2018合肥二模理数试卷和答案
安徽省合肥一中等六校教育研究会2018届高三上学期第二次联考数学(理)试卷(含答案)
安徽六校教育研究会2018届高三第二次联考数学试题（理）命题：合肥一六八中学考试时间：120分钟满分：150分一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．若集合，且，则集合B可以是（）A．B．C．D．R2．若复数其中a,b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知是等差数列的前n项和，且对，下列说法不正确的是（）A、B、C、成等差数列；D、数列是等差数列；4．已知函数f(x)是定义域在R上的奇函数，且在[0，+∞）单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（）A、(-,2]B、(0, ]C、[,2]D、(0,2]5．如图是某几何体的三视图，则该几何体内切球的表面积为（）A．3B．C．D、6．已知x,y满足约束条件，则目标函数的最大值和最小值的差等于（）A、1B、-1C、2D、-27．若a和b都是计算机在区间（0，2）上产生的随机数，那么ab<1的概率为（）A．B．C．D．8．设函数f(x)=是常数，），且函数f(x)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象向右平移个单位所得函数图象与g(x)= 图象重合，则的值可以是（）A、B、C、D、9．若，若=84，则实数a的值为（）A、1B、2C、-2D、-310．已知点P(x,y)满足，过点P作抛物线x2=8y的两条切线，切点为A,B，则直线AB斜率的最大值为（）A、B、C、D、11．若数列的前n项和满足：对都有（M为常数）成立，则称数列为“和敛数列”，则数列，，，中是“和敛数列”有（）个。
A、1B、2C、3D、412 ．定义在R 上的函数f(x) 满足：f（x+1）= f(x-1) ，且当x [0,2) 时，，使方程有3个解的一个充分不必要条件是（）A、a (-1,0)B、a (-1, )C、aD、a)二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．运行右边程序框图,当输入某个正整数n后,输出的S (10,20),那么n的值为。
合肥市庐阳区18年二模数学试卷和解析
2017~2018年庐阳区二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．8-的立方根是（ ）A.2-B.2±C.2D.21- 2．计算()52a -的结果是（ ）A.7aB.7a -C.10aD.10a -3．李明拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上的投影不可能是（ ）4．天宫二号空间实验室的运行轨道距离地球约393000米，将393000用科学记数法表示应为（ ）A.7100.393⨯B.5103.93⨯C.6103.93⨯D.310393⨯ 5．如图，b a ∥，21∠=∠，︒=∠403，则4∠等于（ ） A.︒40 B.︒50 C.︒60 D.︒706．某运动爱好者用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如图所示的统计图，在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A.1.3，1.35B.1.3，1.3C.1.4，1.35D.1.4，1.37．某超市销售一批创意闹钟，先以55元/个的价格售出60个，然后调低价格，以50元/个的价格将剩下的闹钟全部售出，销售总额超过了5500元，这批闹钟至少有（ ） A.44个 B.45个 C.104个 D.105个8．关于x 的一元二次方程()02212=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A.2B.1C.0D.1-9．如图，正方形ABCD 和正方形BPQR 有重叠部分，R 点在AD 上，CD 与QR 相交于S 点，若正方形ABCD 和正方形BPQR 的边长分别是4和5，则阴影部分的面积为（ ） A.877 B.873 C.219 D.21710．如图，在平面直角坐标系中，()0,6A ，()8,0B ，点C 在y 轴正半轴上，点D 在x 轴正半轴上，且6=CD ，以CD 为直径在第一象限作半圆，交线段AB 于E 、F ，则线段EF 的最大值为（ ）A.3.6B.4.8C.32D.33 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 因式分解xy y x y x +-232=_____________；12. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于______________；13. 我国古代数学的很多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和n b a ）（+的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.根据“杨辉三角”请计算10）（b a +的展开式中第四项的系数____________；第13题图 第14题图14. 如图，ABC △内接于O ⊙，︒=∠60A ，12=BC ，P 为弧BC 上一动点，过点B 作直线OP 的垂线BQ ，垂足为Q ，点P 由B 点沿弧BC 运动到C 点的过程中，点Q经过的路线长是__________________. 二、解答题15. 计算：104145cos 2231-⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒--+-）（16. 先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛--•--211342a a a ，其中1-=a .四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，从高楼C 点测得水平地面A,B 两点的俯角分别为30°，45°，如果高楼C 点的高度CD 为100米，点A,D,B 在同一直线上，求A,B 两点之间的距离.18.我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)的对称中心的坐标为(x1+x22 ,y1+y22).观察应用：(1)如图,在平面直角坐标系中,若点P1(0,−1)、P2(2,3)的对称中心是点A，则点A的坐标为___；(2)在(1)的基础上另取两点B(−1,2)、C(−1,0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A.B. C作循环对称跳动,即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处,接着跳到点P2关于点B的对称点P3处,第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处,第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处,…则点P4、P8的坐标分别是_______、_______.五．（本大题共2小题，每小题10分满分20分）19.2017年全球工业研发投入排行榜前100强企业中，排在前5名的分别是德国大众，美国谷歌，美国微软，韩国三星，美国英特尔，美国、日本、德国、中国及其它国家前100强企业的数量及占总体百分数的条形和扇形统计图（不完整）如图所示：全球各国工业研发投入前100强企业数条形统计图：全球各国工业研发投入前100强企业数扇形统计图：（1）根据给出的信息，补全两幅统计图。
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(精编含解析)
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（是虚数），则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∴，∴，∴复数点为，位于第二象限．选B．2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴．选D．3.命题，关于的方程有实数解，则为（）A. ，关于的方程有实数解B. ，关于的方程没有实数解C. ，关于的方程没有实数解D. ，关于的方程有实数解【答案】C【解析】根据含有量词的命题的否定可得，为：，关于的方程没有实数解．选C．4.在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得点的坐标为，∴．∴．选A．5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入的的值为（）A. 3或-2B. 2或-2C. 3或-1D. -2或-1或3【答案】A【解析】由题意可得本题是求分段函数中，求当时的取值．当时，由，解得，符合题意．当时，由，得，解得或（舍去）．综上可得或．选A．7.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设快递员到小李家的时间为x，小李到家的时间为y，由题意可得所有基本事件构成的平面区域为，设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，如图阴影部分所示的直角梯形．在中，当时，；当时，．∴阴影部分的面积为，由几何概型概率公式可得，小李需要去快递柜收取商品的概率为．选D．8.在正方体中，，，分别为棱，，的中点，用过点，，的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点连，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．延长，交的延长线与点，连，交于，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．同理，延长，交的延长线于，连，交于点，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．所以过点，，的平面截正方体所得的截面为图中的六边形．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示．选C ．9.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，故函数为奇函数．又，故函数在R上单调递减．∵，∴，∴，∴．选C．10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，，是双曲线上的两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，设，是双曲线左支上的两点，令，由双曲线的定义可得．在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）．∴，∴为直角三角形，且．在中，，即，∴，∴．即该双曲线的离心率为．选B．点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．11.函数，，，且在上单调，则下列说法正确的是( )A. B.C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】由题意得函数的最小正周期为，∵在上单调，∴，解得．∵，，∴，解得，∴．对于选项A，显然不正确．对于选项B，，故B不正确．对于选项C，当时，，所以函数单调递增，故C正确．对于选项D，，所以点不是函数图象的对称中心，故D不正确．综上选C．点睛：解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．12.已知点在内部，平分，，对满足上述条件的所有，下列说法正确的是（）A. 的三边长一定成等差数列B. 的三边长一定成等比数列C. ，，的面积一定成等差数列D. ，，的面积一定成等比数列【答案】B【解析】设．在中，可得．在中，分别由余弦定理得，①，②．③由①+②整理得，∴，将代入上式可得．又由三角形面积公式得，∴，∴，∴，∴．由③得，∴，整理得．故选B．点睛：本题难度较大，解题时要合理引入变量，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量的方法逐步得到三边的关系．由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知两个单位向量，的夹角为，则__________．【答案】【解析】．答案：14.的展开式中含项的系数为__________．【答案】18【解析】含项为，故系数为.15.已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于__________．【答案】4【解析】如图，设四棱锥的侧棱长为，底面正方形的边长为，棱锥的高为．由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心，则球心在高上．在中，，∴，整理得．又在中，有，∴．∴，∴．设，则，∴当时，单调递增，当时，单调递减．∴当时取得最大值，即四棱锥的体积取得最大值，此时，解得．∴四棱锥的体积最大时，底面边长等于4．答案:416.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站只能建在与村相距，且与村相距的地方.已知村在村的正东方向，相距，村在村的正北方向，相距，则垃圾处理站与村相距__________．【答案】2或7【解析】以为为坐标原点，为x轴建立平面直角坐标系，则．由题意得处理站在以为圆心半径为5的圆A上，同时又在以为圆心半径为的圆C上，两圆的方程分别为和．，解得或．∴垃圾处理站的坐标为或，∴或，即垃圾处理站与村相距或．答案：2或7点睛：解答本题的关键是读懂题意，深刻理解垃圾处理站所在的位置，然后通过合理建立平面直角坐标系，将所求问题转化为求两圆交点的问题，解方程组得到两圆交点坐标后再通过两点间的距离公式求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由变形得，即，于是可得公比，由此可得通项公式．（2）由（1）得，然后利用错位相减法求和．试题解析：（1）设等比数列的公比为.由，得，即，，∴．（2）由（1）得，，①∴，②①-②得，∴．18.为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）.