高一数学：正切函数的性质和图象
人教版高一数学必修四第一章正切函数的性质与图象
1．4.3 正切函数的性质与图象考点 学习目标核心素养 正切函数的图象 能借助单位圆中的正切线画出y ＝tan x 的图象数学抽象、直观想象 正切函数的性质掌握正切函数的性质数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P 42－P 45，并思考下列问题： 1．正切函数有哪些性质？2．正切函数在定义域内是不是单调函数？函数y ＝tan x 的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 最小正 周期 π 奇偶性奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数对称性对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )(1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数．(2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π－π2，k ∈ZB ．{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π3，k ∈Z答案：D函数y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2π D ．3π答案：A函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递增区间是________．答案：⎝⎛⎭⎫－π4＋k π，3π4＋k π，k ∈Z正切函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )．【解】 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2)因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .函数 y ＝tan(2x －π4)的定义域是________．解析：因为 2x －π4≠π2＋k π(k ∈Z )⇒x ≠3π8＋k π2(k ∈Z )，所以定义域为{x |x ≠k π2＋3π8，k∈Z }．答案：{x |x ≠k π2＋3π8，k ∈Z }正切函数的单调性及其应用(1)求y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调区间．(2)比较tan 65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π的大小． 【解】 (1)由题意，k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，即k π－3π4<12x <k π＋π4，k ∈Z ，所以2k π－3π2<x <2k π＋π2，k ∈Z ，故单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )．(2)tan 65π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π5＝tan π5，tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝tan π7，因为－π2＜π7＜π5＜π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以tan π7＜tan π5，即tan 65π＞tan ⎝⎛⎭⎫－137π.(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．1．函数 f (x )＝13tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫2k －32，2k ＋12，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k －12，2k ＋12，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫4k －12，4k ＋12，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫4k －32，4k ＋12，k ∈Z 解析：选 A ．由 k π－π2<π2x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )得 2k －32<x <2k ＋12(k ∈Z )．故 f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k －32，2k ＋12(k ∈Z )． 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6的值域是________．解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，所以x 2＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4∈(1，3)．答案：(1，3)正切函数奇偶性和周期性的应用已知函数 f (x )＝sin x|cos x |.(1)求函数 f (x )的定义域； (2)用定义判断函数f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出函数 f (x ) 的图象． 【解】 (1)由 cos x ≠0，得 x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }．(2)由(1)知函数 f (x )的定义域关于原点对称．因为 f (－x )＝sin （－x ）|cos （－x ）|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，所以 f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π，所以 f (x )在[－π，π]上的图象如图所示．正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．画出 f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．解：f (x )＝tan |x |化为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0（k ∈Z ），－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0（k ∈Z ）， 根据 y ＝tan x 的图象，作出 f (x )＝tan |x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…)．1．函数y ＝1tan x ⎝⎛⎭⎫－π4＜x ＜π4的值域是( ) A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)解析：选B.因为－π4＜x ＜π4，所以－1＜tan x ＜1，所以1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.2．比较大小：tan13π4________tan 17π5. 