2018年江西省上饶县中学高中奥林匹克数学竞赛训练试题195Word版缺答案

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(180)(无答案)

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（180）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 2014把椅子排成一圈，有n 个人坐在椅子上，使得再有一人坐入时，总与原来的n 个人中的一人坐在相邻的椅子上.则n 的最小值为.2. 在ABC ∆中，已知2,3,4A B A CB C ===.设O 为ABC ∆的内心，且A O A B B C λμ=+.则λμ+=.3. 已知一个球与棱长为a 的正四面体的六条棱均相切.则此球的体积为.4. 设函数233()(1)(1)f x k x x x x =-+--.若对任何[]0,1x ∈，均有()0f x ≥，则k 的最小值为.5. 在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为r 的圆完全落在区域4y x ≥内，则r 的最大值为.6. 已知数列{}n a 满足211()n n n a a a n ++=-∈Z ，且1a =.7. 已知x y z +∈R 、、，且6x y z ++=.则x . 8. 将“马”“上”“成”“功”这四个字填在一个55⨯的方格表中，每个小方格内至多填1个字，“马”“上”始终按从左往右的顺序填写，“成”“功”也始终按从左往右的顺序填写，且“马”“上”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列，或者“成”“功”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列.则不同的填法种数为（用数字作答）.二、解答题（共56分）9.（16分）设{}12,,,n A a a a =⊂+Z .对所有不同的子集B C A ⊆、，有x B x C x x ∈∈≠∑∑.证明：121112na a a +++<.10.（20分）已知函数2()2f x x ax =-与2()1g x x =--的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6.求实数a 的值.11.（20分）椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点(,0)(0)c c ±>，1C 与2C 的离心率之差不超过1，且2C 有一条渐近线斜率不小于34，12C C 、与x 轴正半轴分别交于A B 、，且两曲线在第一象限的交点为D .问：ABD ∆的面积是否有最大值？若有，求出最大值并给出12C C 、的方程；若没有，请说明理由.加试一、（40分）将ABC ∆的边BC BA 、分别延长到点E F 、，使,A E B EB F C F ==，EA 与FC 交于点D ，设H O 、分别是ABC ∆的垂心、外心.证明：直线HO 过点D .二、（40分）设(3)n n ≥是给定的自然数，对于个给定的实数12,,,n a a a ，记(1)i j a a i j n -≤<≤的最小值为m .若222121n a a a +++=，求m 的最大值.三、（50分）证明：存在无数个满足如下条件的整数组(,,,)a b c d ：（1）0,(,)1a c a c >>=；（2）对任意给定的正整数k ，恰有k 个正整数n ，使得()()an b cn d ++.四、（50分）对给定自然数2n ≥，求满足下列条件的最大的N ：无论怎样21,2,,n 将填入一个n n ⨯的方格表，总存在同一行或同一列的两个数，它们的差不小于N .。

江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题(185)(无答案)

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（185）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 标号依次为1,2,,2015L 的2015个人排成一列，在他们之间做换位游戏，规定每次换位只能在相邻两人间进行.现把标号为100号与编号为1000的两人交换位置，最少要进行次换位.2. 已知长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为123、、，P 为平面1A BD 内的一点.则AP 长的最小值为.3. 不等式sin sin cos cos x x x x >g g 的解集为.4. 设I 为ABC ∆的内心，且3450IA IB IC ++=u u r u u r u u r .则C ∠的大小为.5. 在平面直角坐标系中，已知O 为原点，点(1,0),A B -，动点C 在圆22(3)4x y -+=上运动.则OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为. 6. 已知2015个正整数122015,,,a a a L 满足121,8a a ==，1132(2,)n n n a a a n n +-=-≥∈N 且.则20152014a a -的所有正因子之和为.7. 设n 为正整数.从集合{}1,2,,2015L 中任取一个正整数n 恰为方程236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解的概率为（[]x 表示不超过实数的最大整数）. 8. 已知αβγ、、为方程3256780x x x -+-=的三个不同的根.则222222()()()ααββββγγγγαα++++++的值为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知0x y z >、、.求(,,)f x y z =的最小值.10.（20分）已知数列{}n a 满足11212,(2)n n a a a a a n -==≥L ，且1(1)log 216()k n n a k T k k f n =⎡⎤=-=-⎣⎦∑.求()f n 的表达式.11.（20分）已知离心率为12的椭圆的左焦点1F 为抛物线24(0)y px p =>的准线与x 轴的交点,右焦点2F 也为抛物线的焦点,椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为P ,延长1PF ,与该抛物线交于点,Q M 为抛物线上一个动点,且M 在点P 与Q 之间运动若12PF F ∆的边长恰为三个连续的正整数,求MPQ ∆面积的最大值.加试一、（40分）如图1，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点N，AC的中点为M.若22BC BNCD DN=，证明：22221MN DNMC DM+=.二、（40分）在ABC ∆中，证明：cos cos cos cos cos cos 222222cos cos cos 222B C C A A B A B C ++≥g g g ，当且仅当ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.三、（50分）求最小的两个正整数m ，使得247(46713)m m ++为完全平方数.四、(50分)已知A是由2015个不同正整数组成的集合,并且A中任意三个不同的数均为一个S A表示由A确定的非钝角三角形的三边长,此时称该三角形为集合A确定的一个三角形,()S A的最小值.所有三角形的周长的和(全等三角形只计算一次)求()。

