正切函数的图象与性质
正切函数的图像与性质
正切函数的图像与性质
y=tanx
若需视频讲解请联系作者！
π2
−π2
•正切函数的最小正周期是π
•正切函数的最小正周期是π，延伸成整个定义域上的的图像
•渐近线x =±π
2
y
x
π2
−π2
y
x
•单调递增区间：(−π2,π
2)•定义域：x ≠π
2
+k π,k ∈Z •值域：y ∈R
•为了方便起见，先研究一个周期内的函数图像和性质，然后扩展到整个定义域上
•[−π2,π
2] 范围内的图像如图：
•单调递减区间：无
•对称轴：无•中心对称点：x =0
π2
−π2
y
x
π2
−π2
y
x •单调递增区间：[−π
2+k π,π
2+k π],k ∈Z •中心对称点：(k π,0),k ∈Z
y =tanx 的图像与性质
•延伸成整个定义域上的的图像
•k π即周期的整数倍
π
3π2
B
•与点A 的函数值相同的点B ，它们的x 值相差π•两个相邻的中心对称点(0,0)，(π,0)相差πA
•定义域：x ≠π
2
+k π,k ∈Z
•值域：y ∈R
−3π2
π2
−π2
y
x •单调递增区间：[−π2+k π,π
2+k π],k ∈Z
•中心对称点：(k π,0),k ∈Z
总结
π
3π2
•定义域：x ≠
π
2
+k π,k ∈Z
•值域：y ∈R
−3π2。
正切函数的定义、图像与性质
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
2、值域： R tan x 当 x ＜ 2 k k Z 且无限接近于 2 k 时，
tan x k k Z 且无限接近于 k 时， 当 x＞ 2 2
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
3、周期性：
对任意的 x R, 且x
2
k , k Z 都有
tanx tan x
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质： 4、奇偶性：奇函数,正切曲线关于原点 O 对称. 任意 x k , k k Z ，都有 2 2 tan x tan x 正切函数是奇函数. k ， 0 （ k Z ） 正切函数的对称中心为：
例2：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。 （1） tanx >0 （2）tanx <1 y
y
x
1 –/2 0 /4 /2
x
–/2
0
/2
（k，k+/2） kz
（k–/2，k+/4）kz
例 3：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是区间 ( k , k ) ，k Z 内都是增函数。 2 2
kZ x k , (6)渐近线方程： 2
(7)对称中心
kπ ( ,0) 2
四、应用： 例1．求函数 y tan x 的定义域．
4
解：令
z x
sin x tan x f x cos x 是它的最小正周期．
下面我们先来作一个周期内的图象。 想一想：先作哪个区间上的图象好呢？ ππ (- , ) 为什么？ 2 2
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
三角函数正切函数的性质与图像
3
正切函数的周期性和对称性
正切函数具有周期性和对称性，其图像呈周期 性变化，且具有一些对称轴和对称中心。
正切函数在复数域的扩展
正切函数的复数形式
正切函数可以扩展到复数域，其复数形式为tan(z)。
复数域中的正切函数的应用
正切函数在复数域中有广泛的应用，如在信号处理、 电路设计和物理学等领域。
正切函数在微积分和数学分析中的应用
正切函数在微积分中的导数
在微积分中，正切函数的导数为(sec x)^2，其导数与 其他三角函数的导数之间也有密切的联系。
正切函数在数学分析中的极限 和连续性
在数学分析中，正切函数是一个无穷级数展开的函数， 其极限和连续性都有一定的规律和特性。同时，正切函 数在实数域上的定义域为所有不等于kπ+π/2的x，值 域为所有实数R。
03
微分的几何意义：表示曲线的弧长
03
正切函数的周期性和实践应用
正切函数的周期性
周期性定义
正切函数是周期函数，其周期为π。函数在任意两个π/2的整 数倍之间是重复的。
周期性证明
正切函数的定义域为所有不等于π/2的实数，而正弦和余弦函 数的周期均为2π，因此可以通过相加得到正切函数的周期为 π。
正切函数在实践中的应用
周期性
正切函数是周期函数，最小正周期为π
正切函数的基本性质
定义域
正切函数定义域为{x | x ≠ kπ + π/2, k ∈ Z}
周期性
正切函数是周期函数，最小正周期为π
值域
正切函数的值域为R
有界性
正切函数是有界函数，|tan(x)| ≤ ∞
正切函数的图像
01
图像形状
正切函数的图像是周期函数，呈现周 期性变化
正切函数的图像和性质
4
2
2
44
所以函数
y
tan
x
4
的定义域是
x
x
4
k，k
Z
; 家装 装潢
；