解析：因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又 0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以 tan π4<tan 2π5，即 tan 13π4<tan 17π5.答案：<3．求函数 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期．解：因为 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，所以函数仅存在单调递减区间． 由 k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，函数 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的最小正周期 T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.[A 基础达标]1．函数f (x )＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D.f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.2．(2019·河南林州一中月考)函数 y ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4 的定义域为( )A.⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π4，k ∈ZB.⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈ZC.⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π＋π2，k ∈ZD.⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z解析：选 C ．由 1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，得 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，所以 k π－π2<x －π4≤k π＋π4，k∈Z ，解得 k π－π4<x ≤k π＋π2，k ∈Z ，故所求函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π2，k ∈Z ，故选 C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是下图中的( )解析：选A.由函数周期T ＝π12＝2π，排除选项B 、D.将x ＝23π代入函数解析式中，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23π－π3＝tan 0＝0，故函数图象与x 轴的一个交点为⎝⎛⎭⎫23π，0.4．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( )A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D.当x ＝π2时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 5π4＝1；当x ＝－π2时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝1；当x ＝π4时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 3π4＝－1；当x ＝π8时，y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan π2，不存在．5．在(0，2π)内，使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫π4，π2 B.⎝⎛⎭⎫54π，32π C.⎝⎛⎭⎫π4，π2∩⎝⎛⎭⎫54π，32π D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫54π，32π 解析：选 D ．因为 x ∈(0，2π)，由正切函数的图象，可得使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫54π，32π. 6．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________． 解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， 所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3，3]7．函数 f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调减区间为________． 解析：因为 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，所以原题即求函数 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间．由 k π－π2<x － π4<k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π4<x <k π＋3π4，k ∈Z ，即函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . 答案：⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . 8．函数y ＝tan x 2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增； ②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， 所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确； 由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }， 所以④不正确．答案：①②9．求函数 y ＝lg tan x ＋9－x 2的定义域．解：要使 y 有意义，则有⎩⎨⎧tan x >0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），9－x 2≥0，即⎩⎨⎧k π<x <k π＋π2（k ∈Z ），－3≤x ≤3 解得 －3≤x <－π2或 0<x <π2. 故所求的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 10．比较下列两个正切值的大小：(1)tan 167°，tan 173°；(2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4，tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y ＝tan x 在(90°，180°)上为增函数，所以tan 167°<tan 173°.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4＝tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5＝tan 2π5， 且0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数， 所以tan π4<tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. [B 能力提升]11．