江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题(190)(无

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（190）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知函数211x y x -=-的图像与函数2y kx =-的图像恰有两个交点.则实数k 的取值范围是. 2. 在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，01160BAA CAA ∠=∠=.则异面直线1AB 与1BC 所成的角为.3. 已知椭圆224()4x y a +-=与抛物线22x y =有公共点.则a 的取值范是.4. 如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 为Q 上及内部的动点，设向量()AP mAB nAF m n =+∈R 、.则 m n +的取值范围是.5. 计算：10112k k n n k C k +=⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.6. 设1234(1,2,3),(2,4,1),(1,,5),(4,1,3)P P P k P k +是空间中体积为1的一个四面体的四个顶点.则k =.7. 已知数列{}n a满足0180,0,)5n n a a a n n +==≥∈N .则10a =. 8. 将正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点用四种不同的颜色染色，要求同一条棱的两个端点颜色不相同，一共有种染法.二、解答题（共56分）9.（16分）在ABC ∆中，若cos cos 2sin sin A B B A+=，证明：090A B ∠+∠=.10.（20分）已知双曲线1y x =上有一点1,(0)A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，点A 关于原点的对称点为B ，以AB 长为半径作A 与双曲线交于P Q R 、、三点.证明：PQR ∆为正三角形.11.（20分）已知a b c +∈R 、、，且2223a b c ++=.证明：1113222a b c++≥---.加试一、（40分）如图2，在ABC ∆中，090ABC ∠=，M 为边AC 的中点，AT AC ⊥，TM 的延长线与BC 交于点D ，联结TB .证明：ABT CAD ∠=∠.二、（40分）求方程!!y x y x +=的全部正整数解(,)x y .三、（50分）已知n 为给定的不小于2的正整数.对于所有的非负数组(1,2,,)i a i n =，求 1121n n i i i i n ii a ia i a ===⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑的最大值.四、(50分)有座城市，任意两座城市之间可以建设单向的航线.问：是否可以找到一种构建航线的方法，使得从一座城市至多转机一次就可以到达另外任何一座城市？。

2018年江西省上饶县中学高中奥林匹克数学竞赛训练试题182Word版缺答案

数学奥林匹克高中训练题(182)第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知集合{}{}2,0,1,4,tan 0A B x A x ==∈≥.则集合B 的所有元素之和为.2. 若[)335(sincos )0,2θθθπ<-∈，则θ的取值范围是.3. 已知1010log sin log cos 1x x +=-.则102log (sin cos )x x +=.4. 在四面体ABCD 中，已知3ADB BDC CDA π∠=∠=∠=，ADB BDC CDA ∆∆∆、、的21、.则此四面体体积为. 5. 小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第一次出现6点为止.则小明和上红投掷的次数相差不超过1的概率为.6. 已知2223x y z ++=.则xy yz zx ++的最小值为.7. 在平面直角坐标系中，已知1O 与2O 交于(3,2)P Q 、两点，两圆半径之积为132.若两圆均与直线:l y kx =和x 轴相切，则直线l 的方程为. 8. 将具有如下性质的33⨯方格表称为“T -网格”：（1）五个格填1，四个格填0；（2）三行、三列以及两条对角线共八条线上至多有一条，其中三个数两两相等.则不同的T -网格共有个. 二、解答题（共56分）9.（16分）已知函数2()(0)f x ax bc c a =++>且3460a b c ++=.证明：()f x 在区间(0,1)上必有零点.10.（20分）已知双曲线222x y -=的左、右焦分别为点12F F 、，过定点(2,3)P 作双曲线222x y -=的切线，切点分别为A B 、，且点A 的横坐标小于点B 的横坐标.（1）求直线AB 的方程；（2）证明：12F PA F PB ∠=∠.11.（20分）已知实数x y 、满足3399xyxy+=+.求2727xyU =+的取值范围.加试一、（40分）如图1，已知AB 为凸四边形ABCD 的最长边，点M N 、分别在AB BC 、上，且AN CM 、均平分四边形ABCD 的面积.证明：线段MN 平分对角线BD .二、（40分）已知正数数列{}{}n n a b 、满足对于任意的正整数n ，有222121,n n n n n n a a a b b b ++++=+=+，且12121,1,1,1a a b b >>>>.证明：（1）对于任意的正整数(2)n n ≥有42n n a a +>；（2）从某一个正整数n 开始均有n n a b >.三、（50分）设k I 表示k 个数字均为1的十进制数（如131,111I I ==），定义{}1!nkk n I==∏.（1）对于任意正整数m n 、令{}{}{}!(,)!!m n f m n m n +=，写出一个关于(,)f m n 的递推关系式，并证明之；（2）证明：对于任意正整数{},!m n m n +、均可以被{}{}!!m n 整除.四、(50分)某国有53座城市,任意两座城市之间要么有一条双向公路直达,要么没有直接相连的公路.已知这53座城市之间共有312条公路,并且由任何一座城市出发通过公路均能到达其余各城市.每一座城市至多向其余12座城市引出公路,且每走一条公路需要缴纳10元路费.现甲在城市A,且身上仅有120元.甲是否一定能到达任意一座城市?证明你的结论.。

