个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。那么一 次最少取出多少个球，才能保证有4个颜色相同的球？
2
【例6】(难度系数 ) ⑴从大街上至少选出多少人，才能保证至少有3人属相相同？ ⑵为保证至少5个人的属相相同，但不保证有6人属相相同，那 么总人数应在什么范围内？
【例7】(难度系数 ) 幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎样分都有人至少分到8块饼 干，这群小朋友至多有多少名？
【例8】(难度系数 ) 海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米 到150厘米之间(包括140厘米到150厘米)，那么，至少从多最不利原则——最倒霉的，差一点就满足的 倒霉蛋翻身 三步走： 1．保证什么 2．最坏怎样 3．保证有＝“最倒霉”＋1 逆用原理，正面检查
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