1.4.3正切函数的性质与图象(教案)
人教A版高中数学必修4精选优课教案1.4.3正切函数的性质与图象(教案)
正切函数的图象与性质时间：2014年3月20日（星期五）第二节地点：高一（12）班讲课人：朱荣雄一、教学目标：1. 知识与技能目标：① 在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质.② 通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在(,)22ππ-上的图像，得到正切曲线. ③ 根据正切曲线，完善正切函数的性质.2. 过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的自主探索的学习习惯和学习能力，养成良好的数学学习习惯.3. 情感态度价值观目标：在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成. 二、教学重点和难点：教学重点：正切函数的图象与性质.教学难点：在单位圆中利用正切线画正切函数的图象.三、教学过程：1、复习回顾：在直角三角形中，正切的定义式.2、新课讲解：给出正切函数x y tan =，研究其性质：① 定义域：② 周期性：③ 奇偶性：④ 单调性：在区间),(ππ-上，作出正切函数x y tan =的图象.根据正切函数的周期性，只要把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数,tan x y = ,R x ∈且Z k k x ∈+≠,2ππ的图象，我们把它叫做“正切曲线”.从上图可以看出，正切曲线是被相互平行的直线Z k k x ∈+=,2π所隔开的无穷多支曲线组成的.⑤ 值 域： 3. 例题讲解：例 求函数)32tan(ππ+=x y 的定义域、周期和单调区间.解：原函数要有意义，自变量x 应满足：,232x k k Z ππππ+≠+∈ 即：12,3x k k Z ≠+∈ 所以，原函数的定义域是：12,.3x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ tan[(2)]tan()tan()232323x x x πππππππ++=++=+，所以原函数的周期是2. 令,2232k x k k Z ππππππ-+<+<+∈，解得：5122,33k x k k Z -+<<+∈ 所以原函数的单调递增区间是：51(2,2),33k k k Z -++∈. 4、课堂小结：正切函数x y tan =的图象及性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）.5、课外作业：求函数)33tan(π-=x y 的定义域、值域、单调区间，并指出它的周期性、奇偶性.（：Key 所求函数的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且，值域为R ，在区间Z k k k ∈+-),1853,183(ππππ上是增函数，周期3π=T ，是非奇非偶函数.）。
1.4.3正切函数的图象和性质-(课件)
0
4
2
4
tan
5
t42a,n又2y tan5x在
0，
2
5是增函数
4
5
tan(11 ) tan(13 ).
4
5
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练习
1、比较大小：
(1)tan1380 __<___tan1430 。
(2)tan(- 13π)__>___tan(- 17π)
4
5
２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增
2
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区间。
定义域：｛x \ x k ,k z｝
值域：R
36
单调递增区间：（ k , k）,k z 6 36 3
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四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 2 作法: (1) 等分： 把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
(4) 连线
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
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正
渐
切
进 线
曲
线 渐 进 线
性质 :
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R
,k
Z
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练习
1．求下列函数的定义域：
（1）y tan 2x
(2) y tan( x)
4
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20-21版：1.4.3 正切函数的性质与图象（步步高）
1．4.3 正切函数的性质与图象学习目标 1.会求正切函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期.2.掌握正切函数y ＝tan x 的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点 正切函数的性质函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表： 解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇单调性在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内都是增函数1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．( × ) 提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π2时，y ＝tan x 无意义.题型一 正切函数的定义域、值域问题例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z 解析 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域、值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34， 所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.反思感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 题型二 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． 考点 正切函数的单调性、周期性与对称性 题点 判断正切函数的单调性 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是________． 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z解析 令k π－π2<2x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z .题型三 利用正切函数的单调性比较大小 例3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 答案 (1)< (2)<解析 (1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵当0°<x <90°时，y ＝tan x 单调递增，32°<35°，∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°. (2)tan18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 跟踪训练3 比较下列正切值的大小． (1)tan 1 320°与tan 70°； (2)tan17π6与tan ⎝⎛⎭⎫－π3. 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 解 (1)tan 1 320°＝tan(360°×3＋240°) ＝tan 240°＝tan 60°，因为函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数， 所以tan 60°<tan 70°， 即tan 1 320°<tan 70°. (2)tan17π6＝tan ⎝⎛⎭⎫3π－π6＝tan ⎝⎛⎭⎫－π6， 因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上为增函数， 所以tan ⎝⎛⎭⎫－π6>tan ⎝⎛⎭⎫－π3. 即tan17π6>tan ⎝⎛⎭⎫－π3.正切函数图象的画法及应用典例 画出f (x )＝tan|x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性． 考点 正切函数图象与性质的综合应用 题点 正切函数图象与性质的综合应用 解 f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…)． [素养评析] 根据正切函数图象的画法，先画出函数的图象，建立数与形的联系，借助几何直观理解问题，认识事物解决问题，提升直观想象的数学核心素养.1．函数y ＝－2＋tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 答案 A解析 由－π2＋k π<12x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .2．函数y ＝tan x ＋1tan x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 考点 正切函数的周期性与对称性 题点 正切函数的奇偶性 答案 A解析 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x 是奇函数． 3．已知A 为锐角，且tan A ＝23，那么下列判断正确的是( )A ．0°<A <30°B ．30°<A <45°C ．45°<A <60°D ．60°<A <90°考点 正切函数的单调性 题点 正切函数单调性的应用 答案 B 解析33<23<1，即tan 30°<tan A <tan 45°. 由正切函数随锐角的增大而增大， 得30°<A <45°，故选B.4．函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． 考点 正切函数的周期性与对称性 题点 正切函数的周期性 答案 π3解析 T ＝π|ω|＝π3.5．求函数y ＝tan 2x －2tan x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 解 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3， 所以tan x ∈[－3，3]，因为y ＝tan 2x －2tan x ＋3＝(tan x －1)2＋2， 所以当tan x ＝1时，y min ＝2， 当tan x ＝－3时，y max ＝6＋23，所以函数的值域为[2,6＋23]．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间．。
1.4.3 正切函数的性质与图像(优秀经典公开课比赛课件).
