初中数学：1.4.3正切函数的图象与性质
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1.4.3正切函数图象与性质
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
xR
2 5 x
2
y=co
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
2
2
正
渐
切
进 线
函
数
渐
图
进 线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
x
，x
2
，
2
的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
单调性 奇偶性
周期 对称性
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
xR
2 5 x
2
y=co
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
2
2
正
渐
切
进 线
函
数
渐
图
进 线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
x
，x
2
，
2
的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
1.4.3正切函数的性质与图象
学生在学校学习的数学知识，毕业后 很快就忘掉了。然而，不管他们将来从事 什么工作，惟有深深铭刻在心中的数学精 神、数学的思维方法和看问题的着眼点， 时时处处发挥作用，使他们受益终身。
--米山国藏
谢谢大家
(2) 作正切线
(3) 平移
y
(4) 连线
o
2
o 3 x
84 8 2
探究函数
y
tan
x
，x
[0,
2
)
的图像在
[0,
2
)
的趋势
“ ”正切
y
-
x
-ห้องสมุดไป่ตู้
-
O
2
2
正切曲线
“华”正切
“华”正切
性质 数
图象 形
性质 数
数形 结合
“华”正切
已知tan x 3, x （- ， ），求x.
22 变式1：已知 tan x 3, 求x.
f (x) f (x)
tan(-x) - tan x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数
“画”正切
“画”正切
利用正切线作正切函数的图象
yT P
O
Ax
正切线：有向线段AT
“画”正切
利用正切线画出函数
y tan x，
x [0, )
2
的图象:
作法:(1) 等分：把单位圆在第一象限的部分分成4等份。
1.4.3 正切函数的 性质与图象
甘肃省临洮中学 朱建辉
核心素养
学习目标
能画出正切 函数的图象， 掌握正切函 数的性质．
数学抽象 直观想象
思想方法
数形结合 类比推理
“话”正切
--米山国藏
谢谢大家
(2) 作正切线
(3) 平移
y
(4) 连线
o
2
o 3 x
84 8 2
探究函数
y
tan
x
，x
[0,
2
)
的图像在
[0,
2
)
的趋势
“ ”正切
y
-
x
-ห้องสมุดไป่ตู้
-
O
2
2
正切曲线
“华”正切
“华”正切
性质 数
图象 形
性质 数
数形 结合
“华”正切
已知tan x 3, x （- ， ），求x.
22 变式1：已知 tan x 3, 求x.
f (x) f (x)
tan(-x) - tan x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数
“画”正切
“画”正切
利用正切线作正切函数的图象
yT P
O
Ax
正切线：有向线段AT
“画”正切
利用正切线画出函数
y tan x，
x [0, )
2
的图象:
作法:(1) 等分：把单位圆在第一象限的部分分成4等份。
1.4.3 正切函数的 性质与图象
甘肃省临洮中学 朱建辉
核心素养
学习目标
能画出正切 函数的图象， 掌握正切函 数的性质．
数学抽象 直观想象
思想方法
数形结合 类比推理
“话”正切
1.4.3正切函数的图像与性质1
理论迁移
例1 求函数 y tan( x ) 的定义域、 周期和单调区间. 2
例2 试比较tan8 和tan( 28 )的
大小.
例3 若 1 tan x 3，求x 的取值范 围.
小结作业
1.正切函数的图象是被互相平行的直线 所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且 关于点 (k p , 0对) 称, 正切函数的性质应 结合图象去2 理解和记忆.
2
都是增函数
思考7：正切函数在整个定义域内是增函 数吗？正切函数会不会在某一区间内是 减函数？
思切2 值考时如8,：何正当变切x化大值？于又当如2x且何小无变于限化2接？且近由无此限2 接分时近析，，正 正切函数的值域是什么?
y
T2
正切函数的值域是R.