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则 ( ) A ．0＜ω≤1 B ．－1≤ω＜0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：选B.因为y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数， 所以ω＜0且T ＝π|ω|≥π. 所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.12．已知点 M (－3，－1)，若函数 y ＝tanπ4x [x ∈(－2，2)]的图象与直线 y ＝1 交于点 A ，则|MA |＝__________．解析：令 y ＝tan π4x ＝1，解得 x ＝1＋4k ，k ∈Z ，又 x ∈(－2，2)，所以 x ＝1，所以函数 y ＝tan π4x 与直线 y ＝1 的交点为 A (1，1)，又 M (－3，－1)，所以|MA |＝（1＋3）2＋（1＋1）2＝2 5.答案：2 513．设函数 f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间．(2)求不等式 f (x )≤ 3 的解集．解：(1)根据函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，可得x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得 x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . 故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . 它的最小正周期为π12＝2π. 令 k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，得 2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . 故函数的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . (2)求不等式 f (x )≤ 3，即 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤ 3， 所以 k π－π2<x 2－π3≤k π＋π3，k ∈Z ， 求得 2k π－π3<x ≤2k π＋4π3，k ∈Z ， 故不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z . 14．(选做题)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 解：y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1 ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4， 所以tan x ∈[－3，1]，所以当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取最小值1，当tan x ＝1， 即x ＝π4时，y 取最大值5.。
高一下数学 第03课时 正切函数的性质与图象
正切函数的性质与图象【知识要点】正切函数的性质与图象1．作正切函数的图象的两种方法(1)几何法：利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较繁琐． (2)三点两线法：“三点”是指，(),1,0,0,ππ,144⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，“两线”是指2πx =-和π2x =．在三点、两线确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在2π,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的简图，然后向左、向右扩展即得正切曲线．2．对正切函数性质的四点说明(1)研究正切函数的性质，首先要考虑正切函数的定义域，否则容易引起错误． (2)正切函数在整个定义域上不单调，但在每个单调区间上单调． (3)正切函数的值域为R ，但正切函数在定义域上无最值． (4)正切曲线x 轴的交点是正切函数的对称中心；直线()ππ2x k k +=∈Z 与x 轴的交点也是． 基本技能1．函数()y f x =和()y f x =图象的作法(1)作函数()y f x =的图象的步骤：①作出函数()y f x =在y 轴右侧的那部分图象；②函数()y f x =是偶函数，故将y 轴右侧的那部分图象对称到y 轴的左侧，保留y 轴右侧的部分，即得到函数()y f x =的图象．(2)作函数()y f x =的图象的步骤：①作出函数()y f x =的图象；②将x 轴下方的那部分图象翻折到x 轴上方，保留x 轴上方的部分，即得到函数()y f x =的图象．2．利用正切函数的单调性比较函数值大小的三个步骤(1)转化：利用诱导公式将角度化到同一单调区间内． (2)比较：利用单调性比较函数值的大小． (3)结论：按一定顺序写出其大小关系．3．求函数()tan A x y ωϕ=+定义域、周期、单调性的方法(1)定义域：由ππ2x k ωϕ+≠+，k ∈Z ，求出的x 的取值范围即为函数的定义域，即 π,π2x x k k ϕω⎧⎫+⎪⎪⎪⎪≠∈⎨⎬⎪⎪⎪⎩-⎪⎭R ．(2)周期性：利用周期性函数的定义或直接利用公式πT ω=来求．(3)单调性：在求函数tan()y A x ωϕ=+(其中A ,ω,ϕ是常数，且0A ≠，ω>0)的单调区间时，首先要用公式把x 的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈R ，求出x 的取值范围即可． 提醒：注意A 的正负对函数单调性的影响．【课堂新授】自主探究1．如图为正切函数3π3πtan ,,22y x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的图象，根据图象回答下面的问题：(1)作正切函数ππtan ,,22y x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的图象的三个关键点几两条直线是什么？(2)直线y a =与图象的两交点A 1，A 2之间的距离是多少？ (3)正切曲线与直线()ππ2x k k +=∈Z 存在怎样的关系？ 2．正切函数的性质根据正切函数的图象，探究下面的问题：(1)由正切曲线可知，正切函数的最小正周期为π，你能根据正切函数tan()y A x ωϕ=+(其中A ,ω,ϕ是常数，且0A >，ω>0)的周期推导出函数的周期吗？(2)结合正切函数的单调区间你能推导出函数tan()y A x ωϕ=+(其中A ,ω,ϕ是常数，且0A >，ω>0)的单调区间吗？(3)正切曲线是对称图形吗？对称中心是什么？ 理解正切函数的性质与图象 1．()n πta y x =+是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数2．πtan 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．π2B ．πC ．2πD ．3π3．