2019-2020学度河北衡水中学高三(上)四调数学试卷(文科)(解析版)
2019-2020学度河北衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）（解析版）【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在以下四个选项中，只有一个是符合题目要求的．〕1．在空间，以下命题错误的选项是〔〕A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交B、一个平面与两个平行平面相交，交线平行C、平行于同一平面的两个平面平行D、平行于同一直线的两个平面平行2．设集合P={x|}，m=30.5，那么以下关系中正确的选项是〔〕A、m⊈PB、m∉PC、m∈PD、m⊄P3．如下图，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，那么该建筑物的高度为〔〕A、〔30+30〕mB、〔30+15〕mC、〔15+30〕mD、〔15+15〕m4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A、+B、1+C、D、15．正数组成的等比数列{a n}，假设a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为〔〕A、20B、25C、50D、不存在6．设x，y满足不等式组，假设z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、[﹣2，1]C、[﹣3，﹣2]D、[﹣3，1]7．假设函数y=f〔x〕的导函数为y=f′〔x〕，且，那么y=f〔x〕在[0，π]上的单调增区间为〔〕A、B、C、和D、和8．不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，那么常数a的最小值为〔〕A、1B、2C、3D、49．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，那么棱锥S﹣ABC 的体积为〔〕A、B、 C、 D、10．，，与的夹角为，那么等于〔〕A、2B、6C、D、1211．设过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、〔﹣1，2〕C、[﹣2，1]D、〔﹣2，1〕12．设函数f〔x〕满足x2f′〔x〕+2xf〔x〕=，f〔2〕=，那么x＞0时，f〔x〕〔〕A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么〝α⊥β〞是〝m⊥β〞的条件〔从〝充分不必要〞、〝必要不充分〞、〝充要〞、〝既不充分也不必要〞中选出一种填空．〕14．函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=．15．设向量，〔n∈N*〕，假设，设数列{a n}的前n项和为S n，那么S n的最小值为．16．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为．【三】解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．函数f〔x〕=2sin2〔x+〕﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f〔x〕取到最大值．〔1〕求f〔x〕的最大值及α的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c 的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．〔1〕求证：PC⊥AD；〔2〕求点D到平面PAM的距离．19．等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．〔Ⅰ〕分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕设c n=，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．〔1〕证明：BC1∥平面A1CD；〔2〕求异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．21．f〔x〕=xlnx，g〔x〕=，直线l：y=〔k﹣3〕x﹣k+2〔1〕函数f〔x〕在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值〔2〕假设至少存在一个x0∈[1，e]使f〔x0〕＜g〔x0〕成立，求实数a的取值范围〔3〕设k∈Z，当x＞1时f〔x〕的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE 交AB于点F，且AB=2BP=4，〔1〕求PF的长度．〔2〕假设圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．选做题223．〔2019•邯郸一模〕选修4﹣5：不等式选讲函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x+2|﹣a〕．〔Ⅰ〕当a=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设关于x的不等式f〔x〕≥3的解集是R，求实数a的取值范围．2019-2016学年河北省衡水中学高三〔上〕四调数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在以下四个选项中，只有一个是符合题目要求的．〕1．在空间，以下命题错误的选项是〔〕A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交B、一个平面与两个平行平面相交，交线平行C、平行于同一平面的两个平面平行D、平行于同一直线的两个平面平行【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据面面平行的性质可判断C；根据空间线面平行的几何特征及面面位置关系的定义和分类，可判断D、【解答】解：根据面面平行的性质可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交，故A正确；根据面面平行的性质定理可得：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，故B正确；根据面面平行的性质可得：平行于同一平面的两个平面平行，故C正确；平行于同一直线的两个平面，可能平行也可能相交，故D错误；应选：D【点评】此题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．2．设集合P={x|}，m=30.5，那么以下关系中正确的选项是〔〕A、m⊈PB、m∉PC、m∈PD、m⊄P【考点】集合关系中的参数取值问题；元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】解出集合P中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与P的关系，从而得到答案．【解答】解：∵P={x|x2﹣x≤0}，∴，又m=30.5=故m∉P，应选B、【点评】此题考查元素与集合的关系，一元二次不等式的解法．3．如下图，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，那么该建筑物的高度为〔〕A、〔30+30〕mB、〔30+15〕mC、〔15+30〕mD、〔15+15〕m【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin〔45°﹣30°〕=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30〔+〕，∴建筑物的高度为PBsin45°=30〔+〕×=〔30+30〕m，应选A、【点评】此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A、+B、1+C、D、1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【解答】解：根据可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1，故组合体的体积V=1+，应选：B【点评】此题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．5．正数组成的等比数列{a n}，假设a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为〔〕A、20B、25C、50D、不存在【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质以及基本不等式得a 7+a14≥2=2=2=20．【解答】解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a1•a20=a7•a14=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．应选：A、【点评】此题考查等比数列性质的应用，结合基本不等式是解决此题的关键．注意均值定理的合理运用．6．设x，y满足不等式组，假设z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、[﹣2，1]C、[﹣3，﹣2]D、[﹣3，1]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：那么A〔1，1〕，B〔2，4〕，∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，假设a=0，那么y=z，此时满足条件，假设a＞0，那么目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，那么目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，假设a＜0，那么目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，那么目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，应选：B、【点评】此题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决此题的关键．注意要进行分类讨论．7．假设函数y=f〔x〕的导函数为y=f′〔x〕，且，那么y=f〔x〕在[0，π]上的单调增区间为〔〕A、B、C、和D、和【考点】复合三角函数的单调性；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】为了求函数的一个单调递增区间，必须考虑到，据此即可求得单调区间，再利用自变量x的取值范围[0，π]，即可得到答案．【解答】解：由于，得到，解得，取k=0，k=1，又x∈[0，π]，那么和．故答案为：D【点评】此题以余弦函数为载体，考查复合函数的单调性，关键是利用导函数求函数的单调增区间．8．不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，那么常数a的最小值为〔〕A、1B、2C、3D、4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令f〔y〕=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化为2x+≥f〔y〕max=4，令g〔x〕=﹣〔2x〕2+4×2x，那么a≥g〔x〕max=4，从而可得答案．【解答】解：令f〔y〕=|y+4|﹣|y|，那么f〔y〕≤|y+4﹣y|=4，即f〔y〕max=4．∵不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，∴2x+≥f〔y〕max=4，∴a≥﹣〔2x〕2+4×2x=﹣〔2x﹣2〕2+4恒成立；令g〔x〕=﹣〔2x〕2+4×2x，那么a≥g〔x〕max=4，∴常数a的最小值为4，应选：D、【点评】此题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．9．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，那么棱锥S﹣ABC 的体积为〔〕A、B、 C、 D、【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，那么进而可得：V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．应选C、【点评】此题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB 的平面与SC垂直是此题的解题关键，常考题型．10．，，与的夹角为，那么等于〔〕A、2B、6C、D、12【考点】平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出〔4﹣〕2，开方得出答案．【解答】解：=1×=1，〔4﹣〕2=162﹣8+=12．∴|4﹣|=2．应选：C、【点评】此题考查了向量的模与向量的数量积运算，是基础题．11．设过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、〔﹣1，2〕C、[﹣2，1]D、〔﹣2，1〕【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数f〔x〕=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈〔0，1〕，再求出g〔x〕的导函数的范围，然后把过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f〔x〕=﹣e x﹣x，得f′〔x〕=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈〔0，1〕，由g〔x〕=ax+2cosx，得g′〔x〕=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．应选：A、【点评】此题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．12．设函数f〔x〕满足x2f′〔x〕+2xf〔x〕=，f〔2〕=，那么x＞0时，f〔x〕〔〕A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】令F〔x〕=x2f〔x〕，利用导数的运算法那么，确定f′〔x〕=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：∵函数f〔x〕满足，∴令F〔x〕=x2f〔x〕，那么F′〔x〕=，F〔2〕=4•f〔2〕=．由，得f′〔x〕=，令φ〔x〕=e x﹣2F〔x〕，那么φ′〔x〕=e x﹣2F′〔x〕=．∴φ〔x〕在〔0，2〕上单调递减，在〔2，+∞〕上单调递增，∴φ〔x〕的最小值为φ〔2〕=e2﹣2F〔2〕=0．∴φ〔x〕≥0．又x＞0，∴f′〔x〕≥0．∴f〔x〕在〔0，+∞〕单调递增．∴f〔x〕既无极大值也无极小值．应选D、【点评】此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么〝α⊥β〞是〝m⊥β〞的必要不充分条件〔从〝充分不必要〞、〝必要不充分〞、〝充要〞、〝既不充分也不必要〞中选出一种填空．〕【考点】充要条件．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】可以想象两平面垂直，平面内的直线和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面内，所以由α⊥β得不出m⊥β，而由m⊥β，能得到α⊥β，这根据面面垂直的判定定理即可得到，所以α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．【解答】解：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行；假设m⊂a，m⊥β，那么根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；∴α⊥β，是m⊥β的必要不充分条件．故答案为必要不充分．【点评】考查面面垂直时平面内的直线和另一平面的位置关系，面面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．14．函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=3．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用导函数求解函数值即．【解答】解：函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=log3〔10﹣1〕+2﹣1+1=2+1=3．故答案为：3．【点评】此题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．15．设向量，〔n∈N*〕，假设，设数列{a n}的前n项和为S n，那么S n的最小值为1．【考点】数列与向量的综合．【专题】计算题；函数思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和．【解答】解：向量，〔n∈N*〕，假设，可得a n==2〔〕．S n=a1+a2+a3+…+a n=2[1+…+]=．数列{S n}是递增数列，S n的最小值为：S1=1．故答案为：1．【点评】此题考查向量与数列相结合，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．