,k
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k , k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
请同学们从正切函数图像出发，验证其性质。
例1、求函数y=tan( x )的定义域、周期和单调区间
23
例2、不求值，比较下列函数值大小：
Y
X
正切曲线
3
3
2
2
2
图像特征： 1、间断性：正切曲线是被互相平行的直线 x k , k Z
2
所隔开的无穷多支曲线组成的。
2、在每一个开区间 ( k , k ), k Z 内，图像自左向
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k
(0, )
单调递增；
O
A
x
在
2
(
,
0)内
2
T3
3
4 3
AT4 AT3
即tan4 tan3
因而 y tan 在
( ,0) 单调递增；
T4
4
所以
y
tan
2
在 (
,
)单调递增
22
综上
(
, )是
y tan
的一个单调递增区间。
22
又周期为 k ,k z且k 0
x
k
2
， R
奇 函
k
数学必修四课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
17π － 【解析】tan ＝－tan 4 22π － tan ＝－tan 5
π ， 4
2π ， 5
π π 2π π 2π π ∵－ < < < ，∴tan ＞tan ， 2 4 5 2 5 4 即
17π 22π － tan－ 4 >tan . 5
)
tan 2x 3．函数 f(x)＝ 的定义域为( tan x
kπ A.xx∈R且x≠ 4 ，k∈Z
)
π B. xx∈R且x≠kπ＋4，k∈Z π C. xx∈R且x≠kπ＋2，k∈Z π D.xx∈R且x≠kπ－4，k∈Z
【答案】A
• 正切函数的性质
【例 1】 求函数 间．
【解题探究】 利用正切函数的定义域， 求出函数的定义域， 通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区 间求出函数的单调增区间．
π π y＝tan2x＋3 的定义域、周期和单调区
π π π 1 【解析】由 x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，解得 x≠ ＋2k，k∈Z. 2 3 2 3
1 ∴定义域为 xx≠3＋2k，k∈Z .
π 周期 T＝ ＝2. π 2 π π π π 由－ ＋kπ＜ x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z， 2 2 3 2 5 1 解得－ ＋2k＜x＜ ＋2k，k∈Z. 3 3
5 1 ∴函数的单调递增区间为－3＋2k，3＋2k ，k∈Z.
• 【方法规律】运用正切函数单调性比较大小 的方法 • (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 一单调区间内． • (2)运用单调性比较大小关系．
1.4.3 正切函数的图象和性质(第一课时公开课)
1.4 三角函数的图象与性质(4)
正切函数y=tanx的图象与性质及应用
正弦和余弦函数的图像和性质
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
y=sinx (xR)
x
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
由正弦函数的图象你能得到出哪 些函数性质？
正弦和余弦函数的图像和性质
-
5 -
3
3
2 2
2
y
1
o - 2 -1
y=cosx (xR)
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
由余弦函数的图象你能得到出哪 些函数性质？
问题与思考 正切曲线图象如何作：
几何描点法（利用三角函数线）
y PT
a角的终边
O MA x
y
2
34
6
x
O1
O
6
4
3
2
正切函数y=tanx的图象
探讨：正切函数y=tanx的性质（基本函数）
（2）比较f(138
)与f(143
)的大小；比较f(
13
4
)与f(
17
5
)的大小
（3）解不等式f(x ) 0
正切函数性质应用：
例2、已知f(x ) A tan(x )型函数（A 0, 0)
若A
2,
2
,
3
（1）求f(x ) A tan(x )的周期
（2）求f(x ) A tan(x )的定义域
4．函数 y＝tan2x＋π4的单调递增区间是________．
1.4.3正切函数的性质与图象导学案(解析版)
1.4.3正切函数的性质与图象学习目标：1、理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质.2、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象.3、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用.自学导引1．正切函数tan y x =的定义域是 ；2．回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是周期函数吗？如果是，那么最小正周期是 ；3. 回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是 (奇、偶)函数；4．正切函数在每个开区间_____________________________内均为增函数；典例精析例1求函数)ln(tan )(x x f =的定义域；变式 求函数)3(tan tan 1-=x x y 的定义域；例2若]4,3[ππ-∈x ，求函数1tan 2cos 12++=x xy 的最值及相应的x 的值；变式 函数]4,4[,tan sin ππ-∈+=x x x y 的值域为例3作出函数)321tan(π-=x y 在一个周期内的图象；变式 作出函数|sin tan |sin tan x x x x y --+=在区间)23,2(ππ内的大致图象；例4（1）求函数)46tan(3)(x x f -=π的周期和单调递减区间；（2）试比较)(πf 与)23(πf 的大小；变式 是否存在实数a ，且Z a ∈，使得函数)4cot(ax y +=π在)85,8(ππ∈x 上是单调递增的？