正切函数的性质与图象
正切函数的性质与图象
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 1 正切函数的性质
正切函数 y＝tan x 的定义域是什么？
[提示]
x
x≠kπ＋π2，k∈Z.
诱导公式 tan(π＋x)＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z) 与 tan x 的关系怎样？
[提示] 周期性．tan(kπ＋x)＝tan x(k∈Z)．
函数 y＝|tan x|的单调递增区间kπ，kπ＋π2(k∈Z)，
单调递减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)．
[规律方法] 1. 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是 被相互平行的直线 x＝π2＋kπ，k∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x 的对称中心为 k2π，0，k∈Z. 2．作函数 y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤 (1)保留函数 y＝f(x)图象在 x 轴上方的部分； (2)将函数 y＝f(x)图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折． 3．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定 义域上即可．
画出正切函数 y＝tan x，x∈－π2，π2的简图吗？怎样画？
[提示] 能，三个关键点：π4，1，(0,0)，－π4，－1，两条平行线：x＝π2，x＝－π2.
◎结论形成 1．正切函数的图象
2．正切函数的图象叫做__正__切__曲__线____ . 3．正切函数的图象特征 正切曲线是被与 y 轴平行的一系列直线____x_＝__π2_＋__k_π_，__k_∈__Z_____所隔开的无穷多支 形状相同的曲线组成的．
(2)比较大小：tan－74π________tan－95π.
知识讲解正切函数的性质和图象基础
知识讲解_正切函数的性质和图象_基础正切函数是三角函数中的一种，常用符号为tan，表示一个角的正切值。
在数学中，正切函数具有许多重要的性质和图像，下面将对其进行详细介绍。
1.定义：正切函数的定义是：对于一个角θ，它的正切值tanθ等于角的对边与邻边的比值，即tanθ=opposite/adjacent。
2.周期性：正切函数具有周期性，即tan(θ+π)=tanθ，其中π是圆周率。
这意味着正切函数的图像在每个周期内重复出现，以直线y=tanθ为对称轴。
3.定义域和值域：正切函数的定义域是所有实数，除了使分母为零的角度。
当角度为90°的倍数时，分母为零，正切函数无定义。
正切函数的值域是所有实数，即从负无穷到正无穷。
4.奇偶性：正切函数是一个奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。
这意味着正切函数的图像关于原点对称。
5.渐近线：正切函数有两条渐近线，分别为x=π/2+kπ和x=-π/2+kπ，其中k是整数。
当θ接近这些值时，tanθ的值趋向于正无穷或负无穷。
6.零点：正切函数有无数个零点，即tanθ=0。
这些零点出现在角度为kπ时，其中k是整数。
7.图像变换：对于正切函数的图像，可以通过平移、缩放和反转等变换得到。
例如，将y=tanθ的图像向右平移π/4个单位，得到y=tan(θ-π/4)的图像；将y=tanθ的图像进行垂直缩放，得到y=a*tanθ的图像，其中a 是一个常数。
8.切线斜率：正切函数在每个周期内都有无穷多个切线，切线的斜率是tanθ。
这意味着切线的斜率在整个图像上是连续变化的。
9.函数图像：正切函数的图像是一个周期为π的波浪线。
在每个周期内，图像从负无穷逐渐上升到正无穷，然后再从正无穷逐渐下降到负无穷。
图像在每个周期内有一个零点，并且在每个周期的中点有一个峰值和一个谷值。
总结起来，正切函数是一个周期性的、奇函数，定义域为所有实数，值域为所有实数。
它具有两条渐近线，有无数个零点，图像是一个波浪线，切线的斜率等于函数值。
正切函数的图像和性质
不能说 y tan x在定义域范围是增函数.
正
渐
近
切
线
函
渐
近
数
线
性图质 ⑴像⑵
:
定义域： {x |
值域： R
x
2
k, k Z}
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k ) ，k Z 内都是增函数。
2
2
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
x 2
正切函数的性质
定义域 值域 奇偶性 周期性
单调性
最值
{x x k , k z}
2
R
奇函数
在R上没有单调性
在( k , k )上单调增
2
2
没有最值
例6
▪ （1）定义域
y
tan
x
2 3
解：原函数要有意义，自变量x应满足
即
x
1 3
2k,
k
Z
所以，原函数的定义域是
基础练习
三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
正切函数和正切线
定义域
y tan x
终边不能落在y轴上。
定义域：{ x | x k , k Z}
2
周期性
y sin x y cos x y tan x
T 2 T 2 T
❖❖ 二二、、探探究究用用正正切切线作线正作切正函切数函图数图
(7)对称中心 (kπ,0) 2
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
正切函数的性质与图象 课件(34张)
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
5．4.3 正切函数的性质与图象(共41张PPT)
(3)正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形 吗？
提示：y＝tan x 是中心对称图形，对称中心为k2π，0(k∈Z)，不是轴对称 图形．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是 R. (2)正切函数在整个定义域上是增函数． (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值． (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．
3．比较大小：tan 134π________tan175π. 解析：因为 tan134π＝tanπ4，tan175π＝tan 25π，又 0<π4<25π<π2，y＝tan x 在0，π2 内单调递增，
所以
tanπ4<tan25π，即
13π 17π tan 4 <tan 5 .