16．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，结合图形求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是四棱锥M﹣PSQN，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，如下图；所以该四棱锥的体积为V=V三棱柱﹣V三棱锥=×22×2﹣××22×2=．故答案为：．【点评】此题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．【三】解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．函数f〔x〕=2sin2〔x+〕﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f〔x〕取到最大值．〔1〕求f〔x〕的最大值及α的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的求值．【分析】〔1〕利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．〔2〕利用正弦定理把角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b﹣c的值．【解答】解：〔1〕依题．又，那么，故当即时，f〔x〕max=3．〔2〕由〔1〕知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，那么b2+c2﹣bc=bc即〔b﹣c〕2=0，故b﹣c=0．【点评】此题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．〔1〕求证：PC⊥AD；〔2〕求点D到平面PAM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】〔1〕取AD中点O，由题意可证AD⊥平面POC，可证PC⊥AD；〔2〕点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P﹣ACD的体高．设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD可得h的方程，解方程可得．【解答】解：〔1〕取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，∴AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD、〔2〕点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由〔1〕可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，∴△PAC的面积，设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD得，又，∴，解得，∴点D到平面PAM的距离为．【点评】此题考查点线面间的距离计算，涉及棱锥的结构特征以及垂直关系的证明和应用，属中档题．19．等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．〔Ⅰ〕分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕设c n=，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】〔I〕利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用递推式可得b n．〔II〕，由c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，作差c n+1﹣c n对n分类讨论即可得出．【解答】〔Ⅰ〕解：∵a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列，∴2a2=a1+a3﹣8，∴，化为q2﹣2q﹣3=0，∴q1=3，q2=﹣1，∵q＞1，∴q=3，∴，当n=1时，．当n≥2时，，当n=1时，2×1﹣9=b1满足上式，∴．〔Ⅱ〕，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，，当c n+1=c n时，即n=5时，c5=c6，当c n+1＞c n时，即n＜5，n∈N*时，c1＜c2＜c3＜c4＜c5，当c n+1＜c n时，即n＞5，n∈N*时，c6＞c7＞c8＞c9＞…，∴c n的最大值为，即．∴m的最小值为．【点评】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．〔1〕证明：BC1∥平面A1CD；〔2〕求异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】〔1〕连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DF∥BC1，再利用线面平行的判定定理即可证明．〔2〕由〔1〕可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，在△A1DF中，由余弦定理即可得出．〔3〕利用面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ABB 1A1，利用=﹣S△BDE﹣﹣可得，再利用三棱锥C﹣A1DE的体积V=即可得出．【解答】〔1〕证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴DF∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；〔2〕解：由〔1〕可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，═==1，A1D===，=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∠A1DF∈〔0，π〕，∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==．=﹣S△BDE﹣﹣=﹣﹣﹣=，∴三棱锥C﹣A1DE的体积V===1．【点评】此题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．f〔x〕=xlnx，g〔x〕=，直线l：y=〔k﹣3〕x﹣k+2〔1〕函数f〔x〕在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值〔2〕假设至少存在一个x0∈[1，e]使f〔x0〕＜g〔x0〕成立，求实数a的取值范围〔3〕设k∈Z，当x＞1时f〔x〕的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】〔1〕先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．〔2〕由于存在x0∈[1，e]，使f〔x0〕＜g〔x0〕，那么kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h〔x〕=的最小值即可．〔3〕分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．【解答】解：〔1〕∵f′〔x〕=1+lnx，∴f′〔e〕=1+lne=k﹣3∴k=5，〔2〕由于存在x0∈[1，e]，使f〔x0〕＜g〔x0〕，那么ax02＞x0lnx0，∴a＞设h〔x〕=那么h′〔x〕=，当x∈[1，e]时，h′〔x〕≥0〔仅当x=e时取等号〕∴h〔x〕在[1，e]上单调递增，∴h〔x〕min=h〔1〕=0，因此a＞0．〔3〕由题意xlnx＞〔k﹣3〕x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F〔x〕=，∴F′〔x〕=，令m〔x〕=x﹣lnx﹣2，那么m′〔x〕=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，且m〔3〕=1﹣ln3＜0，m〔4〕=2﹣ln4＞0，所以在〔1，+∞〕上存在唯一实数x0〔x0∈〔3，4〕〕使m〔x〕=0当1＜x＜x0时m〔x〕＜0即F′〔x〕＜0，当x＞＜x0时m〔x〕＞0即F′〔x〕＞0，所以F〔x〕在〔1，x0〕上单调递减，在〔x0，+∞〕上单调递增，F〔x〕min=F〔x0〕===x0+2∈〔5，6〕故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5【点评】此题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE 交AB于点F，且AB=2BP=4，〔1〕求PF的长度．〔2〕假设圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【专题】计算题．【分析】〔1〕连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，从而得到△PFD∽△PCO，最后再结合割线定理即可求得PF 的长度；〔2〕根据圆F与圆O内切，求得圆F的半径为r，由PT为圆F的切线结合割线定理即可求得线段PT的长度．【解答】解：〔1〕连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故．〔2〕假设圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2﹣r=1即r=1所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT那么PT2=PB•PO=2×4=8，即【点评】本小题主要考查圆的切线的判定定理的证明、同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系、割线定理等基础知识，考查运算求解能力转化思想．属于基础题．选做题223．〔2019•邯郸一模〕选修4﹣5：不等式选讲函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x+2|﹣a〕．〔Ⅰ〕当a=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设关于x的不等式f〔x〕≥3的解集是R，求实数a的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】〔Ⅰ〕由题意可得，|x﹣1|+|x+2|＞7，故有：，或，或，把各个不等式组的解集取并集，即得所求．〔Ⅱ〕由不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥a+8恒成立，再由|x﹣1|+|x+2|的最小值等于3，故有a+8≤3，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕由题设知：|x﹣1|+|x+2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或…〔3分〕解得函数f〔x〕的定义域为〔﹣∞，﹣4〕∪〔3，+∞〕；…〔5分〕〔Ⅱ〕不等式f〔x〕≥3，即|x﹣1|+|x+2|≥a+8，∵x∈R时，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|〔x﹣1〕﹣〔x+2〕|=3，…〔8分〕∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，∴a的取值范围是〔﹣∞，﹣5]．…〔10分〕【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，表达了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题 文(含解析)
数学（文）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识试卷长度、题型比例配置与《考试说明》一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间为120分钟。
第I卷（选择题共60分）【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设集合的范围是【知识点】集合 A1a≤，故选B【答案】【解析】B 解析：由子集的概念可知1【思路点拨】根据子集的概念可知集合中元素的取值范围.【题文】2．已知空间直线L不在平面a内，则“直线L上有两个点到平面口的距离相等”是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【知识点】充分条件与必要条件 A2【答案】【解析】B解析：直线不在平面内分为直线与平面平行与相交两种情况，有两个点到lα，必要不充分条件.B为正确选平面的距离相等，则直线与平面也是平行或相交，所是是//项.【思路点拨】根据条件与结论之间的关系可知正确结果.【题文】3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为C．200 D． 240【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由三视图可知几何体为底面是等腰梯形的四棱柱，所以它的体积为()1284102002V Sh ==+⋅⋅=，所以正确选项为C.【思路点拨】由三视图可知几何体的形状，再根据几何体的直观图求出体积. 【题文】4．已知函数，则下列结论中正确的是A ．函数的最小正周期为B ．函数的最大值为1C ．将函数的图像向右平移的图像D ．将函数的图像向左平移的图像【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 C4 【答案】【解析】C 解析：∵，∴f（x ）=cosx ，g （x ）=sinx∴f（x ）g （x ）=sinxcosx=sin2x ，T=，排除A ，，排除B ；将f （x ）的图象向左平移个单位后得到y=cos （x+）=﹣sinx≠g（x ），排除D ；将f （x ）的图象向右平移个单位后得到y=cos （x ﹣）=sinx=g （x ），故选C ．【思路点拨】先将函数f （x ），g （x ）根据诱导公式进行化简，再求出f （x ）g （x ）的解析式，进而得到f （x ）g （x ）的最小正周期和最大值可排除A ，B ；再依据三角函数平移变换法则对C ，D 进行验证即可． 【题文】5．直线分割成的两段圆弧长之比为A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：4【知识点】直线与圆 H4【答案】【解析】B 解析：因为圆心到直线的距离为12d =，所以劣弧所对的圆心角为120︒，优弧所对的圆心角为240︒，所以两段的弧长之比与圆心角之比相等为1:2，所以B 正确. 【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可求出圆心角的大小. 【题文】6．已知的最小值是A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】A 解析：因为由对数的运算可知3lg2lg8lg2lg231 x y x y x y++==∴+=，所以()11113324 333y xx yx y x y xy⎛⎫+=++=++≥⎪⎝⎭，33y xx y+=能取等号，所以A 正确. 【思路点拨】根据对数的运算求出x,y的关系，再根据基本不等式求出最小值.【题文】7．椭圆的一个焦点为F1若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质 H5【答案】【解析】D 解析：设线段PF的中点为M ，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM 是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又 MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故选：D．【思路点拨】设线段PF 的中点为M ，另一个焦点F′，利用OM是△FPF′的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求离心率【题文】8．已知等差数列项和为时为递增数列，则实数λ的取值范围为【知识点】数列的函数特性 D1【答案】【解析】D 解析：∵an=2n+λ，∴a1=2+λ，∴Sn===n2+（λ+1）n，又因为n∈N由二次函数的性质和n∈N可知＜7.5即可满足数列{Sn}为递增数列，解不等式可得λ＞﹣16故选：D【思路点拨】Sn==n2+（λ+1）n，利用函数的单调性，列不等式即可求解．【题文】9．已知双曲线的一条渐近线与函数的图像相切，则双曲线的离心率等于【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】【解析】D 解析：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴=，∴n=1，m=，∴=2，∴e===．故选：D．【思路点拨】设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=2，即可求出双曲线Γ的离心率．【题文】10．已知实数x、y满足不等式组的取值范围是【知识点】简单的线性规则 E5【答案】【解析】B 解析：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）∵ax+by≤1∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤,即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b的范围．【题文】11．抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为A．2 B．4 C．6 D．8【知识点】抛物线的简单性质 H7【答案】【解析】D 解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】12．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x，()f x'是它的导函数，且恒有()()tanf x f x x'<成立，则【知识点】导数的运算 B11【答案】【解析】A 解析：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜()f x'tanx，得f（x）cosx＜()f x'sinx．即()f x'sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=x∈（0，），则．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则，即，所以，即．故选A．【思路点拨】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g （x ）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案．第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 【题文】13．函数的所有零点之和为____．【知识点】函数的零点 B9【答案】【解析】4 解析： 由题意可知函数的零点就是1sin 1x x π=-的根，由图像可知y sin x π=是周期为2的函数，与1y 1x =-交点有四个，根据周期性可知四个根的和为4.【思路点拨】根据函数的图象可得到交点的性质.【题文】14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0．6180339887．人们称该数列为“斐波那契数列”，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值是 。
