高中数学人教A版必修四1.4.3正切函数的性质与图象 课件
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高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件1 新人教A版必修4
想一想：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整 个定义域内的图象？
正切函数的图象（正切曲线）是被互相平行的直线所 隔开的无穷多支相同形状的曲线组成的。
想一想：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 正切函数会不会在某一区间内是减函数？
小结：
１、正切函数的性质和图象
２、数形结合的思想方法 作业：
高中数学必修4 1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数的定义： ta n y k,kZ
x
2
正切函数的几何意义： tanAT
有向线段AT——正切线
y
α的终边
T
1 •P(x, y)
O
A（1,0）x
知识探究（一）：正切函数的性质
思考1：正切函数的解析式：__y___t_a_nｘ ___ 定义域是 _{x_x__2__k_,_k __Z} 用区间表示为 __( _ _ 2 _ _k _ __ _ _k _ ___ _
思考2：正切函数是周期函数吗？最小正周期 T=_______
正切函数是周期函数，周期是 k（ k Z， k0)
思考3：正切函数具有奇偶性吗？
正切函数是奇函数
思考4：当角x在 (
2
,) 2
内增加时，正切值发生什
么变化?正切函数的单调性如何？
正切函数在开区间
(kk 2
内都是增函数
思考5：当x小于 2 当x大于
且无限接近 且无限接近
2
时, 正切值如何变化？ 时正切值又如何变化？
正切函数有2 没有最大最小值2 ？它的值域是____R___
正切函数y=tanx的性质：
定义域 值域
{xxk,kZ}
2
R
周期性
高中数学 1.4.3正切函数图象与性质课件 新人教A版必修4
/ 1
(3) 平移 (4) 连线
6
o1
M -11 A
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
精品
6
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
y
T
x
o x (1,0) A
o x x (1,0) A
正切线AT
y
x
o x (1,0) A
T
y
T
x
o
(1,0)
，
8
，8
，4
3 ，8
(4) 连线
o
3 0 3
2 848
84 8 2
精品
9
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
y
1 x
-3/2 - t- -/2 0 t /2 t+ 3/2 -1
函数 定义域 值域
y=tanx
{x|xk,kZ}
2
R
周期性
T=
奇偶性
奇函数
单调性 增区间精品 (k,k)kZ
C. ( , 0 ) 6
D. ( , 0 ) 4
精品
14
合作学习
精品
15
例题分析
精品
16
例题分析
例 2 解 不 等 式 ： tanx 3
解：
y
3
0 x 32
解法1 解法2
由精图 品 x 可 k 3 知 ,k ： 2 (k 1Z 7 )
例题分析
精品
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图像课件 新人教A版必修4
第一页，共23页。
自学导引 1．正切函数
y＝tan
x
的定义域是__x|_x_∈__R_，___x≠ ___π2_＋__k_π_，__k_∈__Z．
值域是____R_____．
2．就奇偶性而言，正切函数是_奇___函数．
3．就单调性而言，正切函数在每个开区间_________________
__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π__，__k_∈__Z__都是_增___函数．
第二页，共23页。
自主探究 函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是否为周期函数？如果是，它 的最小正周期是多少？ 解 ： 由 诱 导 公 式 可 知 ， Atan(ωx ＋ φ ＋ π) ＝ Atan(ωx ＋ φ) ， 即 Atanωx＋ωπ ＋φ＝Atan(ωx＋φ)，也就是 fx＋ωπ ＝f(x)． 可见函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数，它的最小正 周期为 T＝|ωπ |.
第十一页，共23页。
知识点 2 正切函数性质的应用 【例 2】 (1)利用正切函数的单调性比较 tan－75π与 tan－127π的大小； (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 fπ5＝7，求 f995π的值． 思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
第二十三页，共23页。
第十七页，共23页。
方法点评： 求解正切函数不等式，关键是要熟知正切函数的图象，切不可 只注意－π2，π2这一支图象，而忘记考虑其周期性．
第十八页，共23页。
3．求满足－ 3＜tan x≤1 的 x 的集合． 解：根据正切函数的图象可知，在－π2，π2上，－ 3＜tan x≤1 的 x 的范围是－π3＜x≤π4，而正切函数的周期是 π，故满足－ 3＜ tan x≤1 的 x 的集合是x|kπ－π3＜x≤kπ＋4π，k∈Z.