若存在，求出a 的一个值；若不存在说明理由；例5（1）求函数x x y tan sin +=的定义域；（2）画出函数|tan |x y =的简图，并根据图象写出其最小正周期和单调区间；自主反馈1、与函数tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ） ()2A x π= ()2B x π=- ()4C x π= ()8D x π=2、函数1tan y x =-的定义域是 ．3、函数2tan 2tan 22++=x x y 的最大值是 ． 4、已知函数x y ωtan =在)2,2(ππ-内是减函数，则ω的取值范围是____________； 5、函数|)4tan(|π+=x y 的单调递增区间是__________________；1.4.3正切函数的性质与图象自学导引1．},2|{Z k k x x ∈+≠ππ2．π3．奇4．Z k k k ∈++-),2,2(ππππ 典例精析例1Z k k k ∈+),2,(πππ 变式 Z k k k k k k k ∈++++-),2,3()3,(),2(ππππππππππ例2当4π-=x 时，1min =y ；当4π=x 时，5min =y变式 ]122,122[+--例3图略 变式 图略例4（1）π4=T 减区间：Z k k k ∈+-],384,344[ππππ （2）)(πf >)23(πf 变式 存在，2-=a例5（1）},2|{},222|{Z k k x x Z k k x k x ∈+≠∈+<≤πππππ（2）图略 π=T 增区间：Z k k k ∈+),2,[πππ 减区间：Z k k k ∈-],,2(πππ 变式 Z k k k ∈++),2,6[ππππ 自主反馈1、D2、Z k k k ∈+-],4,2(ππππ3、24、01<≤-ω5、Z k k k ∈+-),4,4[ππππ。
高中数学学案4：1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象【课前准备】 1．课时目标（1）掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性及值域等相关性质；（2）了解利用正切线作出正切函数，并会作简单的正切函数的图象；（3）利用正切函数的图象来研究相关的函数 性质． 2．基础预探（1）正切函数的性质：正切函数是周期函数，其周期是_______；就奇偶性而言，正切函数是_______； 正切函数在开区间_______（k ∈Z ）内都是增函数；正切函数的值域是_______． （2）正切函数y =tan x 的定义域为_______． 【知识训练】1．已知函数y =tan （2x +φ）的图象过点（12π，0），则φ可以下面中的（ ） A ．－6πB ．6πC ．－12πD ．12π2．下列函数中，是奇函数的是（ ） A ．y =sin x B ．y =sin x +1 C ．y =cos xD ．y =1－tan x3．若tan x =1，则x =（ ）A ．π4 B ．2k π+π4，k ∈Z C ．k π+π4，k ∈Z D ．k π±π4，k ∈Z4．函数y =tan （2x －3π）的最小正周期是_______．5．关于函数f （x ）= tan （2x －4π），有以下命题：①函数f （x ）的周期是π2；②函数f （x ）的定义域是{x |x ≠21k π+π8，k ∈Z }；③函数f （x ）是奇函数；④函数f （x ）的图象关于点（π8，0）对称；⑤函数f （x ）的一个单调递增区间为（－π2，π2）．其中，正确的命题序号是_______．6．求函数y=2tan2x的定义域．【学习引领】正切函数的图象是借且于正切线来作的，观察图形的形状，理解并掌握其相关性质．由正切函数的定义域知正切函数的图象被直线x=kπ+π2，k∈Z隔开，所以正切函数的图象是间断的，在每个开区间（－π2+kπ，π2+kπ），k∈Z内，正切函数都是增函数，但不能说正切函数在定义域内是增函数．由于正切函数定义域不是R，因此一些性质与正弦函数、余弦函数的性质有了较大的差别．如正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；正、余弦函数是连续函数，而正切函数在R上不连续，它有无数条渐近线x=kπ+π2，k∈Z；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个开区间（－π2+kπ，π2+kπ），k∈Z内都是增函数；正、余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π；正、余弦函数的值域为[－1，1]，而正切函数的值域为（－∞，+∞）．【典例导析】题型一：函数的定义域问题例1．求函数y=xtan+lg（1－tan x）的定义域．点评：函数的定义域是构成函数的三大要素之一，是函数的灵魂．求定义域实质就是使函数有意义的的x 取值范围，要注意使整个式子有意义的x 取值范围．当有几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域．变式练习1：求函数y =2tan （2x －π4）的定义域．题型二：函数图象问题例2．作出函数y =|tan x |的图象，并根据图象求单调区间．点评：根据图象可以发现y =|tan x |的最小正周期为π，一般的，函数y =A |tan （ωx +φ）|的最小正周期与y =A tan （ωx +φ）的最小正周期相同，均为||π ．作函数图象时，要注意对函数式进行化简，同时要注意函数的定义域． 变式练习2：若tan x ≤－1，则x ∈（ ）A ．