河北省衡水中学2019-2020高三上学期九模考试数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年度上学期高三年级九模考试（文科）数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）2. ）A. 2B. 1C. 0D. -13. ，则输入的）学|科|网...学|科|网...A. 1B. 2C. 4D. 1或44. ，时，（，的值为（）A. 4B. -4C. 6D. -65. ）6. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A. 18 B. 17 C. 16 D. 157. 如图，在圆周上等可能的任取一点的长度超过）8. 已知函数）A. B.C. D.9. ，，为（）10. 若非零向量满足，则下列不等式恒成立的为（）D.11. ，，若）C. D.12. 四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 2．14. ________．15. 设函数，对任意的取值范围是______．16. ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1（218. 中，，的中点，（1（2，使得？若存在，请求出.19. 交警随机抽取了途经某服务站的40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：，现将其分成六组为率分布直方图.（1（2.20. 与抛物线时，弦（1）求抛物线（2，且直线点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.21. .（1（2）在（1请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线（，右焦点，为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1（2且与直线两点，求.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（1（2的图象恒有公共点，求实数.2019-2020学年度上学期高三年级九模考试（文科）数学试卷解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）【答案】D【解析】故选：D2. ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】故选：D3. ，则输入的）A. 1B. 2C. 4D. 1或4【答案】D输出的或，故选D.4. 满足对任意的，时，（，的值为（）A. 4B. -4C. 6D. -6【答案】B，，即函数B考点：奇函数的性质，对数的运算5. ）【答案】A【解析】试题分析：时，；成立的充要条件不是因为函数R成立的充要条件是D．考点：1、不等式的性质; 2、充要条件．6. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A. 18 B. 17 C. 16 D. 15【答案】B【解析】由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17.故选：B.7. 如图，在圆周上等可能的任取一点的长度超过）【答案】D【解析】本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN其构成的区域是半圆，则弦MN的概率是故选：D．8. ）A. B.C. D.【答案】A【解析】当增，则B、D错误；所以A正确，故选A.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...9. ，，为（）【答案】A【解析】作出可行域，如图：表示可行域上的动点与连线的斜率，，点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10. 满足）D.【答案】A【解析】A.C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，∴可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；；又BA+BC>AC点睛：点睛:这个题目考查了向量加法的三角形法则,向量形式的三角形不等式法则,有一定的计算量.对于向量的小题常用的方法有:数形结合法,建系的方法,见模平方的意识,基底化的意识.11. ，，若）C. D.【答案】C【解析】，则可得三为直角三角形，在C.【方法点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：，②③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据特殊直角三角形可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找12. ）【答案】C【解析】为矩形，，作中，，，，，.选C.【点睛】求几何体的外接球的半径问题，常用方法有三种：（1）恢复长方体，（2）锥体或柱体“套”在球上，（3）过两个面的外心作垂线，垂线的交点即为球心.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 2．【答案】2【解析】抛物线的标准方程：y2=ax0），准线方程为x=由抛物线的焦半径公式|PF|=x0，解得：a=2，故答案为：2．点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合}{1,2,3M =-，{}22,2N a a =++，且}{3M N ⋂=，则实数a值为( ) A. 1或-1 B. -1 C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由A 与B 的交集，得到元素3属于A ，且属于B ，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，经检验即可得到满足题意a 值． 【详解】∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A 且3∈B ， ∴a +2＝3或a 2+2＝3， 解得：a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，a +2＝3，a 2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a ＝﹣1． 故选B【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52的【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=， 所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a =＋＋，那么35a a ＋的值等于（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20【答案】A 【解析】试题分析：由于{}n a 是等比数列，，()2465a a a =，()224354635225,a a a a a a a a ∴++=+=又0n a >35+5a a ∴=.故选A. 考点：等比中项.4.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点(3,-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( ) A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离. 【详解】设双曲线方程22916x y λ-=，将点(3,-代入双曲线方程，解得2214,1494x y λ=⇒-=.从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭,一条渐近线方程为43y x =，即4x -3y =0，2=， 故选B .【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A. 1b =B. a b ⊥C. 1a b ⋅=D. ()4C a b +⊥B【答案】D 【解析】 试题分析：2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭．()4a b BC ∴+⊥．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 【此处有视频，请去附件查看】6.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+【答案】D 【解析】【详解】A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.考点：函数的概念7.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为3，P 为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=，则12PF F ∆的周长为（ ）A. B. 2+ C. 4 D. 4【答案】C 【解析】双曲线()22210x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F =，可得2a c ==，122PF PF a -==，① ()()22121212PF PF PF PF PFPF -=-+())1212122a PF PF PF PF PF PF =+=+=+=，② 由①②得12PF PF ==12PF F ∴∆的周长为12124PF PF F F ++=+ C.8.函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图， 可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC 所示：顶点P 在以BA 和BC 为邻边的平行四边形ABCD 上的射影为CD 的中点O ， 故该锥体的正视图是：A 考点：三视图10.已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A.2019πB.42019πC.22019πD.4038π 【答案】C 【解析】 【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==， 12A x x ∴-的最小值为22019π， 故选C ．【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．11.已知椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A C ，，上顶点为B ．过F B C ，，作圆P ，其中圆心P 的坐标为()m n ，．当0m n +>时，椭圆离心率的取值范围为（ ）A. 02⎛ ⎝⎭， B. 102⎛⎫⎪⎝⎭，C. 02⎛ ⎝⎭，D. 05⎛ ⎝⎭，【答案】A 【解析】 【分析】分别求出线段FA 与AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P ，利用m +n ＞0，与离心率计算公式即可得出． 【详解】如图所示，线段FC 的垂直平分线为：12x =，线段BC 的中点122b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ∵BC k b =-，∴线段BC 的垂直平分线的斜率1k b=． ∴线段BC 的垂直平分线方程为：1122b y x b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，把x m ==代入上述方程可得：y n ==．∵0m n +>，0．化为：b 01b <<，解得12b <．∴02c e c a ⎛ ⎝⎭==，． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档. 12.设D 2a =+,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )B.11【答案】C 【解析】表示两点(,)x C x e 与点(,A a 距离，而点A 在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2D a =+，(,)x C x e 与点(,A a 的距离， 而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线x y e =的垂线，此时D 取得最小值，的即Q 为切点，设(,)m m e ， 由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=， 设()2m g m m e =+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】778【解析】【分析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案．【详解】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤，的则数列{}n a 构成等差数列，设公差d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得8910123443a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即113244463a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得778d =， 所以每一等人比下一等人多得斤金778． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．14.已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____．【答案】()()22445x y -+-= 【解析】【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l 的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程.【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB 的斜率()221424A B A B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点D 在直线l 的下方，则22102t t -+>， 点D 到直线l的距离为()2212154t t t d -+--==，当4t =时，d， 此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=. 故答案为()()22445x y -+-=.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1）图（2）π【答案】23【解析】【分析】解决．【详解】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R=∴A'F===2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ===2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c+=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为__________．