O
O
Ax
T1
Hale Waihona Puke 识探究（一）：正切函数的图象
2
O
x
2
2
思考4：正切函数在整个定义域内的图象 叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数， 所以正切曲线关于原点对称，此外，正 切曲线是否还关于其它的点和直线对称？
正切曲线关于点 (k p , 0)对称. 2
思考5：根据正切曲线如何理解正切函数 的基本性质？一条平行于x轴的直线与相 邻两支曲线的交点的距离为多少？
的周期是什么？
思考4：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数具有奇偶性吗？
正切函数是奇函数
思考5：观察下图中的正切线，当角x 在( , ) 内增加时，正切函数值发生
22
什么变化？由此反映出一个什么性质？
y
T2
O
O
Ax
T1
思考6：结合正切函数的周期性，正切 函数的单调性如何？
1.4.3正切函数的性质与图象
①正切函数y=tanx的定义域是{x|x≠kπ+ 到.比如,求函数
y
2 与已学过的正弦函数和余弦函数不同,在解题中往往注意不
还要考虑到tanx自身的限制,于是有:
,k∈Z},这一点
1 的定义域,不仅要考虑到tanx≠1, tanx 1
x k 且 x k , k Z .
4 C .( ,0 ) 5
D .( ,0 )
解 析函 : 数 yta n (x ) 的 图 象 与轴 x 的 交 点 及 渐 近 线 5 4 与轴 x 的 交 点 都 是 对 称 中 心 ,当 x 时 ,yta n 0 , 5 4 一 个 对 称 中 心 为 ( ,0 ). 5
k k 答 案 : ( , ) ( k Z ) 3 43 1 2
题型三 正切函数性质的应用 例3:(2005· 全国Ⅱ)已知函数y=tanωx在(数 ,则 ( )
, 2
)内是减函 2
A.0<ω≤1
C.ω≥1D.ω≤-1
B.-1≤ω<0
解析:ω只是变换函数的周期并将函数的图象进行伸缩,若ω 使函数在(, )上递减,则ω必须小于0,而当|ω|>1时,图 2 2 象将缩小周期,故-1≤ω<0. 答案:B
c=()cos25°∈(0,1),∴b>c>a. 答案:D
7 .若 ta n ( 2 x )≤ 1, 则 x 的 取 值 范 围 是 3 k k 7 A. ≤ x≤ (k Z ) 2 12 2 24 7 B .k ≤ x k (k Z ) 12 24 k k 7 C. x≤ (k Z ) 2 12 2 24 7 D .k x≤ k (k Z ) 12 24
1.4.3正切函数的图像和性质(1)
π π
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) ∵ 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
3π (2kπ ,2kπ + ) 2 2
1 π x + )的单调递减区间为 : 2 4
π
例4 求下列函数的周期 求下列函数的周期：
解 :∵ f ( x) = 3 tan(2 x + ) π 4
(1) y = 3 tan(2x + ); 4 π
π
( 2 )变题 y = 3 tan(
= 3tan( x + +π) 2 4
解： (1) ∵ 90 < 167 < 173 < 180 上是增函数 ∵ y = tan x, 在 (900 ,2700 ) 又
3π 3π ∴ tan( ) < tan( ) 4 5
即
11 π 13 π tan( ) < tan( ) 4 5
解 : 因为原函数可化为 y = 3 tan( ); : 2 4 ∵ u = x + 为增函数; 且y = tan u的单调区间为 : x π 2 4 令u = ; 所以y = tan u的单调递增区间为 : π π
解 : (1)令u = x + , 则y = 3 tan u 2 4 1 π
1 π (1) y = 3 tan( x + ); 2 4 1 π
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) ∵ 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
3π (2kπ ,2kπ + ) 2 2
1 π x + )的单调递减区间为 : 2 4
π
例4 求下列函数的周期 求下列函数的周期：
解 :∵ f ( x) = 3 tan(2 x + ) π 4
(1) y = 3 tan(2x + ); 4 π
π
( 2 )变题 y = 3 tan(
= 3tan( x + +π) 2 4
解： (1) ∵ 90 < 167 < 173 < 180 上是增函数 ∵ y = tan x, 在 (900 ,2700 ) 又
3π 3π ∴ tan( ) < tan( ) 4 5
即
11 π 13 π tan( ) < tan( ) 4 5
解 : 因为原函数可化为 y = 3 tan( ); : 2 4 ∵ u = x + 为增函数; 且y = tan u的单调区间为 : x π 2 4 令u = ; 所以y = tan u的单调递增区间为 : π π
解 : (1)令u = x + , 则y = 3 tan u 2 4 1 π