（2k π－π2，2k π－π4），k ∈Z B ．（2k π+π2，2k π+3π4），k ∈Z C ．（k π－π2，k π－π4]，k ∈ZD ．[k π－π2，k π+π4]，k ∈Z题型三：比较函数值的大小例3．比较下列四个数的大小关系：tan1，tan2，tan3，tan4．点评：有关正、余切函数大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理，若遇到不同函数之间的比较，则最好通过变换化为同名函数再作比较． 变式练习3：比较大小：tan （－21π4）与tan （－17π5）．题型四：判断函数的单调性 例4．已知函数y =tan x ，x ∈（0，π2）是增函数，求证：函数y =1－tan x ，x ∈（－π2，0）是减函数．点评：判断此类函数的单调性问题，可以结合上述的函数单调性的定义来处理，在一些填空题或解答题中往往可以直接根据数形结合的方法，通过草图来加以处理，必要时再加以科学论证．变式练习4：已知函数f （x ）=tan45x ，则f （x ）（ ） A ．是定义域上的增函数，周期为π B ．是定义域上的增函数，周期为54π C ．在[－π2，π2]上为增函数，周期为π D ．在[－2π5，2π5]上为增函数，周期为54π【随堂练习】1．在下列函数中，同时满足下列三个条件的函数是（ ）①在（0，π2）上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数； A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan 21x D ．y ＝－tan x2．函数f （x ）=tan （x +π4）的单调增区间为（ ） A ．（k π－π2，k π+π2），k ∈Z B ．（k π，（k +1）π），k ∈Z C ．（k π－3π4，k π+π4），k ∈Z D ．（k π－π4，k π+3π4），k ∈Z3．下列不等式中正确的是（ ）A ．tan53π>tan 52π B ．tan4>tan3C ．tan281º>tan665ºD ．tan （－413π）<tan （－512π）4．若x ∈[0，2π]，函数y =x sin +x tan 的定义域为__________．5．在区间（－3π2，3π2）范围内，函数y =tan x 与函数y =sin x 的图象交点的个数为 个． 6．求函数y = tan （－2x +π8）的周期与单调性．【课后作业】1．观察正切函数的图象，满足|tan x |≤1的x 取值范围是（ ）A ．[2k π－π4，2k π+π4]，k ∈Z B ．[k π，k π+π4]，k ∈Z C ．[k π－π4，k π+π4]，k ∈Z D ．[k π+π4，k π+3π4]，k ∈Z2．函数y ＝sin x ＋tan x －|sin x －tan x |在区间（π2，3π2）内的取值范围是（ ）A ．（－∞，0]B ．[0，＋∞）C ．[－2，0]D ．[0，2] 3．已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，则它的最小值为________． 4．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y =|sin x |、y =|tan x |的周期分别为π、2π； ③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2；④若f （x ）是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T）=0； 其中正确命题的序号是____________．5．若x∈[－π3，π4]，求函数y=tan2x+2tan x+3的值域．6．求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间［－π，π］内的图象．参考答案【课前准备】 2．基础预探 （1）π，奇函数，（－π2+k π，π2+k π），实数集R ；（2）{x |x ≠π2+k π，k ∈Z }． 【知识训练】 1． A 【解析】将（12π，0）代入原函数可得，tan （6π+φ）=0，再将选项A 、B 、C 、D 代入检验即可. 2． A【解析】A 是奇函数，B 、D 是非奇非偶函数，C 是偶函数. 3． C【解析】当tan x =1，在（－π2，π2）内对应的值是π4，而其周期是π，则有k π+π4，k ∈Z . 4．2π【解析】根据正切函数的性质知其最小正周期为T =ωπ=2π. 5．①【解析】对f （x ）=tan （2x －4π），T =π2，故①对；定义域为2x －4π≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+3π8，k ∈Z ，故②错；由于f （－x ）= tan （－2x －4π）=－tan （2x +4π）≠tan （2x －4π）=f （x ），故③错；由k π－π2<2x －4π<k π+π2，k ∈Z 知函数的单调增区间为（21k π－π8，21k π+3π8），k ∈Z ，故⑤错. 6．【解】要使函数y =2tan2x 有意义，则有2x ≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+π4，k ∈Z ，所以函数y =2tan2x 的定义域为{x |x ≠21k π+π4，k ∈Z }．【典例导析】例1．【解】函数y =x tan +lg （1－tan x ）有意义，则⎩⎨⎧>-≥0tan 10tan x x ，解得0≤tan x <1，结合正切函数的图象可得k π≤x <k π+π4，k ∈Z ，所以原函数的定义域为{x |k π≤x <k π+π4，k ∈Z }． 变式练习1：【解】要使函数y =2tan （2x －π4）有意义，则有2x －π4≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+3π8，k ∈Z ，所以函数y =2tan （2x －π4）的定义域为{x |x ≠21k π+3π8，k ∈Z }．