角度开拓思路。“一方有难，八方支援”，这是中华民族的优良传统。大灾面前，中华民族空前的团结起来，这让世界再次见识了中华民族的伟大、坚强和不可摧毁。 ? 思路四、从赞颂“万众一心、众志成城的民族精神”的角度开拓思路。中华民族是从无数灾难考验中走过来的民族， 舟曲特大泥石流灾害再次冲击了中国人的心，但冲不垮中国人的坚强。汶川地震见了这种坚强，玉树地震见了这种坚强，泥石流再一次见了这种坚强。生于忧患，死于安乐。市场经济下因物质利益诱惑冲蚀而缺失的人文素养，被滚滚的泥石流生生地揪扯出来，大大激发了中华民族的斗志， 再一次使万众一心、众志成城的民族精神得到了回归。 ?思路五、从“人与自然关系”的角度开拓思路。舟曲特大泥石流再次让人们见识了人类在自然面前的弱小、无助。虽然人类的科技越来越发达，人类的活动领域越来越得到拓展，然而，当大的自然灾害来临的时候，人类仍然显得那 么的束手无策。印度洋海啸、缅甸风暴、汶川地震、冰岛火山、玉树地震、舟曲泥石流……造成巨大的人员伤亡和财产损失。但这是否就意味着人类就应该就此止步，听天由命呢？答案很显然是否定的。人类需要更好地发展科学研究，更好地研究自然、利用自然，和自然和谐发展。 附： 给作文一个超过50分的理由 ? ? 高中生作文训练一直有这样的怪事：应届生作文写作训练了三年，可作文得分几乎总是在42分—48分之间游移；复读生复习一年快结束了，作文练了不少，可作文得分也总是在42分—48分之间徘徊；那些平时按老师要求按时按量老老实实写作文者，和那 些平时很少写甚至从不写作文者，考试中其作文得分一样都是在42分—48分之间沉浮。 ? 作文训练中的症结何在？高考前短时间内如何让作文超过50分？ 一、明白一个道理：为啥作文得分总在42分—48分之间？ ? 学生作文之所以得分常在42分—48分之间，那是因为就学生群体而言， 必须是这样的赋分。就绝大多数高中生而言，经过多年的母语听说读写训练后，作文达到36分的及格水平自不在话下；相当多的学生在相当多的时候，作文达到良好水平并接近优秀水准，即作文得分在42分—48分之间，自然也在情理之中；但是，一个学生的作文要得分在48分以上，要在
1.4.3-正切函数的性质与图像
答案:
1、定义域 2、值域
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
x
x
|
x
R且x
1 3
k
5
18
，k
Z
yR
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
非奇非偶函数
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、 正 切 曲 线 是 先 利 用移平正 切 线 得y tan x, x ( , )的 图 象 ， 22
思考 3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
y
T
x
o x (1,0) A
o x x (1,0) A
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
思考
2、正切函数 y tan x 是否为周期函数？
由诱导公式知
f x tanx tan x f x, x R, x k , k Z
2 ∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
24
令t x ;所以y tan t的单调递增区间为:
24
k t k , k Z
2
2
由t 1 x 得 :
24
k 1 x k
22 4
2
y
3 tan(
1 2
143正切函数的图像和性质
4
2
4
所以原函数的定义域是：
x
|
x
k
4
,
k
z
例题讲解
例2 求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间.
23
解:函数的自变量 x 应满足
即 x 2k 1 ,k Z.
x k , k Z,
23
2
3
所以,函数的定义域是
x
|
x
2k
1 3
,
k
Z
.
由于
f (x) tan( x ) tan( x
22 4 2
2
2
y 3 tan(1 x )的单调递增区间为:
24
(2k 3 , 2k ), k z
2
2
变题(2) y 3tan( x )
ห้องสมุดไป่ตู้24
解:因为原函数可化为: y 3tan( x );
24
令u
x 2
4
;由
k
y tanu的单调性知
u k ,k Z
:
2
2
由u 1 x 得 : 24
)
3tan(2x ) 4
4
3tan[2(x ) ]
f (x ) 2 4
(2)变题y 3 tan(1 x );
24
解 : f (x) 3tan(1 x )
3 tan(1
x
2
4
)
24
3tan[1 (x 2 ) ]
2
4
2 周期T
2
f (x 2 ) 周期T 2
k 1 x k 2k x 2k 3
22 4 2
2
2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
正切函数的图像与性质
正切函数的性质：
①定义域： x x k , k Z ,以 x k ( k Z ) 2 2 为渐近线
②值域：R ③周期性：最小正周期π,正切型函数y=Atan(ωx+φ)最 小正周期为π/|ω| ④奇偶性：奇函数，图像关于原点中心对称 ⑤单调性：增区间为 ( k , k )( k Z ) ,无减区间 2 2 k ( , 0)( k ⑥对称性：为中心对称图形，对称中心坐标为 2
做一做：
1.求函数 y
1 1 tan( x ) 4
的定义域.