按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）. 【答案】（1）103；（2）①117；②4968名.【解析】【详解】试题分析：（1）用每一个小矩形的中点値代替本组数据，乘以对应的频率后取和即可得到平均数．（2）①设理科数学成绩约为，由题意得，根据参考数据可得，故，解得即为所求．②先求得，故可得估计名次为名．试题解析：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：.（2）记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，根据题意，，即.由，得解得，所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.，所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．19.在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由并结合平面几何知识可得．又由及平面平面可得平面，于是得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得平面平面．（2）根据，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，通过求出平面和平面法向量的夹角并结合图形可得所求二面角的余弦值．试题解析：（1）由条件可知，，，，.，且为中点，.∵，，，平面.又平面，.，平面.平面，平面平面.（2）由（1）知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，，，设为平面的一个法向量，由，得.令，得.同理可得平面的一个法向量．∴.由图形知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为.点睛：用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论．20.已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆.（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取，借助几何知识分析可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为．（2）①当直线垂直于轴时，不合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．试题解析：（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取.依题意，圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线，为的中点，为中点，.，∴动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为，则，，，，，动点的轨迹方程为.（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由消去y整理得.∵直线与椭圆交于，两点，∴，解得．设，，则，（定值）．点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题．（2）求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数（是自然对数的底数）（1）判断函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）对求导可得，根据的取值，分，，和四种情况讨论函数的单调性，然后得到极值点的个数．（2）由题意可得对恒成立．然后分，和三种情况分别求解，通过分离参数或参数讨论的方法可得的取值范围．试题解析：（1）∵，∴，当时，在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；当时，在上单调递增，此时没有极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；综上可得：当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点．（2）由得.①当时，由不等式得，即对在上恒成立.设，则.设，则.，，在上单调递增，，即，在上单调递减，在上单调递增，，.②当时，不等式恒成立，；③当时，由不等式得.设，则.设，则，在上单调递减，.若，则，在上单调递增，.若，，，使得时，，即在上单调递减，，舍去..综上可得，的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线分别交于点，，且，，成等比数列，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解．试题解析：（1），，将代入上式可得，∴曲线的直角坐标方程.（2）将代入消去整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，又，∴．设，对应的参数分别为，则．，，成等比数列，，即，，即，解得或（舍去）.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3)；(4)．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解不等式可得且，根据不等式的解集为得到，解得，即为所求．（2）由题意可得函数的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，于是，解得，即为所求的范围．试题解析：（1）由题意得解得.可化为，解得.不等式的解集为，，解得，满足.．（2）依题意得，.又，∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，，解得.∴实数的取值范围为．。
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷
2021年安徽省合肥市高考数学二模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．复数z满足z•〔1﹣2i〕=i〔i是虚数〕，那么复数z在复平面内对应的点在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合A={x|﹣2＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，那么A∪B=〔〕A．〔﹣2，1〕B．〔﹣2，3〕C．〔﹣∞，1〕D．〔﹣∞，3〕3．命题p：∀a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解，那么￢p为〔〕A．∃a＜0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解B．∃a＜0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解C．∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解D．∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解4．在直角坐标系中，假设角α的终边经过点，那么sin 〔π+α〕=〔〕A．B．C．D．5．中国古代词中，有一道“八子分绵〞的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言〞．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是〔〕A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤6．执行如下图的程序框图，假设输出的结果为1，那么输入x的值为〔〕A．3或﹣2 B．2或﹣2 C．3或﹣1 D．﹣2或﹣1或37．小李从网上购置了一件商品，快递员方案在下午5：00﹣6：00之间送货上门，小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，那么快递员会联系小李．假设小李能在10分钟之内到家，那么快递员等小李回来；否那么，就将商品存放在快递柜中．那么小李需要去快递柜收取商品的概率为〔〕A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，那么位于截面以下局部的几何体的侧〔左〕视图为〔〕A．B．C．D．9．函数，实数a，b满足不等式f〔2a+b〕+f〔4﹣3b〕＞0，那么以下不等式恒成立的是〔〕A．b﹣a＜2 B．a+2b＞2 C．b﹣a＞2 D．a+2b＜210．双曲线C：﹣=1的左，右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线C上的两点，且=3，cos∠AF2B=，那么该双曲线的离心率为〔〕A． B．C．D．11．函数f〔x〕=2sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕，f〔〕=，f〔〕=0，且f〔x〕在〔0，π〕上单调．以下说法正确的选项是〔〕A．B．C．函数f〔x〕在上单调递增D．函数y=f〔x〕的图象关于点对称12．点I在△ABC内部，AI平分∠BAC，，对满足上述条件的所有△ABC，以下说法正确的选项是〔〕A．△ABC的三边长一定成等差数列B．△ABC的三边长一定成等比数列C．△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等差数列D．△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等比数列二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．两个单位向量，的夹角为，那么=．14．在〔2x+1〕2〔x﹣2〕3的展开式中，x2的系数等于．15．半径为3cm的球内有一个内接四棱锥S﹣ABCD，四棱锥S﹣ABCD的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，它的底面边长等于cm．16．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5km，且与C村相距的地方．B村在A村的正东方向，相距3km，C村在B村的正北方向，相距，那么垃圾处理站M 与B村相距km．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12.00分〕等比数列{a n}的前n项和S n满足4S5=3S4+S6，且a3=9．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设b n=〔2n﹣1〕•a n，求数列{b n}的前n项的和T n．18．〔12.00分〕为了解A市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了局部高三理科学生数学成绩绘制如下图的频率分布直方图．〔Ⅰ〕根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；〔精确到个位〕〔Ⅱ〕研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布X～N〔μ，σ2〕〔u=u0，σ约为19.3〕．①按以往的统计数据，理科数学成绩能到达升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩到达升一本的理科数学成绩大约是多少分？〔精确到个位〕②A市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，那么该学生全市排名大约是多少名？〔说明：表示x＞x1的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即X～N〔0，1〕，从而利用标准正态分布表ϕ〔x0〕，求x＞x1时的概率P〔x＞x1〕，这里x0=．相应于x0的值ϕ〔x0〕是指总体取值小于x0的概率，即ϕ〔x0〕=P〔x＜x0〕．参考数据：ϕ〔0.7045〕=0.54，ϕ〔0.6772〕=0.46，ϕ〔0.21〕=0.5832〕．19．〔12.00分〕在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，O为AD中点，，AD=AB=2CD=2．〔Ⅰ〕求证：平面POB⊥平面PAC；〔Ⅱ〕求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20．〔12.00分〕点A〔1，0〕和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2+y2=4．〔Ⅰ〕求动点B的轨迹方程；〔Ⅱ〕点P〔2，0〕，Q〔2，﹣1〕，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．21．〔12.00分〕函数f〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣ax2〔e是自然对数的底数〕．〔Ⅰ〕判断函数f〔x〕极值点的个数，并说明理由；〔Ⅱ〕假设∀x∈R，f〔x〕+e x≥x3+x，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10.00分〕过点P〔0，﹣1〕的直线l的参数方程为〔t为参数〕，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0〔a＞0〕．〔Ⅰ〕求曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|3x+m|．〔Ⅰ〕假设不等式f〔x〕﹣m≤9的解集为[﹣1，3]，求实数m的值；〔Ⅱ〕假设m＞0，函数g〔x〕=f〔x〕﹣2|x﹣1|的图象与x轴围成的三角形的面积大于60，求m的取值范围．2021年安徽省合肥市高考数学二模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．复数z满足z•〔1﹣2i〕=i〔i是虚数〕，那么复数z在复平面内对应的点在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由z•〔1﹣2i〕=i，得z=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为〔〕，在第二象限．