自学导引 1．正切函数
y＝tan
x
的定义域是__x|_x_∈__R_，___x≠ ___π2_＋__k_π_，__k_∈__Z．
值域是____R_____．
2．就奇偶性而言，正切函数是_奇___函数．
3．就单调性而言，正切函数在每个开区间_________________
__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π__，__k_∈__Z__都是_增___函数．
第二页，共23页。
自主探究 函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是否为周期函数？如果是，它 的最小正周期是多少？ 解 ： 由 诱 导 公 式 可 知 ， Atan(ωx ＋ φ ＋ π) ＝ Atan(ωx ＋ φ) ， 即 Atanωx＋ωπ ＋φ＝Atan(ωx＋φ)，也就是 fx＋ωπ ＝f(x)． 可见函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数，它的最小正 周期为 T＝|ωπ |.
第十一页，共23页。
知识点 2 正切函数性质的应用 【例 2】 (1)利用正切函数的单调性比较 tan－75π与 tan－127π的大小； (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 fπ5＝7，求 f995π的值． 思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
第二十三页，共23页。
第十七页，共23页。
方法点评： 求解正切函数不等式，关键是要熟知正切函数的图象，切不可 只注意－π2，π2这一支图象，而忘记考虑其周期性．
第十八页，共23页。
3．求满足－ 3＜tan x≤1 的 x 的集合． 解：根据正切函数的图象可知，在－π2，π2上，－ 3＜tan x≤1 的 x 的范围是－π3＜x≤π4，而正切函数的周期是 π，故满足－ 3＜ tan x≤1 的 x 的集合是x|kπ－π3＜x≤kπ＋4π，k∈Z.
高中数学人教版必修四《1.4.3正切函数的性质与图像》课件
由T ,
得T
2
所以y tan( x ) 的最小正周期为 。
23
由
k
x
2
k ,
k Z,
解得 5 2k x 1 2k, k Z,
2
2 32
3
3
因此，函数的单调递增区间是
5 3
2k，1 3
2k
，k
Z
y
1
x
-3/2
- -/2
0 /2
3/2
-1
性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
2、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性 和情感投入，培养学生数形结合的思想方法。
3、培养学生发觉数学规律，实践第一的观点，增 强学习数学的爱好。
重点：
学绘画正切函数的简图，推导正切函数的性质。
难点：
体验正切函数基本性质的运用
知识探究（一）：正切函数的图象
摸索1：类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切 函数在区间 ( , ) 的图象，具体应如何操作？
(x R, x k , k Z )
2
正切函数是周期函数， 最小周期是
［例2］求函数 小正周期.
y 5 tan x , x (2k 1)
2
(k Z ) 的最
解：由T ,
得T
1
2
2
所以y 5 tan x , x (2k 1) (k Z ) 的最小正周期为2 。
2
f (x) tan(x) tan x f (x)
4 5
解：(1) tan1380 tan1430
(2) tan- 13 tan 17
4 5
［例5］ 求函数y tan( x )的定义域，周期和单调区间。
人教A版高中数学必修4课件：1.4.3 正切函数的性质与图象
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为 T＝ωπ.( × ) (2)正切函数在 R 上是单调递增函数．( × ) (3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( × )
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x 是增函数 B．y＝tan x 在第一象限是增函数 C．y＝tan x 在某一区间上是减函数 D．y＝tan x 在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数
所以函数的定义域为
{x|x∈R 且 x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z}.
3－tan x>0 (2)要使 y＝lg( 3－tan x)有意义，需使x≠kπ＋π2k∈Z ，
所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋π3，k∈Z
.
求函数的定义域注意函数中分母不等于 0，真数大于 0，正切 函数中的 x≠kπ＋π2，k∈Z 等问题．
tan2x＋π2＋π3，所以 fx＋π2＝f(x)，所以周期为 T＝π2. 答案：B
类型一 求函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋1tan
； x
(2)y＝lg( 3－tan x)．
【解析】
(1)要使函数
y＝1＋1tan
有意义， x
1＋tan x≠0， 需使x≠kπ＋π2k∈Z，
函数 y＝tan x 的图象与性质 解析式
图象
y＝tan x
定义域
值域 周期 奇偶性
单调性
x__x_≠__k_π_＋_2π_，__k_∈__Z__ __R__ __π__
__奇__函_数___
在开区间__k_π_－__π2_，_k_π_＋__2π__，_k_∈__Z_上都是增函数
人教A版高中数学必修四课件第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象.pptx
正切函数在开区间
2
k
,
2
k
,
k
Z
内都是增函数。
（1）正切函数在整个定义域内是增函 数吗？为什么？
（2）正切函数会不会在某一区间内是 减函数呢？为什么？
例1求函数
y
tan
2
x
3
的 定义域、周期和单调区间.