函数()tan π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是__________，6πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 4．函数tan 2y x =最小正周期为__________． 5．函数tan y x =-的单调递减区间是__________．【典型例题】正切函数的图象及应用1．函数1π2tan 3x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭在一个周期内的图象是（）A ．B ．C ．D ．2．若集合π(,)π2,,2tan A x y y x x ⎧⎫⎛⎫∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩==⎭，{}(,)B x y y x ==，则A ∩B 中有____个元素．变式训练1．若函数tan 1x >，则x 的取值区间____________________． 2．函数πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为____________________．3．比较大小：tan 56π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 13tan 7π⎛⎫- ⎪⎝⎭．正切函数的性质3．与函数πtan 24y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+的图象不相交的一条直线是A ．π2x =B ．2πx =-C ．π4x =D ．π8x =4．函数(n 4)πta x f x ω⎛=-⎫ ⎪⎝⎭与函数()sin 24πg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期相同，则ω=（）A ．±1B ．1C ．±2D ．25．tan 2与tan 3的大小关系是______________．变式训练4．函数13tan 23πy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心是（）A ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2π,3⎛- ⎝C ．02π,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()0,05．若函数tan 3)(3π0y ax a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≠=-的最小正周期为π2，则a =_______．【课堂练习】1．关于x 的函数f (x )=tan (x +φ)有以下说法：(1)对任意的φ，f (x )既不是奇函数也不是偶函数； (2)不存在φ，使f (x )既是奇函数又是偶函数； (3)存在φ，使f (x )是奇函数；(4)对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中不正确的说法的序号是 ．因为当φ= 时，该说法的结论不成立．【课外练习】1．求函数y =tan2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间()ππ,-内的图象．。
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(2) tan( 11 ) tan( 3 )
tan(134 ) tan( 34 )
5
5
又 3 3 , 且 y tan x, x ( , ) 是增函数
2 4 52
22
tan( 3 ) tan( 3 )
4
5
即 tan(11 ) tan(13 )
4
5
例3 求下列的单调区间：
三角函数线：
▪ α在第一象限时：
▪ 正弦线: sinα=MP>0 ▪ 余弦线: cosα=0M>0 ▪ 正切线：tanα=AT>0
α在第二象限时：
正弦线: sinα=M’P’>0 余弦线: cosα=0M’<0 正切线：tanα=AT’ <0
作法如下： ➢作直角坐标系，并
在直角坐标系y轴左 侧作单位圆。
24
(2k 3 ,2k )
2
2
(2k ,2k 3 ) 22
例4 求下列函数的周期：
(1) y 3 tan( 2x );
解
:
f
(x)
3
tan(
4
2x
)
3tan( 2x
4
)
3 tan[ 2(x 4) ]
f (x ) 2 4
2 周期T
2
(2)变题y 3 tan( 1 x );
24
解 : f (x) 3tan( 1 x )
3 tan( 1
x
2
4
)
24
3 tan[ 1 (x 2 ) ]
2
4
f (x 2 )
周期T 2
周期T | |
画出函数y= tanx 的图象，指出它的单调区间，奇偶 性，周期。
高一数学《正切函数的图象和性质》PPT课件
(A) {x|kπ<x<kπ+
, k∈Z} ∈
4
(B) {x|4kπ<x<4kπ+
π
2
, k∈Z} ∈
(C) {x|2kπ<x<2kπ+π, k∈Z} ∈ (D) 第一、三象限 第一、
5.已知函数 已知函数y=tanωx在(－ 已知函 在－
π
2
,
π
2
)内是单调减 内是单调减
函数, 函数 则ω的取值范围是 ( B ) 的取值范围是 (A) 0<ω≤ 1 (C) ω≥1 (B) －1≤ω<0 (D) ω≤－1 －
作法如下： 作法如下 作直角坐标系，并在 直角坐标系y轴左侧作单 位圆。 找横坐标（把x轴上 − π x 到
Y
π
2 等份）
这一段分成8
2
把单位圆右半圆 中作出正切线。 找交叉点。 连线。
O
− 2
π
π
2
X
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右 π 扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R，且 x ≠ 2 + kπ (k ∈ z ) 扩展，得到正切函数 ∈ ， 的图象， 正切曲线” 的图象，称“正切曲线”
π π
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) Q 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
最新人教A版必修第一册5.4.3 正切函数的性质与图象-高一数学新教材配套课件
调递减区间.
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
②运用单调性比较大小关系.
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整
π
π
体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< 2 ＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导
π
3π
故单调递减区间为2kπ－2，2kπ＋ 2 ，k∈Z.
题型三 正切函数图象与性质的综合应用
π
π
= tan +
例3. （1）求函数
2
3
的定义域、周期及单调区间.
解：自变量x的取值应满足
π
2
π
+ ≠kπ
3
π
+ ，
2
∈
1
即 ≠2k+ 3 ， ∈
1
所以，函数的定义域是 | ≠ 2 + 3 ， ∈
得－4＋kπ≤2－3≤3＋kπ(k∈Z)，
π
4π
解得6＋2kπ≤x≤ 3 ＋2kπ(k∈Z).
π
4π
所以不等式－1≤f(x)≤ 3的解集是x6＋2kπ≤x≤ 3 ＋2kπ，k∈Z .
解答正切函数图象与性质问题的注意点
kπ
，0
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是 2
(k∈Z)，不存在对称轴.