【答案】(]12,24【解析】由ABC ∆的三边分别为a ，b ，c 可得：113a b b c a b c +=++++，3a b c a b c a b b c+++++=++ 1c a a b b c∴+=++ 可知：()()()()c b c a a b a b b c +++=++222ac a c b =+-2221cos 22a cb B ac +-∴==，3B π=23R ππ=，R =2sin sin sin a b c R A B C∴===a A ∴=，c C =)233sin sin sin sin sin cos 322a c A C A A A A π⎤⎛⎫⎫+=+=+-=+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦ 6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 203A π<< 5666A πππ∴<+< 36sin 66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ 可知3? 6a c <+≤()()()222sin 22f x x a c a c ⎡⎤=--++++⎣⎦ 1sin 1x -≤≤可知当sin 1x =时，()()4max f x a c =+()12424a c ∴<+≤则()()241f x cos x a c sinx =+++的最大值的取值范围为(]1224，点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）令24()1n n b n N a *=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =+；22n S n n =+（2）1n n T n =+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式列1,a ,d 的方程组求解{}n a 再求前n 项和公式即可得出．（2）变形()22441111211n n b a n n n ===--++-，利用裂项相消求和【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,∵37a =,5726a a +=,∴1127{21026a d a d +=+=,解得13a =,2d =,∴()32121n a n n =+-=+;()213222n n n S n n n -=+⨯=+. （2）()22441111211n n b a n n n ===--++-, ∴11111111223111n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查裂项相消求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图,在平面四边形ABCD 中,已知AB=BC=CD=2，AD=(1)cos A C -的值;(2)记△ABD 与△BCD 的面积分别是S 1与S 2,求2212S S +的最大值,【答案】（1）12；(2)232. 【解析】试题分析：(1)在∆ABD ，∆BCD 中,分别用余弦定理,列出等式,cos A C - 的值;(2)利用(1)的结果,得到2212s s +是关于cos A 的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出BD 的范围,由BD 的范围求出cos A 的范围,再求出2212s s +的最大值.试题解析：（1）在∆ABD 中：222BD =AB +AD -2AB AD cosA ⨯⨯⨯ ;A在∆BCD 中：222BD =BC 2cos 88cos CD BC CD C C +-⨯⨯⨯=-所以88cos A C =-1cos 2A C -=； 由题意22211AB AD sin 8sin ,2s A A ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭ 22221sin 4sin ;2s CB CD C C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭所以：2222128sin 4sin s s A C +=+ ()()22=81-cos 41cos A C +- 22=12-8cos 4cos A C - 221=12-8cos 42A A ⎫--⎪⎭2=-16cos 11A A ++223=-16cos 82A ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭224,216BD BD <<∴<<，21216A ∴<-<，解之得：-cos 4A <<所以当cos -184A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()2212max 232s s +=. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.19.已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1.（1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点,M N （,M N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于,A B 两点，若//AB MN ，线段MN 上是否存在定点E ，使得·4EM EN AB =恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) 24y x =(2)存在，且坐标为()4,0 【解析】【分析】（1）由P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，结合抛物线定义可得12p =，从而可得结果；（2）设()22121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合OM ON ⊥，可得直线()124:4MN y x y y =-+，直线()1AB y k x =-：，与C联立，利用弦长公式求得2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，可得200241·116y EM EN y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，·4EM EN AB =时，20041616y y k-+=，从而可得结果. 【详解】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义，12p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，（2）由题意，0MN k ≠， 设()22121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由OM ON ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+， 2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭整理可得()1244y x y y =-+，直线:AB ①若斜率存在，设斜率为(),1k y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，01·EM EN y y =-()()2120120211y y y y y y k ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭20241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ·4EM EN AB=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上，②若斜率不存在，则4,?4?416AB EM EN ===， 此时点()4,0E 满足题意， 综合上述，定点E 为()4,0.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.20.椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞的离心率是3P （0，1）做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y轴时AB = （1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点M （m ，0），使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．【答案】(Ⅰ) 22194x y +=；(Ⅱ)见解析．【解析】 【分析】2249b a =，于是椭圆方程为2222149x y a a +=．有根据题意得到椭圆过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将坐标代入方程后求得29a =，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形，则点M 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点．由题意得设出直线AB 的方程，借助二次方程的知识求得线段AB 的中点C 的坐标，进而得到线段AB 的垂直平分线的方程，在求出点M 的坐标后根据基本不等式可求出m 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的离心率为3，所以3c a ==，整理得2249b a =．故椭圆的方程为2222149x y a a +=．由已知得椭圆过点2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以22927144a a+=，解得29a =， 所以椭圆的E 方程为22194x y +=．（Ⅱ）由题意得直线l 的方程为1y kx =+．由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()224918270k x kx ++-=，其中2221849()427()432(31)0k k k ∆=+⨯⨯=+>+． 设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()00,C x y则1212221827,4949k x x x x k k+=-=-++， 所以12029249x x k x k +-==+， ∴0024149y kx k =+=+，∴点C 的坐标为2294,4949kC k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 假设在x 轴存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形， 则点(),0M m 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点．①当0k ≠时，则过点C 且与l 垂直的直线方程221944949k y x k k k⎛⎫=-++⎪++⎝⎭， 令0y =，则得2554499k x m k k k==-=-++．若0k >，则554129kk≤=+， ∴5012m -≤<． 若0k <，则555441299kk kk=-≥-+--，∴5012m <≤． ②当0k =时，则有0m =． 综上可得551212m -≤≤． 所以存在点M 满足条件,且m 的取值范围是55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）若直线3x =被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p 的值；（2）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值；（3）设2p =，1l 、2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A 、B ，2l 与抛物线Γ交于点C 、D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的轨迹方程. 【答案】（1）32p =；（2；（3）23y x =-.【解析】 【分析】（1）当3x =时，代入抛物线方程，求得y ，可得弦长，解方程可得p ；（2）求得A 的坐标，设出过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程，若要使||||PA PF 取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（3）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程【详解】（1）由3x =可得y =，可得6=，解得32p =； （2）A 是点(2p F ，0)关于顶点O 的对称点，可得(2pA -，0)，设过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得△2242(2)0k p p k p =--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45︒，由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα==︒-，而α的最小值为45︒， ||||PA PF ； （3）由24y x =，可得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得 23424x x k +=+，344y y k +=-，点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，可得4(x ，1234)(4y x x x x =+++-，1234)y y y y +++，即为2123424444x x x x x k k =+++-=+①， 1234444y y y y y k k=+++=-+②， 联立①②式消元可得222211()22y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为22y x =-【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题 22.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性； (2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增 当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增. （2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin 1504a a π-->， 设()8sin154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >，因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增，因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e . 【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是： （1）求定义域； （2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.。
衡中2019上四调答案(文数)
2018～2019 学年度上学期高三年级四调考试数学（文科）试卷答案一、BCBAD CACBA DA二．13.1+ 14. 15. 16.1.【解析】集合，集合=，根据集合交集的概念得到.故选 B.2.【解析】由复数相等的充分必要条件有：，即，则，.故选 C.3.【解析】设为坐标原点，∵，∴为直角三角形．又的中点，∴ ．∵ ，∴ ，∴ 为正三角形，∴直线的倾斜角为，∴．∴离心率．故选B．4.【解析】.故选A5.【解析】当a∩α＝P 时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P 时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，又a∥b，由a 与b 确定唯一平面β，但β经过直线a 与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．．故选D．6.【解析】因为，故选C.7.【解析】由题意，PA ⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=2，因为平面ABC，和平面PBC 都是是直角三角形，则角 ABC 为直角，此时满足 BC 垂直于 PA，BC 垂直于 AB 进而得到 BC 垂直于 PB，此时满足面 PBC 为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边 AC 的中点，球心在过底面圆心并且和 PA 平行的直线上，24⎣50⎥ 50并且球心到圆心的距离为1，直角三角形外接圆的半径为r=．∴R2=r2+1，即R=．∴球O的表面积S=4πR2=12π．故选A．()()()k =y1-y2 =y1-y2=4= 3,8【解析】设A x , y, B x , y , C x , y ，则AB x -x y 2 y 2y +y1 12 23 31 2 1 - 2 1 24 4得y +y =4.同理y +y=4=2，y+y =4=-2 ，三式相加得y +y +y= 0 .1 2 3 2 3 6 3 3 1 - 2 1 2 3故与前三式联立，得y1 =-3 , y2= 2, y3=-3y2，x1=141 y2=, x2=29 4y2= 1, x3=34=4，9则x1+x2+x3 =14.故所求重心的坐标为⎛14,0⎫.故选C.3 27⎪⎝27 ⎭9.【解析】由题知，f (-x )+f (x )= 1 -1 + 1-1= 0 ，可得f (x)为奇函数.又f (x)是R 上的减函数，故f(m2-2n)+f(n2-2m)≥0⇒2-x +1 2 2x +1 2f(m2-2n)≥-f(n2-2m)=f (2m -n2 )⇒m2-2n≤2m-n2⇒(m-1)2+(n-1)2≤2，所以满足条件的(m,n)表示的区域是圆(x-1)2+(y-1)2=2的内部（含边界），则点(m,n)到直线x+7y+4=0的距离d=∈⎡⎢12-2,12+ 2⎤，所以m + 7n + 4 的取值范围是[2,22].故选B.⎦10.【解析】由函数的图象可得，则，可得再由五点作图法可得，可得,故函数的解析式为由故将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象,故选。