解:函数的自变量 x应满足 x k , k Z,
23
2
即 x 2k , k Z, 3
2
所以正切函数式奇函数.
单调性
v
T
xA
O
u
(2)
v
xA
O
u
T
(3)
如图(1)(2),由正切线
v
的变换规律可得，正
A
Ox u
(1)
T
v
切函数在
2
,
2
内
是增函数，又由正切
函数的周期性可知组
x T 卷网
A
O
u ，正 切2 函k数, 2在开k区,间
(4)
k Z
v
值域
A 如图（1）,当x大于 且无限接近 时，
2
4．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
(1) tan138与tan143;
(2) tan( 13 )与tan( 17 ).
4
5
Ox u
2
2
T 正切线AT向Ov轴的负方向无限延伸；
(1)
v
T 如图（2）,当x小于 且无限接近 时，
xA
2
2
O
u 正切线AT向Ov轴的正方向无限延伸；
(2)
所以正切函数的值域是实数集R.
人教A版高中数学必修四1.4.3正切函数的图象与性质课件
6
6
C.{ x R | x 2k , k Z} D.{x R | x 2k - , k Z}
6
6
2、函数y 2 tan(3x )的周期是（ C ）
4
A、2 B、 C、 D、
3
2
3
6
【拓 展】根据正切函数的图象，求满足下列不等式的 x 的范围：
（1） 1 tan x 3 3
5、周期性： T
题型点拔:形如 y Atan( x ) 的函数性质
例:求函数
的定义域、周期和单调区间。
解：原函数要有意义，自变量x应满足 即 所以，原函数的定义域是
由于
所以原函数的周期是2.
由
【点评解】得对于形如 y Atan( x ) 的函数应注意 将 x 看成一个整体，再结合正切函数的性质解
题 所以原函数的单调递增区间是
变式题：求函数y 3tan(- x )的单调区间.
24 解：原函数的解析式可化为y -3tan( x - )
24
令u
x
-
，则
y
tan u 的递增区间为:
[k
-
, k], k Z Nhomakorabea24
22
由u 1 x - 得 : k - 1 x - k ,k Z
所隔开的无数多条曲线组成的。 2
探究（三）：正切函数的图象与性质
观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域： 2、值域： 3、单调性：
问题：正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间( k , k ), k Z 内都是增
函数。
2
2
观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域： 2、值域： 3、单调性： 4、奇偶性：奇函数
2015-2016高一数学人教A版必修四课件：1.4.3 正切函数的性质与图像
：八点 十四分。
小结
3
2
2
0 2
3
2x
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} ⑵ 值域：R
2
⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数
⑸
单调性：
增区间(
2
k ,
2
k
)
kZ
(6)渐近线方程：x k , k Z
2
第十一页，编辑于星期五：八点 十四分。
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
第三页，编辑于星期五：八点 十四分。
探究正切函数的图像
y tan x , x ( , ) y
22
1
A
0'
3
2 8 48
0 3
2
第七页，编辑于星期五：八点 十四分。
正切函数性质的初步应用
例1 求函数 调区间．
y tan(2的x 定 3义) 域、周期和单
第八页，编辑于星期五：八点 十四分。
正切函数性质的初步应用
例2、比较 tan 1与3
4
练习:
的tan大 小17.
5
(1) tan138 _____ tan143
1.4.3 正切函数的性质与图象
第一页，编辑于星期五：八点 十四分。
回忆正切函数的一些性质
正切函数： y tan x
定义域是
{x x kπ π , k Z} 2
值域是 R
第二页，编辑于星期五：八点 十四分。
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
小结
3
2
2
0 2
3
2x
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} ⑵ 值域：R
2
⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数
⑸
单调性：
增区间(
2
k ,
2
k
)
kZ
(6)渐近线方程：x k , k Z
2
第十一页，编辑于星期五：八点 十四分。
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
第三页，编辑于星期五：八点 十四分。
探究正切函数的图像
y tan x , x ( , ) y
22
1
A
0'
3
2 8 48
0 3
2
第七页，编辑于星期五：八点 十四分。
正切函数性质的初步应用
例1 求函数 调区间．
y tan(2的x 定 3义) 域、周期和单
第八页，编辑于星期五：八点 十四分。
正切函数性质的初步应用
例2、比较 tan 1与3
4
练习:
的tan大 小17.