2.试作出函数 y tan( 2 x
x x k , 且x k , k Z 4
3 提示：“两线一点法”
) 的简图.
3.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线 y=1所得线段长为π/4,则f(π/12)= .
x , x ( , 0 0,） ）（ 4.函数 y 的图像大致为( D) sin x
y
3
y
y
y
1 -π o π
x
-π o
π
x
-π o
π
x
1 -π o π
x
A
B
C
D
5.函数 f ( x )
1 cos 2 x ( A) cos x 3 3 A.在 [0, 2 ),( 2 , ] 上递增，在 [ , 2 ),( 2 , ]上递减 3 3 , 2 ] 上递减 [0, ),[ , ) 上递增，在 ( , ],( B.在 2 2 2 2 3 3 [0, ),[ , ) 上递减 C.在 ( , ],( , 2 ]上递增，在 2 2 2 2 3 3 D.在 [ , ),( , ] 上递增，在 [0, 2 ),( 2 , ] 上递减 2 2
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§1.4.3 正切函数的图象与性质 （第二课时）
授课： 徐晓晖
学习目标：使学生能借助正切函数的图象探求其性质.并解决问题并在教学过成中培养学生的
数形结合思想。
学习重点：运用三角函数的图象与性质解题
学习难点：观察图像得正切函数的性质并应用
学习过程：
一、复习、探究
问题1：正切函数图像的作图方法：（1）利用正切线；（2）“三点两线”法，即
)1,4(),1,4(),0,0(ππ-- 和直线2π-=x 及2π
=x ，然后向左右两边扩展.
问题2：观察x y tan =的图象，类比x y x y cos ,sin ==的性质，你能得到x y tan =的一些怎样性质？
二、正切函数的性质
1. 定义域： ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+
≠Z k k x x ,2ππ 2. 值域：R . 当Z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+
∈,2,πππ时0yt ，当Z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈,,2πππ时0 y 3. 周期性： π=T
4. 奇偶性：奇函数 对称中心：Z k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛,0,2π 渐近线：Z k k x ∈+=,2ππ 5. 单调性：在开区间Z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-,2,2ππππ内，函数单调递增 三、教学精讲
例1.讨论函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=4tan πx y 的性质 解析：法一：观察正切函数图像，该图像可通过正切函数图像向左平移
4π单位得到 定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-4,43ππππk k 上是增函数 法二：由学生思考或引导学生类比例5完成
变式训练：
1、 根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围
①tan 0x > ②tan 0x = ③tan 0x < ④tan x >
答案：①Z k k k ∈⎪⎭⎫
⎝⎛+,2,πππ, ②,{}z k k x x ∈=,π ③Z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛-,,2πππ, ④Z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++,2,3πππ
π 2 、求)4
2tan(π-=x y 的定义域及周期 答案：2},,832|{πππ=∈+≠
T z k k x x 例2 比较tan 27π与tan 107
π的大小 解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正切函数单调性比较大小
解：tan 107π＝tan 37π ∵0＜27π＜37π＜2π 又∵y ＝tan x 在(0，2
π)上单调递增 ∴tan 27π＜tan 37π，则tan 27π＜tan 107
π 变式训练: 比较)56tan(π与tan (－135π)的大小， 答案：)56tan(π＜ tan (－135
π) 四、巩固练习 1、与函数tan(2)4y x π=+
的图象不相交的一条直线是（ ）. A ．2π
-=x B ．2π
=x C ．8π
-=x D ． 8π
=x
2、函数x y π3tan =的最小正周期是（ ）
A 、31
B 、32
C 、π6
D 、π
3 3、函数1tan +=
x y 的定义域是 . 4、确定函数)23tan(x y -=π
的奇偶性和单调区间.
五、小结：（1）数形结合思想 （2）正切函数的性质。