应选：B．【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是根底题．2．集合A={x|﹣2＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，那么A∪B=〔〕A．〔﹣2，1〕B．〔﹣2，3〕C．〔﹣∞，1〕D．〔﹣∞，3〕【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，∴A∪B={x|x＜3}={﹣∞，3〕．应选：D．【点评】此题考查并集的求法，考查并集定义等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是根底题．3．命题p：∀a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解，那么￢p为〔〕A．∃a＜0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解B．∃a＜0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解C．∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解D．∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解【分析】利用全称命题的否认是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否认是特称命题，所以，命题p：∀a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解，那么￢p为∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解．应选：C．【点评】此题考查命题的否认，特称命题与全称命题的否认关系，是根本知识的考查．4．在直角坐标系中，假设角α的终边经过点，那么sin 〔π+α〕=〔〕A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin〔π+α〕的值．【解答】解：∵角α终边经过点，即点P〔，〕，∴x=，y=，r=|OP|=1，那么sin〔π+α〕=﹣sinα==﹣y=﹣．应选：A．【点评】此题主要考查任意角的三角函数的定义，属于根底题．5．中国古代词中，有一道“八子分绵〞的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言〞．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是〔〕A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤【分析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S8=996，以第8个儿子为首项，即可求出答案．【解答】解：由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S8=996，以第8个儿子为首项，∴8a1+×17=996，解得a1=184，应选：B．【点评】此题考查了等差数列的求和公式的应用，属于根底题．6．执行如下图的程序框图，假设输出的结果为1，那么输入x的值为〔〕A．3或﹣2 B．2或﹣2 C．3或﹣1 D．﹣2或﹣1或3【分析】根据中的程序框图，分类讨论满足y=1的x值，综合可得答案．【解答】解：当x＞2时，由y==1得：x2﹣2x=3，解得：x=3，或x=﹣1〔舍〕当x≤2时，由y=﹣2x﹣3=1，解得：x=﹣2，综上可得假设输出的结果为1，那么输入x的值为3或﹣2，应选：A．【点评】此题考查的知识点是程序框图，分类讨论思想，对数的运算性质，难度中档．7．小李从网上购置了一件商品，快递员方案在下午5：00﹣6：00之间送货上门，小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，那么快递员会联系小李．假设小李能在10分钟之内到家，那么快递员等小李回来；否那么，就将商品存放在快递柜中．那么小李需要去快递柜收取商品的概率为〔〕A．B．C．D．【分析】设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，根据题意列出有序实数对〔x，y〕满足的区域，以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域，计算面积比即可得出答案．【解答】解：假设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，那么有序实数对〔x，y〕满足的区域为{〔x，y〕|}，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对〔x，y〕满足的区域为{〔x，y〕|}，如下图；∴小李需要去快递柜收取商品的概率为P===．应选：D．【点评】此题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，那么位于截面以下局部的几何体的侧〔左〕视图为〔〕A．B．C．D．【分析】首先求出截面的图形，进一步利用三视图求出结果．【解答】解：正方体被经过E、F、G点的平面所截，其中左边的正方形的左上顶点A被切去，故少一个角，右下面留一个斜棱，故左视图为C．应选：C．【点评】此题考查的知识要点：三视图的应用．9．函数，实数a，b满足不等式f〔2a+b〕+f〔4﹣3b〕＞0，那么以下不等式恒成立的是〔〕A．b﹣a＜2 B．a+2b＞2 C．b﹣a＞2 D．a+2b＜2【分析】根据题意，分析可得函数f〔x〕为奇函数且在R上为减函数，那么原不等式变形可得f〔2a+b〕＞f〔3b﹣4〕，结合函数的单调性可得2a+b＜3b﹣4，变形即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为R，f〔﹣x〕===﹣﹣f〔x〕，那么函数f〔x〕为奇函数；f〔x〕=﹣=﹣〔1﹣〕=﹣1，那么函数f〔x〕在R为减函数，f〔2a+b〕+f〔4﹣3b〕＞0⇒f〔2a+b〕＞﹣f〔4﹣3b〕⇒f〔2a+b〕＞f〔3b﹣4〕⇒2a+b＜3b﹣4⇒b﹣a＞2，应选：C．【点评】此题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是求出函数的奇偶性与单调性．10．双曲线C：﹣=1的左，右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线C上的两点，且=3，cos∠AF2B=，那么该双曲线的离心率为〔〕A． B．C．D．【分析】设|F1A|=3x，|F1B|=x，在△ABF2中，由余弦定理列方程可得△ABF2是直角三角形，从而得出a，b，c的关系，即可得该双曲线的离心率．【解答】解：设|F1A|=3x，|F1B|=x，那么|AB|=4x，|BF2|=2a+x，|AF2|=2a+3x，在△ABF2中，由余弦定理得：〔4x〕2=〔2a+x〕2+〔2a+3x〕2﹣2〔2a+x〕〔2a+3x〕×，解得x=a，∴AF2=5a，AB=4a，BF2=3a，∴△ABF2是直角三角形，在Rt△F1BF2中，a2+〔3a〕2=〔2c〕2，代入得10a2=4c2，即e2=．那么该双曲线的离心率为e=．应选：B．【点评】此题考查双曲线的简单性质的应用，考查离心率的计算能力．属于中档题．11．函数f〔x〕=2sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕，f〔〕=，f〔〕=0，且f〔x〕在〔0，π〕上单调．以下说法正确的选项是〔〕A．B．C．函数f〔x〕在上单调递增D．函数y=f〔x〕的图象关于点对称【分析】根据题意，设置满足条件的ω，φ的值，依次对各选项讨论即可．【解答】解：由题意，f〔x〕在〔0，π〕上单调．那周期，即，那么ω≤1．对于A：当ω=时，可得f〔x〕=2sin〔x+φ〕，由，，令，可得φ=．即f〔〕=2sin〔×+〕，∴A不对．由f〔〕=0，即2sin〔φ〕=0，可令φ=π，那么φ=……①由f〔〕=，即2sin〔ω+φ〕=，可得：ω+φ=或ω+φ=，k∈Z；令ω+φ=……②，①②解得：ω=2，不满足题意：令ω+φ=……③，①③解得：ω=，满足题意：∴f〔x〕=2sin〔x+〕对于B：f〔〕=2sin〔﹣×+〕=2sin=，∴B不对．对于C：令x+，解得：，∴函数f〔x〕在上单调递增，∴C对．对于D：当x=，可得f〔〕=2sin〔〕=﹣2sin=﹣1，∴函数y=f〔x〕的图象不是关于点对称，∴D不对．应选：C．【点评】此题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定一个满足条件的解析式是解决此题的关键．12．点I在△ABC内部，AI平分∠BAC，，对满足上述条件的所有△ABC，以下说法正确的选项是〔〕A．△ABC的三边长一定成等差数列B．△ABC的三边长一定成等比数列C．△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等差数列D．△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等比数列【分析】设∠BAI=∠CAI=α，那么∠IBC=∠ACI=α，设∠ABI=β，∠BCI=γ，AI=BI=m，CI=n，在△ABC中，运用正弦定理，在△ACI和△BCI中，由正弦函数和余弦函数的定义，可得a，b，运用三角函数的和差公式、二倍角公式，化简整理，结合等比数列中项性质，即可得到结论．【解答】解：设∠BAI=∠CAI=α，那么∠IBC=∠ACI=α，设∠ABI=β，∠BCI=γ，AI=BI=m，CI=n，在△ABC中，可得==，可得sin〔α+γ〕=，在△ACI中，可得b=2mcosα，在△BCI中，可得a=mcosγ+ncosα，又msinγ=nsinα，即n=，那么a=mcosγ+cosα•=m•=m•=m••，可得a2=c•2mcosα=cb，即有△ABC的三边长一定成等比数列，应选：B．【点评】此题考查三角形的三边长成等比数列的判断，考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于难题．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．两个单位向量，的夹角为，那么=．【分析】直接利用向量的数量积的运算法那么求解即可．【解答】解：两个单位向量，的夹角为，那么=2=2﹣﹣1=，故答案为：．【点评】此题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．14．在〔2x+1〕2〔x﹣2〕3的展开式中，x2的系数等于10．【分析】化简〔2x+1〕2〔x﹣2〕3=〔4x2+4x+1〕〔x3﹣6x2+12x﹣8〕，展开后可得含x2项的系数．【解答】解：∵〔2x+1〕2〔x﹣2〕3=〔4x2+4x+1〕〔x3﹣6x2+12x﹣8〕，∴x2的系数等于4×〔﹣8〕+4×12﹣6=10．故答案为：10．【点评】此题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是根底题．15．半径为3cm的球内有一个内接四棱锥S﹣ABCD，四棱锥S﹣ABCD的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，它的底面边长等于4cm．【分析】由题意画出图形，设四棱锥的底面边长为2a，高为h〔0＜h＜6〕，可得2a2+h2=6h，写出棱锥体积，把a用h表示，再由导数求解得答案．【解答】解：如图，设四棱锥的底面边长为2a，高为h〔0＜h＜6〕，那么底面正方形外接圆的半径为，∴侧棱长SA=，由射影定理可得：2a2+h2=6h，那么四棱锥S﹣ABCD的体积V==〔0＜h＜6〕，那么V′=﹣2h2+8h，可得当h=4时，V有最大值，此时2a2=24﹣16=8，a=2，那么底面边长等于4．故答案为：4．【点评】此题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了导数在求最值问题中的应用，是中档题．16．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5km，且与C村相距的地方．B村在A村的正东方向，相距3km，C村在B村的正北方向，相距，那么垃圾处理站M 与B村相距2或7km．【分析】建立坐标系，求出两圆的方程和公共弦方程，解出M点坐标得出|MB|．【解答】解：以A为原点，以AB为x轴建立平面坐标系，那么A〔0，0〕，B〔3，0〕，C〔3，3〕，以A为圆心，以5为半径作圆A，以C为圆心，以为半径作圆C，那么圆A的方程为：x2+y2=25，圆C的方程为：〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=31，即x2+y2﹣6x﹣6y+5=0，∴两圆的公共弦方程为：x+y=5，设M〔x，y〕，那么，解得M〔5，0〕或M〔﹣，〕．∴MB=2或MB==7．故答案为：2或7．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12.00分〕等比数列{a n}的前n项和S n满足4S5=3S4+S6，且a3=9．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设b n=〔2n﹣1〕•a n，求数列{b n}的前n项的和T n．【分析】〔Ⅰ〕利用条件求出数列的公比，然后求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：〔Ⅰ〕设数列{a n}的公比为q．由4S5=3S4+S6，得S6﹣S5=3S5﹣3S4，即a6=3a5，∴q=3，∴．〔Ⅱ〕，∴，，∴，∴．【点评】此题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法错位相减法的应用，考查计算能力．18．〔12.00分〕为了解A市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了局部高三理科学生数学成绩绘制如下图的频率分布直方图．〔Ⅰ〕根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；〔精确到个位〕〔Ⅱ〕研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布X～N〔μ，σ2〕〔u=u0，σ约为19.3〕．