江西省上饶县中学2017_2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(220)(无答案)

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(220)(无答案)第一试一、填空题1函数f(x}=(兀-兀3)(1-6〒+〒)的值域为。

(1 + x2)4 ------------------2.设复数ZH1,Z“ =1,则z + z3 + z4 + z5 + z9= _____________________ o3.设x、y、z 为正整数，集合A=^3(x- y)(y- z)(z- 2 2 * , B={(x-刃‘+(y-z)‘+(z-x)',x+y + + z*。

若A二B,则x3 4-y3 4-z3 = _______2 24.设P为椭圆缶+ * = l(a〉b〉O)上任意一点，两焦点为斤(一。

,0),恥,0),卩片、PF/*别与椭圆交于点A、B,若/、戻、疋成等差数列，则旦1 + 竺.=AF}\ \BF25.有六根细棒，长度依次为3、2血、2、2、2、2,用它们搭成三棱锥。

则其屮两根较长的棱所在的直线所成角的余弦值为_________ 。

6.设兀、ywR+，则函数/(x, y) = yjx2 -xy + y2 + \/x2 -9x + 27 + ^/y2 -15^ + 75 的最小值为__________ 。

7.设UD，…,D“为RtAABC的斜边BC ±的2/? /(> 个点，记ADt = at(z = 1,2,• • •, In +1),满足= £>£>+1(z = 1,2,• • •, 2n, D o =B, D2z/+1 = C),则sine sin6Z3---sin6Z2/;+1_________________ Qsincr2 sin 也…sin 纭8. _________________________________________________________ 三位数dbc满足ahc = a + h2+c3,则满足条件的三位数dbc共有___________________________ 个。

江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题(180)(无

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（180）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 2014把椅子排成一圈，有n 个人坐在椅子上，使得再有一人坐入时，总与原来的n 个人中的一人坐在相邻的椅子上.则n 的最小值为.2. 在ABC ∆中，已知2,3,4A B A CB C ===.设O 为ABC ∆的内心，且A O A B B C λμ=+.则λμ+=.3. 已知一个球与棱长为a 的正四面体的六条棱均相切.则此球的体积为.4. 设函数233()(1)(1)f x k x x x x =-+--.若对任何[]0,1x ∈，均有()0f x ≥，则k 的最小值为.5. 在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为r 的圆完全落在区域4y x ≥内，则r 的最大值为.6. 已知数列{}n a 满足211()n n n a a a n ++=-∈Z ，且1a =.7. 已知x y z +∈R 、、，且6x y z ++=.则x . 8. 将“马”“上”“成”“功”这四个字填在一个55⨯的方格表中，每个小方格内至多填1个字，“马”“上”始终按从左往右的顺序填写，“成”“功”也始终按从左往右的顺序填写，且“马”“上”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列，或者“成”“功”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列.则不同的填法种数为（用数字作答）.二、解答题（共56分）9.（16分）设{}12,,,n A a a a =⊂+Z .对所有不同的子集B C A ⊆、，有x B x C x x ∈∈≠∑∑.证明：121112na a a +++<.10.（20分）已知函数2()2f x x ax =-与2()1g x x =--的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6.求实数a 的值.11.（20分）椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点(,0)(0)c c ±>，1C 与2C 的离心率之差不超过1，且2C 有一条渐近线斜率不小于34，12C C 、与x 轴正半轴分别交于A B 、，且两曲线在第一象限的交点为D .问：ABD ∆的面积是否有最大值？若有，求出最大值并给出12C C 、的方程；若没有，请说明理由.加试一、（40分）将ABC ∆的边BC BA 、分别延长到点E F 、，使,A E B EB F C F ==，EA 与FC 交于点D ，设H O 、分别是ABC ∆的垂心、外心.证明：直线HO 过点D .二、（40分）设(3)n n ≥是给定的自然数，对于个给定的实数12,,,n a a a ，记(1)i j a a i j n -≤<≤的最小值为m .若222121n a a a +++=，求m 的最大值.三、（50分）证明：存在无数个满足如下条件的整数组(,,,)a b c d ：（1）0,(,)1a c a c >>=；（2）对任意给定的正整数k ，恰有k 个正整数n ，使得()()an b cn d ++.四、（50分）对给定自然数2n ≥，求满足下列条件的最大的N ：无论怎样21,2,,n 将填入一个n n ⨯的方格表，总存在同一行或同一列的两个数，它们的差不小于N .。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(190)(无答案)