河北省衡水中学2023届高三上学期四调数学试题(含解析)
河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知i(3i)2i z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.实轴上B.虚轴上C.第一、三象限的角平分线上D.第二、四象限的角平分线上2.已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b，a b += ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为（）A.22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B.()11， C.()1，1--D.22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3.在直角三角形ABC 中，90,60,2A B AB === ，则AB BC ⋅=（）A.4- B.4C.8- D.84.设A ，B ，C 为平面内任意三点，则“AB 与AC的夹角为钝角”是“AB AC BC +< ”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L10.6182-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD，12BE BO -=，则BF =（）A.35210BA BG+B.35210BA BG+C.15210BA BG --+D.325BA BG +6.已知复数z 满足4i 5i z z z a =++⋅，则实数a 的取值范围为（）A .[4,4]- B.[6,6]- C.[8,8]- D.[12,12]-7.已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：0PA PB PC ++= ；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅- ；丙：PA PB PC == ；丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A.甲B.乙C.丙D.丁8.对于给定的正整数n ，设集合{}123n X n = ，，，，，n A X ⊆，且A ≠∅．记()I A 为集合A 中的最大元素，当A 取遍n X 的所有非空子集时，对应的所有()I A 的和记为()S n ，则()2023S =（）A.2023202321⨯+ B.2022202321⨯+ C.2022202221⨯+ D.2023202221⨯+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设非零向量,a b 的夹角为c θ，为任意非零向量，定义运算sin a b a b θ*= ，则下列结论正确的是（）A.若0a b *=，则//a bB.()a b c a b a c*+=*+* C.()()222sin 2a b a b a b θ*= D.若1a b == ，则a b *的最大值为110.已知复数12z z ，满足12||0z z ⋅，则下列结论正确的是（）A.若12z z =，则12z z =± B.1212z z z z +≤+C.若12z z =，则2212z z = D.1212z z z z =⋅11.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴的正半轴、y 轴的非负半轴上滑动，则OB OC ⋅的值可能是（）A.1B.1-C.2D.2-12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的x ，R y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅，则下列说法正确的有（）A.()01f =B.()f x '必为奇函数C.()()00f x f +≥ D.若()112f =，则()2023112n f n ==∑第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知21i 1z z-=+，则z 的虚部是_______．14.若函数()sin cos f x a x x =+的图像关于直线6x π=对称，则=a ___________.15.在ABC 中，AB AC AB AC ==- ，P 是线段BC 上的动点，有下列三个结论：①2AP ≥；②··AB AC AP AC ≥ ；③··AB AP AC AP ≥．则所有正确结论的序号是__________．16.已知向量,,a b c ，满足1a = ，2b a =- ，2c b c a -=- ，则向量c b - 与a 的夹角的最大值是_______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设复数11i z =-，2cos isin z θθ=+，其中[]0,θπ∈.（1）若复数12z z z =⋅为实数，求θ的值；（2）求12z z +的取值范围．18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =，且tan tan cos AB C C+=．（1）求B 和b 的值；（2）求ABC 面积的最大值．19.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，3AD =，3BAD π∠=，E 为CD 中点，AF AD λ=，()01λ≤≤．（1）若AE BF ⊥，求实数λ的值；（2）求BF FE ⋅的取值范围．20.若函数()323f x ax bx x c =+-+为奇函数，且在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．21.治理垃圾是S 市改善环境的重要举措．去年S 市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．（1）写出S 市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数()*n n N∈的表达式；（2）设n A 为从今年开始n 年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．22.已知函数()ln(1)1,f x x =+-（1）求证：(1)3f x -≤-；（2）设函数21()(1)()12=+-+g x x f x ax ，若()g x 在(0,)+∞上存在最大值，求实数a 的取值范围．河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i(3i)2i z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.实轴上B.虚轴上C.第一、三象限的角平分线上D.第二、四象限的角平分线上【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算得出1i z =+，然后在利用复数的几何意义即可求解.【详解】因为i(3i)(13i)(2i)55i1i 2i (2i)(2i)5z -+-+====+++-，所以z 在复平面内对应的点的坐标为()11，，位于第一、三象限的角平分线上．故选：C .2.已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b，a b += ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为（）A.22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B.()11， C.()1，1--D.22⎛- ⎪⎝⎭，【答案】B 【解析】【分析】根据a b += 及相关公式求出2a b =，再根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】由(1,1)=b，得b ==，则a b +== 即42210a b ++= ，则2a b =，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()(1,1)a b b b bb==.故选：B .3.在直角三角形ABC 中，90,60,2A B AB === ，则AB BC ⋅=（）A.4- B.4C.8- D.8【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的定义即可求得结果.【详解】因为ABC 为直角三角形，且60,2B AB ==o ，所以4BC =,且,120AB BC =︒,所以1cos1202442AB BC AB BC ⎛⎫=⨯︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u r uu u r uu u r uu u r g g .故选:A.4.设A ，B ，C 为平面内任意三点，则“AB 与AC的夹角为钝角”是“AB AC BC+< ”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】设AB 与AC的夹角为θ，,,AB c AC b BC a === ，利用利用数量积的运算性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】设AB 与AC的夹角为θ（[]0,θπ∈），,,AB c AC b BC a === ，当AB 与AC的夹角为钝角时，cos 0θ<因为AB AC +====，BC a ==所以AB AC BC+< ，当AB AC BC+< 时，22AB AC BC+< 所以2222AB AC AB AC BC ++⋅< ，所以22222cos 2cos c b bc b c bc θθ++<+-，所以cos 0θ<，所以θ为钝角或θπ=，所以“AB 与AC的夹角为钝角”是“AB AC BC+< ”的充分不必要条件，故选：B5.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为10.6182-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，12BEBO -=，则BF = （）A.35210BA BG + B.35210BA BG -+C.15210BA BG --+D.325BA BG +【答案】D 【解析】【分析】由黄金分割比可得12EO BE -= ，结合矩形的特征可用BG 表示出BO ，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.【详解】在矩形ABCD 中，由已知条件得O 是线段EG 中点，||||,||||AO BO AF BE == ，因12BEBO =，由黄金分割比可得2113)222EO BE BO --=== ，于是得52BGBO OG BO EO -=+=+=，即有510BOBG +=，同理有12AF AO -= ，而AO BO BA=- ，即15210()AF BG BA -+=- 512BG BA =-- ，从而有132525BA BA BF BA AF BA BG BG+---=+==+ ，所以325BF BA BG =+.故选：D6.已知复数z 满足4i 5i z z z a =++⋅，则实数a 的取值范围为（）A.[4,4]- B.[6,6]- C.[8,8]- D.[12,12]-【答案】D 【解析】【分析】设i,,R z x y x y =+∈，由复数相等，得出,,x y a 的关系式，消去x 得到关于y 的一元二次方程有实数解，利用0∆≥，求解即可得出答案.【详解】设i,,R zx y x y =+∈，则()22+4i i 5+i xy x y a +-=，整理得：2244i 5i x y y x a +++=+,所以22454x y y x a⎧++=⎨=⎩，消去x 得22+45016a y y -+=,因为方程有解，所以21645016a ⎛⎫∆=--≥ ⎪⎝⎭，解得：1212a -≤≤.故选：D.7.已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：0PA PB PC ++=；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅- ；丙：PA PB PC == ；丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B 【解析】【分析】先根据向量等式推导出甲中P 为△ABC 的重心，乙中△ABC 为直角三角形，丙中P 为△ABC 的外心，丁中P 为△ABC 的垂心，故得到当△ABC 为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【详解】甲：0PA PB PC ++= ，则PA PB PC +=-，故P 为△ABC 的重心；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅- ，则()0PA PB CA BA CA -⋅=⋅=，故AB AC ⊥，即△ABC 为直角三角形；丙：点P 到三角形三个顶点距离相等，故P 为△ABC 的外心；丁：PA PB PB PC⋅=⋅ ，则()0PA PC PB CA PB -⋅=⋅= ，同理可得：0BA PC CB PA ⋅=⋅=，即P 为△ABC 的垂心，当△ABC 为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.故选：B ．8.对于给定的正整数n ，设集合{}123n X n = ，，，，，n A X ⊆，且A ≠∅．记()I A 为集合A 中的最大元素，当A 取遍n X 的所有非空子集时，对应的所有()I A 的和记为()S n ，则()2023S =（）A.2023202321⨯+ B.2022202321⨯+C.2022202221⨯+ D.2023202221⨯+【答案】D 【解析】【分析】根据()I A 的定义，推出()S n 的表达式，再计算即可.【详解】根据题意知A 为集合n X 的非空子集，满足()1I A =的集合只有1个，即{}1；满足()2I A =的集合有2个，即{2}，{12}；满足()3I A =的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；满足()I A n =的集合有12n -个，所以()21122322n S n n -=+⨯+⨯++⋅ ，则()()2312122232122n n S n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，两式相减得()21122...22212n n n n S n n n --=++++-⋅=--⋅，所以()()121n S n n =-+ ，所以()20232023202221S =⨯+；故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设非零向量,a b 的夹角为c θ，为任意非零向量，定义运算sin a b a b θ*= ，则下列结论正确的是（）A.若0a b *=，则//a bB.()a b c a b a c*+=*+* C.()()222sin 2a b a b a b θ*= D.若1a b == ，则a b *的最大值为1【答案】ACD 【解析】【分析】根据a b *的定义，以及向量运算规则逐项分析.【详解】对于A ，因为sin a b a b θ*= ，并且0,0a b ≠≠ ，所以sin 0θ=，解得0θ=或θπ=，所以//a b，故选项A 正确；对于B ，不妨取()()()1,0,0,1,0,1a b c ===- ，设a与b的夹角2πθ=，a 与b c +的夹角为α，a 与c 的夹角为β2π=，则()sin 10sin 0a b c a b c αα*+=+=⨯⨯= ，sin sin 2a b a c a b a c θβ*+*=+=，此时()a b c a b a c*+≠*+* ，故选项B 错误；对于C ，()()()()222222sin cos 2sin cos sin 2a b a b a b a b a b a b θθθθθ*===，故选项C 正确；对于D ，当1a b == 时，sin sin 1a b a b θθ*==≤ ，当且仅当2πθ=时取等号，所以()max1a b*= ，故选项D 正确；故选：ACD.10.已知复数12z z ，满足12||0z z ⋅≠，则下列结论正确的是（）A.若12z z =，则12z z =± B.1212z z z z +≤+C.若12z z =，则2212z z = D.1212z z z z =⋅【答案】BD 【解析】【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.