2
2
3 2
5
1
− + 2＜＜ + 2， ∈
3
正切函数的性质与图象 课件(34张)
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类(学生版)2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教必修一
5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类一、正切函数的图象二、正切函数的性质1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，2．值域：R3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-．5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增三、正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质1、定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2、值域：(),-¥+¥3、单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．4、周期：T πω=（一）正切函数的定义域、值域问题(1)求正切函数定义域的方法①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z.②求正切型函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x . (2)求正切函数值域的方法①对于y ＝Atan (ωx ＋φ)的值域，可以把ωx ＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．②对于与y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用配方法求值域（二）正切函数的图象问题熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 题型3：正切函数的图象及应用3-1．（2024高一上·宁夏银川·期末）函数()2tan f x x x =×（11x -<<）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3-2．（2024高二下·浙江丽水·期中）函数3()3tan f x x x =-在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3-3．（2024高一上·全国·课后作业）画出函数|tan |y x =的图象．(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；(2)求不等式|tan |1x £的解集．3-4．（2024高一上·广东·期末）若函数tan()(0)y x ϕϕ=-³的图象与直线πx =没有交点，则ϕ的最小值为（ ）A ．0B ．π4C ．π2D ．π3-5．（2024高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x 的集合．(1)满足tan 0x =的集合．(2)满足tan 0x <的集合．(3)满足tan 0x >的集合．（三）正切函数的单调性及其应用(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的单调区间的方法y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．题型4：正切函数的单调性及其应用4-1．（2024高一下·全国·单元测试）函数tan 36y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间是（ ）A ．πππ,π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．2,()99k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z C ．2,()3939k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．2,()3939k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭Z 4-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是严格减函数，则实数ω的取值范围是 ．4-3．（2024高一·全国·课堂例题）函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为．4-4．（2024高三·全国·专题练习） π3tan 64x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为 .4-5．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数π()tan()(0)3f x A x ωω=+>，若f x （）在区间ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，（四）正切函数的奇偶性与周期性与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．A ．cos y x=B ．sin y x =C ．sin2y x =D ．tan2y x=6-4．（2024高一上·全国·课后作业）已知()tansin 42xf x a b x =-+（其中a b 、为常数且0ab ≠），如果()35f =，则2010()3f π-的值为（ ）A ．3-B ．3C ．5-D ．56-5．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知函数()5tan 3f x x x =+-，且()2f m -=-，则()f m =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．46-6．（2024高一下·山东潍坊·期中）已知()2023sin 2024tan 1f x x x =+-，()()()()()21012f f f f f -+-+++=.（五）正切函数的对称性正切曲线的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围．题型7：正切函数的对称性7-1．（2024高一下·辽宁铁岭·阶段练习）函数1π()3tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心为.7-2．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为2π3，其图像的一个对称中心的坐标为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，则曲线()()tan g x x ωϕ=+的对称中心坐标为（ ）A ．ππ,0312k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈ZB ．ππ,0612k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．ππ,0312k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．ππ,0612k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z7-3．（2024·江苏扬州·模拟预测）以点π,0()2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z 为对称中心的函数是（ ）．A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x=D ．|tan |y x =一、单选题1．（2024高一上·福建漳州·期末）函数ππ()tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调区间是（ ）A ．512,2(Z)33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭B ．512,2(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．514,4(Z)33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．514,4(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦2．