1 π (1) y = 3 tan( x + ); 2 4 1 π
1.4.3正切函数的性质和图象课件.ppt
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
2
值域： R
y y tan x
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
2
o 2
x 2
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 ( k , k ) k Z
2
2
内是增函数
对称性： 对称中心是(k , 0), k Z
2
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
3
0 x
1.4.3 正切函数的性质与图象
提示：－∞ ＋∞ R
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知识梳理 函数 y＝tan x 的性质. 定义域 值域
最小正周期 奇偶性
xx≠kπ＋π2，k∈Z R π
奇函数
单调性
在开区间__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π_k_∈__Z___内都是增函数
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(2)∵tan－114π＝－tan114π＝tanπ4， tan－135π＝－tan135π＝tan25π. 又 0<π4<25π<π2， 函数 y＝tan x，x∈－π2，π2是增函数， ∴tanπ4<tan25π， 即 tan－114π<tan－135π.
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角度 2 比较大小 [例 3] 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与 tan 173°； (2)tan－114π与 tan－133π. [解析] (1)∵90°<167°<173°<180°， 又 y＝tan x 在 90°<x<270°范围内是增函数， ∴tan 167°<tan 173°.
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探究二 正切函数的单调性问题 [阅读教材 P44 例 6] 角度 1 求正切函数的单调区间 [例 2] 求函数 y＝3tanπ6－x4的单调递减区间． [解析] y＝3tanπ6 －x4＝－3tanx4－π6， 由 kπ－π2<x4－π6<kπ＋π2，k∈Z，得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π，k∈Z， ∴y＝3tanπ6－x4的单调递减区间为4kπ－43π，4kπ＋83π，k∈Z.
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知识梳理 函数 y＝tan x 的性质. 定义域 值域
最小正周期 奇偶性
xx≠kπ＋π2，k∈Z R π
奇函数
单调性
在开区间__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π_k_∈__Z___内都是增函数
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(2)∵tan－114π＝－tan114π＝tanπ4， tan－135π＝－tan135π＝tan25π. 又 0<π4<25π<π2， 函数 y＝tan x，x∈－π2，π2是增函数， ∴tanπ4<tan25π， 即 tan－114π<tan－135π.
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角度 2 比较大小 [例 3] 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与 tan 173°； (2)tan－114π与 tan－133π. [解析] (1)∵90°<167°<173°<180°， 又 y＝tan x 在 90°<x<270°范围内是增函数， ∴tan 167°<tan 173°.
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探究二 正切函数的单调性问题 [阅读教材 P44 例 6] 角度 1 求正切函数的单调区间 [例 2] 求函数 y＝3tanπ6－x4的单调递减区间． [解析] y＝3tanπ6 －x4＝－3tanx4－π6， 由 kπ－π2<x4－π6<kπ＋π2，k∈Z，得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π，k∈Z， ∴y＝3tanπ6－x4的单调递减区间为4kπ－43π，4kπ＋83π，k∈Z.
第一章 1.4 1.4.3正切函数的性质与图像
π π [正解] ∵在(0， )上，tanx>sinx，∴在(0， )上，y＝sinx 与 2 2 π y＝tanx 没有交点，同理在(－ ，0)上也没有交点，如图(2)所 2 示，由图易知选 D.