【详解】设121z i z =+=，则())22221212122z z z i i z ===+===-，，不满足12=±z z ，也不满足2212z z =，故选项AC 错误；对于B ，设12z z ，在复平面内对应的向量分别为12OZ OZ ，，且120OZ OZ ≠，，由向量加法的几何意义知1212OZ OZ OZ OZ +≤+，故1212z z z z +≤+，故选项B 正确；对于D ，设12z a bi z c di a b c d R =+=+∈，，，，，，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，所以12z z ==，1212z z z z ⋅==，故选项D 正确；故选：BD.11.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴的正半轴、y 轴的非负半轴上滑动，则OB OC ⋅的值可能是（）A.1B.1- C.2D.2-【答案】AC 【解析】【分析】设OAD θ∠=，由边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴的正半轴、y 轴的非负半轴上滑动，可得出,B C 的坐标，由此可表示出两个向量，算出它们的内积即可.【详解】设π(02OADθθ∠=≤<，因为1AD =，所以cos OA θ=，sin OD θ=，π2BAx θ∠=-，故πcos cos()cos sin 2B x θθθθ=+-=+，πsin()cos 2By θθ=-=，所以(cos sin ,cos )OB θθθ=+．同理可得(sin ,cos sin )C θθθ+，所以(sin ,cos sin )OC θθθ=+，所以()()·cos sin ,cos ·sin ,cos sin 1sin 2OB OC θθθθθθθ=++=+ ．因为02πθ≤<，所以0sin 21θ≤≤，则12OB OC ≤≤ ，故OB OC ⋅ 的值可能是1，2．故选：AC12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的x ，R y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅，则下列说法正确的有（）A.()01f = B.()f x '必为奇函数C.()()00f x f +≥ D.若()112f =，则()2023112n f n ==∑【答案】BCD 【解析】【分析】赋值法求()0f 的值，判断A ；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B ；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得(),Nf n n *∈的值有周期性，即可求得()20231n f n =∑的值，判断D.【详解】对于A ，令0x y ==，则由()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅可得()()22020f f =，故(0)0f =或()01f =，故A 错误；对于B,当(0)0f =时，令0y =，则()()()()200f x f x f x f +=⋅=，则()0f x =，故()0f x '=，函数()f x ¢既是奇函数又是偶函数；当()01f =时，令0x =，则()()()2f y f y f y +-=，所以()()-=f y f y ，()f x 为偶函数，则()f x ¢为奇函数；综合以上可知()f x ¢必为奇函数，B 正确；对于C ，令x y=，则()()()2202f x f f x +=，故()()200f x f +≥。
2019届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学(文)试题 word版
河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合},32|{A x x y y B ∈-==，则=B A （ ）A ．}1,0,1{-B ．}1,1{-C ．}2,1,1{-D ．}2,1,0{2．已知复数),(R y x yi x z ∈+=，若i y x i )1(1-+=+，则=||z （ ）A ．25B ．3C ．27 D ．4 3．已知双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，21,F F 为双曲线的左右焦点，P 为渐近线上一点且在第一象限，且满足021=⋅PF ，若02130=∠F PF，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．34．已知n S 是等比数列}{n a 前n 项的和，若公比2=q ，则=++6531S a a a （ ） A ．31 B ．71 C ．32 D ．73 5．设P 表示一个点，b a ,表示例题直线，βα,表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）①αα⊂⇒∈∈a P a P ,； ②ββ⊂⇒⊂=a b P b a , ；③αα⊂⇒∈∈⊂b a P b P a b a ,,,// ④b P P P b ∈⇒∈∈=βαβα,, .A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④6．若43tan =x ，则=-++)42tan()42tan(ππx x （ ） A ．2- B ．2 C ．23 D ．23- 7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，22=AC ，三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．π12B ．π16C ．π20D ．π248．已知抛物线x y 42=上有三点C B A ,,，CA BC AB ,,的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）A ．)1,914(B ．)0,914(C ．)0,2714(D ．)1,2714( 9．已知函数21121)(-+=x x f ，n m ,满足0)2()2(22≥-+-m n f n m f ，则|47|++n m 的取值范围是（ ）A ．]12,2[B ．]22,2[C ．]22,12[D ．]21012,21012[+-10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2||,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆1C ：1222=+y x 和2C ：1422=+y x ，又A 点坐标为)1,3(-，N M ,是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个12．已知函数x x x f a +=log )(，)1(4log )1ln()(>+--=a a x x g x ，若存在实数0x 使得)()(00x g x f =，则=a （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量,夹角为060，且1||=，10|2|=-，则=|| .14．如图为某几何体的三视图，正视图与侧视图是两个全等的直角三角形，直角边长分别为3与1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体最长边长为 .15．已知数列}{n a 满足341=a ，}12{--n n a a 是公比为2的等比数列，则n a a a a a a a a a ⋅++++213212111111 = .16．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左，右焦点分别为21,F F ，以O 为圆心，21,F F 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ，且直线OP 的斜率为3，则椭圆的离心率为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a ，}{n b 满足411=a ，)1)(1(,11n n n n n n a a b b b a +-==++. （1）设11-=n n b c ，求数列}{n c 的通项公式； （2）若13221++++=n n n a a a a a a S ，求n S .18.如图，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 边上的动点（含端点），记βα=∠=∠ADC BAD ,.（1）求βαcos cos 2-的最大值；（2）若71cos ,1==βBD ，求ABD ∆的面积.19.如图所示，四棱锥ABCD S -中，平面⊥SAD 平面ABCD ，AD SA ⊥，BC AD //，4234====AD AB BC SA .（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ；（2）若AC AB =，在（1）的条件下，求三棱锥AED S -的体积.20．如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，离心率为21，过点)2,0(-的直线l 交椭圆于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为C ，直线BC 交x 轴于Q 点.（1）求椭圆方程；（2）探究：||||OQ OP ⋅是否为常数？21.设常数2>t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(F ，直线l ：t x =，曲线Γ：)0,0(82≥≤≤=y t x x y .l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点Q P B ,,分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3=t ，2||=FQ ，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP ∆的面积；（3）设8=t ，是否存在以FQ FP ,为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.22．设函数)(,)1(ln )(R a x a x x f ∈+-=.（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当函数)(x f 由最大值且最大值大于13-a 时，求a 的取值范围.河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（文）试题答案解析【题号】1【答案】B【题号】2【答案】C【题号】3【答案】B【题号】4【答案】A【题号】5【答案】D【题号】6【答案】C【题号】7【答案】A【题号】8【答案】C【题号】9【答案】B【题号】10【答案】A【题号】11【答案】D【题号】12【答案】A【题号】13 【答案】17+【题号】14 【答案】5【题号】15 【答案】12121+-+n n 【解题思路】 由题知，12--n n a a n n a a 2212111=⋅--=-，则12)22(212221++=++=-n n n n n a ，所以12212)22(212)22(212)22(211211021+=++++⋅++=+-n n n n n a a a ，故12121211++=n n a a a ， 所以113221321211212121212121111++-+=++++=⋅++++n n n n n a a a a a a a a a . 【知识点、能力点】本题考查等比数列求和，属于中等难度题.【题号】16 【答案】31-【解题思路】由题可知0260=∠POF ，02101190,30=∠=∠=∠PF F OPF O PF ， 所以c PF c PF c F F 3||,||,2||1221===，由椭圆定义可知a c PF PF 2)13(||||12=+=+ 所以离心率13132-=+==a c e .【知识点、能力点】本题考查椭圆和圆的定义，以及斜率和直线倾斜角的关系，属于基础题【题号】17【答案】（1）3--=n c n ；（2）)4(4+=n n S n . 【解题思路】（1）∵12111--=-+n n b b ，∴11112111-+-=--=-+n n n n b b b b ， ∵41111-=-=b c ，∴数列}{n c 是以4-为首项，1-为公差的等差数列， ∴3)1)(1(4--=--+-=n n c n .（2）由（1）知，311--=-=n b c n n ，∴32++=n n b n ， 从而311+=-=n b a n n ， 13221++++=n n n a a a a a a S 4141)4)(3(1651541+-=++++⨯+⨯=n n n )4(4+=n n .【知识点、能力点】本题第一问考查利用构造数列求一般数列的通项公式，第二问考查利用裂项相消求数列的和，属于基础题.【题号】18【答案】（1）3 （2）332 【解题思路】（1）由ABC ∆是等边三角形，得3παβ+=，30πα≤≤， 故βαcos cos 2-)3sin(3)3cos(cos 2παπαα+=+-=，故当6πα=时，即D 为BC 中点时，原式取得最大值3.（2）由71cos =β，得734sin =β，故14333sin cos 3cos sin )3sin(sin =-=-=πβπβπβα， 由正弦定理得BAD BD ADB AB ∠=∠sin sin ，故3811433734sin sin =⨯==BD AB αβ， 故3322313821sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆B BD AB S ABD . 【知识点、能力点】同角三角函数关系转化；应用三角函数和差公式；应用正弦定理解决三角形边角问题及面积公式.【题号】19【答案】（1）存在 （2）352=-AED S V 【解题思路】（1）证明线面平行先证线线平行，通过取中点找中位线，构造平行四边形得到平行关系，从而证出线面平行；（2）锥体体积需要底面积和高，将题中各边分别找出所在相应平面，再利用平面几何知识算出锥体底面积和高，进而用锥体体积公式求出该体积.（1）证： 如图，取SB 中点M ，SC 中点E ，连接DE ME AM ,,，∴ME 是BCS ∆的中位线，∴BC ME //，BC ME 21=，由题得，BC AD 21//，BC AD 21=， 则有ME AD ME AD =,//，∴四边形AMED 为平行四边形，∴AM ED //∵⊄ED 平面SAB ，⊂AM 平面SAB ，∴//ED 平面SAB .（2）解：∵平面⊥SAD 平面ABCD ，平面 SAD 平面AD ABCD =，⊂⊥SA AD SA ,平面SAD ，故⊥SA 平面ABCD∵E 是SC 中点，∴E 到平面ABCD 的距离等于S 到平面ABCD 距离的一半，且⊥SA 平面ABCD ，4=SA ，∴三棱锥ACD E -的高为2 ，AED S ACD E V V --=，在等腰ABC ∆中，3==AB AC ，4=BC ，BC 边上的高为52322=-，AD BC //，∴C 到AD 的距离为5，∴55221=⨯⨯=∆ADC S ， ∴3522531=⨯⨯=-AED S V . 【知识点、能力点】立体几何线面平行的证明，立体几何求锥体体积【题号】20【答案】（1）椭圆方程为13422=+y x （2）||||OQ OP ⋅为常数4 【解题思路】（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===2222142cb a ac a 解得1,3,2===c b a 所以椭圆方程为13422=+y x 直线l 方程为2-=kx y ，则P 的坐标为)0,2(k设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(11y x C -，直线BC 方程为121121x x x x y y y y --=++，令0=y ，得Q 的横坐标为 4)()(22212121211221-+-=++=x x k x x x kx y y y x y x x ① 又⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134222y x kx y 得0416)43(22=+-+kx x k ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+2212214344316k x x k k x x 代入①得k k k k k k x 21224)43(416162822=--=+-⋅-= 得422||||||=⋅=⋅=⋅k k x x OQ OP Q P ∴||||OQ OP ⋅为常数4.【知识点、能力点】本题考查了椭圆定义、离心率公式、直线方程与椭圆方程联立，求交点，考查了化简整理运算能力【题号】21【答案】（1）2||+=t BF （2）63737321=⨯⨯=S （3）存在，)554,52(P 【解题思路】（1）由题意可知，设)22,(t t B ，由抛物线的性质可知，22||+=+=t p t BF ，∴2||+=t BF ； （2）)0,2(F ，2||=FQ ，3=t ，则1||=FA ， ∴3||=AQ ，∴)2,3(Q ，设OQ 的中点D ，)22,23(D ， 3223023-=--=QF k ，则直线PF 方程：)2(3--=x y ，联立得0122032=+-x x ， 解得32=x ，6=x （舍去）， ∴AQP ∆的面积637321⨯⨯=S （3）存在，设),8(),,8(22m m E y y P ，则1682822-=-=y y y y k PF ，y y k QF 8162-=， 直线QF 方程为)2(8162--=x yy y ， ∴yy y y y Q 4348)28(81622-=--=，)4348,8(2y y Q -， 根据FE FQ FP =+，则)448,68(22yy y E ++， ∴)68(8)448(22+=+y y y ，解得5162=y ∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且)554,52(P . 【知识点、能力点】本题主要考查抛物线的几何性质，属于难题.【题号】22【答案】（1）当1-≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，当1->a 时，在)11,0(+a 上，函数单调递增，在),11(+∞+a 上，函数单调递减 （2）)0,1(-【解题思路】（1）通过求导，分类讨论即可得到结果，（2）根据第一问，得到函数有最大值的条件（a 取值范围），以及最大值，通过构造函数求得a 的取值范围.（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xx a a x x f )1(1)1(1)(+-=+-= ①当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('>x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增；②当01>+a 时，即1->a 时，令0)('=x f ，解得11+=a x i ）当110+<<a x 时，0)('>x f ，函数单调递增， ii ）当11+>a x 时，0)('<x f ，函数单调递减， 综上所述，当1-≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，当1->a 时，在)11,0(+a 上，函数单调递增，在),11(+∞+a 上，函数单调递减 （2）由（1）可知当1-≤a 时，0)('>x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，无最大值，不满足题意，当1->a 时，在)11,0(+a 上，函数单调递增，在),11(+∞+a 上，函数单调递减，所以)11()(max +=a f x f 111ln -+=a ，由题意可知13111ln ->-+a a ，即03)1ln(<++a a ，令a a a g 3)1ln()(++=，所以0)0(=g ，且)(a g 在),1(+∞-上单调递增，所以0)0()(=<g a g 在),1(+∞-上恒成立，所以01<<-a ，故a 的取值范围为)0,1(-.【知识点、能力点】本题考查函数导数计算，导数在研究函数的应用，属于中等难度题。