（2024高一下·内蒙古包头·期末）函数πtan 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．5ππ,Z 122k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．5ππ,Z 12x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．ππ,Z 32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭3．（2024高三上·山西晋中·阶段练习）函数()πtan 2xf x =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．4πC ．2D ．44．（2024高二下·湖南·学业考试）函数tan y x =在一个周期内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2024·河南·模拟预测）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2=-+f x f x ，且函数()1f x +的图象关于()1,0-对称，当[]1,1x ∈-时，()tan =f x x .则下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 对称B ．函数()y f x =的图象关于直线()2x k k =∈Z 对称C ．函数()y f x =的最小正周期为2D ．当[]2,3x ∈时，()()tan 2f x x =-6．（2024高一下·北京·期中）函数()tan sin tan sin f x x x x x =--+-|在区间（π2，3π2）内的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2024高一·全国·课后作业）下列各式中正确的是（ ）A ．tan1tan 2>-B ．tan 735tan 800°>°C ．5π4πtantan 77>D ．9ππtantan 87>8．（2024高一下·河南平顶山·阶段练习）函数()πtan 27f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的对称中心可能是( )A ．π,07⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,07⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π,014⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,014⎛⎫- ⎪⎝⎭9．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．[)1,0-C ．(]0,1D ．[]1,210．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数()π2sin 2πZ 3=πtan πZ3x x k k f x x x k k ⎧≠+∈ïï⎨ï=+∈ï⎩，，，，，若方程()f x =在()0m ，上恰有5个不同实根，则m 的取值范围是（ ）A ．7463⎛⎤⎥⎝⎦ππ，B ．71936⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ，C ．51336⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ，D ．13763⎛⎤⎥⎝⎦ππ，11．（2024高三·全国·对口高考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当()0,1x ∈时，()t πan 2f x x=，则()f x 在[0,5]上的零点个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．（2024高二下·湖南·阶段练习）若π0,3q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2tan q + ）A ．B 2+C 52D 13．（2024·宁夏银川·模拟预测）若π()tan3n f n =，（*n ∈N ），则(1)(2)(2023)f f f ++×××+=（ ）A ．BC ．0D ．-14．（2024高一下·河北衡水·阶段练习）函数()π26f x x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在π,12n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-，则mn =（ ）A ．π6B ．π3C ．π6-D ．π3-15．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 二、多选题16．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的定义域为ππ,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减17．（2024高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数()tan 2f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期是πC ．函数()f x 在ππ(,)44-上单调递增D ．函数()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈18．（2024高三上·山东·开学考试）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．π3π510f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭19．（2024高一下·四川成都·期中）已知函数()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列描述中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的图象关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．函数()f x 的最小正周期为2C ．函数()f x 的单调增区间为514,433k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．函数()f x 的图象没有对称轴20．（2024高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为πC ．把()f x 向左平移π6可以得到函数()tan 2g x x =D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增21．（2024高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列叙述中，正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点0π4,⎛⎫⎪⎝⎭-对称B ．函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．函数()y f x =是偶函数22．（2024高一下·安徽芜湖·期中）下列坐标所表示的点是函数πtan 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的对称中心的是（ ）A ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭23．（2024高一下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）A ．对于定义在实数R 上的函数()f x 中满足()()2f x f x +=，则函数()f x 是以2为周期的函数B ．函数()πtan 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为5πππ,π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．角a的终边上一点坐标为(-，则cos a =24．（2024高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A．π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．()f x 图象的对称中心为()ππ,0Z 68k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣三、填空题25．（2024高一下·辽宁锦州·期中）()tan sin 1f x x x =++，若()22f =，则()2f -= ．