例2．【解】由于y =|tan x |=πtan ,[π,π)2πtan ,(π,π)2x x k k x x k k ⎧∈+⎪⎪⎨⎪-∈-⎪⎩，k ∈Z ，单调增区间为[k π，k π+π2），k ∈Z ；单调减区间为（k π－π2，k π]，k ∈Z ．变式练习2：C【解析】如图，在（－π2，π2）这个周期内，tan x ≤－1所对应的区间是（－π2，－π4]，故在R 上，tan x ≤－1的解为（k π－π2，k π－π4]，k ∈Z .例3．【解】由于tan2=tan （2－π），tan3=tan （3－π），tan4=tan （4－π）， 又因为－π2<2－π<3－π<4－π<1<π2，而y =tan x 在（－π2，π2）上是增函数， 所以tan （2－π）<tan （3－π）<tan （4－π）<tan1，即tan2<tan3<tan4<tan1． 变式练习3：【解】由于tan （－21π4）=－tan π4，tan （－17π5）=－tan 2π5，又0<π4<2π5，而y =tan x 在（0，π2）内单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，则有－tan π4>－tan 2π5，即tan （－21π4）>tan （－17π5）．例4．【解】设任意x 1、x 2∈（－π2，0），且x 1<x 2，则有π2>－x 1>－x 2>0，由于函数y =tan x ，x ∈（0，π2）是增函数，所以tan （－x 1）>tan （－x 2），而正切函数y =tan x 是奇函数，则有－tan x 1>－tan x 2， 从而1－tan x 1>1－tan x 2，所以函数y =1－tan x ，x ∈（－π2，0）是减函数． 变式练习4：D【解析】正切函数不是在其定义域内单调，而是在区间（5π4k －2π5，5π4k +2π5）（k ∈Z ）上单调，周期为54π. 【随堂练习】 1． C【解析】对y ＝tan 21x ，在开区间（－π+2k π，π+2k π），k ∈Z 内，函数单调递增； 又tan （－21x ）= －tan 21x ，是奇函数；且周期T =π12=2π.2． C【解析】根据函数y =tan x 的单调性，由k π－π2< x +π4<k π+π2，k ∈Z ，得k π－3π4< x <k π+π4，k ∈Z . 3． B【解析】根据正切函数y =tan x 的单调性加以分析. 4．（π2，π] 【解析】函数y =x sin +x tan -的定义域为⎩⎨⎧≥-≥0tan 0sin x x ，即⎩⎨⎧≤≥0tan 0sin x x ，又x ∈[0，2π]，那么结合草图，可知x ∈（π2，π]. 5．3【解析】结合函数y =tan x 与函数y =sin x 的图象，在区间（－3π2，3π2）范围内，知它们的交点分别为（－π，0），（0，0），（π，0）；6．【解】周期为T =π|2|-=π2； 令u =－2x +π8，则y =tan u 在（－π2+k π，π2+k π），k ∈Z 上单调递增， 即－π2+k π<－2x +π8<π2+k π，解得：－3π16－21k π<x <5π16－21k π，k ∈Z ，又u =－2x +π8在R 上递减，故y = tan （－2x +π8）在区间（－3π16－21k π，5π16－21k π），k ∈Z 上单调递减．【课后作业】 1． C【解析】结合正切函数的图象可以判断出来. 2． A【解析】由于y ＝⎩⎨⎧2tan x ，π2<x ≤π，2sin x ，π<x <3π2，当π2<x ≤π时，y ≤0；当π<x <3π2时，－2<y <0；综上，y ≤0. 3．2【解析】由于y ＝tan 2x －2tan x ＋3＝（tan x －1）2＋2，当tan x =1时，函数y ＝tan 2x －2tan x ＋3的最小值为2. 4．④【解析】结合正切函数的图象与性质知①是错误的，同时y =|tan x |的周期为π，即②也是错误的；结合正弦函数的图象与性质知是③错误的；由于f （x ）是R 上的奇函数，则有f （0）=0，且有f （－2T ）=－f （2T ），而由其最小正周期为T 知f （－2T ）= f （2T ），则有f （－2T）=0.5．【解】函数y =tan x 在（－π2，π2）这个周期内是单调递增的， 因而当x ∈[－π3，π4]时，y =tan x 的最小值在x =－π3取到，且最小值为tan （－π3）=－3，y =tan x 的最大值在x =π4取到，且最大值为tan π4=1，又y =tan 2x +2tan x +3=（tan x +1）2+2，当tan x =－1时，函数y =tan 2x +2tan x +3取到最小值2；高中数学优质学案11 当tan x =1，函数y =tan 2x +2tan x +3取到最大值6；故函数y =tan 2x +2tan x +3的值域为[2，6]．6．【解】（1）要使函数y ＝tan2x 有意义，必须且只须2x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 即x ≠π4＋π2k ，k ∈Z ， ∴函数y ＝tan2x 的定义域为{x ∈R ｜x ≠ππ42k +，k ∈Z }； （2）设t ＝2x ，由x ≠ππ42k +，k ∈Z 知t ≠π2＋k π，k ∈Z ， ∴y ＝tan t 的值域为（－∞，＋∞），即y ＝tan2x 的值域为（－∞，＋∞）；（3）由tan2（x ＋π2）＝tan （2x ＋π）＝tan2x ， ∴y ＝tan2x 的周期为π2； （4）函数y ＝tan2x 在区间［－π，π］的图象如图：。
1.4.3正切函数的性质与图象
理论迁移
1.关于正切函数下列说法不正确的是（ ）
A.是奇函数 B.在整个定义域上是增函数
C.在定义域内无最大值和最小值
D.平行于 轴的的直线被正切曲线各支所截 线段相等
理论迁移
3.求函数 和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ调区间.