①按以往的统计数据，理科数学成绩能到达升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩到达升一本的理科数学成绩大约是多少分？〔精确到个位〕②A市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，那么该学生全市排名大约是多少名？〔说明：表示x＞x1的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即X～N〔0，1〕，从而利用标准正态分布表ϕ〔x0〕，求x＞x1时的概率P〔x＞x1〕，这里x0=．相应于x0的值ϕ〔x0〕是指总体取值小于x0的概率，即ϕ〔x0〕=P〔x＜x0〕．参考数据：ϕ〔0.7045〕=0.54，ϕ〔0.6772〕=0.46，ϕ〔0.21〕=0.5832〕．【分析】〔I〕以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均成绩；〔II〕①根据所给公式列方程求出x1；②根据成绩计算概率，得出大体名次．【解答】解：〔I〕该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：u0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈103．〔II〕①记本次考试成绩到达升一本的理科数学成绩约为x1，根据题意，，即．由ϕ〔0.7054〕=0.54得，，所以，本次考试成绩到达升一本的理科数学成绩约为117分．，所以，理科数学成绩为107分，大约排在10000×0.4168=4168名．【点评】此题考查了正态分布的性质与应用，属于中档题．19．〔12.00分〕在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，O为AD中点，，AD=AB=2CD=2．〔Ⅰ〕求证：平面POB⊥平面PAC；〔Ⅱ〕求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【分析】〔Ⅰ〕通过Rt△ADC≌Rt△BAO，推出∠DAC=∠ABO，证明AC⊥BO，PO ⊥AD．推出PO⊥平面ABCD．得到AC⊥PO．AC⊥平面POB，即可证明平面POB⊥平面PAC．〔Ⅱ〕以O为空间坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，求出平面PAC的一个法向量，平面PDC的一个法向量，利用向量的数量积求解即可．【解答】〔Ⅰ〕证明：由条件可知，Rt△ADC≌Rt△BAO，∴∠DAC=∠ABO，∴∠DAC+∠AOB=∠ABO+∠AOB=90°，∴AC⊥BO．∵PA=PD，且O为AD中点，∴PO⊥AD．∵，∴PO⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PO．又∵BO∩PO=O，∴AC⊥平面POB．∵AC⊂平面PAC，∴平面POB⊥平面PAC．〔Ⅱ〕解：以O为空间坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，那么P〔0，0，2〕，A〔1，0，0〕，D〔﹣1，0，0〕，C〔﹣1，1，0〕，，，，，设为平面PAC的一个法向量，由得，解得．令x=2，那么．同理可得，平面PDC的一个法向量，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角θ的余弦值．【点评】此题考查向量的数量积的应用，二面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用．20．〔12.00分〕点A〔1，0〕和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2+y2=4．〔Ⅰ〕求动点B的轨迹方程；〔Ⅱ〕点P〔2，0〕，Q〔2，﹣1〕，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．【分析】〔Ⅰ〕设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′〔﹣1，0〕．圆C内切于圆O，设切点为D，那么O，C，D三点共线，依椭圆得定义可知，动点B的轨迹为椭圆，由此能求出动点B的轨迹方程．〔Ⅱ〕设直线l的方程为y+1=k〔x﹣2〕．由得〔4k2+3〕x2﹣〔16k2+8k〕x+16k2+16k﹣8=0．由此利用韦达定理、根的判别式，结合条件能证明直线PM与直线PN的斜率之和为定值3．【解答】解：〔Ⅰ〕如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′〔﹣1，0〕．依题意，圆C内切于圆O，设切点为D，那么O，C，D三点共线，∵O为AA′的中点，C为AB中点，∴A′B=2OC．∴|BA′|+|BA|=2OC+2AC=2OC+2CD=2OD=4＞|AA′|=2依椭圆得定义可知，动点B的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a=4，|AA′|=2c=2，∴a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴动点B的轨迹方程为．〔Ⅱ〕证明：当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=2，此时直线l与椭圆相切，与题意不符．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k〔x﹣2〕．由得〔4k2+3〕x2﹣〔16k2+8k〕x+16k2+16k﹣8=0．设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么，∴==．∴直线PM与直线PN的斜率之和为定值3．【点评】此题考查动点的轨迹方程的求法，考查两直线的斜率之和为定值的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．〔12.00分〕函数f〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣ax2〔e是自然对数的底数〕．〔Ⅰ〕判断函数f〔x〕极值点的个数，并说明理由；〔Ⅱ〕假设∀x∈R，f〔x〕+e x≥x3+x，求a的取值范围．【分析】〔Ⅰ〕求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数即可；〔Ⅱ〕问题转化为对∀x＞0恒成立，设，设h〔x〕=e x﹣x﹣1，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：〔Ⅰ〕∵f′〔x〕=xe x﹣2ax=x〔e x﹣2a〕，当a≤0时，f〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递减，在〔0，+∞〕上单调递增，∴f〔x〕有1个极值点；当时，f〔x〕在〔﹣∞，ln2a〕上单调递增，在〔ln2a，0〕上单调递减，在〔0，+∞〕上单调递增，∴f〔x〕有2个极值点；当时，f〔x〕在R上单调递增，此时f〔x〕没有极值点；当时，f〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递增，在〔0，ln2a〕上单调递减，在〔ln2a，+∞〕上单调递增，∴f〔x〕有2个极值点；∴当a≤0时，f〔x〕有1个极值点；当a＞0且时，f〔x〕有2个极值点；当时，f〔x〕没有极值点．〔Ⅱ〕由f〔x〕+e x≥x3+x得xe x﹣x3﹣ax2﹣x≥0．当x＞0时，e x﹣x2﹣ax﹣1≥0，即对∀x＞0恒成立．设，那么．设h〔x〕=e x﹣x﹣1，那么h′〔x〕=e x﹣1．∵x＞0，∴h′〔x〕＞0，∴h〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，∴h〔x〕＞h〔0〕=0，即e x＞x+1，∴g〔x〕在〔0，1〕上单调递减，在〔1，+∞〕上单调递增，∴g〔x〕≥g〔1〕=e﹣2，∴a≤e﹣2．当x=0时，不等式恒成立，a∈R；当x＜0时，e x﹣x2﹣ax﹣1≤0．设h〔x〕=e x﹣x2﹣ax﹣1，那么h′〔x〕=e x﹣2x﹣a．设φ〔x〕=e x﹣2x﹣a，那么φ′〔x〕=e x﹣2＜0，∴h′〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递减，∴h′〔x〕≥h′〔0〕=1﹣a．假设a≤1，那么h′〔x〕≥0，∴h〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递增，∴h〔x〕＜h〔0〕=0．假设a＞1，∵h′〔0〕=1﹣a＜0，∴∃x0＜0，使得x∈〔x0，0〕时，h′〔x〕＜0，即h〔x〕在〔x0，0〕上单调递减，∴h〔x〕＞h〔0〕=0，舍去，∴a≤1．综上可得，a的取值范围是〔﹣∞，e﹣2]．【点评】此题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10.00分〕过点P〔0，﹣1〕的直线l的参数方程为〔t为参数〕，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0〔a＞0〕．〔Ⅰ〕求曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【分析】〔Ⅰ〕直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．〔Ⅱ〕利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．【解答】解〔Ⅰ〕曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0〔a＞0〕．∴2aρsinθ﹣ρ2cos2θ=0．即x2=2ay〔a＞0〕．〔Ⅱ〕将代入x2=2ay，得，得．∵a＞0，∴解①得．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|•|PN|，即，∴，即，解得a=0或．∵，∴．【点评】此题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|3x+m|．〔Ⅰ〕假设不等式f〔x〕﹣m≤9的解集为[﹣1，3]，求实数m的值；〔Ⅱ〕假设m＞0，函数g〔x〕=f〔x〕﹣2|x﹣1|的图象与x轴围成的三角形的面积大于60，求m的取值范围．【分析】〔Ⅰ〕去掉不等式的绝对值并根据条件限制m的范围，根据题意得出m 的值；〔Ⅱ〕由m＞0去掉绝对值，将函数g〔x〕写成分段函数的形式，根据大致图象求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，解不等式即可．【解答】〔Ⅰ〕由题意得解①得m≥﹣9．②可化为﹣9﹣m≤3x+m≤9+m，．∵不等式f〔x〕≤9的解集为[﹣1，3]，∴，解得m=﹣3，满足m≥﹣9．∴m=﹣3；〔Ⅱ〕依题意得，g〔x〕=|3x+m|﹣2|x﹣1|．又∵m＞0，∴，g〔x〕的图象与x轴围成的△ABC的三个顶点的坐标为A〔﹣m﹣2，0〕，，，∴，解得m＞12．【点评】此题考查解绝对值不等式的方法，以及三角形的面积公式，属于中档题．。
2018年安徽省合肥市高新区中考数学二模试卷
2018年安徽省合肥市高新区中考数学二模试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）与2的乘积是﹣1的数是（）A．B．﹣C．1D．﹣12．（4分）最新统计的安徽省总人口数约为6144万人，用科学记数法表示6144万正确的是（）A．6.144×103B．6144×104C．6.144×107D．0.6144×108 3．（4分）在一个长方体上放着一个小长方体，如图是这个组合体的俯视图，那么它的左视图是（）A．B．C．D．4．（4分）已知2x2﹣3x﹣2=0，则x2﹣x+3的值为（）A．B．1C．2D．45．（4分）如图，⊙O的半径OA=4，弦BC经过OA的中点D，∠ADC=30°，则弦BC的长为（）A．7B．2C．4D．26．（4分）与﹣的数值最接近的整数是（）A．2B．3C．4D．57．（4分）商场销售某种产品，为消费者提供了以下两种优惠方案，甲方案：增加50%的量，但不加价；乙方案：降价33%，从单价的角度考虑，你认为比较划算的方案是（）A．甲B．乙C．甲乙一样D．不能确定8．（4分）某班学生的中考体育测试成绩统计如表：根据如表中的信息判断，下列结论中错误的是（）A．该班一共有36名同学B．该班学生这次测试成绩的众数是56分C．该班学生这次测试成绩的中位数是55分D．该班学生这次测试成绩的平均数是54分9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（）A．5cm B．5cm C．4cm D．4cm二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）计算：（﹣2018）0+2sin30°=12．（5分）如图所示，线段AB是⊙O的直径，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于．13．（5分）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为米．14．（5分）已知二次函数y=x2﹣2ax（a为常数）．当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣316．（8分）解不等式组四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，某餐厅的餐桌桌面是一个面积为0.84m2的矩形，桌面装有两个表面为相同正方形的电磁炉，两个电磁炉之间及与四周的距离均为0.2m，求电磁炉表面的边长．18．（8分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．五.（本大题2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）在如图所示的网格中，每个小三角形均为等边三角形，点A、B、C、D都在格点上．（1）将△ADC向左平移，使点C与点B重合，画出平移后的△EFB；（2）将△ADC绕点C逆时针旋转60°，点D的对应点为点G，画出旋转后的三角形；（3）若点P是△ABC内一点，且满足PA2+PC2=PB2，则∠APC=°．20．