26．（2024高一下·广东阳江·期末）已知πtan 4a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭a = ．27．（2024高一下·上海徐汇·期中）函数2()tan tan 2,,44f x x x x ππ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦的值域是28．（2024高二上·广西崇左·开学考试）若函数πtan 23y x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为 .29．（2024高一下·上海·课后作业）函数2tan 2tan ,,64⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ的值域为．30．（2024高一·全国·课后作业）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．31．（2024高一·上海·专题练习）函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为32．（2024高一下·上海静安·期中）函数ππtan 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是．33．（2024高一下·湖北·期中）已知函数()πππ,222ππtan ,22a x x x f x x x ⎧+£-³ïï=⎨ï-<<ï⎩或，若函数()3π2y f f x ⎡⎤=-⎣⎦有5个零点，则实数a 的取值范围是 ．34．（2024高一下·全国·课后作业）已知函数tan y x ω=-在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围是 ．35．（2024高一上·江苏徐州·期末）已知函数()()tan 4f x nx n π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Z 在区间3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则n 的取值集合为 .（用列举法表示）36．（2024·全国·模拟预测）若函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为ω=.37．（2024高一下·上海浦东新·期中）若函数tan()y x ω=在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为严格减函数，则实数ω的取值范围是 ．四、解答题38．（2024高一·全国·课后作业）已知()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x ϕ+是奇函数，则ϕ应满足什么条件？并求出满足||2ϕπ<的ϕ值.39．（2024高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数()()π2tan 08f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π2，(1)求()f x 图象的对称中心；(2)求不等式()2f x >-在5π3π,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭上的解集．40．（2024高一·全国·课堂例题）画出函数1π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0,2π] x ∈上的简图．41．（2024高一下·江西抚州·阶段练习）设函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求()f x 的单调区间；(2)求不等式()1f x -££的解集.42．（2024高一·全国·课后作业）已知函数()y f x =，其中()()tan f x A x ωϕ=+，（0ω>，π2ϕ<），()y f x =的部分图像如下图．(1)求A ，ω，ϕ的值；(2)求()y f x =的单调增区间，43．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数()()0xf x πωω=>．（1）当4ω=时，求()f x 的最小正周期及单调区间；（2）若()3f x …在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，求ω的取值范围．44．（2024高一·全国·课后作业）已知函数π()tan 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω>．(1)若2ω=，求()f x 的最小正周期与函数图像的对称中心；(2)若()f x 在[]0,π上是严格增函数，求ω的取值范围；(3)若方程()f x =在[],a b 上至少存在2022个根，且b －a 的最小值不小于2022，求ω的取值范围．45．（2024高一下·上海虹口·期末）已知函数()πtan 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>.(1)若2ω=，求函数()f x 的最小正周期以及函数图象的对称中心；(2)若()f x 在闭区间[]0,π上是严格增函数，求正实数ω的取值范围.。
高一数学正切函数的图象和性质
（1） 定义域
正切函数的定义域：
{x | x
2
k , k Z }
。遇到有关正切函数问题时，
你注意到正切函数的定义域了吗？ （2） 值域 正切函数的值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3） 周期性 正切函数是周期函数且周期是 ，它与直线 y a 的两个相邻交点之 间的距离是一个周期 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响： 一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦 减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值， 其周期性不变，其它不定。 如 y sin
y sin x cos x
2
x, y sin x
的周期都是 , 但
1 y | 2sin(3x ) |, y | 2sin(3x ) 2 | 6 2 6 的周期为 2 ，而 ，
y | tan x | 的周期不变；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）奇偶性与对称性
k ,0 k Z 正切函数是奇函数，对称中心是 2 ，特别提醒：正(余)切
型函数的对称中心有两类：一类是图象与 x 轴的交点，另一类是渐近 线与 x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性
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k , k k Z 2 2 正切函数在开区间 内都是增函数。但要注意在
整个定义域上不具有单调性。
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高一数学：正切函数的性质和图象
1．函数tan()3y x π
=+的定义域（ ）.
A ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
B ．|,6x R x k k Z π
π⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭
C ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
D ．|2,6x R x k k Z π
π⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭
2．函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．2π
3．tan (,)2y x x k k Z π
π=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.
A ．在整个定义域上为增函数
B ．在整个定义域上为减函数
C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππ
ππ-++∈上为增函数
D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππ
ππ-++∈上为增函数
4．当22x ππ
-<<时，函数y=tan |x|的图象（ ）
A ．关于原点对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称
D ．不是对称图形
5．下列各式正确的是（ ）.