的定义域、周期
归纳总结
课后作业 P46 习题6,7, 8（1）（2）9.
了正、余弦函数的哪些性质？
新知探究 1.正切函数的定义域和周期.
2.类比正弦函数图象的作法，画出正切
函数y=tanx,x∈
y
的图象.
2
2
2
O
2
x
3.观察图象，正切函数具有哪些性质？
思考探究
思考1：正切函数在其定义域上为单调
递增函数吗？ 思考2：正切曲线关于原点对称，正切 曲线是否还关于其它的点对称？
§1.4.3三角函数的性质与图象
泾川县第一中学
唐小刚
学习目标
1.会作正切函数的图象并用图象解决与性
质有关的问题．
2.运用类比的方法，学习正切函数的图象 与性质．
3.通过对正切函数从性质到图象，从图象
到性质的探究学习，培养学生探索精神和
创新思维．
复习引入
在前面已经研究了正弦函数、余弦函数 的图象及其性质，我们是通过什么方法研究
人教课标版高中数学必修四《正切函数的图象与性质》教案(1)-新版
1.4.3正切函数的性质与图象一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，了解研究正切函数图象的方法，掌握正切函数的图象特征与性质，并运用性质解决一定的实际问题．（二）学习目标学生已经有了研究正弦函数余弦函数的图象与性质的经验，正切函数在研究方法与研究内容上与前者类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题．本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1．知识目标：1）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图象．2）熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的性质．3）掌握利用数形结合思想分析问题解决问题的技能．2．能力目标：1）通过类比，联系正弦函数图象的作法．2）能学以致用，结合图象分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质．（三）学习重点正切函数的图象及其主要性质（包括周期性单调性奇偶性值域）；深化研究函数性质的思想方法．（四）学习难点正切函数图象与性质的应用二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第48页至第51页，填空．正切函数的周期是_2π_，是 增 函数，在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内都是 增函数，它的值域是__R __． 2．预习自测（1）画出下列各角的正切线：【知识点】正切线 【数学思想】数形结合【思路点拨】注意第二、三象限正切线的变化，投影到第四、一象限做正切线. 【解题过程】【答案】略 （2）复习相关诱导公式tan(x+π)= x tan ；tan(-x )= x tan - ． 【知识点】任意角三角函数诱导公式 【数学思想】转化思想【思路点拨】“奇变偶不变，符号看象限”【解题过程】tan(x+π)中，根据=22ππ⋅，系数为偶数2，三角函数名不变．假定x为锐角，x π+为第三象限角，其正切为正，∴()tan tan x x π+=．同理，()tan tan x x -=-．【答案】tan(x+π)= x tan ；tan(-x )= x tan - ． （二）课堂设计 1．知识回顾（1）任意角α的终边与单位圆交于点()P x y ，(0x ≠)，则α的正切tan α=yx tan y xα=． （2）下图1中，有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．图1．三角函数线（3）正弦函数sin y x =的图象如图2，其最小正周期为2π，是奇函数，在每一个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 上都是增函数，其值从-1到1；在每一个闭区间()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦都是减函数，其值从1到-1；余弦函数cos y x =的图象如图3，它是偶函数，在每一个闭区间[]()2,22k k k Z ππππ++∈ 上都是增函数．图2．正弦函数图象 图3．余弦函数图象2．问题探究探究一：正切函数有哪些性质？ （1）定义域：回顾正切的定义，其中角是任意角吗？由正切函数定义，若角x 的终边过点(),a b ，则tan bx a=知，当0a =，即,2x k k Z ππ=+∈时，tan x 无意义，故正切函数tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．（2）周期性结合周期函数的定义，由诱导公式()tan tan x x π+=，能得出什么样的结论？ 根据()tan tan x x π+=，可得出正切函数tan y x =的一个周期为π，且由单位圆中正切线的变化情况可知，π为该函数的最小正周期． （3）奇偶性结合奇偶函数的定义，由诱导公式()tan tan x x -=-，能得出什么样的结论？正切函数tan y x =为奇函数，函数图象关于原点对称． （4）单调性由正切线的变化规律，正切函数tan y x =具有怎样的单调性？正切函数在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k Z ∈)内都是增函数．（5）值域由正切线的变化规律，分析正切函数tan y x =的值域是多少．由图1(Ⅰ)可知，当x 大于2π-且无限接近于2π-时，正切线AT 向y 轴的负方向无限延伸；由图1(Ⅱ)可知，当x 小于2π且无限接近于2π时，正切线AT 向y 轴的正方向无限延伸．故，x y tan =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是R ．探究二：由正切函数的性质和单位圆中正切线如何得出正切函数图象？ （1）类比已经学习的正弦函数、余弦函数的图象与性质，应该按照怎样的步骤研究正切函数？正切函数的是最小正周期为π的周期函数，所以只需画出它在一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象，可先选择区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭；而正切函数又是奇函数，所以只需要画出在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象即可．研究正切函数图象的步骤如下：0,,|,2222x x k k Z πππππ⎡⎫⎛⎫⎧⎫−−−−→-−−−−→≠+∈⎨⎬⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎩⎭奇函数周期性对称变换左右平移【设计意图】理清思路，学习分析问题的方法．（2）类别正弦函数、余弦函数，应该怎样画正切函数的图象？