答案：<
4．求函数 y＝tan(3x－π3)的定义域、周期，并指出它的单调区间．
2．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|
在 x∈－32π，32π内的大致图象，那么由 a 到 d 对应的函数关系式应是(
)
A．①②③④ C．③②④①
B．①③④② D．①②④③
解析：选 D.y＝tan(－x)＝－tan x 在－π2，π2上是单调递减的，只有图象 d 符合，即 d 对应③，故选 D.
提示：正切函数在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)内是增函数．不能 说函数在其定义域内是单调递增函数，无单调递减区间．
(2)正切函数 y＝tan x 的图象与 x＝kπ＋π2，k∈Z 有公共点吗？
提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线 x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开的无穷 多支曲线组成的．
正切函数的性质与图象 课件
用诱导公式将 x 的系数变为正值,再进行上述步骤.
【变式训练 5】 求函数 y= tan + 1 + lg(1 − tan )的定义域
.
tan + 1 ≥ 0,
解:由题意得
即-1≤tan x<1.
1-tan > 0,
故函数的单调递增区间为
- , +
3 18 3
18
π
π
3x− ≠kπ+ (∈
3
2
即函数的定义域为 ≠
递减区间.
(∈Z),不存在单调
反思求函数y=Atan(ωx+φ),A≠0,ω>0的定义域和单调区间,可以通
过解不等式的方法去解答:把“ωx+φ(ω>0)”看作一个整体,借助正切
函数的定义域和单调区间来解决.若ω<0,则先利用诱导公式将x的
首先观察α,β是否在正切函数的同一个单调区间,若是,则直接运
用正切函数的单调性比较大小;若不是,则先利用诱导公式,将角α,β
π π
转化到正切函数的同一单调区间内,通常是转化到区间 - , 再运
内,
2 2
用正切函数的单调性比较大小.
19π
23π
与 tan
的大小.
7
8
19π
2π
2π
解:tan
= tan 3π= −tan ,
π
π
(2)由 T= , 得6π= , ∴
||
||
1
答案:(1)3π (2)±
6
1
-
3
π
+
19-20版 第1章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的图象与性质思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．()k π，k π＋π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．]2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .]3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪－4＜x ＜4，且x ≠0的值域是( )A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域： ①y ＝11＋tan x；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→求1tan x 的范围 (2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1； 当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z .【例2】 (1)函数f (x )＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解] ①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解](1)由⎩⎨⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )， 所以函数是奇函数.1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5； ②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上 →根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4→解－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z →求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5， 又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5. ②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5， 所以－tan π4＜－tan π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4”结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝lg tan x 的单调递增区间就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的单调递增区间，令k π＜2x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2＋π8＜x ＜k π2＋3π8(k ∈Z )， 故y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，k π2＋3π8，k ∈Z .1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．2．正切函数的性质 (1)正切函数y ＝tan x的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.] 3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。
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[kπ,kπ+π2)(k∈Z).
规律技巧:因为本题是分段函数且周期为π,所以可考查在
(0,
)及 (-
,0)的单调性,然后根据周期,写出x在
定义2域内的单2调区间.
变式训练2:y=2tan(3x+ )的单调增区间是__________.
4
解析 :由k 3x k 得,
2
4
2
k x k (k Z ).
切曲线.正切曲线是由沿y轴的上、下两个方向无限伸展,并
被无穷多条与x轴垂直的直线x=kπ+
(k∈Z)隔开的无
穷多支曲线所组成的.这些直线x=kπ2+
(k∈Z)为正切
曲线的渐近线,在每两条这样的相邻2直线之间,曲线是连续变
化的,并且从左向右看是上升的.
(2)正切曲线草图的画法.
正切函数的图象在要求不高的情况下,可用“三点两线法”
3
所以 k 2 , k Z.由于 ,
3
2
2
当k 1时, 2 .
33
错因分析:错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐
T , 这可以作为公式使用. ③关|于正| 切函数的单调性有下列命题:
命题一:正切函数y=tanx是增函数;
命题二:正切函数y=tanx在其定义域上是增函数;
命题三:正切函数y=tanx在每一个开区间(
+kπ)
2
(k∈Z)内是增函数.
+kπ ,
2
应指出,只有命题三是真命题.