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=10，AD=5，分别以AD、BC为斜边向矩形内作Rt△ADE≌Rt△CBF，∠AED=∠CFB=90°，连接EF，延长AE、BF相交于点G．（1）求证：△ADE∽△BAG；（2）若DE=4，求EF的长；（3）在点E运动变化的过程中，线段EF的最小值为（直接写出结果）六.（本题满分12分）21．（12分）有一种游戏叫做森林球，游戏道具包括一颗弹球和一块满钉子的木板，木板上的钉子如图1和图2所示呈三角形排布，游戏参与者将弹球放入顶端的入口，弹球碰触钉子之后会随机地向左或向右滚动下落（向左向右的可能性相等），直到碰触到最底端的钉子之后滚入相应的位置，每个位置对应着某一类奖品．（1）如图1，木板上共3颗钉子，直接写出一次游戏森林球落入奖品B位置的概率；（2）如图2，木板上共6颗钉子，求一次游戏森林球落入奖品B位置的概率．七.（本题满分12分）22．（12分）已知抛物线l1：y=ax2（a≠0）、直线l2：y=bx（b≠0）和双曲线l3：y=（c≠0），且它们都经过同一个点．（1）若l1、l2、l3均经过点（1，k），求证：a=b=c；（2）若a=1，b=3，求c的值；（3）若ax2＞ax＞，请直接写出此时x的取值范围．八.（本题满分14分）23．（14分）在△OBC中，∠BOC为钝角，以OB、OC分别为一直角边向外作等腰Rt△OAB和Rt△OCD，∠AOB=∠COD=90°（1）如图1，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD；（2）如图2，连接AD，若点E、M、N分别是AD、AB、DC的中点，连接EM、EN、OE．①求证：△EMN为等腰三角形；②判断线段EO与BC的数量关系和位置关系，并说明理由．2018年安徽省合肥市高新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）与2的乘积是﹣1的数是（）A．B．﹣C．1D．﹣1【解答】解：与2的乘积是﹣1的数即为2的负倒数，所以与2的乘积是﹣1的数为﹣，故选：B．2．（4分）最新统计的安徽省总人口数约为6144万人，用科学记数法表示6144万正确的是（）A．6.144×103B．6144×104C．6.144×107D．0.6144×108【解答】解：6144万=6.144×107，故选：C．3．（4分）在一个长方体上放着一个小长方体，如图是这个组合体的俯视图，那么它的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：由俯视图可知，原来几何体的图象如图所示，故左视图为C，故选：C．4．（4分）已知2x2﹣3x﹣2=0，则x2﹣x+3的值为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：∵2x2﹣3x﹣2=0，∴2x2﹣3x=2，则x2﹣x=1，∴x2﹣x+3=1+3=4，故选：D．5．（4分）如图，⊙O的半径OA=4，弦BC经过OA的中点D，∠ADC=30°，则弦BC的长为（）A．7B．2C．4D．2【解答】解：作OH⊥BC于H，连接OB，∵点D是OA的中点，∴OD=OA=2，∠ODH=∠ADC=30°，∴OH=OD=1，由勾股定理得，BH==，∵OH⊥BC，∴BC=2BH=2，故选：B．6．（4分）与﹣的数值最接近的整数是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵﹣=2﹣=，又∵2＜＜3，22=4，32=9，∴最接近3，∴﹣最接近3，故选：B．7．（4分）商场销售某种产品，为消费者提供了以下两种优惠方案，甲方案：增加50%的量，但不加价；乙方案：降价33%，从单价的角度考虑，你认为比较划算的方案是（）A．甲B．乙C．甲乙一样D．不能确定【解答】解：甲方案：=，乙方案：1﹣33%=67%，∵＜67%，∴甲比较合算，故选：A．8．（4分）某班学生的中考体育测试成绩统计如表：根据如表中的信息判断，下列结论中错误的是（）A．该班一共有36名同学B．该班学生这次测试成绩的众数是56分C．该班学生这次测试成绩的中位数是55分D．该班学生这次测试成绩的平均数是54分【解答】解：该班一共有学生：3+5+7+8+9+4=36（名），故选项A正确；该班测试成绩中56分的学生人数最多，故选项B正确；该班有学生36名，位于中间的第18、19名学生的成绩都是55分，故选项C正确；该班学生的测试成绩的平均数为：≈54.28（分），故选项D错误．故选：D．9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B 点时运动同时停止，∴N到C的时间为：t=3÷2=1.5，分两部分：①当0≤x≤1.5时，如图1，此时N在DC上，S△AMN=y=AM•AD=x×3=x，②当1.5＜x≤3时，如图2，此时N在BC上，∴DC+CN=2x，∴BN=6﹣2x，∴S=y=AM•BN=x（6﹣2x）=﹣x2+3x，△AMN故选：A．10．（4分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（）A．5cm B．5cm C．4cm D．4cm【解答】解：如图，连接DE．由题意，在Rt△DCE中，CE=4cm，CD=8cm，由勾股定理得：DE===cm．过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知MG=BC=CD．连接DE，交MG于点I．由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE=90°，∵∠DIG+∠EDC=90°，∠MIE=∠DIG（对顶角相等），∴∠NMG=∠EDC．在△MNG与△DEC中，∴△MNG≌△DEC（ASA）．∴MN=DE=cm．故选：D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）计算：（﹣2018）0+2sin30°=2【解答】解：原式=1+2×=2．故答案为：2．12．（5分）如图所示，线段AB是⊙O的直径，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于50°．【解答】解：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠COE=2∠CDB=2×20°=40°，∴∠E=90°﹣40°=50°．故答案为50°．13．（5分）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为2米．【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，∴AD=4sin60°=2（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，∴AC==2（m）．故答案是：2．14．（5分）已知二次函数y=x2﹣2ax（a为常数）．当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为2或﹣6.5【解答】解：∵y=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，∴当a＞4时，x=4取得最小值，则﹣12=（4﹣a）2﹣a2，解得，a=3.5（舍去），当﹣1≤a≤4时，x=a取得最小值，则﹣12=（a﹣a）2﹣a2，解得，a=2，当a＜﹣1时，x=﹣1取得最小值，则﹣12=（﹣1﹣a）2﹣a2，解得，a=﹣6.5，故答案为：2或﹣6.5．三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣3【解答】解：（1﹣）÷===，当a=﹣3时，原式==．16．（8分）解不等式组【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤1.5，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤1.5．四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，某餐厅的餐桌桌面是一个面积为0.84m2的矩形，桌面装有两个表面为相同正方形的电磁炉，两个电磁炉之间及与四周的距离均为0.2m，求电磁炉表面的边长．【解答】解：设电磁炉表面的边长为xm，则矩形桌面的长为（2x+0.6）m，宽为（x+0.4）m，根据题意得：（2x+0.6）（x+0.4）=0.84，解得：x1=0.3，x2=﹣1（舍去）．答：电磁炉表面的边长为0.3m．18．（8分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，60，61；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．【解答】解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．五.（本大题2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）在如图所示的网格中，每个小三角形均为等边三角形，点A、B、C、D都在格点上．（1）将△ADC向左平移，使点C与点B重合，画出平移后的△EFB；（2）将△ADC绕点C逆时针旋转60°，点D的对应点为点G，画出旋转后的三角形；（3）若点P是△ABC内一点，且满足PA2+PC2=PB2，则∠APC=150°．【解答】解：（1）如图所示，△EFB即为所求；（2）如图所示，△BCG即为所求；（3）如图所示，将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△ACD，连接PD，∴△ADP是等边三角形，CD=BP，∴∠APD=60°，AP=DP，∵PA2+PC2=PB2，∴PD2+PC2=CD2，∴△CPD是直角三角形，∴∠CPD=90°，∴∠APC=∠APD+∠CPD=60°+90°=150°．故答案为：150．20．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=10，AD=5，分别以AD、BC为斜边向矩形内作Rt△ADE≌Rt△CBF，∠AED=∠CFB=90°，连接EF，延长AE、BF相交于点G．（1）求证：△ADE∽△BAG；（2）若DE=4，求EF的长；（3）在点E运动变化的过程中，线段EF的最小值为5（直接写出结果）【解答】解：（1）∵∠DAB=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°=∠BAG+∠DAE，∴∠ADE=∠BAG，又∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴∠CBF=∠ADE，∴∠CBG+∠DAE=90°，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠G=∠AED=90°，∴△ADE∽△BAG；（2）∵Rt△ADE中，AD=5，DE=4，∴AE=3，∵△ADE∽△BAG，∴==，即==，∴AG=8，BG=6，又∵BF=DE=4，∴GF=2，GE=5，∴Rt△EFG中，EF===；（3）设DE=x，AE=y，则Rt△ADE中，x2+y2=52=25，由Rt△ADE≌Rt△CBF，△ADE∽△BAG，可得AG=2x，BG=2y，BF=x，∴FG=2y﹣x，EG=2x﹣y，∴Rt△EFG中，EF===，又∵x2+y2≥2xy，∴xy≤，∴当xy=时，EF的最小值为==5，故答案为：5．六.（本题满分12分）21．（12分）有一种游戏叫做森林球，游戏道具包括一颗弹球和一块满钉子的木板，木板上的钉子如图1和图2所示呈三角形排布，游戏参与者将弹球放入顶端的入口，弹球碰触钉子之后会随机地向左或向右滚动下落（向左向右的可能性相等），直到碰触到最底端的钉子之后滚入相应的位置，每个位置对应着某一类奖品．（1）如图1，木板上共3颗钉子，直接写出一次游戏森林球落入奖品B位置的概率；（2）如图2，木板上共6颗钉子，求一次游戏森林球落入奖品B位置的概率．【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图可知共有4种等可能结果，其中一次游戏森林球落入奖品B位置的有2种结果，所以一次游戏森林球落入奖品B位置的概率为=；（2）画树状图如下：由树状图可知，共有8种等可能结果，其中一次游戏森林球落入奖品B位置的有3种结果，所以一次游戏森林球落入奖品B位置的概率为．七.（本题满分12分）22．（12分）已知抛物线l1：y=ax2（a≠0）、直线l2：y=bx（b≠0）和双曲线l3：y=（c≠0），且它们都经过同一个点．（1）若l1、l2、l3均经过点（1，k），求证：a=b=c；（2）若a=1，b=3，求c的值；（3）若ax2＞ax＞，请直接写出此时x的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵l1、l2、l3均经过点（1，k），∴k=a=b=c，∴a=b=c．（2）当a=1、b=3时，联立l1、l2得：，解得：，，∴抛物线l1、直线l2经过公共点（0，0）、（3，9）．∵l1、l2、l3均经过同一个点，∴该公共点为（3，9），∴9=，∴c=27．（3）当x=1时，y=ax2=a，y=ax=a，y==a，∴抛物线y=ax2、直线y=ax、双曲线y=均过点（1，a）．①当a＞0时，如图1所示．点A的坐标为（1，a），点B的坐标为（﹣1，﹣a），观察函数图象，可知：当﹣1＜x＜0或x＞1时，ax2＞ax＞，∴若ax2＞ax＞（a＞0），则﹣1＜x＜0或x＞1；②当a＜0时，如图2所示．点A的坐标为（1，a），点B的坐标为（﹣1，﹣a），观察函数图象，可知：当0＜x＜1时，ax2＞ax＞，∴若ax2＞ax＞（a＜0），则0＜x＜1．综上所述：若ax2＞ax＞，此时x的取值范围为．八.（本题满分14分）23．（14分）在△OBC中，∠BOC为钝角，以OB、OC分别为一直角边向外作等腰Rt△OAB和Rt△OCD，∠AOB=∠COD=90°（1）如图1，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD；（2）如图2，连接AD，若点E、M、N分别是AD、AB、DC的中点，连接EM、EN、OE．①求证：△EMN为等腰三角形；②判断线段EO与BC的数量关系和位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，∵OA=OB，OD=OC，∠AOB=∠DOC，∴∠BOD=∠AOC，∴△AOC≌△BOD．（2）①证明：如图2中，∵AM=MB，AE=ED，∴EM=DE，同法可证：EN=AC，∵△AOC≌△BOD，∴BD=AC，∴EM=EN，∴△EMN是等腰三角形．②解：结论：EO=BC，EO⊥BC．理由：延长OE到H，使得OE=EH，连接AH、DH，延长EO交BC于K．∵EA=ED，EO=EH，∴四边形AODH是平行四边形，∴AH=OD=OC，AH∥OD，∴∠HAO+∠AOD=180°，∵∠BOC+∠AOD=180°，∴∠HAO=∠BOC，∵AO=OB，∴△HAO≌△COB，∴OH=BC，∠AOH=∠OBC，∵OE=HE，∴OE=BC，∵∠AOH+∠BOK=90°，∴∠OBC+∠BOK=90°，∴∠BKO=90°，∴EO⊥BC．。