河北省衡水中学2018--2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学(文科)试卷
河北省衡水中学2018--2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学(文科)试卷高三文科数学试题 第3页(共6页) 高三文科数学试题 第4页(共6页)河北省衡水中学2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学试卷（文）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．集合A={x }2221≤≤∈x Z ，B=},cos {A x x y y ∈=，则B A I =( )A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{-1，0，1}2．已知复数z 满足2(3)(1i z ii+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为 （ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限 3. 函数2()2ln f x x xbx a=+-+ (0,)b a R >∈在点(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A.22B.2C.3D.14.若抛物线22(0)ypx p =>上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为（ ）A.24y x= B.236yx= C.24yx=或236yx=D.28yx=或232y x=5. 已知数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，+++∈==-N n b b a a nn n n ,211, 则数列{}na b 的前10项的和为 （ ）A ．)14(349- B.)14(3410-． C ．)14(319- D ．)14(3110-6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是（ ）高三文科数学试题第5页(共6页) 高三文科数学试题第6页(共6页)C．-3≤a≤a≤7 D．a≥7或a ≤—312．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y=-+-为两点11(,)P x y,22(,)Q x y之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N-两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0=x；④到(1,0),(1,0)M N-两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有（）A．1个 B．2 个 C．3 个D．4个第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
河北省衡水中学2019-2020高三第十次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2019—2020学年度上学期高三年级十模考试（文科）数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，，，则（）A. B. C. D.2. 若复数，则（）A. B. C. D.3. 为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）...A. 各月的平均最高气温都不高于度B. 七月的平均温差比一月的平均温度小C. 平均最高气温低于度的月份有个D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于度4. 已知函数，则（）A. B. C. D.5. 设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，，过做的垂线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.6. 已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则（）A. B. C. D.7. 函数的图象可能是（）A. B. C. D.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.9. 给出个数：，，，，，，…，要计算这个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入（）A. 和B. 和C. 和D. 和10. 已知函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（）A. B. C. D.11. 正四面体的所有棱长均为，球是其外接球，，分别是与的重心，则球截直线所得的弦长为（）A. B. C. D.12. 已知抛物线：经过点，过焦点的直线与抛物线交于，两点，，若，则（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数，满足条件，则的最大值是__________．14. 某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真真.事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是__________．15. 已知平面向量与的夹角为，，，则__________．16. 正整数数列满足，已知，的前项和的最大值为，把的所有可能取值按从小到大排成一个新数列，所有项和为，则__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，是边上的点，，.（1）求；（2）若，求的面积.18. 如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，，，.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.19. 一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的组观测数据如下表：/经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中，分别为观测数据中的温差和产卵数，.（1）若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到）；（2）若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数.（i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好.（ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；相关指数20. 已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆交于，两点，与以为直径的圆交于，两点，且满足，求直线的方程.21. 已知函数.（1）确定函数在定义域上的单调性；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于不同的两点，.（1）求的取值范围；（2）以为参数，求线段中点的轨迹的参数方程.23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设的最小值为，若的解集包含，求的取值范围.2019—2020学年度上学期高三年级十模考试（文科）数学试卷解析版一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于全集，，，∴，∴，故选A.2. 若复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，故选B.3. 为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）A. 各月的平均最高气温都不高于度B. 七月的平均温差比一月的平均温度小C. 平均最高气温低于度的月份有个D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于度【答案】C【解析】由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，选项C的说法是错误的.故选C．4. 已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】 ,选B.5. 设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，，过做的垂线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.考点：双曲线的性质视频6. 已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由得，解得.考点：等差数列.视频7. 函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，可排除；又时，，即，故选.考点：函数的图象，函数的定义域，正弦函数、对数函数的性质.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为.学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网... 考点：三视图.9. 给出个数：，，，，，，…，要计算这个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入（）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】试题分析：由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30即①中应填写i≤30；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1即1+1=2；第3个数比第2个数大2即2+2=4；第4个数比第3个数大3即4+3=7；…故②中应填写p=p+i考点：程序框图10. 已知函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得,函数和的图象都关于对称,所以两函数的交点也关于对称,对于每一组对称点和，都有.从而.故选B. 考点：函数的性质.【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.视频11. 正四面体的所有棱长均为，球是其外接球，，分别是与的重心，则球截直线所得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】正四面体可补全为棱长为的正方体，所以球是正方体的外接球，其半径，设正四面体的高为，则，故，又,所以到直线的距离为，因此球截直线所得的弦长为.本题选择C选项.点睛：圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.12. 已知抛物线：经过点，过焦点的直线与抛物线交于，两点，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵抛物线：经过点，∴，即抛物线，设过焦点的直线：，由，∴，设，∵，∴，且，解得，，∴，则，故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数，满足条件，则的最大值是__________．【答案】7【解析】如图，过点时，14. 某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真真.事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是__________．【答案】甲【解析】如果甲说假话，则丙被录用，那么乙也说假话了，与题设矛盾；如果乙说假话，则乙没有被录用，并也没有被录用，则甲被录用，满足题意；如果丙说假话，则甲也说了假话，与题设矛盾。
河北省衡水中学2020届高三数学上学期四调考试试题文(含解析)
河北省衡水中学2020届高三数学上学期四调考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．22．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．3．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．204．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．8 B．4 C．2 D．15．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1 B．⊥C．•＝1 D．（4+）⊥6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（）A．2B．2+2 C．2+4 D．2+48．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（）A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1 D．+1二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得斤金．（不作近似计算）14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且x A+x B＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB ＝．16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．22．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性．（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，∴a+2＝3，或a2+2＝3，解得a＝1或﹣1，a＝1时不满足集合元素的互异性，a＝1舍去，∴a＝﹣1．故选：B．2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，∴＝，故选：C．3．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．20【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4＝a32，a4•a6＝a52∴a2a4+2a3a5+a4a6＝25可化为（a3+a5）2＝25又∵a n＞0∴a3+a5＝5故选：A．4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．8 B．4 C．2 D．1【解答】解：∵与双曲线有共同的渐近线，∴设双曲线方程为，将点代入双曲线方程，解得，⇒从而所求双曲线方程的焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为，所以焦点到一条渐近线的距离是＝2，故选：C．