A ．13
17
tan()tan()45ππ-<- B ．1317
tan()tan()45ππ->-
C ．13
17
tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定
6．函数1
tan y x =（44x π
π
-≤≤且x ≠0）的值域是（ ）
A ．[―1，]
B ．（―∞，－1]∪[1，+∞）
C ．（－∞，1]
D ．[－1，+∞）
7．已知函数y=tan （x+ϕ）的图象过点,012π
⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ可以是（
）
A ．6π
- B ．6π C ．12
π- D ．12π 8．下列函数中同时满足：①在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数；②奇函数；③以π为最小正
周期的函数的是（ ）
A ．y=tan x
B ．y=cos x
C ．tan 2x y =
D ．y=|sin x|
9．函数5tan 3x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的最小正周期是________。
10．已知tan 2)ααπ=
<<，那么α所有可能的值是 。
11. 函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 ．
12. 函数y=tan(2x+π4
)的单调递增区间是__________． 13. 比较下列各数大小：
（1）tan2与tan9；
（2）tan1与cot4.
14．求函数y =－2tan （3x +3
π）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性.
15．若2()tan tan f x x a x =-||4x π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭的最小值是－6，求实数
a 的值。
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】要使函数有意义，须32x k πππ+
≠+，解之得,6x k k Z ππ≠+∈。
2．【答案】B 【解析】正切型函数的最小正周期为2π。
3．【答案】C
【解析】由图象可知C 正确。
4．【答案】C
【解析】 y=tan|x|为偶函数，故图象关于y 轴对称。
5．【答案】B 【解析】13tan(3)tan()44πππ-
+=-，17172tan()tan(3)tan()555ππππ-=-+=-，又245
ππ->- 所以2tan()tan()45ππ->-，故B 成立。
6．【答案】B
【解析】当,00,44x ππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，tan [1,0)(0,1)x ∈-，∴(,1][1,)y ∈-∞-+∞ 7．【答案】C
【解析】 当12x π=
时，tan 012y πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，12k πϕπ+=（k ∈Z ），12k πϕπ=-（k ∈Z ）；k=0时，12π
ϕ=-。
8．【答案】A
【解析】对于()tan f x x =来说，题中三条均满足。
9．【答案】3π
【解析】这里13ω=-，31||3T πππω=
==。
10．【答案】766
ππ或 11. 【答案】3 【解析】因为sin sin cos x x x =
，解得sin 0cos 1x x ==或，结合图象知有3个交点。
12. 【答案】3,282
8k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 【解析】因为224
2k x k πππππ-<-<+，解得：3244
k x k ππππ-<<+，单调增区间是 3,2828k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭。
13．【解析】同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.
（1）tan9=tan （－2π+9）， 因为2
π<2<－2π+9<π， 而y =tan x 在（2
π，π）内是增函数， 所以tan2<tan （－2π+9），
即tan2<tan9.
（2）cot4=tan （2π－4）=tan （2
π3－4）， 0<2π3－4<1<2
π， 而y =tan x 在（0，2
π）内是增函数， 所以tan （2
π3－4）<tan1， 即cot4<tan1.
14．【解析】由3x +3π≠k π+2π，得x ≠18
π3π
+k （k ∈Z ）， ∴所求的函数定义域为{x |x ≠18π3π
+k （k ∈Z ）}，值域为R ，周期为3
π， 它既不是奇函数，也不是偶函数. k π－2π
≤3x +3π≤k π+2π（k ∈Z ）， ∴18π
53π-k ≤x ≤18π
3π+k （k ∈Z ）. 在区间［18π53π-k ，18π
3π+k ］（k ∈Z ）上是单调减函数.
15．【解析】设t=tan x 。
因为||4x π
≤，所以t ∈[－1，1]。
则原函数化为22
2
24a a
y t at t ⎛⎫
=-=-- ⎪⎝⎭， 对称轴：2a
t =。
①若112a
-≤≤，则当2a t =时，2
min 64a y =-=-，所以a 2=24（舍）；
②若12a
<-，则a ＜―2，则二次函数在[―1，1]上递增，
所以2
min 11624a a
y a ⎛⎫=---=+=- ⎪⎝⎭，所以a=―7； ③若12a
>，即a ＞2，则二次函数在[―1，1]递减， 所以y min =1―a=―6，所以a=7。
综上所述，a=―7或a=7。