根据正切函数的定义域、周期性和奇偶性，选择先在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上作出它的图象： ①作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y 轴左侧作单位圆； ②把单位圆第一象限分成4等份，分别在单位圆中作出正切线；③描点（横坐标是半周期4等分点对应的值，纵坐标是相应的正切线的终点对应的值）； ④连线．再根据奇函数图象关于原点对称，画出,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内的图象．（如图4）图4．由正弦线画正切函数tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内图象图5．正切函数tan y x =图象最后由正切函数的周期性，只要把图4中的图象向左、向右扩展，就可以得到正切函数tan y x =（|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭）的图象，称之为正切曲线（如图5所示）． 【设计意图】实际操作，锻炼动手能力． （3）观察正切曲线，分析正切函数的性质①定义域：函数在,2x k k Z ππ=+∈处无定义，符合先前分析的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．②单调性：对于每一个k Z ∈，在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内，正切函数图象从左往右升高，正切函数单调递增． ③值域：靠近2k ππ-时，函数图象向下无限逼近直线2x k ππ=-，靠近2k ππ+时，函数图象向上无限逼近直线2x k ππ=+，能够取到R 上任意实数，值域为R ．④渐近线：正切曲线不限逼近的直线()2x k k Z ππ=+∈称之为正切曲线各支的渐近线．正切曲线是由被渐近线隔开的无穷多支曲线组成的，且在渐近线处无取值，即函数无定义．⑤对称性：正切曲线关于每一段图象与x 轴的交点(),0k π对称，且关于渐近线与x 轴交点,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称，但正切曲线不关于任何直线对称．即，正切曲线不是轴对称图形，而是中心对称图形，其对称中心为,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭． 【设计意图】前后呼应，扩展延伸，加深对正切函数性质的理解． 探究三：应用例1．求函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调区间．【知识点】正切函数的定义域、周期和单调性． 【数学思想】换元思想，整体思想． 【思路点拨】把23x ππ+看作整体，利用正切函数的定义域、周期和单调性知识求解．【解题过程】 令,232x k k Z ππππ+≠+∈，得12,2x k k Z ≠+∈，所以函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域1{|2,}2x x k k Z ≠+∈． 周期22T ππ==． 令-,2232k x k k Z ππππππ+++∈＜＜，得5122,22k x k k Z -++∈＜＜，所以函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为51(2,2),22k k k Z -++∈． 【答案】定义域：1{|2,}2x x k k Z ≠+∈；周期T =2；单调递增区间51(2,2),22k k k Z -++∈． 例2．求函数的定义域． （1）y （2）y =．【知识点】函数的定义域，解不等式，正切函数的性质．【数学思想】换元思想、整体思想．【思路点拨】先求不等式在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的解集，再根据正切函数的周期性求解出所有范围． 【解题过程】（1）由题意，tan x ≠,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，tan 3π=，∴3x π≠，又因为y=tan x 是周期为π的周期函数，所以函数的定义域为|32x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠+∈⎨⎬⎩⎭，且，．（2）因为tan x ≥错误！未找到引用源。
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§1.4.3正切函数的性质与图象
一、教学理念
通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象。
以提高学生的学习兴趣,提高课堂教学质量。通过合理运用教学课件,逐步培养学生养成
学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的
能力。这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,
有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果。
二、教材分析
本节课之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质。函数的
研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式。一般来说,对函数性质的研究总是先作
图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表
述。但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定
义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象。这样处理是
为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究
图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面。
三、学情分析
由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可
以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面
的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法。
四、教学目标
1.会作正切函数的图象并用图象解决与性质有关的问题．
2.运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质．
3.通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生探索精神和
创新思维．
五、教学重点、难点
重点:正切函数的性质与图象的简单应用.