【数学】安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测试题（文）
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题1.复数12ii （i 是虚数单位）的虚部是（）A ．2iB ．iC ．-2D ．12.已知集合|1M x x ，|02Nx x，则M N（）A ．0,1B ．,1C ．,2D ．0,13.已知圆22:684C x y，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（）A ．2234100x y B ．2234100x y C ．223425xyD ．223425xy4.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点5π5πsin ,cos33P ，则s i n （）A ．32B ．12C. 12D ．325.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A ．174斤B ．184斤C.191斤D ．201斤6.已知函数22x xa f xa是奇函数，则f a 的值等于（）A ．13B ．3 C.13或3 D ．13或37.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表月份x2 3 4 5 6 销售额y （万元）15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程?0.75y x a，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）A ．19.5万元B ．19.25万元 C.19.15万元D ．19.05万元8.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输出的x 值是（）A ．3或-2B ．2或-2 C. 3或-1 D ．3或-1或-29.已知函数2sin 0,0πf x x 相邻两条对称轴间的距离为3π2，且π02f，则下列说法正确的是（）A.2B.函数πy f x 为偶函数C.函数f x 在ππ,2上单调递增D.函数y f x 的图象关于点3π,04对称10.在正方体1111ABCDA BC D 中，E 是棱11AB 的中点，用过点A ，C ，E 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A ．B ． C. D ．11.已知双曲线2222:10,0x y C a bab的焦点为1F ，2F ，点P 是双曲线C 上的一点，1215PF F ，21105PF F ，则该双曲线的离心率为（）A ．6B ．3C. 262D ．6212.已知函数f x 是定义在R 上的增函数，2f x f x ′，01f ，则不等式ln2ln 3f xx 的解集为（）A ．,0B ．0, C. ,1D ．1,第Ⅱ卷二、填空题13.若命题:0p x，ln 10xx ，则p 为．14.已知两个单位向量a ，b 的夹角为π3，则2a b a b．15.已知四棱锥PABCD 的侧棱长都相等，且底面是边长为32的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥PABCD 的体积为．16.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于．三、解答题17. 已知正项等比数列n a 满足39a ，4224a a .Ⅰ求数列n a 的通项公式；Ⅱ设nn b n a ，求数列n b 的前n 项的和n S .18. 某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98；乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.Ⅰ画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；Ⅱ从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率.19. 在多面体ABCDPQ中，平面PAD平面ABCD，////AB CD PQ，AB CD，PAD为正三角形，O为AD中点，且2AD AB，1CD PQ.Ⅰ求证：平面POB平面PAC；Ⅱ求多面体ABCDPQ的体积.20. 已知椭圆2222:10x yE a ba b经过点13,2P，椭圆E的一个焦点为3,0.Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ若直线l过点0,2M且与椭圆E交于A，B两点，求AB的最大值.21.已知函数21exf x x ax （e 是自然对数的底数）Ⅰ判断函数f x 极值点的个数，并说明理由；Ⅱ若0x，3exf xxx ，求a 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点0,1P 的直线l 的参数方程为12312xt yt（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为22sincos00a a .Ⅰ求曲线C 的直角坐标方程；Ⅱ若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数3f x x m .Ⅰ若不等式9f xm 的解集为1,3，求实数m 的值；Ⅱ若0m ，函数21g x f xx 的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5: DACBB 6-10: CDACA11、12：DA二、填空题13.0x ，ln 10x x 14.1215.6或54 16.34三、解答题17.解：Ⅰ设数列n a 的公比为q ，由4224a a ，得9924qq，即23830qq ，解得3q 或13q.又0na ，则0q，3q ∴，31933n n na ∴.Ⅱ13n nn b n a n ，1211323333n nS n ∴，1211323133n nnS n n 3，1211231133332nn nnnS n ∴-2，12314nnnS ∴.18. 解：Ⅰ由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以，甲组同学的成绩差异较大.（也可通过计算方差说明：2101.6s 甲，237.4s 乙，22s s 甲乙）Ⅱ设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为123,,A A A ；乙组数据在90分以上的三位同学为123,,B B B .从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：12,A A ，13,A A ，11,A B ，12,A B ，13,A B ；23,A A ，21,A B ，22,A B ，23,A B ；31,A B ，32,A B ，33,A B ；12,B B ，13,B B ，23,B B .其中，从这6位同学中选出2位同学不在同一个小组共有9个基本事件，93155P∴. 19.Ⅰ证明：由条件可知，Rt ADC Rt BAO ≌，故DAC ABO .90DACAOB ABOAOB∴，AC BO ∴.PAPD ，且O 为AD 中点，POAD ∴.PAD ABCD PAD ABCDADPO AD POPAD平面平面平面平面平面，PO∴平面ABCD .又AC 平面ABCD ，ACPO ∴.又BO PO O ，AC ∴平面POB .AC平面PAC ，∴平面POB平面PAC .Ⅱ解：取AB 中点为E ，连接CE ，QE .由Ⅰ可知，PO平面ABCD .又AB 平面ABCD ，PO AB ∴.又ABCD ，PO AD O ，AB ∴平面PAD .13BCDPQPADQECQCEBPADCEBV V V SAES PO∴231143211234323. 20. 解：Ⅰ依题意，设椭圆E 的左，右焦点分别为13,0F ，23,0F .则1242PF PF a ，2a∴，3c ，21b∴，∴椭圆E 的方程为2214xy .Ⅱ当直线l 的斜率存在时，设:2l y kx ，11,A x y ，22,B x y .由22214ykxxy 得22148240kxkx .由0得241k.由1228214k x x k，122414x x k得22212122211142611414AB k x x x x k k.设2114tk，则102t，22125562612612246ABtt t∴.当直线l 的斜率不存在时，5626AB ，AB ∴的最大值为566.21. 解：Ⅰe2e 2xxf x x ax x a ′.当0a 时，f x 在,0上单调递减，在0,上单调递增，f x ∴有1个极值点；当102a时，f x 在,ln2a 上单调递增，在ln2,0a 上单调递减，在0,上单调递增，f x ∴有2个极值点；当12a 时，f x 在R 上单调递增，f x ∴没有极值点；当12a时，f x 在,0上单调递增，在0,ln 2a 上单调递减，在ln 2,a 上单调递增，f x ∴有2个极值点；∴当0a时，f x 有1个极值点；当0a且12a时，f x 有2个极值点；当12a时，f x 没有极值点.Ⅱ由3exf xxx 得32e0xx xaxx . 当0x时，2e10x x ax ，即2e1xx ax对0x 恒成立.设2e1xx g xx，则21e1x x x g xx ′.设e1xh xx ，则e1xh x′.0x，0h x∴′，h x ∴在0,上单调递增，0h xh ∴，即e1xx ，g x ∴在0,1上单调递减，在1,上单调递增，1e 2g xg ∴，e 2a∴，a ∴的取值范围是,e 2.22. 解：Ⅰ22sin cos0a ，222sincos0a ∴，即220xay a .Ⅱ将12312xtyt代入22xay ，得24380tat a ，得2121243480,43,8.aa t t a t t a ①.0a ，∴解①得23a. PM ，MN ，PN 成等比数列，2MNPMPN ∴，即21212t t t t ，21212124t t t t t t ∴，即243400aa ，解得0a或56a.23a，56a∴.23. 解：Ⅰ由题意得90,39.m xmm ①②①得9m.②可化为939m x m m ，9233m x . 不等式9f x 的解集为1,3，9213m ∴，解得3m ，满足9m . 3m ∴Ⅱ依题意得，321g x x m x .又0m ，2,3521,321.mx m x mg x x m x x m x ∴g x 的图象与x 轴围成的ABC 的三个顶点的坐标为2,0A m ，2,05m B ，2,233m mC ，243160215ABC C m S AB y ∴，解得12m .。
安徽省合肥市2018届毕业班第二次中考模拟测试 数学试题(word版附答案)
安徽省合肥市2018届初中毕业班第二次中考模拟测试数 学 试 题一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）2．宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（ ）A ．0.845³1010元B ．84.5³108元C ．8.45³109元D ．8.45³1010元 3．64的立方根是（ ）A ．4B ．8C ．±4D ．±8 4．下列计算正确的是( )A ．2x 2²2xy ＝4x 3y 4B ．3x 2y －5xy 2＝－2x 2yC ．x －1÷x －2＝x －1D ．(－3a －2)(－3a ＋2)＝9a 2－4 5．如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（ ）6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，△DEF 的周长是7，AF ⊥BC 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，且点D 是AB 的中点，则AF 的长为（ ）A ． 5B ．7C ． 3D ．77．在同一平面坐标系内，若直线y ＝3x －1与直线y ＝x －k 的交点在第四象限的角平分线上，则k 的值为（ ）A ．k ＝－12B ．k ＝13C ．k ＝12D ．k ＝18．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，x 12－x 1＋x 2的值为（ ）A ．－1B ．0C ．2D ．3 9．如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A ．2π B ．4π C ．32 D ．410．如图，直线l 的解析式为y＝－x ＋4，它与x 轴分别相交于A ，B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴和y 轴分别相交于C ，D 两点，运动时间为t 秒(0≤t≤4)，以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE(E ，O 两点分别在CD 两侧)．若△CDE 和△OAB 的重合部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）二、填空简答题(共4小题，每小题5分，满分20分)11．分解因式：x ﹣4x 2﹣12x=．12．风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为 ．13．如图，OP 平分∠AOB ，∠AOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PC ＝4，则PD ＝ ．14．如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ．点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论： ①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形BCDG =CG 2； ③DE=CG ；④若AF=2DF ，则BG=6GF ． 其中正确的结论 ． 三、解答题(90分)15．（8分）计算：（）﹣2﹣6sin30°+（﹣2）0+|2﹣|；16．（8分）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x=﹣3．17．（8分）如图所示，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．18．（8分）已知关于x的不等式22mxm>21x－1.(1)当m＝1时，求该不等式的解集；(2)m取何值时，该不等式有解，并求出解集．19．（10分）在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字)．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止)．(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率．20．（10分）童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．（1）小李生产1件A产品需要分钟，生产1件B产品需要分钟．（2）求小李每月的工资收入范围．21．（12分）某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为：“A.非常喜欢”、“B.比较喜欢”、“C.不太喜欢”、“D.很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是________；(3)若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？22．（12分）关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）====﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．23. （14分）如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O 的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC 的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。
2018合肥二模数学理,答案
高三数学试题（理科）答案 第1 页（共4页）合肥市2018年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案BDCABADCCBCB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)12(14)10 (15)4 (16)2或7三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分) (Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q .由54643S S S =+，得655433S S S S -=-，即653a a =，∴3q =， ……………3分 ∴31933n n n a --=⋅=. ……………5分 (Ⅱ)()()121213n n n b n a n -=-⋅=-⋅， ……………6分∴0121133353(21)3n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ， ……………8分()()12131333233213n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，∴()()121212323232132223n n n n T n n --=+⋅+⋅++⋅--⋅=-+-⋅ ，∴()131n n T n =-⋅+. ……………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)该市此次检测理科数学平均成绩约为:0650.05750.08850.12950.151050.241150.181250.11350.051450.03μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 103.2103=≈. ………………5分 (Ⅱ)①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为1x ，根据题意得，()1011103110.4619.3x x P x x μσ--⎛⎫⎛⎫>=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.5419.3x -⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭. 由(0.7054)0.54Φ=得，111030.7054116.611719.3x x -=⇒=≈， 故本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分. ………………8分②()()107103107110.207210.58320.416819.3P x -⎛⎫>=-Φ=-Φ≈-=⎪⎝⎭，故理科数学成绩为107分，大约排在100000.41684168⨯=名.………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)由条件可知，Rt ADC ∆≌Rt BAO ∆，∴DAC ABO ∠=∠， ∴90DAC AOB ABO AOB ∠+∠=∠+∠= ，∴AC BO ⊥.高三数学试题（理科）答案 第2 页（共4页）.∵PA PD =，且O 为AD 中点，∴PO AD ⊥.∵PAD ABCD PAD ABCD ADPO AD PO PAD⊥⎧⎪=⎪⎨⊥⎪⎪⊂⎩ 平面平面平面平面平面，∴PO ABCD ⊥平面.又∵AC ABCD ⊂平面，∴AC PO ⊥. 又∵BO PO O = ，∴AC POB ⊥平面.∵AC PAC ⊂平面，∴平面POB ⊥平面PAC . …………5分 (Ⅱ)以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则P (0，0，2)，A (1，0，0)，D (-1，0，0)，C (-1，1，0)，()102PA =- ，，，()210AC =- ，，，()102PD =-- ，，， ()0 1 0CD =-，，.设()1x y z =，，n 为平面PAC 的一个法向量，由 1100PA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得2020x z x y -=⎧⎨-+=⎩，解得122z xy x⎧=⎪⎨⎪=⎩. 令2x =，则()1241=，，n . 同理可得，平面PDC 的一个法向量()2201=-，，n ， ∴二面角A PC D --的平面角θ的余弦值1212cos 35θ⋅===n n n n . …………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A '(-1，0).依题意，圆C 内切于圆O .设切点为D ，则O C D ，，三点共线. ∵O 为AA '的中点，C 为AB 中点，∴2A B OC '=.∴2222242BA BA OC AC OC CD OD AA ''+=+=+==>=.依椭圆的定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中： 24 22BA BA a AA c ''+====，，∴21a c ==，，∴2223b a c =-=，∴动点B 的轨迹方程为22143x y +=. ………………5分(Ⅱ)当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22143x y +=相切，与题意不符.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x +=-.由()2212143y k x x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩得()()222243168161680k x k k x k k +-+++-=.高三数学试题（理科）答案 第3 页（共4页）设()()1122M x y N x y ，，，，则2122212168431616843102k k x x k k k x x k k ⎧++=⎪+⎪⎪+-=⎨+⎪⎪∆>⇒<⎪⎩， ∴()()12121212122121112222222PM PN k x k x y y k k k x x x x x x ----⎛⎫+=+=+=-+ ⎪------⎝⎭()()()121212121244222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-=----++222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭. ……………12分 (21) (本小题满分12分)(Ⅰ)∵()()22x x f x xe ax x e a '=-=-.当0a ≤时，()f x 在() 0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增，∴()f x 有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在() ln 2a -∞，上单调递增，在()ln 2 0a ，上单调递减，在()0+∞，上单调递增，∴()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点； 当12a >时，()f x 在() 0-∞，上单调递增，在()0 ln 2a ，上单调递减，在()ln 2 a +∞，上单调递增，∴()f x 有2个极值点；综上所述，当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当102a a >≠且时，()f x 有2个极值点； 当12a =时，()f x 没有极值点. …………………6分 (Ⅱ)由()3x f x e x x +≥+得 320x xe x ax x ---≥.当0x >时，210xe x ax ---≥，即21x e x a x--≤对0x ∀>恒成立.设()21x e x g x x --=，则()()()211xx e x g x x ---'=.()1, '()e 1.0, '()0, ()(0,)()(0)0,x x h x e x h x x h x h x h x h =--=->∴>∴+∞∴>= 设则在上单调递增， 1x e x >+即，∴()g x 在()01，单调递减，在()1+∞，上单调递增，∴()()12g x g e ≥=-，∴2a e ≤-. 当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；高三数学试题（理科）答案 第4 页（共4页）当0x <时，210x e x ax ---≤.设()21x h x e x ax =---，则()2x h x e x a '=--. 设()2x x e x a ϕ=--，则()20x x e ϕ'=-<，∴()h x '在()0-∞，上单调递减，∴()()01h x h a '≥'=-. 若1a ≤，则()0h x '≥，∴()h x 在()0-∞，上单调递增，∴()()00h x h <=. 若1a >，∵()010h a '=-<，∴00x ∃<,使得()0 0x x ∈，时，()0h x '<，即()h x 在()0 0x ，上单调递减，∴()()00h x h >=，舍去. ∴1a ≤. 综上可得，a 的取值范围是-∞（，e-2]. ………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)∵22sin cos 0a θρθ-=，∴222sin cos 0a ρθρθ-=，即22x ay =(0a >). …………5分(Ⅱ)将1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22x ay =，得280t a -+=，得21212()480 8a t t t t a⎧∆=--⋅>⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩①. ∵20, .3a a ∴>>解①得∵ PM MN PN ，，成等比数列，∴2MN PM PN =⋅，即21212t t t t -=， ∴()21212124t t t t t t +-=，即2)400a -=，解得56a =,满足23a >.56a ∴=. ……10分 (23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)由题意得9039m x m m +≥⎧⎪⎨+≤+⎪⎩①②，解①得m ≥-9.②可化为939m x m m --≤+≤+，∴9233mx --≤≤. ∵不等式()9f x ≤的解集为[]13-，，∴9213m--=-， 解得3m =-，满足m ≥-9. ∴ m =-3. …………5分 (II)依题意得，()321g x x m x =+--.又∵0m >，∴()()2 352132 1.m x m x m g x x m x x m x ⎧⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪++≥⎪⎩，，()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()20A m --，，2 05m B -⎛⎫⎪⎝⎭，，2 233m m C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，∴()243160215ABCC m S AB y ∆+=⋅=>，解得12m >. ………………10分。
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若 a 1 ，则 h x 若 a 1 ，∵ h 0
， 0 上单调递增，∴ h x
1 a
0 ，∴ x0
0 ,使得 x h 0
x0，0 时， h x 0 ，舍去.