2.正切曲线
(1)用几何法作正切曲线,也就是用单位圆中的正切线画出正
34
3 12
单调增区间为( k , k )(k Z ).
3 4 3 12
答案 : (k , k )(k Z)
3 4 3 12
题型三 正切函数性质的应用
例3:(2005·全国Ⅱ)已知函数y=tanωx在(-
,
()
A.0<ω≤1
B.-1≤ω<0
C.ω≥1D.ω≤-1
)内是减函数,则
注意不到.比如,求y函数 1
的定义域,不仅要Biblioteka 虑tanx 1到tanx≠1,还要考虑到tanx自身的限制,于是有:
x k 且x k , k Z.
4
2
注意一定不能忽略后者.
②正切函数y=tanx的最小正周期为π,这一点也是与正弦函
数､余弦函数不同的.形如y=tanωx的函数的最小正周期
1.4.3 正切函数的性质与图象
自 学 导 引(学生用书P26)
由正切线得到正切曲线,并掌握正切曲线的性质.
课 前 热 身(学生用书P26) 函数y=tanx的性质与图象见下表:
y=tanx
图象
定义域
值域 周期 奇偶性 单调性
x
|
x
k
2
,
k
Z
(-∞,+∞)
最小正周期是π
奇函数
在开区间_(_k___2__, k____2_)(_k__Z_上) 都是___增_函__数___
名 师 讲 解 (学生用书P26)
1.正切函数的性质 通过观察正切线､正切曲线得到正切函数的各种性质,包括它的定义域､值域､周 期性､奇偶性和单调性. 对于正切函数的性质应注意以下几点:
①正切函数y=tanx的定义域是{x|x≠kπ+
,k∈Z},
这一点与已学过的正弦函数和余弦函数不同2,在解题中往往
题型二 求函数的单调区间
例2:写出下列函数的单调区间
(1)y=tan (
x
);
(2)y=|tanx2|. 6
分析:(1)用换元法,(2)用图象解.
解 : 1当k 1 x k (k Z ),
22 6
2
即2k 2 x 2k 4 (k Z )时, y tan( x )单调递增.
3
3
26
所求单调区间是(2k 2 , 2k 4 )(k Z ).
3
3
(2)y=|tanx|=
tanx,x∈[kπ2,kπ+
)(k∈Z),
-tanx,x∈(kπ-2 ,kπ](k∈Z).
可作出其图象(如下图),由图象知函数y=|tanx|的单调递减
区间为(kπ2-
,kπ](k∈Z),单调递增区间为
画出草图,“三点”是指(- ,-
1),(0,0),(
,1);“4两线”是指x=4-
2 ,x= 2 .在三点两线确定的情况下,可大致画出
正切函数在2(- 2 ,
)上的简图,然后向左､右
平移即可得正切曲线.
典 例 剖 析(学生用书P26)
题型一 利用正切函数的单调性比较大小
例1:比较tan(13 )与tan(17 )
22
解析:ω只是变换函数的周期并将函数的图象进行伸缩,若ω使函数在(-
,
)上递减,则ω必须小于0,而当|ω|>1时,图象将缩小周期,故-
1≤ω<0.
22
答案:B
变式训练3 : 与函数y tan(2x )的图象不相交的一条直线是
4
A.x
2
B.x
2
C.x
8
D.x
8
解析 :当x 时, 2x , y tan(2x )无意义,
8
42
4
故x 与函数的图象不相交,故应选D.
8
答案:D
易 错 探 究(学生用书P27)
例4 : 若y tan(2x )图象的一个对称中心为( , 0),
3
若 ,求的值.
2
2
错解 :因为函数y tanx图象的对称中心为(k , 0),
其中k Z,所以2x k ,其中x .
25 5 2
在区间( , )上是增函数,tan tan 2 .
22
5
5
(2) tan(3 ) tan( 3) tan3,tan(2 ) tan2,
又 2 3 1 ,
2
2
而y tanx在( , )内单调递增,
22
tan(2 ) tan(3 ) tan1,即tan2 tan3 tan1.
54
5
4
5
4
即tan( 13 ) tan( 17 ).
4
5
规律技巧:当所给的两个角不在同一单调区间时,要用诱 导公式将它们化到同一单调区间,不是同名函数的要利用公 式化成同名函数.
变式训练1:比较下列各组数的大小.
(1)tan 与tan 2 ;
(2)tan51,tan2,t5an3.
解 : 1 2 ,而y tanx
4
5
的大小.
分析:利用诱导公式化为同一单调区间上的正切函数,利用正切函数的单调 性比较大小.
解 : tan( 13 ) tan(3 ) tan ,
4
4
4
tan( 17 ) tan(3 2 ) tan 2 ,
5
5
5
而 2 ,tan 2 tan .tan 2 tan ,