[答案] D
点击此图片进入 “训练全程跟综”
最小正周期为T＝ π
kπ 对称中心 ( 2 ，0)k∈Z
1．正切曲线具有哪些特征？
π 提示：正切曲线是被互相平行的直线 x＝kπ＋ (k∈Z) 2 所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对 称轴，只有对称中心．
2．正切曲线在整个定义域上都是增函数吗？
π π 提示： 不是． 正切曲线在每一个开区间(kπ－ ， kπ＋ )(k 2 2 ∈Z)上是增函数．但在整个定义域上不是增函数．
π x x π 解：y＝3tan( － )＝－3tan( － )， 6 4 4 6 π ∴周期 T＝ ＝4π， |ω| π x π π 又使 kπ－ ＜ － ＜kπ＋ ，k∈Z， 2 4 6 2 得 4kπ－ 4π 8π ＜x＜4kπ＋ ，k∈Z， 3 3
π x ∴y＝3tan( － )的周期为 4π， 6 4 4π 8π 单调递减区间为(4kπ－ ，4kπ＋ )(k∈Z)． 3 3
探究点一
正切函数的定义域问题
求正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本 身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的 三角不等式或不等式组．
求函数 y＝ tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．
[提示]
列出使每个式子有意义的不等式组，然后解
不等式组．
[解]
tanx＋1≥0 Hale Waihona Puke 由题意得 1－tanx>0
探究点二
正切函数的周期性
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在
内增加时，正切函数值发生
什么变化？由此反映出一个什么性质？
y
T2
O
O
Ax
T1
思考6：结合正切函数的周期性，正切 函数的单调性如何？
正切函数在开区间 都是增函数
思考7：正切函数在整个定义域内是增函 数吗？正切函数会不会在某一区间内是 减函数？
思考8：当x大于 且无限接近 时，正
切值如何变化？当x小于 且无限接近
思考1：正切函数的定义域是什么？用区 间如何表示？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数是周期函数吗？其最小正周期为 多少？
正切函数是周期函数，周期是π.
思考3：函数 ？一般地，函数
的周期是什么？
的周期为多少
思考4：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数具有奇偶性吗？
正切函数是奇函数
思考5：观察下图中的正切线，当角x
理论迁移
例1 求函数 周期和单调区间.
的定义域、
例2 试比较tan8 和tan( )的 大小.
例3 若 围.
，求x 的取值范
小结作业
1.正切函数的图象是被互相平行的直线
所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且
关于点
对称, 正切函数的性质应
结合图象去理解和记忆.
2.正切曲线与x轴的交点及渐近线,是确 定图象形状、位置的关键要素,作图时一 般先找出这些点和线,再画正切曲线.
思考3：结合正切函数的周期性, 如何画 出正切函数在整个定义域内的图象？
y
O
x
思考4：正切函数在整数，
所以正切曲线关于原点对称，此外，正
切曲线是否还关于其它的点和直线对称
？
正切曲线关于点
对称.
思考5：根据正切曲线如何理解正切函数 的基本性质？一条平行于x轴的直线与相 邻两支曲线的交点的距离为多少？
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内 容？这些性质是怎样得到的？
3.三角函数包括正、余弦函数和正切函 数，我们已经研究了正、余弦函数的图 象和性质， 因此, 进一步研究正切函数 的性质与图象就成为学习的必然.
知识探究（一）：正切函数的性质
时, 正切值又如何变化？由此分析，
正切函数的值域是什么?
y
T2
正切函数的值域是R.
O
O
Ax
T1
知识探究（一）：正切函数的图象
思考1：类比正弦函数图象的作法，可以 利用正切线作正切函数在区间
的图象，具体应如何操作？
y
O
x
思考2：上图中,直线 和
与正
切函数的图象的位置关系如何？图象的
凸向有什么特点？
3.研究正切函数问题时,一般先考察 的情形, 再拓展到整个定义域.
作业:P45练习:2，3，4，6.