0，
即 h x 在 x0，0 上单调递减，∴ h x
∴a 1.
综上可得，a 的取值范围是 ………………12 分 （ ，e-2]. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 2 (Ⅰ)∵ 2a sin cos 2 0 ，∴ 2a sin cos 2 0 ，即 x 2 2ay ( a 0 ). …………5 分 1 ( 4 3a) 2 4 8a 0 ① x t 2 代入 x 2 2ay ，得 t 2 4 3at 8a 0 ，得 t1 t2 4 3a . (Ⅱ)将 3 y 1 t t1t2 8a 2 2 ∵ a 0, 解①得a . 3 ∵ PM ，MN ，PN 成等比数列，∴ MN ∴ t1 t2
e
x
x2 1 对 x x
0 恒成立.
x2 1 ，则 g x x
x 1 ex x
2
x 1
.
设h( x) ex x 1, 则h '( x) ex 1. x 0,
即e x
h '( x) 0,
h( x)在(0,
)上单调递增，
上单调递增，
h( x) h(0) 0,
x 1 ，∴ g x 在 0，1 单调递减，在 1， g 1 e 2 ，∴ a e 2.
n1 n2 n1 n2
3 105
105 . …………12 分 35
(20)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)如图，设以线段 AB 为直径的圆的圆心为 C ，取 A (-1，0). 依题意，圆 C 内切于圆 O .设切点为 D ，则 O，C，D 三点共线. ∵ O 为 AA 的中点， C 为 AB 中点，∴ A B 2OC . ∴ BA BA 2OC 2 AC 2OC 2CD 2OD 4 AA 2 . 依椭圆的定义可知，动点 B 的轨迹为椭圆，其中： BA BA 2a 4， AA 2c 2 ，
当a
上单
综上所述，当 a 0 时， f x 有 1 个极值点；当 a 0且a
1 时， f x 没有极值点. 2 (Ⅱ)由 f x e x x 3 x 得 xe x x 3
1 时， f x 有 2 个极值点； 2
当a
…………………6 分
ax 2 x
0.
当 x 0 时， e x 设g x
ex
x2
ax 1 0 ，即 a
2
∴ k PM
k PN
y1 x1 2 2k x1 x1
y2 x2
1 k x2 x2
2 2
1
x1 2 2k
2k
1 x1 2 x2
1 2
x1 x2 4 x1 x2 2 x1 x2
4
4
2k
16k 8k 4k 2 3
16k 2 16k 8 16k 2 8k 2 4k 2 3 4k 2 3
2k 3 2k 4
3.
②可化为 9 m 3x m 9 m ，∴
…………5 分
x m 2
x m 3
m ， 3 x 1 ， x 1.
又∵ m 0 ，∴ g x
5x m 2 x m 2
g x 的 图 象 与 x 轴 围 成 的 ABC 的 三 个 顶 点 的 坐 标 为 A
m 2，0 ， B
2 m ，0 ， 5
C
2m m 2 ， ， 3 3
合肥市 2018 年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C 9 C 10 B 11 C 12 B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 1 (13) (14)10 (15)4 (16)2 或 7 2 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设数列 an 的公比为 q . 由 4 S5 ∴ an (Ⅱ) bn ∴ Tn
………………8 分
………………12 分
(19)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)由条件可知， Rt ADC ≌ Rt BAO ，∴ DAC ABO ， AOB ABO AOB 90 ，∴ AC BO . ∴ DAC
高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）
∵ PA PD ，且 O 为 AD 中点，∴ PO AD . 平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD ∵ ，∴ PO 平面ABCD . PO AD PO 平面PAD 又∵ AC 平面ABCD ，∴ AC PO . 又∵ BO PO O ，∴ AC 平面POB . ∴平面 POB 平面 PAC . …………5 分 ∵ AC 平面PAC ， (Ⅱ)以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 P (0，0，2)， A (1，0，0)， D (-1，0，0)， C (-1，1，0)， PA 1，0， 2 ， AC 2，， 1 0 ， PD 1，0， 2 ，
a2 c2 3 ， x2 y 2 ∴动点 B 的轨迹方程为 1. 4 3
.
………，∴ b 2
(Ⅱ)当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x
2 ，此时直线 l 与椭圆
x2 4
y2 3
1 相切，与题
意不符. 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y 1 k x 2 .
……………12 分
(21) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)∵ f x xe x 2ax x e x 2a . 当 a 0 时， f x 在 当0 a 在 0， ， 0 上单调递减， 上单调递增， ∴ f x 有 1 个极值点； 上
1 时， f x 在 ， ln 2a 上单调递增，在 ln 2a， 0 上单调递减，在 0， 2 单调递增，∴ f x 有 2 个极值点； 1 时， f x 在 R 上单调递增，此时 f x 没有极值点； 2 1 当a 时， f x 在 ， 0 上单调递增，在 0， ln 2a 上单调递减，在 ln 2a， 2 调递增，∴ f x 有 2 个极值点；
CD
0， 1，0 .
设 n1
z y 1 x 2 . 2x
x，y，z 为 平 面 PAC 的 一 个 法 向 量 ， 由
n1 PA 0 n1 AC 0
得
x 2z 2x y
0 0
，解得
令x
2 ，则 n1
2，4，1 .
2，0， 1 ，
同理可得，平面 PDC 的一个法向量 n2
∴二面角 A PC D 的平面角 的余弦值 cos
13
3 3
1
2n 1 3 ，
∴ 2Tn ∴ Tn
1 2 3
2
2 3
n 1
2n 1 3n
n 1 3n 1 .
……………12 分
(18)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)该市此次检测理科数学平均成绩约为: 65 0.05 75 0.08 85 0.12 95 0.15 105 0.24 115 0.18 125 0.1 135 0.05 145 0.03 0 ………………5 分 103.2 103 . (Ⅱ)①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 x1 ， 根据题意得， P x
ABC
∴S
1 AB yC 2
4 m 3 15
2
60 ，解得 m 12 .
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………………10 分
高三数学试题（理科）答案
3Tn
3S 4
S6 ，得 S6
S5
n 1
3S5 3S 4 ，即 a6
3a5 ，∴ q
3，
……………3 分 ……………5 分 ……………6 分
9 3 13
n 3
3 3 3
n 1
. ，
(2n 1) 3
2n 3 3
n 1
2 n 1 an
0
1
2n 1 3
1
2
5 3
2 3
2
n 1
，
n
……………8 分
2 2 2n 3n ，
y 1 k x 2 由 x2 y 2 得 4k 2 3 x 2 1 4 3
16k 2 8k x 16k 2 16k 8
0.
高三数学试题（理科）答案
第 2 页（共 4 页）
设 M x1，y1 ，N x2，y2
16k 2 8k 4k 2 3 16k 2 16k 8 ，则 x1 x2 ， 4k 2 3 1 0 k 2 x1 x2 k x1 2 2 x2 4 2 x2 2
x1 1 x1
0
1
x1 103 19.3
0.46 ，即
x1 103 19.3
0.54 .
由 (0.7054) 0.54 得，
x1 103 0.7054 x1 116.6 117 ， 19.3 故本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 117 分. 107 103 ② P x 107 1 1 0.2072 1 0.5832 0.4168 ， 19.3 故理科数学成绩为 107 分，大约排在 10000 0.4168 4168 名.
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∴g x
当 x 0 时，不等式恒成立， a R ；
高三数学试题（理科）答案
当 x 0 时， e x x 2 ax 1 0 . 设 h x e x x 2 ax 1 ，则 h x 设
x e
x
ex
2x a .
2 x a ，则
x
e
x
2
0， h 0 1 a.
h 0
0.