5
(1) tan138 _____ tan143
1.4.3 正切函数的性质与图象
第一页，编辑于星期五：八点 十四分。
回忆正切函数的一些性质
正切函数： y tan x
定义域是
{x x kπ π , k Z} 2
值域是 R
第二页，编辑于星期五：八点 十四分。
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
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(2) 作正切线 (3) 平移
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
(4) 连线
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
7
利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数 y tan x, x R且x k , (k Z )的图象,并把它叫做正切曲线.
2 y
3
2
2
0
3
2
2
0
2
3 2
x
结正合切正函切数函的数性图质像：研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、
奇函偶数性．① ② ⑤ 正⑥⑦④中和定值单切渐渐对奇x∴心单义域调函近近称偶正调对域：性数2线线性性切性:：在称R方：：：k函．每图程奇x数(个k形是函x是开：：数Z奇x2区对)．函间称且正kk数中切x，．t心曲ak2n(线，kk22Z关x,于0Zk),原(，kt2点anZOkx)对(称k ．Z
3180
4
tan 13 tan 3
又 ∵
又∵
y
3
tan x
3
，5在 390，270， 5函上数是 增y 函ta数n
∴ tan2167 4tan1753 2
x
，x
3
2
，
2
是增函数，
∴
tan
3
4
tan
3
5
即
tan
11
4
tan
13 5
．
15
五、小结：
（1）y
tan
2
3 2
x
从图中可以看出, 正切曲线是由被相互平行的 直线x k, k Z所隔开的无穷多支曲线组成的. 8
2
正切函数图象的简单画法：三点两线法（同学们跟着画）
“三点”: (0,0)、（ ，1）、 ，1 4 4
“两线”:x
2
和x
2
y
1
4
3
2
2
0
42
-1
3 2
x
9
思考
你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y
1、利用正切函数的定义(课本P12)，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
所以正切函数的定义域：{ | k (k z)}
2
4
周期性
2、正切函数是周期函数吗？ 思考 如何求出正切函数的周期呢？ 它的最小正周期和正弦函数一样是2π吗？
由诱导公式二得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
x
x
2k
3
,
k
Z.
y
由于
y
tan
2
x
3
tan
2
x
3
tan
2
x
2
3
f
(x
2),
2
0
x
2
因此函数的周期为2.
13
例1 求函数
y
tan
2
x
3
的定义域、周期和单调区间.
由 k ＜ x ＜k , k Z,
22 3
2
y
解得 2k ＜x＜2k , k Z.
3
3
因此,函数的单调递增区间是:
2
0
x
2
2k
，2k 3
3
,
k
Z.
14
正切函数的图像和性质
例2．不求值，利用正切函数单调性比较下列各组中两个正切函数 值的大小：
（1）tan
167
与
tan
173
；（2）tan
11 4
与
tan 141167
t1a7n3
1.4.3正切函数的性质与图象
y tan x
1
1.前面，我们研究了正弦函数的图像与性 质我们是如何画正弦函数图象的呢？
2. 我们是从哪些方面研究正弦函数的性质？ 定义域 值域 周期性 单调性 奇偶性
2
合作探究1 如何研究正切函数的性质？ 你能类比研究正弦函数的性
质，探索正切函数的性质吗？
3
定义域
A 是奇函数 B在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支
所截线段相等
12
例1 求函数
y
tan
2
x
3
的定义域、周期和单调区间.
解:函数的自变量 x应满足 x k , k Z,
23
2
即 x 2k , k Z, 3
所以,函数的定义域是
)
内都是增
10
y
正切函数的主 要性质如下:
3 2
2
0
2
3
2
x
定义域 值域
x x k , k Z
2
周期性
T
奇偶性 奇函数(正切曲线关于原点对称)
单调性
在（ k， k），k Z内为增函数
2
2
对称性
对称中心（k ,0）(k Z )
11
基础练习
1．关于正切函数 y tan x , 下列判断不正确的是（B ）
2
结论1：正切函数是周期函数，周期是 .
5
奇偶性
3、如何研究正切函数是的奇偶性呢？
由诱导公式三得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
f (x) f (x)
结论2：正切函数为奇函数.
6
利用正切线画出函数 y tan x ，x ， 的图像:
2 2 作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
x
的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得
2
，
2
上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。
（2） y tan x 性质:
定义域
值 周 奇 单调增区间 域 期偶
性
对称中 心
R
x
x
k
，k
2
Z
奇 函
k
，k
2
2
数
kZ
k ，0
2 kZ
16