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（190）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知函数211x y x -=-的图像与函数2y kx =-的图像恰有两个交点.则实数k 的取值范围是. 2. 在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，01160BAACAA ∠=∠=.则异面直线1AB 与1BC 所成的角为.3. 已知椭圆224()4x y a +-=与抛物线22x y =有公共点.则a 的取值范是. 4. 如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 为Q 上及内部的动点，设向量()AP mAB nAF m n =+∈R 、.则 m n +的取值范围是.5. 计算：10112k k n n k C k +=⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.6. 设1234(1,2,3),(2,4,1),(1,,5),(4,1,3)P P P k P k +是空间中体积为1的一个四面体的四个顶点.则k =.7. 已知数列{}n a满足0180,0,)5n n a a a n n +==≥∈N .则10a =. 8. 将正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点用四种不同的颜色染色，要求同一条棱的两个端点颜色不相同，一共有种染法.二、解答题（共56分）9.（16分）在ABC ∆中，若cos cos 2sin sin A B B A+=，证明：090A B ∠+∠=.10.（20分）已知双曲线1y x =上有一点1,(0)A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，点A 关于原点的对称点为B ，以AB 长为半径作A 与双曲线交于P Q R 、、三点.证明：PQR ∆为正三角形.11.（20分）已知a b c +∈R 、、，且2223a b c ++=.证明：1113222a b c++≥---.加试一、（40分）如图2，在ABC ∆中，090ABC ∠=，M 为边AC 的中点，AT AC ⊥，TM 的延长线与BC 交于点D ，联结TB .证明：ABT CAD ∠=∠.二、（40分）求方程!!yx y x +=的全部正整数解(,)x y .三、（50分）已知n 为给定的不小于2的正整数.对于所有的非负数组(1,2,,)i a i n =，求 1121n n i i i i n ii a ia i a ===⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑的最大值.四、(50分)有座城市，任意两座城市之间可以建设单向的航线.问：是否可以找到一种构建航线的方法，使得从一座城市至多转机一次就可以到达另外任何一座城市？。

江西省上饶县中学2017-2018学年度数学奥林匹克竞赛高中训练题(202) Word版缺答案

数学奥林匹克高中训练题（202）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设3331110201620162016x y z x y z y z x >+=+=++++、、，且则333x y z xyz ++的取值集合为。

2.多项式32()2242016p x x x x d =-+-的三个根成等比数列，则d 的值为。

3.若曲线229x y -=上的点P 到直线y x =-的距离为2016，则点P 到第一、三象限角平分线的距离为。

4.设ABC ∆的边长分别为62x x 、、。

则其面积S 的最大值为 .5.在四面体ABCD 中，1,5,7,5,7AB BC CD DA AC BD ======.则其体积为。

6.连续掷三次色子，所得点数的乘积被6整除的概率为。

7.在方程141010z z ++=的所有复根中，模长为1的有个。

8.设100101102103A =…798799为2100位的正整数，其由100到799的三位数顺序连接而成，则A 被126除的余数为二、解答题（共56分）9.（16分）数列{}n a 满足1232,2a a ==， 211111120(2)n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n +-+-+---++--=≥证明：20166a >10.（20分）已知点(1,2)P -在抛物线2y mx =上，问：是否存在定点Q ，经过点Q 而与抛物线交于点A 、B 的任意直线均使得APB ∠的外角平分线为抛物线的切线？11.（20分）求函数()f x =加试一、（40分）设整数2n ≥，证明：111318k k n n k k k n C C -=-<∑二、（40分）求所有的自然数n ，使111nn +为五次方数。

三、（50分）如图1，ABC ∆的内切圆与边BC CA AB 、、分别切于点D 、E 、F ，BF 、BD 、CE 、CD 的中点分别为M 、N 、P 、Q ，MN 与PQ 交于点X ，证明：XBC ∆的外接圆与ABC ∆的内切圆相切。