正切函数的性质和图象

1.4.3正切函数的性质和图象

荥阳市第二高级中学

王青琴

【学习目标】

1.通过预习，能根据正切函数定义，诱导公式，正切线从“数”的角度，推出正切函数性质；

2.通过师生合作,能根据正切函数的性质与正切线，画出正切函数的图象；

3.通过师生合作，能根据正切函数的图象和性质解决相关问题。

【学习重点】

1.正切函数的图象与性质；

2.利用正切函数图象与性质解决问题

【学习难点】

利用正切线研究正切函数的单调性及值域

【学习方法】 自主探究 合作交流

【学习思想】类比、数形结合、整体代换、转化

【学习过程】

一、温故知新

1、正切的定义式是什么？

即：角a 的终边不能落在 y 轴上

即：使的集合为有意义的角tan αα

.

2、正弦，弦函数的相关性质有哪些？

思考？正切函数y=tanx 是否有这样的性质呢？

二、新知探究 探究1：根据正切函数定义，诱导公式，正切线推导正切函数的相关性质。 问题1.正切函数的定义域是什么？

结论：正切函数定义域为： .

问题2、你能根据诱导公式，判断正切函数是不是周期函数吗？

结论：正切函数的最小正周期为 .

问题3、你能根据诱导公式，判断正切函数的奇偶性吗？

结论：正切函数为 函数

问题4.你能利用正切线，研究正切函数在一个周期内 的单调性吗？

y =tanx y =tanx ππ(-,)22)0(tan ≠=x x

y α

结论：

问题5. 观察正切线：当x 大于2π

-且无限接近2π

-时，正切值如何变化？

当x 小于2π且无限接近2π

时, 正切值又如何变化？

结论：正切函数的值域是___________

探究2：利用正切线做出正切函数的图象.

问题1. 类比正弦函数图象画法，你能利用正切线，画出y=tanx 在 内的图象吗？

问题2. 根据正切函数周期性，你能画出在其整个定义域内的图象吗？

利用正切线作tan y x =，x ∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图象

思考？

正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？

三、利用性质解题

例题1.求函数)3

2tan(ππ+=x y 的定义域、周期和单调区间。

⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ

变式训练：

小结：性。

的定义域，周期，单调)tan(的数学思想求_____运用ϕ+=wx A y

例题2：比较 138tan 与 143tan 的大小

变式训练： 大小5

17tan 与413tan

比较ππ

求函数 的定义域,周期，单调区间． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42tan 3πx y

小结：比较两正切值大小的方法

（1）运用三角函数的 将角转化到同一单调区间内；

（2）运用 比较大小关系。

【课堂达标训练】

1、下列函数中,同时满足(1)在(0, 2

π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( ) (A)x y tan = (B)x y cos = (C)x

y 21tan = (D)x y tan -= 2、函数)4tan(

x y -=π的定义域为 ( ) (A)},4|{R x x x ∈≠π

(B)},4|{R x x x ∈-≠π

(C)},,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠π

π (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+

≠ππ 3、函数)4tan(x y -=π

的递减区间是

四、课堂小结与收获

1.正切函数的性质：

定义域： 值域： 周期性： 奇偶性：

单调性：

2.数学思想方法： ， ， ，

五、布置作业

1.必做题：课本习题A 组第6题、第8题。

2.选做题：课本习题B 组第2题.

六、拓展延伸

1.（1）求函数y ＝2tan x 1

－的定义域

（2）函数y =的定义域为 .

2.类比正弦函数，你能得到)tan(ϕ+=

wx A y 的周期公式为

对称中心是

七、课后反思