难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.
六、教学方法
自主学习、合作探究、讲练结合
七、教学过程
环节 教学内容 师生互动 设计意图
导入 新课 回忆：在前面已经研究了正弦函数、余弦函数的图象及其性质，通常研究函数的哪些性质？ 1.回顾：我们研究正弦函数的性质时是通过画出图象后得到的，我们如何画正弦函数的图象？ 2.正切函数y=tanx的定义域是什么？ （1）定义域： （2）周期：T= 3. 你能类比正弦函数图象的作法，画出正切函数y=tanx,x∈（-π/2，π/2）的图象吗？ 4.思考：如何作出y=tanx在整个定义域内的图象？ 教师提出问题，学生集体回答后，引出：这节课我们将采用类似的方法研究正切函数的性质与图象（定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等）（给出课题） 学生回忆，集体回答用正弦线画图后，引出：同样这节课我们研究正切函数也从它的图象入手 教师展示用正弦线画正弦函数图象的方法。 强调：画图时应首先明确函数的定义域，以及函数是否具有周期性，如果有，只需作出一个周期内的图象，通过平移得到其他周期内的图象 教师引导学生从正切函数的定义入手考虑其定义域，学生思考后给出答案，与学生一起由诱导公式证明其为周期函数 学生先在练习本上按照以上四步作图，说明8等分单位圆即可。教师巡视，针对出现问题及时引导，等大多数同学完成后，教师动态演示作图的全过程，学生自行对比，修正自己的图象。 教师提示学生从正切函数的周期性进行思考，将已得图象向左、右扩展，给出图象②，让学生观察并总结其特征：正切曲线是被互相平行的直线x=π/2+kπ, k∈Z所隔开的无数多支曲线组成. 通过复习，引出这节课的课题和
明确研究方向。
指出研究方法，
明确研究步骤
类比正弦函数图
象的画法，为画
正切函数的图象
作铺垫
为画图做准备
培养学生运用类
比的方法解决问
题和动手操作能
力，形成对正切
函数图象的感
知。
函数周期性的运
用，体验周期函
数的特点
},2{zkkxx
新课 5.观察图象，正切函数具有哪些性质？ （3）奇偶性：奇函数 （4）值域：R （5）单调性： 在每个区间 (,,)22kkkZ上单调递增 6.思考：正切函数在其定义域上为单调递增函数吗？ 7.练习 关于正切函数下列说法不正确的是（B ） A.是奇函数 B.在整个定义域上是增函数 C.在定义域内无最大值和最小值 D.平行于x轴的的直线被正切曲线各支所截线段相等 理论迁移 1.比较下列两组正切值的大小 （1）tan167tan173oo与 （2）1113tan()tan()45与 2.求函数tan()23yx的定义域、周期和单调区间。 教师引导学生看图，说出图象所具有的的性质，学生思考后举手回答，教师总结 （1） 图象关于原点成中心对称——奇函数 （2）图象上下无限延伸并接近直线,.2xkkZ——值域为R （3）图象在每个区间33(,),(,),(,)222222上单调递增——单调性 学生观察图像，思考后回答，函数是在每个(,,)22kkkZ区间上递增，在整个定义域上并没有单调性。 学生举手回答 （1）学生思考，给出解题思路，教师板书解题步骤，（2）题交给学生自己，完成后教师与学生 一起总结解此类型题的方法 ——把相应的角诱导到的同一单调区间内，利用的单调递增性来解决! 学生思考后，给出解题思路，教师板书解题过程，完成后，总结此道题中所用到的常用数学方法
感知正切函数图
象的特点，培养
学生的观察能力
和归纳总结能
力。
强调关键点，避
免对函数的错误
认识。
基础性知识练习
函数单调性的利
用
小
结
1. 正切函数的图象和性质 2. 这节课你学到了哪些数学方法？ 教师引导学生小结，并提出问题2，学生思考后回到，教师作点评 知识点巩固，加
深印象！
作
业
P46 习题6,7, 8（1）（2）9. 课后巩固
八、课后反思
九、板书设计
§1.4.3 正切函数的性质与图象
一、正切函数的性质
（1）定义域
（2）周期
二、正切函数的图象与性质
（3）奇偶性
（4）值域
（5）单调性
三、例题分析
1.
比较下列两组正切值的大小
（1）tan167tan173oo与（2）1113tan()tan()45与
2.
求函数tan()23yx的定义域、周期和单调区间.