5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1 B．⊥C．•＝1 D．（4+）⊥【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足＝2，＝2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以＝2，＝1×2×cos120°＝﹣1，4＝4×1×2×cos120°＝﹣4，＝4，所以＝0，即（4）＝0，即＝0，所以；故选：D．6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；取x＝，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sin x；B．取x＝0，则f（0）＝0；取x＝π，则f（0）＝π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；令t2﹣1＝x，则t＝±；∴；即存在函数f（x）＝，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；∴该选项正确．故选：D．7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（）A．2B．2+2 C．2+4 D．2+4【解答】解：由题意可得b＝1，c＝，即有e＝＝，可得a＝，c＝2，P为双曲线右支上一点，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，又|PF1|2﹣|PF2|2＝4，可得|PF1|+|PF2|＝2，则△PF1F2的周长为2+2c＝4+2，故选：C．8．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（）A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形【解答】解：函数的导数f′（x）＝f′（）cos x﹣sin x，则f′（）＝f′（）cos﹣sin＝×f′（）﹣＝f′（）﹣，则f′（）＝，则f′（）＝1，则f′（x）＝cos x﹣sin x＝2cos（x+），f（x）＝sin x+cos x＝2cos（x﹣），∵f（A）＝f'（B）＝1，∴f′（B）＝2cos（B+）＝1，即cos（B+）＝，则B+＝，得B＝，f（A）＝2cos（A﹣）＝1，即cos（A﹣）＝，则A﹣＝，则A＝，则C＝π﹣﹣＝，则B＝C，即△ABC是等腰钝角三角形，故选：D．9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意f（x）＝sin2019x cos+cos2019x sin+cos2019x cos+sin2019x sin＝sin2019x+cos2019x＝2sin（2019x+），∴A＝2，T＝，∴|x1﹣x2|min＝＝，∴A|x1﹣x2|的最小值为，故选：C．11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，线段FC的垂直平分线为：x＝，线段BC的中点（，）．∵k BC＝﹣b，∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝．∴线段BC的垂直平分线方程为：y﹣＝（x﹣），把x＝＝m代入上述方程可得：y＝＝n．∵m+n＞0，∴＞0．化为：b＞，又0＜b＜1，解得＜b＜1．∴e＝＝c＝∈（0，）．故选：A．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1 D．+1【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，由表示两点C（x，e x）与点A（a，2）的距离，而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝e x的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为（m，e m），由•e m＝﹣1，可得m+e2m＝1，设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，可得切点Q（0，1），即有|FQ|＝＝，则D的最小值为+1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得斤金．（不作近似计算）【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{a n}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d＝，所以每一等人比下一等人多得斤金．14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且x A+x B＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5 ．【解答】解：抛物线的标准方程为x2＝4y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），直线AB的斜率k＝＝＝（x A+x B）＝＝2，则l的方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0，点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，令y′＝＝2，解得x＝4，此时y＝4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d＝＝＝，所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5，故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB ＝．【解答】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，∴A'F＝＝＝2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE＝＝＝2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF＝，故∠A'DB＝，故填：．16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为（12，24]【解答】解：由，可得：＝，可得a2+2b2+c2+2ac+3ab+3bc＝3ab+3b2+3ac+3bc，即a2+c2﹣b2＝ac，那么2ac•cos B＝ac，即cos B＝∵0＜B＜π，∴B＝．∵△ABC的外接圆的面积为3π，∴△ABC的外接圆的半径为R＝，∴，a+c＝2R（sin A+sin c）＝6sin（A+）．∵A，∴a+c∈（3，6]，f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1＝﹣2sin2x++4（a+c）sin x+2令g（t）＝﹣2t2+4（a+c）t+2，t∈[﹣1，1]，g（t）在[﹣1，1]单调递增，∴g（t）max＝g（1）＝4（a+c）∈（12，24]则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为（12，24]'故答案为：（12，24]．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；S n＝＝n2+2n．（Ⅱ）＝＝＝，∴T n＝＝＝．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．【解答】解：（1）在△ABD中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos A＝12﹣8cos A，在△BDC中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos C，所以12﹣8cos A＝8﹣8cos C，整理得．（2）由题意知：＝8sin2A，，所以＝8sin2A+4sin2C＝＝＝，由于，所以，故，解得．当cos A＝时，．19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意和抛物线定义可得＝1，即p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，（2）由题意可知，k MN≠0，设M（y12，y1），N（y22，y2），（y2＞y1），由OM⊥ON，∴y12y22+y1y2＝0，即y1y2＝﹣16，直线MN的斜率k＝＝，∴直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝（x﹣4），直线AB，①斜率存在，设斜率为k，则y＝k（x﹣1），与C联立可得ky2﹣4y﹣4k＝0，∴|AB|＝•＝4（1+），设点E存在，并设为E（x0，y0），则|EM|•|EN|＝（y0﹣y1）（y2﹣y0）＝（1+）[﹣y1y2﹣y02+（y1+y2）y0]＝（1+）（16﹣y02+），∵＝4，∴16﹣y02+＝16，解得y0＝0，y0＝（不是定点，舍去），则点E（4，0），经检验，此点满足y2＜4x，所以在线段MN上，②若斜率不存在，则|AB|＝4，|EM|•|EN|＝4×4＝16，此时点E（4，0）满足题意，综上所述，定点为（4，0）20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知椭圆过点，可得，解得a2＝9，b2＝4所以椭圆的E方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）由消去y得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，所以．当k≠0时，设过点C且与l垂直的直线方程，将M（m，0）代入得：，若k＞0，则，若k＜0，则所以或，当k＝0时，m＝0综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，的最大值为；（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，点G满足4＝+++，可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．22．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性．（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）＝xlnx﹣alnx+a﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），x∈（0，+∞），①当a≤0时，由f′（x）＞0，解得x＞e，由f′（x）＜0，解得0＜x＜e，∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，②0＜a＜e时，令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝e，由f′（x）＞0，解得0＜x＜a，或x＞e，由f′（x）＜0，解得a＜x＜e，∴f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增，③当a＝e时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，④当a＞e时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，或x＞a，由f′（x）＜0，解得e＜x＜a，∴f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增．（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，则f（1）＝2a﹣＞3+sin，即8a﹣sin﹣15＞0，设g（x）＝8x﹣sin﹣15，则g′（x）＝8﹣cos＞0，则g（x）单调递增，∵g（2）＝0，∴a＞2，当a＝e时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（1），∴a＞2，从而a＝e满足题意，当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在[1，a），（e，+∞）上单调递增，∴，∴，（*），设h（x）＝4ex﹣sin﹣e2﹣12，则h′（x）＝4e﹣cos＞0，则h（x）单调递增，∵h（2）＝8e﹣e2﹣13＞0，∴h（x）的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为（2，+∞），∴2＜a＜e，综上，存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立，且a 的取值范围为（2，e]．。
衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试 文科数学(含答案)
衡水中学2020届高三上学期第四次调研试卷数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合M ={-1,2,3}，N ={a +2,a 2+2}，且M ⋂N ={3}，则实数a 的值为()A.1或-1B.-1C.1D.22．AB 是抛物线y 2=2x 的一条焦点弦，|AB |=4，则AB 中点C 的横坐标是()A．2B．12C．32D．523.已知{}n a 是等比数列,且0n a >,243546225a a a a a a ⋅+⋅+⋅=,那么35a a +的值等于()A.5B.10C.15D.204．与双曲线有共同渐近线,且经过点(-3,)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为()A、8B、4C、2D、15.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A）1b = （B）a b ⊥ （C）1a b ⋅= （D）()4Ca b +⊥B6.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A.(sin 2)sin f x x =B.2(sin 2)f x x x =+C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+7.已知双曲线()22210x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3P 为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=12PF F △的周长为（）A.B.2C.4D.4+8.已知函数()f x 为R 上的可导函数，其导函数为'()f x，且π()'sin cos 6f x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，在ABC △中，()'()1f A f B ==，则ABC △的形状为()A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形9.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图,则该三棱锥的正视图可能是()A.B.C.D.@@10．已知ππ()sin(2019cos(2019)63f x x x =++-的最大值为A ,若存在实数12,x x ,使得对任意的实数x ,总有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12||A x x -的最小值为()A.π2019B.2π2019C.4π2019D.π403811.已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ,左、右顶点分别为,A C ,上顶点为B .过,,F B C 作圆P ,其中圆心P 的坐标为(,)m n .当0m n +>时,椭圆离心率的取值范围为()A. B.1(0,)2C. D.12.设2D a =+．其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为()1+1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时,张邱建写了一部算经,即《张邱建算经》,在这本算经中,张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献.例如算经中有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给”,则某一等人比其下一等人多得斤金.(不作近似计算)14．已知直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点F ，与抛物线交于A,B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB（O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为．15．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-，则A DB '∠=．16.已知三角形ABC 的三边分别为,,a b c ,所对的角分别为,,,A B C 且满足113a b b c a b c+=++++,且三角形ABC 的外接圆的面积为3π,则()()cos 24f x x a c =++sin 1x +的最大值的取值范围为__________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。